2015高考数学人教A版本（12-1几何证明选讲）一轮复习学案

2015高考数学人教A版本（12-1几何证明选讲）一轮复习学案

‎【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 12-1几何证明选讲课后强化作业 新人教A版 基础巩固强化 一、选择题 ‎1．如图，CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC＝1，∠BCD＝30°，则圆O的面积为(　　)‎ A.　　 　 B．π　　　　‎ C.　　 　 D．2π ‎[答案]　B ‎[解析]　∠A＝∠BCD＝30°，由＝2R，得R＝1，所以圆O的面积为πR2＝π.‎ ‎2．(文)如图，在△ABC中，∠A＝90°，正方形DEFG的边长是‎6cm，且四个顶点都在△ABC的各边上，CE＝‎3 cm，则BC的长为(　　)‎ A．‎12cm　 　 B．‎21cm　 　 ‎ C．‎18cm　 　 D．‎‎15cm ‎[答案]　B ‎[解析]　∵四边形DEFG是正方形，∴∠GDB＝∠FEC＝90°，GD＝DE＝EF＝‎6 cm，又∵∠B＋∠C＝90°，∠B＋∠BGD＝90°，∴∠C＝∠BGD，∴△BGD△FCE，‎ ‎∴＝，即BD＝＝‎12cm，‎ ‎∴BC＝BD＋DE＋EC＝‎21cm.‎ ‎ (理)如图所示，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使点B落在AD边的中点E处，则折痕FG的长为(　　)‎ A．13 B. C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　过点A作AH∥FG交DG于H，则四边形AFGH为平行四边形．∴AH＝FG.‎ ‎∵折叠后B点与E点重合，折痕为FG，‎ ‎∴B与E关于FG对称．‎ ‎∴BE⊥FG，∴BE⊥AH.‎ ‎∴∠ABE＝∠DAH，‎ ‎∴Rt△ABERt△DAH.‎ ‎∴＝.‎ ‎∵AB＝12，AD＝10，AE＝AD＝5，‎ ‎∴BE＝＝13，‎ ‎∴FG＝AH＝＝.‎ ‎3．(文)如图，四边形ABCD中，DF⊥AB，垂足为F，DF＝3，AF＝2FB＝2，延长FB到E，使BE＝FB，连接BD，EC.若BD∥EC，则四边形ABCD的面积为(　　)‎ A．4 B．5 ‎ C．6 D．7‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由条件知AF＝2，BF＝BE＝1，‎ ‎∴S△ADE＝AE×DF＝×4×3＝6，‎ ‎∵CE∥DB，∴S△DBC＝S△DBE，∴S四边形ABCD＝S△ADE＝6.‎ ‎(理)已知矩形ABCD，R、P分别在边CD、BC上，E、F分别为AP、PR的中点，当P在BC上由B向C运动时，点R在CD上固定不变，设BP＝x，EF＝y，那么下列结论中正确的是(　　)‎ A．y是x的增函数 B．y是x的减函数 C．y随x的增大先增大再减小 D．无论x怎样变化，y为常数 ‎[答案]　D ‎[解析]　∵E、F分别为AP、PR中点，∴EF是△PAR的中位线，∴EF＝AR，∵R固定，∴AR是常数，即y为常数．‎ 二、填空题 ‎4．(文)(2013·广东)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝________.‎ ‎[答案]　2 ‎[解析]　连接OC，则OC⊥CE，∠OCA＋∠ACE＝90°，‎ ‎∵∠OAC＝∠OCA，∴∠OAC＋∠ACE＝90°.易知Rt△ACB≌Rt△ACD，则∠OAC＝∠EAC.∴∠EAC＋∠ACE＝90°，∴∠AEC＝90°，在Rt△ACD中，由射影定理得：CD2＝ED·AD　①，又CD＝BC，AD＝AB，将AB＝6，ED＝2代入①式，得CD＝＝2，∴BC＝2.‎ ‎(理)如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形＝‎40cm2，S△ABES△DBA＝15，则AE的长为________．‎ ‎[答案]　‎‎4cm ‎[解析]　∵∠BAD＝90°，AE⊥BD，∴△ABE△DBA，‎ ‎∴S△ABES△DBA＝AB2DB2.‎ ‎∵S△ABES△DBA＝15，∴AB2DB2＝15，‎ ‎∴ABDB＝1.‎ 设AB＝k，则DB＝k，AD＝2k，‎ ‎∵S矩形＝‎40cm2，∴k·2k＝40，∴k＝2，‎ ‎∴BD＝k＝10，AD＝4，S△ABD＝BD·AE＝20，‎ ‎∴×10×AE＝20，∴AE＝‎4cm.‎ ‎5．