高考总复习经典讲义空间向量及其运算

高考总复习经典讲义空间向量及其运算

‎　空间向量及其运算 知识点1、向量共线、共面的判定. ‎ ‎1、共线: 对空间任意两个向量a, b(b≠0), a∥b的充要条件是_______________. ‎ ‎2、共面: 如果两个向量a, b(不共线), 那么向量p与向量a, b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x, y), 使_______________. 答案: p＝xa＋yb.‎ ‎3、不共面: 如果三个向量a, b, c不共面, 那么对空间任一向量p, 存在有序实数组{x, y, z}, 使得p＝____________________________, 把{a, b, c}叫做空间的一个基底. ‎ 知识点2、向量运算律 ‎ ‎① 两向量的数量积 已知两个非零向量a, b, 则____________________叫做向量a, b的数量积, 记作________, 即__________________.数量积的坐标运算, 若a＝(a1, a2, a3), b＝(b1, b2, b3), 则 a·b＝____________________.‎ ‎② 空间向量数量积的运算律 结合律: (λa)·b＝____________; 交换律: a·b＝_______; 分配律: a·(b＋c)＝_____________.‎ ‎③ 模、夹角和距离公式 设a＝(a1, a2, a3), b＝(b1, b2, b3), ‎ 则|a|＝＝________________, cos〈a, b〉＝＝________________________ .‎ 若A(a1, b1, c1), B(a2, b2, c2), 则||＝__________________________.‎ 题型一　直线的方程形式 ‎(1) 空间向量: 在空间中, 具有______和______的量叫做空间向量. ‎ ‎(2) 相等向量: 方向______且模______的向量. ‎ ‎(3) 共线向量定理 ‎1. 若a＝(2x,1,3), b＝(1, －2y,9), 且a∥b, 则(　　)‎ A. x＝1, y＝1 B. x＝, y＝－ C. x＝, y＝－ D. x＝－, y＝ 解: 选C, ∵a∥b, ∴＝＝, ∴x＝, y＝－.‎ ‎2. (2016·青岛月考)‎ 如图所示, 在平行六面体ABCD—A1B‎1C1D1中, M为AC与BD的交点, 若＝a, ＝b, ＝c, 则下列向量中与相等的向量是(　　)‎ A. －a＋b＋c B.a＋b＋c C.a－b＋c D. －a－b＋c 解: 选A, [＝＋＋＝－＋＋ ‎＝－a＋c＋(a＋b)＝－a＋b＋c.‎ ‎3. (2016·广州调研)在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中, 已知∠BAD＝∠A′AB＝∠A′AD＝60°, ‎ AB＝3, AD＝4, AA′＝5, 则||＝________.‎ 解: ∵＝＋＋＝＋＋, ‎ ‎∴||2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2· ‎＝32＋42＋52＋2×3×4×cos 60°＋2×4×5×cos 60°＋2×3×5×cos 60°＝97, ∴||＝.‎ ‎4. 有下列4个命题: ‎ ‎① 若p＝xa＋yb, 则p与a、b共面; ② 若p与a、b共面, 则p＝xa＋yb; ‎ ‎③ 若＝x＋y, 则P、M、A、B共面; ④ 若P、M、A、B共面, 则＝x＋y.‎ 其中真命题的个数是(　　 )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎4. 选B, ①正确. ②中若a、b共线, p与a不共线, 则p＝xa＋yb就不成立. ③正确. ④中若M、A、B共线, 点P不在此直线上, 则＝x＋y不正确. ‎ ‎5. A(1,0,1), B(4,4,6), C(2,2,3), D(10,14,17)这四个点________(填共面或不共面). ‎ ‎5. 共面, 解: ＝(3,4,5), ＝(1,2,2), ＝(9,14,16), 设＝x＋y, ‎ 即(9,14,16)＝(3x＋y,4x＋2y,5x＋2y). ∴, 从而A、B、C、D四点共面. ‎ 题型二　空间基向量的应用 ‎6、已知空间四边形OABC中, M为BC的中点, N为AC的中点, P为OA的中点, Q为OB的中点, 若AB＝OC, 求证: PM⊥QN.‎ 设＝a, ＝b, ＝c. ∵＝(＋)＝(b＋c), ＝(＋)＝(a＋c), ‎ ‎∴＝＋＝－a＋(b＋c)＝(b＋c－a), ‎ ＝＋＝－b＋(a＋c)＝(a＋c－b). ‎ ‎∴·＝[c－(a－b)][c＋(a－b)]＝[c2－(a－b)2]＝(||2－||2)‎ ‎∵||＝||, ∴·＝0. 