高考全国卷I数学试题及答案

高考全国卷I数学试题及答案

绝密★启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷 5 页，23 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将 试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按 以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合 A={x|x<1}，B={x|3 1x  }，则 A． { | 0}A B x x  B． A B  R C． { | 1}A B x x  D． A B   2．如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方 形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A． 1 4 B． π 8 C． 1 2 D． π 4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数 z 满足 1 z R ，则 z R ； 2p ：若复数 z 满足 2z R ，则 z R ； 3p ：若复数 1 2,z z 满足 1 2z z R ，则 1 2z z ； 4p ：若复数 z R ，则 z R . 其中的真命题为 A． 1 3,p p B． 1 4,p p C． 2 3,p p D． 2 4,p p 4．记 nS 为等差数列{ }na 的前 n 项和．若 4 5 24a a  ， 6 48S  ，则{ }na 的公差为 A．1 B．2 C．4 D．8 5．函数 ( )f x 在 ( , )  单调递减，且为奇函数．若 ( 11)f   ，则满足 21 ( ) 1xf    的 x 的取值范 围是 A．[ 2,2] B．[ 1,1] C．[0,4] D．[1,3] 6． 6 2 1(1 )(1 )xx   展开式中 2x 的系数为 A．15 B．20 C．30 D．35 7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长 为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A．10 B．12 C．14 D．16 8．右面程序框图是为了求出满足 3n−2n>1000 的最小偶数 n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入 A．A>1 000 和 n=n+1 B．A>1 000 和 n=n+2 C．A 1 000 和 n=n+1 D．A 1 000 和 n=n+2 9．已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ 2π 3 )，则下面结论正确的是 A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π 6 个单位长度，得 到曲线 C2 B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π 12 个单位长度， 得到曲线 C2 C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π 6 个单位长度，得 到曲线 C2 D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π 12 个单位长度， 得到曲线 C2 10．已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A、B 两点， 直线 l2 与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10 11．设 xyz 为正数，且 2 3 5x y z  ，则 A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z 12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解 数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2，1，2， 4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是 20，接下来的两项是 20，21，再接下来的三项是 20，21，22，依此类推。求满足如下条件的最小整数 N：N>100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂。那么该 款软件的激活码是 A．440 B．330 C．220 D．110 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= . 14．设 x，y 满足约束条件 2 1 2 1 0 x y x y x y          ，则 3 2z x y  的最小值为 . 15．已知双曲线 C： 2 2 2 2 1x y a b   （a>0，b>0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径做圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点。若∠MAN=60°，则 C 的离心率为________。 16．如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O。D、E、F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥。当△ABC 的边长变 化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______。 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知△ABC 的面积为 2 3sin a A （1）求 sinBsinC; （2）若 6cosBcosC=1，a=3，求△ABC 的周长. 18.（12 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB//CD，且 90BAP CDP     . （1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD； （2）若 PA=PD=AB=DC， 90APD   ，求二面角 A-PB-C 的余弦值. 19．（12 分） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量 其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分 布 2( , )N   ． （1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 ( 3 , 3 )     之外的零件 数，求 ( 1)P X  及 X 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( 3 , 3 )     之外的零件，就认为这条生产线在这一 天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 16 1 1 9.9716 i i x x    ， 16 16 2 2 2 2 1 1 1 1( ) ( 16 ) 0.21216 16i i i i s x x x x         ，其中 ix 为抽取 的第 i 个零件的尺寸， 1,2, ,16i   ． 