高考物理电磁感应中的动力学问题习题

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高考物理电磁感应中的动力学问题习题

第61课时 电磁感应中的动力学问题(题型研究课)‎ ‎[命题者说] 电磁感应动力学问题是历年高考的一个热点,这类题型的特点一般是单棒或双棒在磁场中切割磁感线,产生感应电动势和感应电流。感应电流受安培力而影响导体棒的运动,构成了电磁感应的综合问题,它将电磁感应中的力和运动综合到一起,其难点是感应电流安培力的分析,且安培力常常是变力。这类问题能很好地提高学生的综合分析能力。‎ ‎(一) 运动切割类动力学问题 考法1 单杆模型 ‎ ‎[例1] (2016·全国甲卷) 水平面(纸面)内间距为l的平行金属导轨间接一电阻,质量为m、长度为l的金属杆置于导轨上。t=0时,金属杆在水平向右、大小为F的恒定拉力作用下由静止开始运动。t0时刻,金属杆进入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域,且在磁场中恰好能保持匀速运动。杆与导轨的电阻均忽略不计,两者始终保持垂直且接触良好,两者之间的动摩擦因数为μ。重力加速度大小为g。求 ‎(1)金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小;‎ ‎(2)电阻的阻值。‎ 单杆模型的分析方法 ‎(1)电路分析:导体棒相当于电源,感应电动势E=BLv,电流I=。‎ ‎(2)受力分析:导体棒中的感应电流在磁场中受安培力F安=BIL,I=,F安=。‎ ‎(3)动力学分析:安培力是变力,导体棒在导轨上做变加速运动,临界条件是安培力和其他力达到平衡,这时导体棒开始匀速运动。‎ 考法2 双杆模型 ‎ ‎[例2] (1)如图1所示,两根平行的金属导轨,固定在同一水平面上,磁感应强度为B的匀强磁场与导轨所在平面垂直,导轨的电阻很小,可忽略不计,导轨间的距离为l,两根质量均为m、电阻均为R的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动,滑动过程中与导轨保持垂直。在t=0时刻,两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行,大小恒为F的力作用于金属杆甲上,使金属杆在导轨上滑动,试分析金属杆甲、乙的收尾运动情况。‎ ‎(2)如图2所示,两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内,导轨上横放着两根导体棒ab和cd,构成矩形回路。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场,设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行。开始时,棒cd静止,棒ab有指向棒cd的初速度。若两导体棒在运动中始终不接触,试定性分析两棒的收尾运动情况。‎ 两类双杆模型对比 类型 模型 运动图像 运动过程 分析方法 不受外力 杆MN做变减速运动,杆PQ做变加速运动;稳定时,两杆以相等的速度匀速运动 将两杆视为整体,不受外力,最后a=0‎ 受到恒力 开始时,两杆做变加速运动;稳定时,两杆以相同的加速度做匀加速运动 将两杆视为整体,只受外力F,最后a= 考法3 含电容器问题 ‎ ‎[例3] (2013·全国卷Ⅰ)如图,两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ,间距为L。导轨上端接有一平行板电容器,电容为C。导轨处于匀强磁场中,磁感应强度大小为B,方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m的金属棒,棒可沿导轨下滑,且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ,重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑,求:‎ ‎(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系;‎ ‎(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系。