(文)‎ 如图，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝1，OB绕点O逆时针旋转120°到OD，连PD交圆O于点E，则PE＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　∵∠POD＝120°，OD＝OB＝1，PO＝2，‎ ‎∴PD＝＝，‎ 由相交弦定理得，PE·PD＝PB·PC，‎ ‎∴PE＝＝＝.‎ ‎(理)(2013·广州调研)如图，已知AB是⊙O的一条弦，点P为AB上一点，PC⊥OP，PC交⊙O于点C，若AP＝4，PB＝2，则PC的长是________．‎ ‎[答案]　2 ‎[解析]　如图，延长CP交⊙O于点D，因为PC⊥OP，所以P是弦CD的中点，由相交弦定理知PA·PB＝PC2，即PC2＝8，故PC＝2.‎ ‎6．(文)(2013·广东梅州联考)如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA＝5，AB＝7，CD＝11，AC＝2，则BD等于________．‎ ‎[答案]　6‎ ‎[解析]　设PC＝x，则PD＝PC＋CD＝x＋11，‎ 由割线定理知PC·PD＝PA·PB，‎ ‎∴x(x＋11)＝5×(5＋7)＝60，‎ ‎∵x>0，∴x＝4.∴PC＝4，PD＝15.‎ ‎∵∠PAC＝∠PDB，∠P为公共角，‎ ‎∴△PAC∽△PDB，∴＝，‎ ‎∴BD＝＝＝6.‎ ‎(理)‎ ‎(2012·天津十二校联考)如图所示，EA是圆O的切线，割线EB交圆O于点C，C在直径AB上的射影为D，CD＝2，BD＝4，则EA＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　解法1：根据题意可得BC2＝CD2＋BD2＝22＋42＝20，即BC＝2.由射影定理得BC2＝AB·BD，即20＝4AB，解得AB＝5，所以AC＝＝，设EA＝x，EC＝y，根据切割线定理可得x2＝y(y＋2)，即x2＝y2＋2y，在Rt△ACE中，x2＝y2＋()2，故2y＝5，解得y＝，故x2＝＋5＝，得x＝，即EA＝.‎ 解法2：连AC，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，CD⊥AB，CD＝2，BD＝4，∴AD＝ ‎＝1，‎ 又EA切⊙O于A，∴∠EAB＝90°，‎ ‎∴△EAB△CDB，∴＝，∴AE＝＝.‎ ‎7．(文)(2013·惠州三调)如图，PA切圆O于点A，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　由图可知，PA2＝PB·PC＝PB·(PB＋BC)＝3，∴PA＝，∴∠AOP＝60°，‎ 又∠AOD＝60°，∴∠POD＝120°，∵PO＝2，OD＝1，‎ ‎∴cos∠POD＝＝－，∴PD＝.‎ ‎(理)(2013·天津)如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E，若AB＝AD＝5，BE＝4，则弦BD的长为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　因为AE是圆的切线，又AD＝AB，AB∥DC，所以∠BAE＝∠ADB＝∠ABD＝∠BDC，所以AD＝AB＝BC＝5.由切割线定理可得EA2＝EB×EC＝4×(5＋4)＝36，所以EA＝6.又△BCD∽△EBA，所以＝，则BD＝＝＝.‎ ‎8.‎ 如图，在圆的内接四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ABD＝30°，∠BDC＝45°，AD＝1，则BC＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　连接AC.因为∠ABC＝90°，所以AC为圆的直径．又∠ACD＝∠ABD＝30°，所以AC＝2AD＝2.又∠BAC＝∠BDC＝45°，故BC＝.‎ ‎9．(文)(2013·佛山二模)如图，PA与圆O相切于点A，PCB为圆O的割线，并且不过圆心，已知∠BPA＝30°，PA＝2，PC＝1，则圆O的半径等于________．‎ ‎[答案]　7‎ ‎[解析]　‎ 由已知可得，PA2＝PC·PB，∴PB＝12，‎ 如图，连接OA并反向延长，交圆于点E，交BC于D，因为∠BPA＝30°，在Rt△APD中可以求得PD＝4，DA＝2，故CD＝3，DB＝8，记圆的半径为R，由于ED·DA＝CD·DB，因此，(2R－2)×2＝3×8，解得R＝7.‎ ‎(理)(2013·湖北)如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E，若AB＝3AD，则的值为________．