即⊥, 故PM⊥QN.‎ ‎7、如图, 在正四面体ABCD中, E、F分别为棱AD、BC的中点, 则异面直线AF和CE所成角的余弦值为________. ‎ 设{, , }为空间一组基底, 则＝＋, ‎ ＝＋＝＋(－)＝－＋.‎ ‎∴·＝·＝－·－2＋·＋· ‎＝－2－2＋2＋2＝－2.‎ 又||＝||＝||, ∴||·||＝||2. ∴cos〈, 〉＝＝＝－.‎ ‎∴异面直线AF与CE所成角的余弦值为.‎ ‎8、(2016·合肥调研)两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB, ∠EBC＝90°, 点M、N分别在BD、AE上, 且AN＝DM.‎ ‎(1) 求证: MN∥平面EBC; (2) 求MN长度的最小值. ‎ 解: 如图所示, 建立坐标系后, 要证MN平行于平面EBC, 只要证的横坐标为0即可. ‎ ‎(1) 证明　如图所示, 以、、为单位正交基底建立空间直角坐标系, 则A(1,0,0), D(1,1,0), E(0,0,1), B(0,0,0), 设＝＝λ, 则 ＝＋＋＝λ＋＋λ＝λ(1,1,0)＋(0, －1,0)＋λ(－1,0,1)＝(0, λ－1, λ). ‎ ‎∵0<λ<1, ∴λ－1≠0, λ≠0, 且的横坐标为0. ∴平行于平面yBz, 即MN∥平面EBC.‎ ‎(2) 解: 由(1)知||＝＝＝ , ‎ ‎∴当λ＝时, MN取得长度的最小值为.‎ A组　专项基础训练题组 ‎1. 下列命题: ‎ ‎① 若A、B、C、D是空间任意四点, 则有＋＋＋＝0; ‎ ‎② |a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件; ‎ ‎③ 若a、b共线, 则a与b所在直线平行; ‎ ‎④ 对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C, 若＝x＋y＋z(其中x、y、z∈R)则P、A、B、C四点共面. 其中假命题的个数是(　 C　)‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎2. 如图所示, 在正方体ABCD—A1B‎1C1D1中, O是底面ABCD的中心, M、N分别是棱DD1、D‎1C1的中点, 则直线OM(　 A　)‎ A. 既垂直于AC, 又垂直于MN B. 垂直于AC, 但不垂直于MN C. 垂直于MN, 但不垂直于AC D. 与AC、MN都不垂直 ‎3. (2016·绍兴月考) 如图所示, 在三棱柱ABC—A1B‎1C1中, AA1⊥底面ABC, AB＝BC＝AA1, ∠ABC＝90°, 点E、F分别是棱AB、BB1的中点, 则直线EF和BC1所成的角是(　 B　)‎ A. 45° B. 60°‎ C. 90° D. 120°‎ ‎4. 设点C(‎2a＋1, a＋1,2)在点P(2,0,0)、A(1, －3,2)、B(8, －1,4)确定的平面上, 则a等于(　 A 　)‎ A. 16 B. 4 C. 2 D. 8‎ 解: 选A　[由＝λ1＋λ2得: (‎2a－1, a＋1,2)＝λ1(－1, －3,2)＋λ2(6, －1, 4), ‎ ‎∴解得a＝16.‎ ‎5. 在直角坐标系中, A(－2,3), B(3, －2), 沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角, 则AB的长度为(　 B 　)‎ A. B. 2 C. 3 D. 4 解: 过A、B分别作AA1⊥x轴, BB1⊥x轴, 垂足分别为A1和B1, 则AA1＝3, A1B1＝5, BB1＝2, ‎ ‎∵＝＋＋, ∴2＝2＋2＋2＋2·＝32＋52＋22＋2×3×2×cos 60°＝44.∴||＝2.‎ ‎6. (2016·信阳模拟)如图所示, 已知空间四边形ABCD, F为BC的中点, E为AD的中点, 若＝λ(＋), 则λ＝________.‎ 解: ∵＝＋＋, 又＝＋＋, ‎ ‎∴2＝＋, ∴＝(＋), ∴λ＝.‎ ‎7. (2016·铜川模拟)在正方体ABCD—A1B‎1C1D1中, 给出以下向量表达式: ‎ ‎① (－)－; 　　② (＋)－; ‎ ‎③ (－)－2; 　　④ (＋)＋.‎ 其中能够化简为向量的是________. (填所有正确的序号)‎ 解　①(－)－＝－＝; ‎ ‎②(＋)－＝－＝; ‎ ‎③(－)－2＝－2≠; ‎ ‎④(＋)＋＝＋(＋)＝≠.‎ ‎8. (2016·丽水模拟) 如图所示, PD垂直于正方形ABCD所在平面,‎ AB＝2, E为PB的中点, cos〈, 〉＝, 若以DA, DC, DP所在直线分别为x, y, z轴建立空间直角坐标系, 则点E的坐标为________. ‎ 解: 设DP＝y>0, 则A(2,0,0), B(2,2,0), P(0,0, y), E,‎ ＝(0,0, y), ＝. ∴cos〈, 〉＝＝＝＝.