天津市2014高考数学压轴卷理含解析

天津市2014高考数学压轴卷理含解析

‎2014天津高考压轴卷数学理word 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1.已知集合A={x|x＞1}，B={x|x＜m}，且A∪B=R，那么m的值可以是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣1‎ B．‎ ‎0‎ C．‎ ‎1‎ D．‎ ‎2‎ ‎2．设集合，集合B为函数的定义域，则 ‎ (A) (B) (C)[1,2) (D) (1,2]‎ ‎3.函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ ‎0‎ D．‎ ‎4.函数f（x）=log2（1+x），g（x）=log2（1﹣x），则f（x）﹣g（x）是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 奇函数 B．‎ 偶函数 ‎　‎ C．‎ 既不是奇函数又不是偶函数 D．‎ 既是奇函数又是偶函数 ‎5．设曲线上任一点处切线斜率为，则函数的部分图象可以为．‎ ‎6.设z=2x+y，其中变量x，y满足条件，若z的最小值为3，则m的值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎4‎ ‎7.已知点P（x，y）在直线x+2y=3上移动，当2x+4y取最小值时，过P点（x，y）引圆C：‎ ‎=1的切线，则此切线长等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎2‎ ‎8.已知函数f（x）=ln（ex﹣1）（x＞0）（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 若f（a）+‎2a=f（b）+3b，则a＞b B．‎ 若f（a）+‎2a=f（b）+3b，则a＜b ‎　‎ C．‎ 若f（a）﹣‎2a=f（b）﹣3b，则a＞b D．‎ 若f（a）﹣‎2a=f（b）﹣3b，则a＜b 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎9. 设常数a∈R，若的二项展开式中x4项的系数为20，则a=　　．‎ ‎10. 已知tanα=，tanβ=﹣，且0＜α＜，＜β＜π，则2α﹣β的值　　．‎ ‎11.记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2+a4=6，S4=10．则a10=　　．‎ ‎12.棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如 图所示，那么该几何体的体积是（　　）‎ ‎13.已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为______________.‎ ‎14.等腰Rt△ACB，AB=2，．以直线AC为轴旋转一周得到一个圆锥，D为圆锥底面一点，BD⊥CD，CH⊥AD于点H，M为AB中点，则当三棱锥C﹣HAM的体积最大时，CD的长为_____________.‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．‎ ‎15. 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是黑球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，取球后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．‎ ‎（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及数学期望；‎ ‎（Ⅱ）求乙取到白球的概率．‎ ‎16.在△ABC中，BC=a，AC=b，a、b是方程的两个根，且A+B=120°，求△ABC的面积及AB的长．‎ ‎17.如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，点E是棱AB上的动点．‎ ‎（Ⅰ）求证：DA1⊥ED1；‎ ‎（Ⅱ）若直线DA1与平面CED1成角为45°，求的值；‎ ‎（Ⅲ）写出点E到直线D‎1C距离的最大值及此时点E的位置（结论不要求证明）．‎ ‎18.数列{an}是递增的等差数列，且a1+a6=﹣6，a3•a4=8．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{an}的前n项和Sn的最小值；‎ ‎（3）求数列{|an|}的前n项和Tn．‎ ‎19. 已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点（﹣1，）在椭圆C上．