‎ ‎[答案]　8‎ ‎[解析]　连接AC、BC，则AC⊥BC.‎ ‎∵AB＝3AD，∴AD＝AB，BD＝AB，OD＝AB.‎ 又AB是圆O的直径，OC是圆O的半径，∴OC＝AB.‎ 在△ABC中，根据射影定理有：CD2＝AD·BD＝AB2.‎ 在△OCD中，根据射影定理有：OD2＝OE·OC，CD2＝CE·OC，可得OE＝AB，CE＝AB，∴＝8.‎ 三、解答题 ‎10．(文)(2012·哈三中模拟)如图，⊙O是△ABC的外接圆，过⊙O上一点H作⊙O的切线，BC与这条线切线平行，AC、AB的延长线交这条切线于点E、F，连接AH、CH.‎ ‎(1)求证：AH平分∠EAF；‎ ‎(2)若CH＝4，∠CAB＝60°，求圆弧的长．‎ ‎[解析]　(1)证明：连接OH，则OH⊥EF.‎ ‎∵EF∥BC，∴OH⊥BC，∴H为弧BC的中点，‎ ‎∴∠EAH＝∠FAH，∴AH平分∠EAF.‎ ‎(2)连接CO、BO，∵∠CAB＝60°，∴∠COB＝120°，‎ ‎∴∠COH＝60°，∴△COH为等边三角形，‎ ‎∴CO＝CH＝4，‎ 又∵∠BOC＝120°，∴的长为.‎ ‎(理)(2013·长春第二次调研)如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且AB＝AC，作直线AF与圆E相切于点F，连接EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC＝30°.‎ ‎(1)求AF的长；‎ ‎(2)求证：AD＝3ED.‎ ‎[解析]　(1)延长BE交圆E于点M，连接CM，则∠BCM＝90°，又BM＝2BE＝4，∠EBC＝30°，所以BC＝2.‎ 又AB＝AC，则AB＝BC＝，‎ 所以根据切割线定理得，AF2＝AB·AC＝×3＝9，即AF＝3.‎ ‎(2)过点E作EH⊥BC于点H，则EH＝＝1，且△EDH与△ADF相似，‎ 从而有＝＝，因此AD＝3ED.‎ 能力拓展提升 一、填空题 ‎11．(文)‎ ‎(2013·广州联考)如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于D，且AD＝5DB，设∠OCD＝θ，则cos2θ＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　设BD＝1，则AD＝5，∴OC＝AB＝(AD＋DB)＝3，∴OD＝OB－BD＝2，∴sinθ＝＝，‎ ‎∴cos2θ＝1－2sin2θ＝1－2×()2＝.‎ ‎(理)‎ 如图所示，已知圆O直径为，AB是圆O的直径，C为圆O上一点，且BC＝，过点B的圆O的切线交AC延长线于点D，则DA＝________.‎ ‎[答案]　3‎ ‎[解析]　∵AB为直径，‎ ‎∴∠ACB为直角，‎ ‎∵BC＝，AB＝，∴AC＝2，‎ ‎∵DB与⊙O相切，∴∠DBA为直角，‎ 由射影定理BC2＝AC·CD，∴CD＝1，∴AD＝3.‎ ‎12．(文)‎ ‎(2013·湖南)如图，在半径为的⊙O中，弦AB、CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　由相交弦定理得AP·PB＝DP·PC，从而PC＝＝4，所以DC＝5，所以圆心O到弦CD的距离等于＝.‎ ‎(理)(2012·天津，13)如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　如图，由相交弦定理得AF·FB＝EF·FC，‎ ‎∴FC＝＝2，‎ ‎∵FC∥BD，∴＝，BD＝＝.‎ 又由切割线定理知BD2＝DC·DA，‎ 又由DA＝4CD知4DC2＝BD2＝，∴DC＝.‎ 明确相交弦定理、切割弦定理等是解题的关键．‎ ‎13．(文)(2012·湖北理，15)如下图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB＝4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为________．‎ ‎[答案]　2‎ ‎[解析]　解法1：∵CD⊥OD，∴OC2＝OD2＋CD2，当OD最小时，CD最大，而OE最小(E为AB的中点)，‎ ‎∴CDmax＝EB＝2.‎ 解法2：由题意知，CD2＝AD·DB≤()2＝＝4.(当且仅当AD＝DB时取等号)．‎ ‎∴CDmax＝2.