‎ 解得y＝2, ∴E(1,1,1). ‎ B组　专项能力提升题组 ‎9. 如图所示, 已知ABCD—A1B‎1C1D1是棱长为3的正方体, 点E在AA1上, 点F在CC1上, 且AE＝FC1＝1.‎ ‎(1) 求证: E、B、F、D1四点共面; ‎ ‎(2) 若点G在BC上, BG＝, 点M在BB1上, GM⊥BF, 垂足为H, 求证: EM⊥平面BCC1B1.‎ 证明: (1) 建立如图所示的空间直角坐标系, 则＝(3,0,1), ＝(0,3,2), ‎ ＝(3,3,3). 所以＝＋. 故、、共面. ‎ 又它们有公共点B, ∴E、B、F、D1四点共面. (6分)‎ ‎(2) 设M(0,0, z), 则＝. 而＝(0,3,2), ‎ 由题设, 得·＝－×3＋z·2＝0, 得z＝1. ∴M(0,0,1), E(3,0,1), ∴＝(3,0,0). ‎ 又＝(0,0,3), ＝(0,3,0), ∴·＝0, ∴·＝0, 从而ME⊥BB1, ME⊥BC.‎ 又∵BB1∩BC＝B, ∴ME⊥平面BCC1B1.‎ ‎10、如图所示, 已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,‎ ‎ AB＝, AF＝1, M是线段EF的中点. ‎ 求证: (1) AM∥平面BDE; (2) AM⊥面BDF.‎ 证: (1)建立如图所示的空间直角坐标系, ‎ 设AC∩BD＝N, 连接NE. 则点N、E的坐标分别为、‎ ‎(0,0,1). ∴＝.又点A、M的坐标分别为 ‎(, , 0)、, ∴＝.‎ ‎∴＝且NE与AM不共线. ∴NE∥AM. 又∵NE⊂平面BDE, AM⊄平面BDE, ∴AM∥平面BDE.‎ ‎(2) 由(1)得, ＝, ∵D(, 0,0), F(, , 1), B(0, , 0), ‎ ‎∴＝(0, , 1), ＝(, 0,1). ∴·＝0, ·＝0.∴⊥, ⊥, ‎ 即AM⊥DF, AM⊥BF. 又DF∩BF＝F, ∴AM⊥平面BDF.‎ ‎11、(2009·福建)如图, 四边形ABCD是边长为1的正方形, MD⊥平面ABCD, NB⊥平面ABCD, 且MD＝NB＝1, E为BC的中点. ‎ ‎(1) 求异面直线NE与AM所成角的余弦值；‎ ‎(2) 在线段AN上是否存在点S, 使得ES⊥平面AMN？若存在, 求线段AS的长；若不存在, 请说明理由. ‎ 解　(1) 如图所示, 以点D为坐标原点, 建立空间直角坐标系D—xyz.‎ 依题意, 得D(0,0,0), A(1,0,0), M(0,0,1), C(0,1,0), B(1,1,0), N(1,1,1), ‎ E.∴＝, ＝(－1,0,1). ‎ ‎∵cos〈, 〉＝＝＝－, ‎ ‎∴异面直线NE与AM所成角的余弦值为.‎ ‎(2) 假设在线段AN上存在点S, 使得ES⊥平面AMN.‎ ‎∵＝(0,1,1), 可设＝λ＝(0, λ, λ), 又＝, ‎ ‎∴＝＋＝. 由ES⊥平面AMN, 得 即故λ＝, 此时＝, ||＝.‎ 经检验, 当AS＝时, ES⊥平面AMN. 故线段AN上存在点S, 使得ES⊥平面AMN, 此时AS＝.‎ ‎12. (2011·汕头月考) 如图所示, 已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a, 点M、N分别是AB、CD的中点. ‎ ‎(1) 求证: MN⊥AB, MN⊥CD；‎ ‎(2) 求MN的长；‎ ‎(3) 求异面直线AN与CM所成角的余弦值. ‎ ‎(1) 证明　设＝p, ＝q, ＝r.‎ 由题意可知: |p|＝|q|＝|r|＝a, 且p、q、r三向量两两夹角均为60°.‎ ＝－＝(＋)－＝(q＋r－p), (2分)‎ ‎∴·＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2)＝(a2·cos 60°＋a2·cos 60°－a2)＝0.‎ ‎∴MN⊥AB，又∵＝－＝r－q, ‎ ‎∴·＝(q＋r－p)·(r－q)＝(q·r－q2＋r2－q·r－p·r＋p·q)‎ ‎＝(a2cos 60°－a2＋a2－a2cos 60°－a2cos 60°＋a2cos 60°)＝0, ∴MN⊥CD.‎ ‎(2) 解　由(1)可知＝(q＋r－p), ∴||2＝2＝(q＋r－p)2‎ ‎＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]＝＝×‎2a2＝.‎ ‎∴||＝a, ∴MN的长为a.(9分)‎ ‎(3) 解　设向量与的夹角为θ.‎ ‎∵＝(＋)＝(q＋r), ＝－＝q－p, ‎ ‎∴·＝(q＋r)·＝ ‎＝＝＝.(12分)‎ 又∵||＝||＝a, ∴·＝||·||·cos θ即a·a·cos θ＝.‎ ‎∴cos θ＝, ∴向量与的夹角的余弦值为, 从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.‎