全国高考文科数学试题及答案全国卷

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文档介绍

全国高考文科数学试题及答案全国卷

‎2009年普通高等学校招生全国统一1卷考试 文科数学(必修+选修Ⅰ)‎ ‎ 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.第卷1至2页,第卷3至4页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷 注意事项:‎ ‎ 1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.‎ ‎ 2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.‎ ‎ 3.本卷共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ 参考公式:‎ 如果事件互斥,那么 球的表面积公式 ‎ ‎ ‎ 如果事件相互独立,那么 其中表示球的半径 ‎ 球的体积公式 ‎ 如果事件在一次试验中发生的概率是,那么 ‎ ‎ 次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径 一、选择题 ‎(1)的值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎ (2)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集,则集合中的元素共有 ‎(A) 3个 (B) 4个 (C)5个 (D)6个 ‎(3)不等式的解集为 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(4)已知tan=4,cot=,则tan(a+)=‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(5)设双曲线的渐近线与抛物线相切,则该双曲线的离心率等于 ‎(A) (B)2 (C) (D)‎ ‎(6)已知函数的反函数为,则 ‎(A)0 (B)1 (C)2 (D)4‎ ‎(7)甲组有5名男同学、3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学,若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 ‎(A)150种 (B)180种 (C)300种 (D)345种 ‎(8)设非零向量、、满足,则 ‎(A)150° (B)120° (C)60° (D)30°‎ ‎(9)已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面上的射影为的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(10) 如果函数的图像关于点中心对称,那么的最小值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(11)已知二面角为600 ,动点P、Q分别在面内,P到的距离为,Q到的距离为,则P、Q两点之间距离的最小值为 ‎(12)已知椭圆的右焦点为F,右准线,点,线段AF交C于点B。若,则=‎ ‎(A) (B) 2 (C) (D) 3‎ 第Ⅱ卷 注意事项:‎ ‎1.答题前,考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.‎ ‎2.第Ⅱ卷共7页,请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在试题卷上作答无效.‎ ‎3.本卷共10小题,共90分.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.‎ ‎(注意:在试题卷上作答无效)‎ ‎(13)的展开式中,的系数与的系数之和等于_____________.‎ ‎(14)设等差数列的前项和为。若,则_______________.‎ ‎。‎ ‎(15)已知为球的半径,过的中点且垂直于的平面截球面得到圆,若圆的面积为,则球的表面积等于__________________.‎ ‎(16)若直线被两平行线所截得的线段的长为,则的倾斜角可以是 ‎ ① ② ③ ④ ⑤ ‎ 其中正确答案的序号是 .(写出所有正确答案的序号)‎ 三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎(17)(本小题满分10分)(注意:在试题卷上作答无效)‎ 设等差数列{}的前项和为,公比是正数的等比数列{}的前项和为,已知的通项公式.‎ ‎(18)(本小题满分12分)(注意:在试用题卷上作答无效)‎ 在中,内角的对边长分别为.已知,且,求.‎ ‎(19)(本小题满分12分)(注决:在试题卷上作答无效)‎ 如图,四棱锥中,底面为矩形,底面,,,点在侧棱上,‎ ‎(Ⅰ)证明:是侧棱的中点;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的大小。(同理18)‎ ‎ (20)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)‎ 甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束。假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立。已知前2局中,甲、乙各胜1局。‎ ‎(Ⅰ)求再赛2局结束这次比赛的概率;‎ ‎(Ⅱ)求甲获得这次比赛胜利的概率。‎ ‎(21)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效) ‎ ‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)讨论的单调性;‎ ‎(Ⅱ)设点P在曲线上,若该曲线在点P处的切线通过坐标原点,求的方程 ‎(22)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)‎ 如图,已知抛物线与圆 相交于A、B、C、D四个点。