全国高考新课标1卷文科数学试题及答案解析

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全国高考新课标1卷文科数学试题及答案解析

‎2016年全国高考新课标1卷文科数学试题 第Ⅰ卷 一、选择题,本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B=( )‎ A.{1,3} B.{3,5} C.{5,7} D.{1,7} ‎ ‎2.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=( ) ‎ A.-3 B.-2 C.2 D. 3‎ ‎3.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,‎ 则b=( )‎ A. B. C.2 D.3 ‎ ‎5.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 ‎,则该椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.若将函数y=2sin (2x+)的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为 ‎( ) ‎ A.y=2sin(2x+) B.y=2sin(2x+) C.y=2sin(2x–) D.y=2sin(2x–)‎ ‎7.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个 圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,‎ 则它的表面积是( ) ‎ A.17π B.18π C.20π D.28π ‎ ‎8.若a>b>0,0cb ‎ y x y ‎2‎ O ‎-2‎ ‎1‎ C x ‎2‎ O ‎-2‎ ‎1‎ B y x ‎2‎ O ‎-2‎ ‎1‎ A x ‎2‎ O ‎-2‎ ‎1‎ D y ‎9.函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为( )‎ 开始 x2+y2≥36?‎ 是 结束 输出x,y 否 n=n+1‎ 输入x,y,n ‎10.执行右面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,‎ 则输出x,y的值满足( )‎ A.y=2x B.y=3x ‎ C.y=4x D.y=5x ‎11.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,‎ ‎ α//平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,‎ α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.若函数在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是( )‎ A.[-1,1] B.[-1,] C.[-,] D.[-1,-] ‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在横线上.‎ ‎13.设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x= . ‎ ‎14.已知θ是第四象限角,且sin(θ+)=,则tan(θ-)= . ‎ ‎15.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=,‎ 则圆C的面积为 .‎ ‎16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 ‎ 元.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.只做6题,共70分.‎ ‎17.(本题满分12分)‎ 已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)求{bn}的前n项和.‎ ‎18.(本题满分12分)‎ B E G P D C A 如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,‎ 连接PE并延长交AB于点G.‎ ‎(Ⅰ)证明G是AB的中点;‎ ‎(Ⅱ)在答题卡第(18)题图中作出点E在平面PAC 内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰. ‎ 机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元. 在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:‎ 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.‎ ‎(Ⅰ)若n=19,求y与x的函数解析式;‎ ‎(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;‎ ‎(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 在直角坐标系xoy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.‎ ‎(Ⅰ)求; (Ⅱ)除H以外,直线MH与C是否有其它公共点?说明理由.