‎ ‎(理)‎ ‎(2012·广州测试)如图，AB是圆O的直径，延长AB至C，使BC＝2OB，CD是圆O的切线，切点为D，连接AD、BD，则的值为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　连接OD，则OD⊥CD.设圆O的半径为r，则OA＝OB＝OD＝r，BC＝2r.所以OC＝3r，CD＝＝2r.‎ 由弦切角定理得，∠CDB＝∠CAD，‎ 又∠DCB＝∠ACD，所以△CDB△CAD.‎ 所以＝＝＝.‎ 二、解答题 ‎14．(文)(2012·昆明一中测试)如图，已知A、B、C、D四点共圆，延长AD和BC相交于点E，AB＝AC.‎ ‎(1)证明：AB2＝AD·AE；‎ ‎(2)若EG平分∠AEB，且与AB、CD分别相交于点G、F，证明：∠CFG＝∠BGF.‎ ‎[证明]　(1)如图，连接BD.‎ 因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝∠ADB.‎ 又因为∠BAD＝∠EAB，所以△ABD△AEB，‎ 所以＝，即AB2＝AD·AE.‎ ‎(2)因为A、B、C、D四点共圆，所以∠ABC＝∠EDF.‎ 又因为∠DEF＝∠BEG，所以∠DFE＝∠BGF.‎ 又因为∠DFE＝∠CFG，所以∠CFG＝∠BGF.‎ ‎(理)(2013·石家庄模拟)如图，过圆O外一点P作该圆的两条割线PAB和PCD ‎，分别交圆O于点A、B，C、D，弦AD和BC交于点Q，割线PEF经过点Q交圆O于点E、F，点M在EF上，且∠BAD＝∠BMF.‎ ‎(1)求证：PA·PB＝PM·PQ；‎ ‎(2)求证：∠BMD＝∠BOD.‎ ‎[证明]　(1)∵∠BAD＝∠BMF，‎ ‎∴A、Q、M、B四点共圆，∴PA·PB＝PM·PQ.‎ ‎(2)∵PA·PB＝PC·PD，∴PC·PD＝PM·PQ，‎ 又∠CPQ＝∠MPD，∴△CPQ∽△MPD，‎ ‎∴∠PCQ＝∠PMD，则∠BCD＝∠DMF，‎ ‎∵∠BAD＝∠BCD，‎ ‎∴∠BMD＝∠BMF＋∠DMF＝2∠BAD，‎ 又∠BOD＝2∠BAD，∴∠BMD＝∠BOD.‎ ‎15．(文)(2013·黑龙江哈尔滨六校联考)如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，且AB是⊙O的直径，过点D的⊙O的切线与BA的延长线交于点M.‎ ‎(1)若MD＝6，MB＝12，求AB的长；‎ ‎(2)若AM＝AD，求∠DCB的大小．‎ ‎[解析]　(1)因为MD为⊙O的切线，由切割线定理知，‎ MD2＝MA·MB.‎ 又MD＝6，MB＝12，MB＝MA＋AB，‎ 所以MA＝3，AB＝12－3＝9.‎ ‎(2)因为AM＝AD，所以∠AMD＝∠ADM，连接DB，‎ 又MD为⊙O的切线，‎ 由弦切角定理知，∠ADM＝∠ABD，‎ 又因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB为直角，‎ 即∠BAD＝90°－∠ABD.‎ 又∠BAD＝∠AMD＋∠ADM＝2∠ABD，‎ 于是90°－∠ABD＝2∠ABD，所以∠ABD＝30°.‎ 所以∠BAD＝60°.‎ 又四边形ABCD是圆内接四边形，‎ 所以∠BAD＋∠DCB＝180°.‎ 所以∠DCB＝120°.‎ ‎(理)(2012·河南商丘模拟)如图，在△ABC和△ACD中，∠ACB＝∠ADC＝90°，∠BAC＝∠CAD，⊙O是以AB为直径的圆，DC的延长线与AB的延长线交于点E.‎ ‎(1)求证：DC是⊙O的切线；‎ ‎(2)若EB＝6，EC＝6，求BC的长．‎ ‎[解析]　(1)∵AB是⊙O的直径，∠ACB＝90°，‎ ‎∴点C在⊙O上，‎ 连接OC，可得∠OCA＝∠OAC＝∠DAC，∴OC∥AD，‎ 又∵AD⊥DC，∴DC⊥OC，‎ ‎∵OC为半径，‎ ‎∴DC是⊙O的切线．‎ ‎(2)∵DC是⊙O的切线，‎ ‎∴EC2＝EB·EA.‎ 又∵EB＝6，EC＝6，‎ ‎∴EA＝12，AB＝6.‎ ‎∵∠ECB＝∠EAC，∠CEB＝∠AEC，‎ ‎∴△ECB△EAC，‎ ‎∴＝＝，∴AC＝BC.‎ ‎∵AC2＋BC2＝AB2＝36，∴BC＝2.‎ 考纲要求 ‎1．了解平行截割定理．理解相似三角形的定义与性质．‎ ‎2．会证明并应用直角三角形射影定理．‎ ‎3．会证明并应用圆周角定理、圆的切线判定定理与性质定理．‎ ‎4．会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理．‎ 补充说明 ‎1．与平行线分线段成比例定理有关的推论与结论 ‎(1)经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．