‎ 这类题目易出现的错误是忽视电容器充电电流,漏掉导体棒所受的安培力,影响加速度的计算和导体棒运动情况的判断。‎ ‎[集训冲关]‎ ‎1.如图所示,在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中,两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内,相距为L。一质量为m的导体棒cd垂直于MN、PQ放在轨道上,与轨道接触良好。轨道和导体棒的电阻均不计。‎ ‎(1)如图1所示,若轨道左端M、P间接一阻值为R的电阻,导体棒在拉力F的作用下以速度v沿轨道做匀速运动。请通过公式推导证明:在任意一段时间Δt内,拉力F所做的功与电路获得的电能相等。‎ ‎(2)如图2所示,若轨道左端接一电动势为E、内阻为r的电源和一阻值未知的电阻。闭合开关S,导体棒从静止开始运动,经过一段时间后,导体棒达到最大速度vm,求此时电源的输出功率。‎ ‎(3)如图3所示,若轨道左端接一电容器,电容器的电容为C,导体棒在水平拉力的作用下从静止开始向右运动。电容器两极板间电势差随时间变化的图像如图4所示,已知t1时刻电容器两极板间的电势差为U1。求导体棒运动过程中受到的水平拉力大小。‎ ‎2.(2017·上海松江区期末)如图所示,两根粗细均匀的金属杆AB和CD的长度均为L,电阻均为R,质量分别为‎3m和m,用两根等长的、质量和电阻均不计的、不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路,悬跨在绝缘的、水平光滑的圆棒两侧,AB和CD处于水平。在金属杆AB的下方有高度为H的水平匀强磁场,磁感强度的大小为B,方向与回路平面垂直,此时CD处于磁场中。现从静止开始释放金属杆AB,经过一段时间(AB、CD始终水平),在AB即将进入磁场的上边界时,其加速度为零,此时金属杆CD还处于磁场中,在此过程中金属杆AB上产生的焦耳热为Q。重力加速度为g,试求:‎ ‎(1)金属杆AB即将进入磁场上边界时的速度v1;‎ ‎(2)在此过程中金属杆CD移动的距离h和通过导线截面的电量q;‎ ‎(3)设金属杆AB在磁场中运动的速度为v2,通过计算说明v2大小的可能范围。‎ ‎ (二) 变化磁场类动力学问题 ‎ [典例] 电磁弹射是我国最新研究的重大科技项目,原理可用下述模型说明。如图甲所示,虚线MN右侧存在一个竖直向上的匀强磁场,一边长为L的正方形单匝金属线框abcd放在光滑水平面上,电阻为R,质量为m,ab边在磁场外侧紧靠 MN虚线边界。t=0时起磁感应强度B随时间t的变化规律是B=B0+kt(k为大于零的常数),空气阻力忽略不计。‎ ‎(1)求t=0时刻,线框中感应电流的功率P;‎ ‎(2)若线框cd边穿出磁场时速率为v,求线框穿出磁场过程中,安培力对线框所做的功W及通过导线截面的电荷量q;‎ ‎(3)若用相同的金属线绕制相同大小的n匝线框,如图乙所示,在线框上加一质量为M的负载物,证明:载物线框匝数越多,t=0时线框加速度越大。‎ 磁场变化类电磁感应问题的解题方法 ‎(1)用法拉第电磁感应定律计算感应电动势,用楞次定律判断方向。‎ ‎(2)用闭合电路欧姆定律计算回路中电流。‎ ‎(3)分析计算感应电流所受安培力,研究导体受力情况和运动情况。‎ ‎(4)根据牛顿第二定律或平衡条件列出方程。‎ ‎[集训冲关]‎ 如图所示,粗糙斜面的倾角θ=37°,半径r=‎0.5 m的圆形区域内存在着垂直于斜面向下的匀强磁场。一个匝数n=10匝的刚性正方形线框abcd,通过松弛的柔软导线与一个额定功率P=1.25 W的小灯泡A相连,圆形磁场的一条直径恰好过线框bc边。已知线框质量m=‎2 kg,总电阻R0=1.25 Ω,边长L>2r,与斜面间的动摩擦因数μ=0.5。从t=0时起,磁场的磁感应强度按B=2-t(T)的规律变化。开始时线框静止在斜面上,在线框运动前,灯泡始终正常发光。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,g取‎10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:‎ ‎(1)小灯泡正常发光时的电阻R;‎ ‎(2)线框保持不动的时间内,小灯泡产生的热量Q。‎ 一、选择题 ‎1.