湖北省高考数学试题理科

湖北省高考数学试题理科

‎2015年湖北省高考数学试题（理）‎ ‎1．为虚数单位，的共轭复数为 A． B． C．1 D． ‎ ‎2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534‎ ‎ 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 ‎ A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 ‎3．已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项二项式系数和为 A． B． C． D．‎ ‎4．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是 第4题图 A． B． ‎ C．对任意正数， D．对任意正数，‎ ‎5．设，. 若p：成等比数列；‎ q：，则 A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 ‎6．已知符号函数 是上的增函数，，则 A． 　B．‎ ‎ C． D．‎ ‎7．在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位 ‎ ‎ 长度，得到离心率为的双曲线，则 ‎ A．对任意的， B．当时，；当时，‎ ‎ C．对任意的， D．当时，；当时，‎ ‎9．已知集合，，定义集合 ‎ ，则中元素的个数为 ‎ A．77 B．‎49 C．45 D．30‎ ‎10．设，表示不超过的最大整数. 若存在实数，使得，，…， ‎ 同时成立，则正整数的最大值是 A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎11．已知向量，，则 ．‎ ‎12．函数的零点个数为 ．‎ 第13题图 第14题图 x O ‎ y T C N ‎ A M B ‎13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶‎600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m. ‎ 第15题图 ‎14．如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（B在A的上方）， 且．（Ⅰ）圆的标准方程为 ；（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：‎ ‎①； ②； ③．‎ 其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）‎ ‎15．如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且，则 . ‎ ‎16在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为 ( t为参数) ，l与C相交于AB两点，则 .‎ ‎17．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎ （Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解 ‎ 析式；‎ ‎（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图 象. 若图象的一个对称中心为，求的最小值. ‎ ‎18．设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）当时，记，求数列前n项和． ‎ 第19题图 ‎19．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接 （Ⅰ）证明：．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；‎ ‎（Ⅱ）若面与面所成二面角的大小为， 求的值．‎ ‎20．某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品．生产1吨产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为 W ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ P ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 ‎（单位：元）是一个随机变量．（Ⅰ）求的分布列和均值；（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．‎ ‎21．一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线 总与曲线有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若 存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．‎ 第21题图1‎ 第21题图2‎ x D O M N y ‎22．已知数列的各项均为正数，，e为自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与e的大小；‎ ‎（Ⅱ）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；‎ ‎（Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为,, 证明：.参考答案：‎ ‎1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．D 9．C 10．B ‎11．9 12．2 13．14．（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③ 15． 16．‎ ‎17．（Ⅰ）根据表中已知数据，解得. 数据补全如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎0‎ 且函数表达式为（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，得. 因为的对称中心为，. 令，解得， . 由于函数的图象关于点成中心对称，令 解得，. 由可知，当时，取得最小值. 18．（Ⅰ）由题意有， 即 解得 或 故或 ‎（Ⅱ）由，知，，故，于是 ‎， ①‎ ‎. ②‎ ‎①-②可得，故. ‎ ‎19．（解法1）（Ⅰ）因为底面，所以， 由底面为长方形，有，而，所以. 而，所以. 又因为，点是的中点，所以. 而，所以平面. 而，所以.又，，所以平面. 由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为. ‎ ‎（Ⅱ）如图1，在面内，延长与交于点，则是平面与平面 的交线. （Ⅰ）知，，所以. 又因为底面，所以. 而，所以. 故是面与面所成二面角的平面角， 设，，有，在Rt△PDB中, ‎ 由, 得, 则 , 解得. 所以 故当面与面所成二面角的大小为时，. ‎ 第19题解答图2‎ 第19题解答图1‎ ‎（解法2）（Ⅰ）如图2，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设，，则，，点是的中点，所以，，于是，即. 又已知，而，所以. 因, , 则, 所以.由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为. ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）由，所以是平面的一个法向量；由（Ⅰ）知，，所以是平面的一个法向量. 若面与面所成二面角的大小为，则，解得. 所以 故当面与面所成二面角的大小为时，. ‎ ‎20．（Ⅰ）设每天两种产品的生产数量分别为，相应的获利为，则有 ‎ （1）‎ 第20题解答图1‎ 第20题解答图2‎ 第20题解答图3‎ 目标函数为 ． ‎ 当时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为． ‎ 将变形为，当时，直线：在轴上的截距最大，最大获利．当时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为．将变形为，当时，直线：在轴上的截距最大，最大获利．当时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为. 将变形为，当时，直线：在轴上的截距最大，最大获利． 故最大获利的分布列为 ‎8160‎ ‎10200‎ ‎10800‎ ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎ 因此， ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率，‎ 由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为 ‎ ‎ ‎21．（Ⅰ）设点，，依题意，第21题解答图 ，且，‎ 所以，且即且 由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得，即所求的曲线的方程为 ‎ ‎（Ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有. ‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，设直线， 由 ‎ 消去，可得.因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，‎ 所以，即. ①‎ 又由 可得；同理可得.由原点到直线的距离为和，可得 ‎. ②‎ 将①代入②得，. 当时，；当时，.‎ 因，则，，所以，当且仅当时取等号.所以当时，的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8. ‎ ‎22．（Ⅰ）的定义域为，.当，即时，单调递增；当，即时，单调递减. 故的单调递增区间为，单调递减区间为. 当时，，即.‎ 令，得，即. ① ‎ ‎（Ⅱ）；；‎ ‎.由此推测： ②下面用数学归纳法证明②. （1）当时，左边右边，②成立. ‎ ‎（2）假设当时，②成立，即.‎ 当时，，由归纳假设可得 ‎.‎ 所以当时，②也成立. ‎ 根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立. ‎ ‎（Ⅲ）由的定义，②，算术-几何平均不等式，的定义及①得 ‎. ‎ 即. ‎