高考总复习函数的单调性与最值习题及详解
高中数学高考总复习函数的单调性与最值
一、选择题
1．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)<0，则f(x)＝0在[a，b]内( )
A．至少有一实数根 B．至多有一实数根
C．没有实数根 D．有唯一实数根
[答案] D
[解析] ∵函数f(x)在[a，b]上是单调减函数，
又f(a)，f(b)异号．∴f(x)在[a，b]内有且仅有一个零点，故选D.
2．(2010·北京文)给定函数①y＝x，②y＝log(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
[答案] B
[解析] 易知y＝x在(0,1)递增，故排除A、D选项；又y＝log(x＋1)的图象是由y＝logx的图象向左平移一个单位得到的，其单调性与y＝logx相同为递减的，所以②符合题意，故选B.
3．(2010·济南市模拟)设y1＝0.4，y2＝0.5，y3＝0.5，则( )
A．y3
log54>log53>0，∴log53>(log53)2>0，而log45>1，∴c>a>b.
7．若f(x)＝x3－6ax的单调递减区间是(－2,2)，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．[－2,2]
C．{2} D．[2，＋∞)
[答案] C
[解析] f ′(x)＝3x2－6a，
若a≤0，则f ′(x)≥0，∴f(x)单调增，排除A；
若a>0，则由f ′(x)＝0得x＝±，当x<－和x>时，f ′(x)>0，f(x)单调增，当－
eq
(2a)0的x的取值范围是( )
A．(3，＋∞) B．(0，)
C．(0，＋∞) D．(0，)∪(3，＋∞)
[答案] D
[解析] ∵定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，则由f(logx)>0，得|logx|>，即logx>或logx<－.选D.
(理)(2010·南充市)已知函数f(x)图象的两条对称轴x＝0和x＝1，且在x∈[－1,0]上f(x)单调递增，设a＝f(3)，b＝f()，c＝f(2)，则a、b、c的大小关系是( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>c>a D．c>b>a
[答案] D
[解析] ∵f(x)在[－1,0]上单调增，f(x)的图象关于直线x＝0对称，
∴f(x)在[0,1]上单调减；又f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(x)在[1,2]上单调增，在[2,3]上单调减．
由对称性f(3)＝f(－1)＝f(1)f(a)得2－
a2>a，∴－20，则函数f(x)在[a，b]上有( )
A．最小值f(a)
B．最大值f(b)
C．最小值f(b)
D．最大值f
[答案] C
[解析] 令x＝y＝0得，f(0)＝0，
令y＝－x得，f(0)＝f(x)＋f(－x)，
∴f(－x)＝－f(x)．
对任意x1，x2∈R且x10，∴f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在R上是减函数，
∴f(x)在[a，b]上最小值为f(b)．
二、填空题
11．(2010·重庆中学)已知函数f(x)＝ax＋－4(a，b为常数)，f(lg2)＝0，则f(lg)＝________.
[答案] －8
[解析] 令φ(x)＝ax＋，则φ(x)为奇函数，f(x)＝φ(x)－4，
∵f(lg2)＝φ(lg2)－4＝0，∴φ(lg2)＝4，
∴f(lg)＝f(－lg2)＝φ(－lg2)－4
＝－φ(lg2)－4＝－8.
12．偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(x)在[－2，k]上的最大值点与最小值点横坐标之差为3，则k＝________.
[答案] 3
[解析] ∵偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增．
因此，若k≤0，则k－(－2)＝k＋2<3，若k>0，∵f(x)在[－2,0]上单调减在[0，－k]上单调增，∴最小值为f(0)，又在[－2，k]上最大值点与最小值点横坐标之差为3，∴k－0＝3，即k＝3.
13．函数f(x)＝在(－∞，－3)上是减函数，则a的取值范围是________．
[答案]
[解析] ∵f(x)＝a－在(－∞，－3)上是减函数，∴3a＋1<0，∴a<－.
14．(2010·江苏无锡市调研)设a(00，则t的取值范围是______．
[答案] (1，)∪(0，)
[解析] f(logat)>0，即f(logat)>f，
∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴logat>，
∵00又可化为f(logat)>f，
∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在(－∞，0)上为增函数，∴0>logat>－，
∵00且a≠1.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的取值集合．
[解析] (1)要使f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)有意义，则
，解得－11时，f(x)在定义域{x|－10⇔>1.
解得00的x的取值集合是{x|00，a≠1)．
(1)求m的值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)若当x∈(1，a－2)时，f(x)的值域为(1，＋∞)，求实数a的值．
[解析] (1)依题意，f(－x)＝－f(x)，即f(x)＋f(－x)＝0，即loga＋loga＝0，
∴·＝1，∴(1－m2)x2＝0恒成立，
∴1－m2＝0，∴m＝－1或m＝1(不合题意，舍去)
当m＝－1时，由>0得，x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，此即函数f(x)的定义域，
又有f(－x)＝－f(x)，
∴m＝－1是符合题意的解．
(2)∵f(x)＝loga，
∴f ′(x)＝′logae
＝·logae＝
①若a>1，则logae>0
当x∈(1，＋∞)时，1－x2<0，∴f ′(x)<0，f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
即(1，＋∞)是f(x)的单调递减区间；
由奇函数的性质知，(－∞，－1)是f(x)的单调递减区间．
②若00，
∴(1，＋∞)是f(x)的单调递增区间；由奇函数的性质知，(－∞，－1)是f(x)的单调递增区间．
(3)令t＝＝1＋，则t为x的减函数
∵x∈(1，a－2)，
∴t∈且a>3，要使f(x)的值域为(1，＋∞)，需loga＝1，解得a
＝2＋.
17．(2010·山东文)已知函数f(x)＝lnx－ax＋－1(a∈R)．
(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)当a≤时，讨论f(x)的单调性．
[解析] (1)a＝－1时，f(x)＝lnx＋x＋－1，x∈(0，＋∞)．
f ′(x)＝，x∈(0，＋∞)，
因此f ′(2)＝1，
即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1.
又f(2)＝ln2＋2，
所以y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y－(ln2＋2)＝x－2，
即x－y＋ln2＝0.
(2)因为f(x)＝lnx－ax＋－1，
所以f ′(x)＝－a＋＝－ x∈(0，＋∞)．
令g(x)＝ax2－x＋1－a，
①当a＝0时，g(x)＝1－x，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0,1)时，g(x)>0，f ′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，此时f ′(x)>0，f(x)单调递增；
②当a≠0时，f ′(x)＝a(x－1)[x－(－1)]，
(ⅰ)当a＝时，g(x)≥0恒成立，f ′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
(ⅱ)当01>0，
x∈(0,1)时，g(x)>0，此时f ′(x)<0，f(x)单调递减；
x∈(1，－1)时，g(x)<0，此时f ′(x)>0，f(x)单调递增；
x∈(－1，＋∞)时，g(x)>0，此时f ′(x)<0，f(x)单调递减；
③当a<0时，－1<0，
x∈(0,1)时，g(x)>0，有f ′(x)<0，f(x)单调递减
x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，有f ′(x)>0，f(x)单调递增．
综上所述：
当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，(1，＋∞)上单调递增；
当a＝时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当0
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