‎ ‎(2)经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．‎ ‎(3)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．‎ ‎(4)两条直线被三个平行平面所截得对应线段成比例．‎ ‎2．相似三角形 ‎(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比．‎ ‎(2)预备定理：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．‎ ‎(3)引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．‎ ‎(4)直角三角形相似的判定 ‎①有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似．‎ ‎②两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．‎ ‎③斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．‎ ‎(5)有关结论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；内切圆的直径比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．‎ 备选习题 ‎1．函数f(x)＝(x－2010)(x＋2011)的图象与x轴、y轴有三个交点，有一个圆恰好通过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是________．‎ ‎[答案]　(0,1)‎ ‎[解析]　f(x)的图象与x轴交于点A(－2011,0)，B(2010,0)，与y轴交于点C(0，－2010×2011)，设经过A、B、C三点的圆与y轴另一个交点为D(0，y0)，易知原点O在圆的内部，y0>0，由相交弦定理知，|OA|·|OB|＝|OC|·|OD|，∴2011×2010＝2010×2011y0，∴y0＝1.‎ ‎2.‎ ‎(2013·北京西城模拟)如图，正△ABC的边长为2，点M、N分别是边AB、AC的中点，直线MN与△ABC的外接圆的交点为P、Q，则线段PM＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　设PM＝x，则QN＝x，由相交弦定理可得PM·MQ＝BM·MA即x·(x＋1)＝1，解得x＝.‎ ‎3．如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A的度数是________．‎ ‎[答案]　99°‎ ‎[解析]　连接OB、OC、AC，根据弦切角定理得，‎ ‎∠EBC＝∠BAC，∠CAD＝∠DCF，‎ 可得∠A＝∠BAC＋∠CAD＝(180°－∠E)＋∠DCF＝67°＋32°＝99°.‎ ‎[点评]　可由EB＝EC及∠E求得∠ECB，由∠ECB和∠DCF求得∠BCD，由圆内接四边形对角互补求得∠A.‎ ‎4．如图，圆O的直径AB＝8，C为圆周上一点，BC＝4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．‎ ‎[解析]　‎ 连接OC、BE、AC，则BE⊥AE.‎ ‎∵BC＝4，∴OB＝OC＝BC＝4，即△OBC为正三角形，‎ ‎∴∠CBO＝∠COB＝60°，‎ 又直线l切⊙O于C，‎ ‎∴∠DCA＝∠CBO＝60°，‎ ‎∵AD⊥l，∴∠DAC＝90°－60°＝30°，‎ 而∠OAC＝∠ACO＝∠COB＝30°，∴∠EAB＝60°，‎ 在Rt△BAE中，∠EBA＝30°，∴AE＝AB＝4.‎ ‎5．(2013·银川模拟)如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC＝CB.‎ ‎(1)求证：直线AB是⊙O的切线；‎ ‎(2)若AD＝2，且tan∠ACD＝，求⊙O的半径r的长．‎ ‎[解析]　(1)∵AB∥DE，∴＝，‎ 又OD＝OE，∴OA＝OB.‎ 如图，连接OC，∵AC＝CB，∴OC⊥AB.‎ 又点C在⊙O上，∴直线AB是⊙O的切线．‎ ‎(2)如图，延长DO交⊙O于点F，连接FC.‎ 由(1)知AB是⊙O的切线，‎ ‎∴弦切角∠ACD＝∠F，‎ ‎∴△ACD∽△AFC.‎ ‎∴tan∠ACD＝tan∠F＝，又∠DCF＝90°，∴＝.‎ ‎∴＝＝，而AD＝2，得AC＝4.‎ 又AC2＝AD·AF，‎ ‎∴2·(2＋2r)＝42，于是r＝3.‎