高考数学一轮复习正态分布

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高考数学一轮复习正态分布

2019 年高考数学一轮复习:正态分布 正态分布 1.正态曲线的性质 (1)正态曲线的定义 函数φμ,σ(x)= 1 2π σ 2 2 2 )( e   x ,x∈(-∞,+ ∞),其中实数μ和σ(σ>0)为参数,我们称φμ,σ(x) 的图象(如图)为正态分布密度曲线.简称__________. (2)正态曲线的性质: ①曲线位于 x 轴____________,与 x 轴不相交; ②曲线是单峰的,它关于直线____________对称; ③曲线在 x=μ处达到峰值__________; ④曲线与 x 轴之间的面积为____________; ⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着 ________的变化而沿 x 轴平移,如图甲所示. ⑥ 当 μ 一 定 时 , 曲 线 的 形 状 由 σ 确 定 , σ 越 __________,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集 中;σ越__________,曲线越“矮胖”,表示总体的分 布越分散,如图乙所示. 2.正态分布的定义与简单计算 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数 a,b(aP(X≤σ1),B 错误;对任意正数 t, P(X≤t)≥P(Y≤t),P(X≥t)≤P(Y≥t),C 正确,D 错误, 故选 C. (2017·惠州二调)已知随机变量ξ服从正态分 布 N(1,1),若 P(ξ<3)=0.977,则 P(-1<ξ<3)=( ) A.0.683 B.0.853 C.0.954 D.0.977 解:因为已知随机变量ξ服从正态分布 N(1,1), 所以正态曲线关于直线 x=1 对称,又 P(ξ<3)=0.977, 所以 P(ξ>3)=1-0.977=0.023,所以 P(-1<ξ<3)=1 -P(ξ<-1)-P(ξ>3)=1-2P(ξ>3)=1-0.046=0.954. 故选 C. (2015·湖南)在如图所示的正方形中随机投掷 10 000 个点,则落入阴影部分(曲线 C 为正态分布 N(0, 1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( ) A.2 386 B.2 718 C.3 413 D.4 772 附:若 X~N(μ,σ2),则 P(μ-σ2) =________. 解:P(ξ>2)=1-P(-2≤ξ≤2) 2 =0.3.故填 0.3. (2016·青岛模拟)某班有 50 名同学,一次数学 考 试 的 成 绩 ξ 服 从 正 态 分 布 N(110 , 102) , 已 知 P(100≤ξ≤110)=0.34,估计该班学生数学成绩在 120 分以上的有________人. 解:数学成绩ξ的正态曲线关于直线 x=110 对称, 因 为 P(100≤ ξ ≤ 110) = 0.34. 所 以 P(ξ≥120) = P(ξ≤100)=1 2 ×(1-0.34×2)=0.16. 数学成绩在 120 分以上的人数为 0.16×50=8.故填 8. 类型一 正态分布的概念与性质 已 知 三 个 正 态 分 布 密 度 函 数 φi(x) = 1 2πσi 2 2 2 )( e i ix   (x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示, 则( ) A.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3 B.μ1>μ2=μ3,σ1=σ2<σ3 C.μ1=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3 D.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3 解:由正态曲线关于直线 x=μ对称,知μ1<μ2= μ3;σ的大小决定曲线的形状,σ越大,总体分布越分 散,曲线越矮胖;σ越小,总体分布越集中,曲线越 瘦高,则σ1=σ2<σ3.实际上,由φ1(μ1)=φ2(μ2)>φ3(μ3), 则 1 2πσ1 = 1 2πσ2 > 1 2πσ3 ,即σ1=σ2<σ3.故选 D. 【点拨】正态曲线的性质(详见“考点梳理”)大 都可由φμ,σ(x)的解析式推知.如σ一定,当 x<μ且 x 增大时,(x-μ)2 减小⇒-(x-μ)2 2σ2 增大⇒ 2 2 2 )( e   x 增 大⇒φμ,σ(x)在 x=μ左侧单调递增.其他类似可得. 某市期末教学质量检测,甲、乙、丙三 科考试成绩近似服从正态分布,则由如图曲线可得下 列说法中正确的是( ) A.甲学科总体的方差最小 B.丙学科总体的均值最小 C.乙学科总体的方差最小 D.甲、乙、丙的总体的均值不相同 解:由图象可知三个图象的对称轴相同,即三学 科的均值相同,甲学科成绩的正态分布图象最瘦高, 说明甲学科成绩最集中,方差最小.故选 A. 类型二 正态分布的计算问题 (2017·石家庄模拟)设 X~N(1,σ2),其正 态分布密度曲线如图所示,且 P(X≥3)=0.022 8,那 么向正方形 OABC 中随机投掷 20 000 个点,则落入阴 影部分的点的个数的估计值为( ) 附:随机变量ξ服从正态分布 N(μ,σ2),则 P(μ -σ<ξ<μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.954 4. A.12 076 B.13 174 C.14 056 D.7 539 解:由题意得,P(X≤-1)=P(X ≥3)=0.022 8, 所以 P(-10 , 则 P(X<μ - b) = 1-P(μ-b0)和 N(μ2,σ 22)(σ2>0)的密度函数分别为φ1(x)和φ2(x),其图象如图所 示,则有( ) A.μ1<μ2,σ1<σ2 B.μ1<μ2,σ1>σ2 C.μ1>μ2,σ1<σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2 解:f(x)= 1 2πσe -(x-μ)2 2σ2 中 x=μ是对称轴,故 μ1<μ2;σ越大,曲线越“矮胖”,σ越小曲线越“高 瘦”,故σ1<σ2.