‎ ‎(Ⅰ)求的取值范围 ‎(Ⅱ)当四边形ABCD的面积最大时,求对角线AC、BD的交点P的坐标。‎ ‎1【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值,基础题。‎ 解:,故选择A。‎ ‎2【解析】本小题考查集合的运算,基础题。(同理1)‎ 解:,故选A。也可用摩根定律:‎ ‎3【解析】本小题考查解含有绝对值的不等式,基础题。‎ 解:,‎ 故选择D。‎ ‎4【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式,基础题。‎ 解:由题,,故选择B。‎ ‎5【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率,基础题。‎ 解:由题双曲线的一条渐近线方程为,代入抛物线方程整理得,因渐近线与抛物线相切,所以,即 ‎,故选择C。‎ ‎(6)【解析】本小题考查反函数,基础题。‎ 解:由题令得,即,又,所以,故选择C。‎ ‎(7)【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题,基础题。‎ 解:由题共有,故选择D。‎ ‎(8)【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想,基础题。‎ 解:由向量加法的平行四边形法则,知、可构成菱形的两条相邻边,且、为起点处的对角线长等于菱形的边长,故选择B。‎ ‎(9)【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角,基础题。(同理7)‎ 解:设的中点为D,连结D,AD,易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理,易知.故选D ‎ (10) 【解析】本小题考查三角函数的图象性质,基础题。‎ 解: 函数的图像关于点中心对称 由此易得.故选A ‎(11)【解析】本小题考查二面角、空间里的距离、最值问题,综合题。(同理10)‎ 解:如图分别作 ‎ ‎,连 ‎ ‎,‎ 又 当且仅当,即重合时取最小值。故答案选C。‎ ‎(12)【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义,基础题。‎ 解:过点B作于M,并设右准线与X轴的交点为N,易知FN=1.由题意,‎ 故.又由椭圆的第二定义,得.故选A ‎(13)【解析】本小题考查二项展开式通项、基础题。(同理13)‎ 解: 因所以有 ‎(14)【解析】本小题考查等差数列的性质、前项和,基础题。(同理14)‎ 解: 是等差数列,由,得 ‎。‎ ‎(15)【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积,基础题。‎ 解:设球半径为,圆M的半径为,则,即由题得,所以。‎ ‎(16)【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离,考查数形结合的思想。‎ 解:两平行线间的距离为,由图知直线与的夹角为,的倾斜角为,所以直线的倾斜角等于或。故填写①或⑤‎ ‎ (17)【解析】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前项和,基础题。‎ 解:设的公差为,数列的公比为,‎ 由得 ①‎ 得 ②‎ 由①②及解得 故所求的通项公式为。‎ ‎(18)【解析】本小题考查正弦定理、余弦定理。‎ 解:由余弦定理得,‎ 又 ,‎ ‎,‎ 即 ①‎ 由正弦定理得 又由已知得 ‎ ‎,‎ 所以 ②‎ 故由①②解得 ‎(19)‎ 解法一:‎ ‎(I)‎ 作∥交于点E,则∥,平面SAD 连接AE,则四边形ABME为直角梯形 作,垂足为F,则AFME为矩形 设,则,‎ 由 解得 即,从而 所以为侧棱的中点 ‎(Ⅱ),又,所以为等边三角形,‎ 又由(Ⅰ)知M为SC中点 ‎,故 取AM中点G,连结BG,取SA中点H,连结GH,则,由此知为二面角的平面角 连接,在中,‎ 所以 二面角的大小为 解法二:‎ 以D为坐标原点,射线DA为x轴正半轴,建立如图所示的直角坐标系D-xyz 设,则 ‎(Ⅰ)设,则 又 故 即 解得,即 所以M为侧棱SC的中点 ‎(II)‎ 由,得AM的中点 又 所以 因此等于二面角的平面角 所以二面角的大小为 ‎ (20)【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率,综合题。‎ 解:记“第局甲获胜”为事件,“第局乙获胜”为事件。‎ ‎(Ⅰ)设“再赛2局结束这次比赛”为事件A,则 ‎,由于各局比赛结果相互独立,故 ‎(Ⅱ)记“甲获得这次比赛胜利”为事件B,因前两局中,甲、乙各胜1局,故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中,甲先胜2局,从而 ‎,由于各局比赛结果相互独立,故 ‎(21)【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性,综合题。‎ 解:(Ⅰ)‎ 令得或;‎ 令得或 因此,在区间和为增函数;在区间和 为减函数。‎ ‎(Ⅱ)设点,由过原点知,的方程为,‎ 因此,‎ 即,‎ 整理得,‎ 解得或 因此切线的方程为或 ‎ (22)解:(Ⅰ)将抛物线代入圆的方程,消去,‎ 整理得 ①‎ 与有四个交点的充要条件是:方程①有两个不相等的正根 由此得 解得 又 所以的取值范围是 ‎(II) 设四个交点的坐标分别为、、、。‎ 则由(I)根据韦达定理有,‎ 则 令,则 下面求的最大值。‎ 方法1:由三次均值有:‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当,即时取最大值。经检验此时满足题意。‎ 方法2:设四个交点的坐标分别为、、、‎ 则直线AC、BD的方程分别为 解得点P的坐标为。‎ 设,由及(Ⅰ)得 由于四边形ABCD为等腰梯形,因而其面积 则 将,代入上式,并令,得 ‎,‎ ‎∴,‎ 令得,或(舍去)‎ 当时,;当时;当时,‎ 故当且仅当时,有最大值,即四边形ABCD的面积最大,故所求的点P的坐标为
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