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎20. （13分）已知f（x）=lnx，g（x）=af（x）+f′（x），‎ ‎（1）求g（x）的单调区间；‎ ‎（2）当a=1时， ①比较的大小；‎ ‎②是否存在x0＞0，使得|g（x）﹣g（x0）|＜对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎ 2014天津高考压轴卷数学理word参考答案 ‎1. 【答案】D.‎ ‎【解析】根据题意，若集合A={x|x＞1}，B={x|x＜m}，且A∪B=R，‎ 必有m＞1，‎ 分析选项可得，D符合；‎ 故选D．‎ ‎2. 【答案】D.‎ ‎【解析】，由得，即,所以，所以选D.‎ ‎3. 【答案】‎ ‎【解析】令y=f（x）=sin（2x+φ），‎ 则f（x+）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），‎ ‎∵f（x+）为偶函数，‎ ‎∴+φ=kπ+，‎ ‎∴φ=kπ+，k∈Z，‎ ‎∴当k=0时，φ=．‎ 故φ的一个可能的值为．‎ 故选B．‎ ‎4. 【答案】‎ ‎【解析】∵f（x）=log2（1+x），g（x）=log2（1﹣x），‎ ‎∴f（x）﹣g（x）的定义域为（﹣1，1）‎ 记F（x）=f（x）﹣g（x）=log2，‎ 则F（﹣x）=log2=log2（）﹣1=﹣log2=﹣F（x）‎ 故f（x）﹣g（x）是奇函数．‎ 故选A.‎ ‎5. 【答案】C.‎ ‎【解析】,即，所以，为偶函数，图象关于轴对称，所以排除A,B.当，得或，即函数过原点，所以选C.‎ ‎6. 【答案】A.‎ ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域，‎ ‎∵若z的最小值为3，‎ ‎∴2x+y=3，‎ 由，‎ 解得，‎ 同时（1，1）都在直线x=m上，‎ ‎∴m=1．‎ 故选：A．‎ ‎7. 【答案】D.‎ ‎【解析】∵x+2y=3，2x+4y =2x+22y≥2x+2y=23=8，当且仅当 x=2y=时，等号成立，‎ ‎∴当2x+4y取最小值8时，P点的坐标为（，），‎ 点P到圆心C的距离为CP==，大于圆的半径1，‎ 故切线长为==2，‎ 故选：D．‎ ‎8. 【答案】A.‎ ‎【解析】根据复合函数的单调性可知，f（x）=ln（ex﹣1）（x＞0）为增函数，‎ ‎∵函数的定义域为（0，+∞）．‎ ‎∴a＞0，b＞0，‎ 设g（x）=f（x）+2x，‎ ‎∵f（x）是增函数，‎ ‎∴当x＞0时，g（x）=f（x）+2x为递增函数，‎ ‎∵f（a）+‎2a=f（b）+3b，‎ ‎∴f（a）+‎2a=f（b）+3b＞f（b）+2b，‎ 即g（a）＞g（b），‎ ‎∵g（x）=f（x）+2x为递增函数，‎ ‎∴a＞b，‎ 故选：A．‎ ‎9. 【答案】‎ ‎【解析】∵的二项展开式的通项公式为 Tr+1=•ar•x10﹣3r，‎ 令10﹣3r=4，求得 r=2，‎ 故二项展开式中x4项的系数为•a2=20，解得a=±，‎ 故答案为：±．‎ ‎10. 【答案】‎ ‎ 【解析】∵0＜α＜，tanα=＜1=tan，y=tanx在（0，）上单调递增，‎ ‎∴0＜α＜，又＜β＜π，‎ ‎∴﹣π＜2α﹣β＜﹣，‎ ‎∵tan2α===，tanβ=﹣，‎ ‎∴tan（2α﹣β）===1，‎ ‎∴2α﹣β=﹣．‎ ‎11. 【答案】‎ ‎【解析】等差数列{an}的前n项和为Sn，‎ ‎∵a2+a4=6，S4=10，设公差为d，‎ ‎∴，‎ 解得a1=1，d=1，‎ ‎∴a10=1+9=10．‎ 故答案为：10．‎ ‎12. 【答案】‎ ‎【解析】由三视图知：余下的几何体如图示：‎ ‎∵E、F都是侧棱的中点，‎ ‎∴上、下两部分的体积相等，‎ ‎∴几何体的体积V=×23=4．‎ ‎13. 【答案】‎ ‎ 【解析】圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0化为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25．‎ 圆心坐标（3，4），半径是5．最长弦AC是直径，最短弦BD的中点是E．‎ SABCD=‎ 故答案为：‎ ‎14. 【答案】‎ ‎【解析】根据题意，得 ‎∵AC⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AC⊥BD，‎ ‎∵CD⊥BD，AC∩CD=C，∴BD⊥平面ACD，可得BD⊥CH，‎ ‎∵CH⊥AD，AD∩BD=D，∴CH⊥平面ABD，可得CH⊥AB，‎ ‎∵CM⊥AB，CH∩CM=C，∴AB⊥平面CMH，‎ 因此，三棱锥C﹣HAM的体积V=S△CMH×AM=S△CMH由此可得，当S△CMH达到最大值时，三棱锥C﹣HAM的体积最大 设∠BCD=θ，则Rt△BCD中，BC=AB=‎ 可得CD=，BD=‎ Rt△ACD中，根据等积转换得CH==‎ Rt△ABD∽Rt△AHM，得，所以HM==‎ 因此，S△CMH=CH•HM==‎ ‎∵4+2tan2θ≥4tanθ，‎ ‎∴S△CMH=≤=，‎ 当且仅当tanθ=时，S△CMH达到最大值，三棱锥C﹣HAM的体积同时达到最大值．