故选 A. 2.(2016·郑州调研)已知随机变量ξ服从正态分布 N(2,σ2),且 P(ξ<4)=0.8,则 P(0<ξ<4)=( ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 解:由 P(ξ<4)=0.8,得 P(ξ≥4)=0.2. 又正态曲线关于 x=2 对称. 则 P(ξ≤0)=P(ξ≥4)=0.2, 所以 P(0<ξ<4)=1-P(ξ≤0)-P(ξ≥4)=0.6. 故选 A. 3.(2016·云南师大附中月考)设随机变量ξ服从正 态分布 N(4,3),若 P(ξ<a-5)=P(ξ>a+1),则实数 a 等于( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解:根据对称性有a-5+a+1 2 =4,得 a=6.故选 C. 4.(2016·新余二模)在如图所示的正方形中随机投 掷 10 000 个点,则落入阴影部分(曲线 C 为正态分布 N(-2,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( ) 附:若 X~N(μ,σ2),则 P(μ-σ1)=1 - P( - 1≤X≤1) = 1 - P(μ - 3σ≤X≤μ + 3σ) = 1 - 0.997 4=0.002 6.故选 D. 6.给出下列函数(其中μ∈(-∞,+∞),σ>0): ①f(x)= 1 2πσe-(x+μ)2 2σ2 ; ②f(x)= 1 2πe-(x-μ)2 4 ; ③f(x)= 1 2· 2πe-x2 4; ④f(x)= 1 πe-(x-μ)2, 则可以作为正态分布密度函数的个数有( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解:对于①,f(x)= 1 2πσe-(x+μ)2 2σ2 .由于μ∈(-∞, +∞),所以-μ∈(-∞,+∞),故它可以作为正态分 布密度函数; 对于②,若σ=1,则应为 f(x)= 1 2πe-(x-μ)2 2 .若σ = 2,则应为 f(x)= 1 2π· 2 e-(x-μ)2 4 ,均与所给函数 不相符,故它不能作为正态分布密度函数; 对于③,它就是当σ= 2,μ=0 时的正态分布 密度函数; 对于④,它是当σ= 2 2 时的正态分布密度函数. 所以一共有 3 个函数可以作为正态分布密度函 数.故选 C. 7.(2017·广州模拟)按照国家规定,某种大米质量 (单位:kg)必须服从正态分布ξ~N(10,σ2),根据检 测结果可知 P(9.9≤ξ≤10.1)=0.96,某公司为每位职 工购买一袋这种包装的大米作为福利,若该公司有 2000 名职工, 则分发到的大米质量在 9.9 kg 以下的 职工数大约为________. 解 : 由 题 意 得 P(ξ<9.9) = p(ξ>10.1) = 1-P(9.9≤ξ≤10.1) 2 =0.02,从而分发到的大米质量 在 9.9 kg 以下的职工数大约为 0.02×2000=40(人), 故填 40. 8.某一部件由三个电子元件按如图方式连接而 成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3 正常工作, 则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位: 小时)均服从正态分布 N(1 000,502),且各个元件能否 正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率为________. 解:由于三个电子元件的使用寿命(单位:小时) 均服从正态分布 N(1 000,502),所以每个元件使用寿 命超过 1 000 小时的概率 P(X≥1 000)=1 2.所以该部件 的使用寿命超过 1 000 小时的概率 P= 1-1 2 ×1 2 ×1 2 =3 8.故填3 8. 9.已知某种零件的尺寸ξ(单位:mm)服从正态分 布,其正态曲线在区间(0,80)上是增函数,在区间(80, +∞)上是减函数,且 f(80)= 1 8 2π. (1)求正态分布密度函数的解析式; (2)估计尺寸在 72mm~88mm 间的零件大约占总 数的百分之几? 解:(1)由于正态曲线在区间(0,80)上是增函数, 在区间(80,+∞)上是减函数,所以正态曲线关于直 线 x=80 对称,且在 x=80 处取得最大值.因此得μ =80, 1 2πσ = 1 8 2π ,所以σ=8. 故正态分布密度函数的解析式是 φμ,σ(x)= 1 8 2πe-(x-8)2 128 . (2)由μ=80,σ=8,得μ-σ=80-8=72,μ+ σ=80+8=88. 所以零件尺寸位于区间(72,88)内的概率是0.6826. 因此尺寸在 72mm~88mm 间的零件大约占总数 的 68.26%. 10.在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生 的成绩近似服从正态分布 N(60,100),已知成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生有 13 人. (1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人? (2)若计划奖励竞赛成绩排在前 228 名的学生,问 受奖学生分数线是多少? 解:(1)设学生的成绩为 X,共有 n 人参加竞赛, 因为 X~N(60,100),所以μ=60,σ=10. 所以 P(X≥90)=1 2[1-P(3060. 所以 P(120-x0S22. (2)设事件 A:在甲种食用油中随机抽取 1 桶,其 质量指标不大于 20, 事件 B:在乙种食用油中随机抽取 1 桶,其质量 指标不大于 20, 事件 C:在甲、乙两种食用油中随机抽取 1 桶, 恰有一桶的质量指标不大于 20,且另一桶大于 20, 则 P(A)=0.20+0.10=0.3,P(B)=0.10+0.20= 0.3, 所以 P(C)=P( — A)P(B)+P(A)P( — B)=0.42, (3)计算得:— x=26.5,由条件得 Z~N(26.5,142.75), 从而 P(26.5-11.95
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