用样本平均数 x 作为  的估计值 ˆ ，用样本标准差 s 作为 的估计值 ˆ ，利用估计值判断是否需对 当天的生产过程进行检查？剔除 ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 , 3 )     之外的数据，用剩下的数据估计  和 （精确到 0.01）． 附：若随机变量 Z 服从正态分布 2( , )N   ，则 ( 3 3 ) 0.997 4P Z        ， 160.997 4 0.959 2 ， 0.008 0.09 ． 20.（12 分） 已知椭圆 C： 2 2 2 2 =1x y a b  （a>b>0），四点 P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， 3 2 ），P4（1， 3 2 ）中恰有 三点在椭圆 C 上. （1）求 C 的方程； （2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点。若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 21.（12 分） 已知函数 )f x （ ae2x+(a﹣2) ex﹣x. （1）讨论 ( )f x 的单调性； （2）若 ( )f x 有两个零点，求 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4―4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 3cos , sin , x y      （θ为参数），直线 l 的参数方程为 4 , 1 , x a t ty t      （ 为参数）. （1）若 a=−1，求 C 与 l 的交点坐标； （2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17 ，求 a. 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│. （1）当 a=1 时，求不等式 f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式 f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求 a 的取值范围. 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1. A 2．B 3．B 4．C 5．D 6．C 7．B 8．D 9．D 10．A 11．D 12．A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13． 2 3 14．-5 15． 2 3 3 16． 315cm 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知△ABC 的面积为 2 3sin a A （1）求 sinBsinC; （2）若 6cosBcosC=1，a=3，求△ABC 的周长. 解：（1） 由题意可得 21 sin2 3sinABC aS bc A A   ， 化简可得 2 22 3 sina bc A ， 根据正弦定理化简可得： 2 2 22sin 3sin sinCsin sin sinC 3A B A B   。 （2） 由   2sin sinC 1 23 cos cos sin sinC cos cos1 2 3cos cos 6 B A A B B B C A B C               ， 因此可得 3B C  ， 将之代入 2sin sinC 3B  中可得： 23 1sin sin sin cos sin 03 2 2C C C C C       ， 化简可得 3tan ,3 6 6C C B     ， 利用正弦定理可得 3 1sin 3sin 23 2 ab BA     ， 同理可得 3c  ， 故而三角形的周长为3 2 3 。 18.（12 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB//CD，且 90BAP CDP     . （1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD； （2）若 PA=PD=AB=DC， 90APD   ，求二面角 A-PB-C 的余弦值. （1）证明： / / ,AB CD CD PD AB PD   , 又 ,AB PA PA PD P    ,PA、PD 都在平面 PAD 内， 故而可得 AB PAD 。 又 AB 在平面 PAB 内，故而平面 PAB⊥平面 PAD。 （2）解： 不妨设 2PA PD AB CD a    ， 以 AD 中点 O 为原点，OA 为 x 轴，OP 为 z 轴建立平面直角坐标系。 故而可得各点坐标：        0,0, 2 , 2 ,0,0 , 2 ,2 ,0 , 2 ,2 ,0P a A a B a a C a a ， 因此可得      2 ,0, 2 , 2 ,2 , 2 , 2 ,2 , 2PA a a PB a a a PC a a a         ， 假设平面 PAB 的法向量  1 , ,1n x y ，平面 PBC 的法向量  2 , ,1n m n ， 故而可得 1 1 2 2 0 1 2 2 2 0 0 n PA ax a x n PB ax ay a y                   ，即  1 1,0,1n  ， 同理可得 2 2 2 2 2 0 0 22 2 2 0 2 n PC am an a m n PB am an a n                     ，即 2 20, ,12n        。 因此法向量的夹角余弦值： 1 2 1 3cos , 332 2 n n      。 很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为 3 3  。 19．（12 分） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量 其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分 布 2( , )N   ． （1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 ( 3 , 3 )     之外的零件 数，求 ( 1)P X  及 X 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( 3 , 3 )     之外的零件，就认为这条生产线在这一 天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 16 1 1 9.9716 i i x x    ， 16 16 2 2 2 2 1 1 1 1( ) ( 16 ) 0.21216 16i i i i s x x x x         ，其中 ix 为抽取 的第 i 个零件的尺寸， 1,2, ,16i   ． 用样本平均数 x 作为  的估计值 ˆ ，用样本标准差 s 作为 的估计值 ˆ ，利用估计值判断是否需对 当天的生产过程进行检查？