‎ ‎ ‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数f(x)=(x -2)ex+a(x -1)2.‎ ‎(Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)若有两个零点,求a的取值范围.‎ 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 ‎22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,ΔOAB是等腰三角形,∠AOB=120°. 以O为圆心,OA为半径作圆.‎ ‎(Ⅰ)证明:直线AB与⊙O相切;‎ ‎(Ⅱ)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.‎ ‎(Ⅰ)说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.‎ ‎24.(本小题满分10分),选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=| x+1| -|2x-3|.‎ ‎(Ⅰ)在答题卡第24题图中画出y=f(x)的图像;‎ ‎(Ⅱ)求不等式| f(x)|>1的解集.‎ ‎2016年全国高考新课标1卷文科数学试题参考答案 一、选择题,本大题共12小题,每小题5分,共60分.‎ ‎1B 2A 3C 4D 5B 6D 7A 8B 9D 10C 11A 12C 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. ‎ ‎13. 14. 15.4π 16.216000‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.只做6题,共70分.‎ ‎17.解:(Ⅰ)依题a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,解得a1=2 …2分 通项公式为 an=2+3(n-1)=3n-1 …6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知3nbn+1=nbn,bn+1=bn,所以{bn}是公比为的等比数列.…9分 B E G P F D C A 所以{bn}的前n项和Sn= …12分 ‎18.(Ⅰ)证明:PD⊥平面ABC,∴PD⊥AB.‎ 又DE⊥平面PAB,∴DE⊥AB.∴AB⊥平面PDE. …3分 又PG Ì平面PDE,∴AB⊥PG.依题PA=PB,∴G是AB的中点.…6分 ‎(Ⅱ)解:在平面PAB内作EF⊥PA(或EF// PB)垂足为F,‎ 则F是点E在平面PAC内的正投影. …7分 理由如下:∵PC⊥PA,PC⊥PB,∴ PC⊥平面PAB. ∴EF ⊥PC ‎ 作EF⊥PA,∴EF⊥平面PAC.即F是点E在平面PAC内的正投影.…9分 连接CG,依题D是正ΔABC的重心,∴D在中线CG上,且CD=2DG.‎ 易知DE// PC,PC=PB=PA= 6,∴DE=2,PE=.‎ 则在等腰直角ΔPEF中,PF=EF=2,∴ΔPEF的面积S=2.‎ 所以四面体PDEF的体积. …12分 ‎19.解:(Ⅰ)当x≤19时,y=3800;当x>19时,y=3800+500(x-19)=500x-5700.‎ 所以y与x的函数解析式为 …3分 ‎(Ⅱ)由柱状图知,需更换的易损零件数不大于18为0.46,不大于19为0.7,所以n的最小值为19. …6分 ‎(Ⅲ)若每台机器都购买19个易损零件,则有70台的费用为3800,20台的费用为4300,10‎ 台的费用为4800,所以100台机器购买易损零件费用的 平均数为(3800×70+4300×20+4800×10)=4000. …9分 若每台机器都购买20个易损零件,则有90台的费用为4000,10台的费用为4500,所以100台机器购买易损零件费用的 平均数为(4000×90+4500×10)=4050. …11分 ‎ 比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.…12分 ‎20.解:(Ⅰ)依题M(0, t),P(, t). 所以N(, t),ON的方程为.‎ ‎ 联立y2=2px,消去x整理得y2=2ty. 解得y1=0,y2=2t. …4分 ‎ 所以H(,2t). 所以N是OH的中点,所以=2. …6分 ‎(Ⅱ)直线MH的方程为,联立y2=2px,消去x整理得y2-4ty+4t2=0. ‎ 解得y1=y2=2t. 即直线MH与C只有一个交点H.‎ 所以除H以外,直线MH与C没有其它公共点. …12分 ‎21.解:(Ⅰ) f '(x)=(x -1)ex+a(2x -2)=(x -1)(ex+2a). x∈R …2分 ‎ (1)当a≥0时,在(-∞,1)上,f '(x)<0,f(x)单调递减;‎ 在(1,+∞)上,f '(x)>0,f(x)单调递增. …3分 ‎(2)当a<0时,令f '(x)=0,解得x =1或x=ln(-2a).‎ ‎①若a=,ln(-2a) =1,f '(x)≥0恒成立,所以f(x)在(-∞,+ ∞)上单调递增.‎ ‎②若a>,ln(-2a)<1,在(ln(-2a),1)上,f '(x)<0,f(x)单调递减;‎ 在(-∞, ln(-2a))与(1,+∞)上,f '(x)>0,f(x)单调递增.‎ ‎③若a<,ln(-2a)>1,在(1,ln(-2a))上,f '(x)<0,f(x)单调递减;‎ 在(-∞,1)与(ln(-2a),+∞)上,f '(x)>0,f(x)单调递增.…7分 ‎(Ⅱ) (1)当a=0时,f(x)=(x -2)ex只有一个零点,不合要求. …8分 ‎(2)当a>0时,由(Ⅰ)知f(x)在(-∞,1)上单调递减;在(1,+∞)上单调递增.