2015年北京高考数学文科试题及答案

2015年北京高考数学文科试题及答案

绝密★启封并使用完毕前 ‎2015年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷）‎ 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题：共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）若集合则（ ）‎ ‎( A ) ( B ) ( C ) ( D ) ‎ ‎（2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ）‎ ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（3）下列函数中为偶函数的是（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（4）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（ ）‎ ‎ （A）90 （B）100 （C）180 （D）300‎ 类别 人数 老年教师 ‎900‎ 中年教师 ‎1800‎ 青年教师 ‎1600‎ 合计 ‎4300‎ （5） 执行如图所示的程序框图，输出的k值为（ ）‎ ‎（A）3 （B） 4 (C) 5 (D) 6‎ ‎（6）设是非零向量，“”是“//”的（ ）‎ （A） 充分而不必要条件 （B） 必要而不充分条件 ‎（C） 充分必要条件 ‎（D） 既不充分也不必要条件 ‎（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）‎ ‎ (A) 1 （B） （B） (D) 2‎ ‎（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）‎ 加油时间 加油量（升）‎ 加油时的累计里程（千米）‎ ‎2015年5月1日 ‎12‎ ‎35000‎ ‎2015年5月15日 ‎48‎ ‎35600‎ 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程 ‎（A）6升 （B）8升 （C）10升 （D）12升 ‎ 第二部分（非选择题共110分）‎ 二、 填空题（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎（9）复数的实部为 ．‎ ‎（10）三个数中最大数的是 ．‎ ‎（11）在中，则 ．‎ ‎（12）已知是双曲线的一个焦点，则 ．‎ ‎（13）如图，及其内部的点组成的集合记为D，为D中任意一点，则的最大值为 ．‎ ‎（14）高三年级267位学生参加期末考试，某班37‎ 位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生。‎ 从这次考试成绩看，‎ ‎①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ．‎ ‎②在语文和数学两个科目中，两同学的成绩名次更靠前的科目是 ．‎ 三、解答题（共6题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）‎ ‎（15）（本小题13分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最小值。‎ ‎（16）（本小题13分）已知等差数列满足 ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设等比数列满足；问：与数列的第几项相等？‎ ‎（17）（本小题13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买。‎ 商品 顾客人数 甲 乙 丙 丁 ‎100‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎217‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎200‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎300‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎85‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎98‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；‎ ‎（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；‎ ‎（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？‎ ‎（18）（本小题14分）如图，在三棱锥中，平面 ⊥平面，为等边三角形，,且,分别为的中点。‎ ‎（Ⅰ）求证: //平面;‎ ‎（Ⅱ）求证：平面⊥平面;‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥的体积。‎ ‎（19）（本小题13分）设函数。‎ ‎（I）求的单调区间和极值；‎ ‎（II）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点。‎ ‎(20)(本小题14分)已知椭圆：,过点且不过点的直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点。‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（II）若垂直于轴，求直线的斜率；‎ ‎（III）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由。‎ 绝密★考试结束前 ‎ ‎2015年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷）参考答案 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎（1）A （2）D （3）B （4）C （5）B （6）A （7）C （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎ （9） （10） （11） （12） （13） （14）乙 数学 三、解答题（共6小题，共80分）‎ ‎ （15）（13分）解：（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎ 的最小正周期为.‎ ‎（Ⅱ）‎ 当 时，即时，取得最小值.‎ 所以在上的最小值为 ‎(16)(共13分)解：（Ⅰ）设等差数列的公差为.‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎ （Ⅱ）设等比数列的公比为.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由 ‎ 与数列的第63项相等.‎ ‎（17）（共13分）解：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，‎ ‎ 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 ‎（Ⅱ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，‎ ‎ 另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品。‎ ‎ 所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为 ‎（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：‎ ‎ 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为，‎ ‎ 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为，‎ ‎ 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为，‎ ‎ 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大。‎ ‎（18）（共14分）解：（Ⅰ）因为分别为的中点，‎ ‎ 所以 ‎ 又因为平面,‎ ‎ 平面 ‎ 所以平面 ‎（Ⅱ）因为，为的中点， ‎ ‎ 所以.‎ ‎ 又因为平面平面，且平面，‎ ‎ 平面 平面 ‎ ‎ 所以平面，又因为平面 ‎ 所以平面平面 ‎（Ⅲ）在等腰直角中，‎ ‎ 所以 ‎ 所以正的面积 ‎ 又因为平面，‎ ‎ 所以,‎ 又因为, 所以.‎ ‎(19) (共13分)‎ ‎ 解：（Ⅰ）由 ‎ 所以的定义域为 ‎ ‎ ‎ 令 解得 ‎ 与在区间上的情况如下：‎ 减 增 ‎ 所以，的单调减区间为，单调增区间为；‎ ‎ 在处取得极小值.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上的最小值为.‎ ‎ 因为存在零点，所以，所以.‎ ① 当时，在区间上单调递减，且.‎ 所以是在区间上的唯一的零点.‎ ② 当时，在区间上单调递减，且 所以在区间上仅有一个零点.‎ ‎ 综上可知：若存在零点，则在区间上仅有一个零点。‎ ‎(20) (共14分)‎ ‎ 解：（Ⅰ）椭圆的标准方程为 ‎ 所以 ‎ ‎ 所以椭圆的离心率 ‎（Ⅱ）因为直线过点且垂直于轴， 所有可设 ‎ 直线的方程为.‎ ‎ 令， 得.‎ ‎ 所以直线的斜率.‎ ‎（Ⅲ）直线与直线平行，证明如下：‎ ‎ ①当直线的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知.‎ ‎ 又因为的斜率 所以 ‎②当直线的斜率存在时，设其方程为 ‎ 设 则直线的方程为 ‎ 令， 得点.‎ 由 得 所以 ‎ ‎ 直线的斜率.‎ ‎ 因为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以， 所以 综上所述，直线与直线平行.‎