2019-2020年高考数学小题综合训练4

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2019-2020年高考数学小题综合训练4

‎2019-2020年高考数学小题综合训练4 ‎ ‎1.已知全集U={1,2,3,4},若A={1,3},B={3},则(∁UA)∩(∁UB)等于(  )‎ A.{1,2} B.{1,4} C.{2,3} D.{2,4}‎ 答案 D 解析 根据题意得∁UA={2,4},∁UB={1,2,4},‎ 故(∁UA)∩(∁UB)={2,4}.‎ ‎2.设i是虚数单位,若复数z=,则z的共轭复数为(  )‎ A.+i B.1+i C.1-i D.-i 答案 D 解析 复数z===,‎ 根据共轭复数的概念得,z的共轭复数为-i.‎ ‎3.从某校高三年级随机抽取一个班,对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计,其结果的频率分布直方图如图所示.若某高校A专业对视力的要求在0.9以上,则该班学生中能报A专业的人数为(  )‎ A.30 B.25 C.22 D.20‎ 答案 D 解析 50×(1.00+0.75+0.25)×0.2=20.‎ ‎4.已知曲线y=x4+ax2+1在点(-1,f(-1))处切线的斜率为8,则f(-1)等于(  )‎ A.7 B.-4 C.-7 D.4‎ 答案 B 解析 ∵y′=4x3+2ax,∴-4-2a=8,‎ ‎∴a=-6,∴f(-1)=1+a+1=-4.‎ ‎5.已知|a|=1,|b|=,且a⊥(a-b),则向量a在b方向上的投影为(  )‎ A.1 B. C. D. 答案 D 解析 设a与b的夹角为θ,‎ ‎∵a⊥(a-b),‎ ‎∴a·(a-b)=a2-a·b=0,即a2-|a|·|b|cos θ=0,‎ ‎∴cos θ=,‎ ‎∴向量a在b方向上的投影为|a|·cos θ=.‎ ‎6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )‎ A. B. C. D.8‎ 答案 B 解析 由三视图可知,该几何体是底面积为8,高为2的四棱锥,如图所示.‎ ‎∴该几何体的体积V=×8×2=.‎ ‎7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为,且f=,则ω的最小值为(  )‎ A. B.1 C. D.2‎ 答案 A 解析 方法一 当x=时,ωx+φ=ω+φ=k1π,k1∈Z,‎ 当x=时,ωx+φ=ω+φ=2k2π+或2k2π+,k2∈Z,‎ 两式相减,得ω=(k1-2k2)π-或(k1-2k2)π-,k1,k2∈Z,‎ 即ω=4(k1-2k2)-或4(k1-2k2)-,k1,k2∈Z,‎ 又因为ω>0,所以ω的最小值为4-=.‎ 方法二 直接令ω+φ=π,ω+φ=,得ω=,‎ 解得ω=.‎ ‎8.《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢?”,可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图,输入的d的值为33,则输出的i的值为(  )‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ 答案 C 解析 i=0,S=0,x=1,y=1,开始执行程序框图,i=1,S=1+1,x=2,y=;i=2,S=1+2+1+,x=4,y=;…;i=5,S=(1+2+4+8+16)+<33,x=32,y=,再执行一次,S>d退出循环,输出i=6,故选C.‎ ‎9.在△ABC中,tan =sin C,若AB=2,则△ABC的周长的取值范围是(  )‎ A.(2,2] B.(2,4]‎ C.(4,2+2] D.(2+2,6]‎ 答案 C 解析 由题意可得 tan =tan= ‎=2sin cos ,‎ 则sin2=,即=,‎ ‎∴cos C=0,C=.‎ 据此可得△ABC是以点C为直角顶点的直角三角形,‎ 则4=a2+b2=(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2×2,‎ 据此有a+b≤2,‎ ‎∴△ABC的周长a+b+c≤2+2.‎ 三角形满足两边之和大于第三边,‎ 则a+b>2,∴a+b+c>4.‎ 综上可得,△ABC周长的取值范围是(4,2+2].‎ ‎10.一个三棱锥A-BCD内接于球O,且AD=BC=3,AC=BD=4,AB=CD=,则球心O到平面ABC的距离是(  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 由题意可得三棱锥A-BCD的三对对棱分别相等,‎ 所以可将三棱锥补成一个长方体AEDF-GCHB,如图所示,‎ 该长方体的外接球就是三棱锥A-BCD的外接球O,长方体AEDF-GCHB共顶点的三条面对角线的长分别为3,4,,‎ 设球O的半径为R,长方体的长、宽、高分别为x,y,z,‎ 由题意可知,解得 则(2R)2=x2+y2+z2=6+3+10=19,即4R2=19.‎ 在△ABC中,由余弦定理得 cos∠ACB==,‎ 则sin∠ACB=,‎ 再由正弦定理得=2r(r为△ABC外接圆的半径),则r=,‎ 因此球心O到平面ABC的距离d==.‎ ‎11.设等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1=13,Sm=0,Sm+1=-15.其中m∈N*且m≥2,则数列的前n项和的最大值为(  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 ∵Sm-1=13,Sm=0,Sm+1=-15,‎ ‎∴am=Sm-Sm-1=0-13=-13,‎ am+1=Sm+1-Sm=-15-0=-15,‎ 又∵数列{an}为等差数列,‎ ‎∴公差d=am+1-am=-15-(-13)=-2,‎ ‎∴ 解得a1=13,‎ ‎∴an=a1+(n-1)d=13-2(n-1)=15-2n,‎ 当an≥0时,n≤7.5,‎ 当an+1≤0时,n≥6.5,‎ ‎∴数列的前7项为正数,‎ ‎∴= ‎= ‎∴数列的前n项和的最大值为 ==.故选D.‎ ‎12.已知函数f(x)=若存在实数x1,x2,x3,x4满足x10,b>0),‎ 只需C点在双曲线右支图象的上方(包括在图象上)即可,‎ 即-≤1,‎ 两边同乘a2b2,得b2-3a2≤a2b2,‎ 由于b2=c2-a2=4-a2,‎ 所以上式化为4-a2-3a2≤a2,‎ 解得-1≤a<2,所以<≤,‎ 故1<≤+1.‎
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