剔除 ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 , 3 )     之外的数据，用剩下的数据估计  和 （精确到 0.01）． 附：若随机变量 Z 服从正态分布 2( , )N   ，则 ( 3 3 ) 0.997 4P Z        ， 160.997 4 0.959 2 ， 0.008 0.09 ． 解：（1）     161 1 0 1 0.9974 1 0.9592 0.0408P X P X         由题意可得，X 满足二项分布  ~ 16,0.0016X B ， 因此可得  16,0.0016 16 0.0016 0.0256EX    （2） ○1 由（1）可得  1 0.0408 5%P X    ，属于小概率事件， 故而如果出现 ( 3 , 3 )     的零件，需要进行检查。 ○2 由题意可得      9.97, 0.212 3 9.334, 3 10.606            ， 故而在 9.334,10.606 范围外存在 9.22 这一个数据，因此需要进行检查。 此时： 9.97 16 9.22 10.0215x     ，  15 1 1 0.0915 i x x     。 20.（12 分） 已知椭圆 C： 2 2 2 2 =1x y a b  （a>b>0），四点 P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， 3 2 ），P4（1， 3 2 ）中恰有 三点在椭圆 C 上. （1）求 C 的方程； （2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点。若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 解：（1） 根据椭圆对称性可得，P1（1,1）P4（1， 3 2 ）不可能同时在椭圆上， P3（–1， 3 2 ），P4（1， 3 2 ）一定同时在椭圆上， 因此可得椭圆经过 P2（0,1），P3（–1， 3 2 ），P4（1， 3 2 ）， 代入椭圆方程可得： 2 1 31, 1 24b aa      ， 故而可得椭圆的标准方程为： 2 2 14 x y  。 （2）由题意可得直线 P2A 与直线 P2B 的斜率一定存在， 不妨设直线 P2A 为： 1y kx  ,P2B 为：  1 1y k x   . 联立  2 22 2 1 4 1 8 0 14 y kx k x kxx y         ， 假设  1 1,A x y ，  2 2,B x y 此时可得：         22 2 22 2 8 1 1 4 18 1 4, , ,4 1 4 1 4 1 1 4 1 1 k kk kA Bk k k k                    ， 此时可求得直线的斜率为：         2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 4 1 1 4 4 14 1 1 8 1 8 4 14 1 1 AB k k kky yk kx x k kk           ， 化简可得  2 1 1 2ABk k    ，此时满足 1 2k   。 ○1 当 1 2k   时，AB 两点重合，不合题意。 ○2 当 1 2k   时，直线方程为：   2 2 2 2 1 8 1 4 4 1 4 11 2 k ky x k kk         ， 即     2 2 4 4 1 1 2 k k x y k       ，当 2x  时， 1y   ，因此直线恒过定点 2, 1 。 21.（12 分） 已知函数 )f x （ ae2x+(a﹣2) ex﹣x. （1）讨论 ( )f x 的单调性； （2）若 ( )f x 有两个零点，求 a 的取值范围. 解： （1）对函数进行求导可得       2' 2 2 1 1 1x x x xf x ae a e ae e       。 ○1 当 0a  时，     ' 1 1 0x xf x ae e    恒成立，故而函数恒递减 ○2 当 0a  时，      1' 1 1 0 lnx xf x ae e x a       ，故而可得函数在 1,ln a     上单调递减， 在 1ln ,a     上单调递增。 （2）函数有两个零点，故而可得 0a  ，此时函数有极小值 1 1ln ln 1f aa a        ， 要使得函数有两个零点，亦即极小值小于 0， 故而可得  1ln 1 0 0a aa     ，令   1g ln 1a a a    ， 对函数进行求导即可得到   2 1g' 0aa a   ，故而函数恒递增， 又  g 1 0 ，   1g ln 1 0 1a a aa        ， 因此可得函数有两个零点的范围为  0,1a  。 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4―4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 3cos , sin , x y      （θ为参数），直线 l 的参数方程为 4 , 1 , x a t ty t      （ 为参数）. （1）若 a=−1，求 C 与 l 的交点坐标； （2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17 ，求 a. 解： 将曲线 C 的参数方程化为直角方程为 2 2 19 x y  ，直线化为直角方程为 1 114 4y x a    （1）当 1a  时，代入可得直线为 1 3 4 4y x   ，联立曲线方程可得： 2 2 1 3 4 4 9 9 y x x y        ， 解得 21 25 24 25 x y      或 3 0 x y    ，故而交点为 21 24,25 25     或 3,0 （2）点 3cos , sin , x y      到直线 1 114 4y x a    的距离为 3cos 4sin 4 17 17 ad      ， 即： 3cos 4sin 4 17a     ， 化简可得    17 4 3cos 4sin 17 4a a         ， 根据辅助角公式可得  13 5sin 21a a       ， 又  5 5sin 5     ，解得 8a   或者 16a  。 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│. （1）当 a=1 时，求不等式 f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式 f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求 a 的取值范围. 解： 将函数   1 1g x x x    化简可得   2 1 2 1 1 2 1 x x g x x x x         （1） 当 1a  时，作出函数图像可得    f x g x 的范围在 F 和 G 点中间， 联立 2 2 4 y x y x x       可得点 17 1, 17 12G       ，因此可得解集为 17 11, 2      。 （2） 即    f x g x 在 1,1 内恒成立，故而可得 2 24 2 2x ax x ax       恒成立， 根据图像可得：函数 y ax 必须在 1 2,l l 之间，故而可得 1 1a   。