‎ 最小值f(1)=-e<0,又f(2)= a>0,若取b<0且b,所以f(x)有两个零点. …10分 ‎(3)当a<0时,在(-∞,1]上,f(x)<0恒成立;若a≥,由(Ⅰ)知f(x)在(1,+∞)上单调递增,不存在两个零点.若a<,f(x)在(1,ln(-2a))上单调递减;在(ln(-2a),+∞)上单调递增,也不存在两个零点.‎ 综上a的取值范围是(0,1). …12分 ‎22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,ΔOAB是等腰三角形,∠AOB=120°. 以O为圆心,OA为半径作圆.‎ ‎(Ⅰ)证明:直线AB与⊙O相切;‎ ‎(Ⅱ)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.‎ 证明:(Ⅰ)设E是AB的中点,连接OE,因为OA=OB,‎ ‎∠AOB=120°. 所以OE⊥AB,∠AOE=60°. …3分 在RtΔAOE中,OE=OA. 即圆心O到直线AB的 距离等打半径,所以直线AB与⊙O相切. …5分 ‎(Ⅱ)因为OD=OA,所以O不是A,B,C,D四点共圆的圆心,故设其圆心为O',则O'在AB的垂直平分线上. ‎ 又O在AB的垂直平分线上,作直线O O',所以O O'⊥AB.…8分 ‎ 同理可证O O'⊥CD.所以AB∥CD. …10分 ‎23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.‎ ‎(Ⅰ)说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.‎ 解:(Ⅰ)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2. ‎ 所以C1是以(0,1)为圆心a为半径的圆. …3分 ‎ 将x=rcosq,y=rsinq代入可得C1的极坐标方程为r2-2r sinq+1-a2=0. …5分 ‎(Ⅱ)联立r2-2r sinq+1-a2=0与ρ=4cosθ消去ρ得16cos2q-8sinq cosq+1-a2=0,‎ 由tanθ=2可得16cos2q-8sinq cosq=0. 从而1-a2=0,解得a=1. …8分 ‎ 当a=1时,极点也是C1与C2的公共点,且在C3上,综上a=1. …10分 ‎24.(本小题满分10分),选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=| x+1| -|2x-3|.‎ ‎(Ⅰ)在答题卡第24题图中画出y=f(x)的图像;‎ ‎(Ⅱ)求不等式| f(x)|>1的解集.‎ 解:(Ⅰ)‎ y=f(x)的图像如图所示. …5分 ‎(Ⅱ)由f(x)的图像和表达式知,当f(x)=1时,解得x=1或x=3.‎ 当f(x)=-1时,解得x=或x=5. …8分 ‎ 结合f(x)的图像可得| f(x)|>1的解集为{x|x<或1< x<3或x>5}. …10分 小题详解 ‎1.解:取A,B中共有的元素是{3,5},故选B ‎2.解:(1+2i)(a+i)= a-2+(1+2a)i,依题a-2=1+2a,解得a=-3,故选A ‎3.解:设红、黄、白、紫4种颜色的花分别用1,2,3,4来表示,则所有基本事件有 (12,34),(13,24),(14,23),(23,14),(24,13),(34,12),共6个,其中1和4不在同一花坛的事件有4个, 其概率为P=,故选C ‎4.解:由余弦定理得:5=4+b2-4b×, 则3b2-8b-3=0,解得b=3,故选D ‎5.解:由直角三角形的面积关系得bc=,解得,故选B ‎6.解:对应的函数为y=2sin[ 2(x-)+],即y=2sin(2x–),故选D ‎7.解:依图可知该几何体是球构成截去了八分之一,其体积 ‎ ‎,解得R=2,表面积,故选B ‎8.解:取特值a=1,b=0.5,c=0.5,可排除A,C,D,故选B ‎9.解:当0≤x≤2时,y'=4x–ex,函数先减后增,且y'|x=0.5>0,最小值在(0,0.5)内。故选D ‎10.解:运行程序,循环节内的n,x,y依次为(1,0,1),(2,0.5,2),(3,1.5,6), 输出x=1.5,y= 6,故选C ‎11.解:平面A1B1C1D1∩平面CB1D1= B1D1与m平行,平面CDD1C1∩平面CB1D1= CD1与n平行,所以m,n所成角就是B1D1与CD1所成角,而ΔCB1D1是等边三角形,则所成角是60°,故选A ‎12.解:,,依题f'(x)≥0恒成立,即acosx≥恒成立,而(acosx)min=-|a|,,故选C ‎13.解:依题x+2(x+1)=0,解得x=‎ ‎14.解:依题θ+是第一象限角,cos(θ+)=,tan(θ-)=- tan(-θ)=- tan[-(θ+)]=- sin[-(θ+)]/cos[-(θ+)]=- cos(θ+)/ sin(θ+)=‎ ‎15.解:圆方程可化为x2+ (y-a)2=a2+2,圆心C到直线距离d=,由d2+3=a2+2,解得a2=2,所以圆半径为2,则圆面积为4π ‎16.解:设生产A、B两种产品各x件、y件,利润之和是z=2100x+900y,‎ ‎①‎ B C A O x y ‎300‎ ‎200‎ l0‎ ‎②‎ ‎③‎ 约束条件是,即 作出可行域四边形OABC,如图.‎ 画出直线l0:7x+3y =0,平移l0到l,‎ 当l经过点B时z最大,联立10x+3y=900与5x+3y=600‎ 解得交点B(60,100),所以 zmax=126000+90000=216000.‎
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