‎ ‎∵tanθ=＞0，可得sinθ=cosθ＞0‎ ‎∴结合sin2θ+cos2θ=1，解出cos2θ=，可得cosθ=（舍负）‎ 由此可得CD==，‎ 即当三棱锥C﹣HAM的体积最大时，CD的长为 故选：C ‎15. 【解析】（Ⅰ）设袋中原有n个黑球，‎ 由题意知…（1分）‎ ‎=，‎ 解得n=4或n=﹣3（舍去） …（3分）‎ ‎∴黑球有4个，白球有3个．‎ 由题意，ξ的可能取值为1，2，3，4，5…（4分）‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎…（7分）（错一个扣一分，最多扣3分）‎ ‎∴ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎…（8分）‎ 所以数学期望为：…（9分）‎ ‎（Ⅱ）∵乙后取，‎ ‎∴乙只有可能在第二次，第四次取球，‎ 记乙取到白球为事件A，‎ 则，…（11分）‎ 答：乙取到白球的概率为．…（12分）‎ ‎16. 【解析】∵A+B=120°，∴C=60°．‎ ‎∵a、b是方程的两个根，‎ ‎∴a+b=，ab=2，‎ ‎∴S△ABC==，‎ AB=c====．‎ ‎17. 【解析】以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，1，2），A1（1，0，1），设E（1，m，0）（0≤m≤1）‎ ‎（Ⅰ）证明：=（1，0，1），=（﹣1，﹣m，1）‎ ‎∴•=0‎ ‎∴DA1⊥ED1；（4分）‎ ‎（Ⅱ）解：设平面CED1的一个法向量为=（x，y，z），则 ‎∵=（0，﹣1，1），=（1，m﹣1，0）‎ ‎∴．‎ 取z=1，得y=1，x=1﹣m，得=（1﹣m，1，1）．‎ ‎∵直线DA1与平面CED1成角为45°，‎ ‎∴sin45°=|cos＜，＞|=，‎ ‎∴=，解得m=．﹣﹣﹣﹣﹣（11分）‎ ‎（Ⅲ）解：点E到直线D‎1C距离的最大值为，此时点E在A点处．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）‎ ‎18. 【解析】（1）由得：，‎ ‎∴a3、a4是方程x2+6x+8=0的二个根，‎ ‎∴x1=﹣2，x2=﹣4；‎ ‎∵等差数列{an}是递增数列，‎ ‎∴a3=﹣4，a4=﹣2，‎ ‎∴公差d=2，a1=﹣8．‎ ‎∴an=2n﹣10；‎ ‎（2）∵Sn==n2﹣9n=﹣，‎ ‎∴（Sn）min=S4=S5=﹣20；‎ ‎（3）由an≥0得2n﹣10≥0，解得n≥5，此数列前四项为负的，第五项为0，从第六项开始为正的．‎ 当1≤n≤5且n∈N*时，‎ Tn=|a1|+|a2|+…+|an|‎ ‎=﹣（a1+a2+…+an）‎ ‎=﹣Sn ‎=﹣n2+9n；‎ 当n≥6且n∈N*时，‎ Tn=|a1|+|a2|+…+|a5|+|a6|+…+|an|‎ ‎=﹣（a1+a2+…+a5）+（a6+…+an）‎ ‎=Sn﹣2S5‎ ‎=n2﹣9n﹣2（25﹣45）‎ ‎=n2﹣9n+40．‎ ‎∴Tn=．‎ ‎19. 【解析】（1）由题意，c=1‎ ‎∵点（﹣1，）在椭圆C上，∴根据椭圆的定义可得：‎2a=，∴a=‎ ‎∴b2=a2﹣c2=1，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为；‎ ‎（2）假设x轴上存在点Q（m，0），使得恒成立 当直线l的斜率为0时，A（，0），B（﹣，0），则=﹣，∴，∴m=①‎ 当直线l的斜率不存在时，，，则•=﹣，∴‎ ‎∴m=或m=②‎ 由①②可得m=．‎ 下面证明m=时，恒成立 当直线l的斜率为0时，结论成立；‎ 当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 直线方程代入椭圆方程，整理可得（t2+2）y2+2ty﹣1=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣‎ ‎∴=（x1﹣，y1）•（x2﹣，y2）=（ty1﹣）（ty2﹣）+y1y2=（t2+1）y1y2﹣t（y1+y2）+=+=﹣‎ 综上，x轴上存在点Q（，0），使得恒成立.‎ ‎20. 【解析】，‎ g（x）的定义域为（0，+∞）．‎ ‎①当a≤0时，g'（x）＜0，（0，+∞）是g（x）的单调区间；‎ ‎②当a＞0时，由g'（x）＞0，得；由g'（x）＜0，得，‎ 即增区间是，减区间是．‎ ‎（2），‎ ‎∴‎ ‎①当x=1时，μ（x）=0，此时 ‎②当0＜x＜1时，μ'（x）＜0，∴μ（x）＞μ（1）=0．∴‎ ‎③当x＞1时，μ'（x）＜0，∴μ（x）＜μ（1）=0．∴．‎ ‎（3）⇔‎ ‎⇔‎ ‎∵lnx∈（0，+∞），∴g（x0）＞lnx不能恒成立．‎ 故x0不存在．‎