如图所示,有两根和水平方向成α角的光滑平行金属轨道,上端接有可变电阻R,下端足够长,空间有垂直于轨道平面的匀强磁场,磁感应强度为B,一根质量为m的金属杆(电阻忽略不计)从轨道上由静止滑下,经过足够长的时间后,金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm,则(  )‎ A.如果B增大,vm将变大 B.如果α增大,vm将变大 C.如果R变小,vm将变大 D.如果m变小,vm将变大 ‎2.如图所示,两光滑平行金属导轨间距为L,直导线MN垂直跨在导轨上,且与导轨接触良好,整个装置处在垂直于纸面向里的匀强磁场中,磁感应强度为B。电容器的电容为C,除电阻R外,导轨和导线的电阻均不计。现给导线MN一初速度,使导线MN向右运动,当电路稳定后,MN以速度v向右做匀速运动时(  )‎ A.电容器两端的电压为零 B.电阻两端的电压为BLv C.电容器所带电荷量为CBLv D.为保持MN匀速运动,需对其施加的拉力大小为 ‎3.(多选)(2017·中山二模)如图所示,在水平桌面上放置两条相距为l的平行光滑导轨ab与cd,阻值为R的电阻与导轨的a、c端相连。质量为m、电阻也为R的导体棒垂直于导轨放置并可沿导轨自由滑动。整个装置放于匀强磁场中,磁场的方向竖直向上,磁感应强度的大小为B ‎。导体棒的中点系一不可伸长的轻绳,绳绕过固定在桌边的光滑轻滑轮后,与一个质量也为m的物块相连,绳处于拉直状态。现若从静止开始释放物块,用h表示物块下落的高度(物块不会触地),g表示重力加速度,其他电阻不计,则(  )‎ A.电阻R中的感应电流方向由c到a B.物块下落的最大加速度为g C.若h足够大,物块下落的最大速度为 D.通过电阻R的电荷量为 ‎4.(多选)如图所示,两足够长平行金属导轨固定在水平面上,匀强磁场方向垂直导轨平面向下,金属棒ab、cd与导轨构成闭合回路且都可沿导轨无摩擦滑动,两金属棒ab、cd的质量之比为2∶1。用一沿导轨方向的恒力F水平向右拉金属棒cd,经过足够长时间以后(  )‎ A.金属棒ab、cd都做匀速运动 B.金属棒ab上的电流方向是由b向a C.金属棒cd所受安培力的大小等于 D.两金属棒间距离保持不变 二、计算题 ‎5.如图所示,L1=‎0.5 m,L2=‎0.8 m,回路总电阻为R=0.2 Ω,M=‎0.04 kg,导轨光滑,开始时磁场B0=1 T。现使磁感应强度以=0.2 T/s的变化率均匀地增大。试求:当t为多少时,M刚好离开地面?(g取‎10 m/s2)‎ ‎6.如图所示,在水平平行放置的两根光滑长直导电轨道MN与PQ上,放着一根直导线ab,ab与导轨垂直,它在导轨间的长度为‎20 cm,这部分的电阻r=0.02 Ω。导轨部分处于方向竖直向下的匀强磁场中,磁感应强度B=0.20 T,电阻R=0.08 Ω,其他电阻不计,ab的质量为‎0.02 kg。‎ ‎(1)打开开关S,ab在水平恒力F=0.01 N的作用下,由静止沿轨道滑动,求经过多长时间速度才能达到‎10 m/s?‎ ‎(2)当ab的速度达到‎10 m/s时,闭合开关S,为了保持ab仍能以‎10 m/s的速度匀速运动,水平拉力应变为多少?‎ ‎7.平行水平长直导轨间的距离为L,左端接一耐高压的电容器C。轻质导体杆cd与导轨接触良好,如图所示,在水平力作用下以加速度a从静止到匀加速运动,匀强磁场B竖直向下,不计摩擦与电阻,求:‎ ‎(1)所加水平外力F与时间t的关系;‎ ‎(2)在时间t内有多少能量转化为电场能?‎ ‎8.(2017·北京东城期末)如图所示,两根足够长平行金属导轨MN、PQ固定在倾角θ=37°的绝缘斜面上,顶部接有一阻值R=3 Ω的定值电阻,下端开口,轨道间距L=‎1 m。整个装置处于磁感应强度B=2 T的匀强磁场中,磁场方向垂直斜面向上。质量m=‎1 kg的金属棒ab置于导轨上,ab在导轨之间的电阻r=1 Ω,电路中其余电阻不计。金属棒ab由静止释放后沿导轨运动时始终垂直于导轨,且与导轨接触良好。不计空气阻力影响。已知金属棒ab与导轨间动摩擦因数μ=0.5,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,取g=‎10 m/s2。‎ ‎(1)求金属棒ab沿导轨向下运动的最大速度vm;‎ ‎(2)求金属棒ab沿导轨向下运动过程中,电阻R上的最大电功率PR;‎ ‎(3)若从金属棒ab开始运动至达到最大速度过程中,电阻R上产生的焦耳热总共为1.5 J,求流过电阻R的总电荷量q。‎
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