江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷解析

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江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷解析

‎ 2016年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷 ‎ ‎ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1.已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={2,3,4},那么A∪(∁UB)=      .‎ ‎2.已知(a﹣i)2=2i,其中i是虚数单位,那么实数a=      .‎ ‎3.从某班抽取5名学生测量身高(单位:cm),得到的数据为160,162,159,160,159,则该组数据的方差s2=      .‎ ‎4.同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次,则至少有两枚硬币正面向上的概率为      .‎ ‎5.若双曲线x2+my2=1过点(﹣,2),则该双曲线的虚轴长为      .‎ ‎6.函数f(x)=的定义域为      .‎ ‎7.某算法流程图如图所示,该程序运行后,若输出的x=15,则实数a等于      .‎ ‎8.若tanα=,tan(α﹣β)=﹣,则tan(β﹣2α)=      .‎ ‎9.若直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点,则实数m的取值范围是      .‎ ‎10.设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1,S1,底面半径高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2,S2,若=,则的值为      .‎ ‎11.已知函数f(x)=x3+2x,若f(1)+f(log3)>0(a>0且a≠1),则实数a的取值范围是      .‎ ‎12.设公差为d(d为奇数,且d>1)的等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm﹣1=﹣9,Sm=0,其中m>3,且m∈N*,则an=      .‎ ‎13.已知函数f(x)=x|x2﹣a|,若存在x∈[1,2],使得f(x)<2,则实数a的取值范围是      .‎ ‎14.在平面直角坐标系xOy中,设点A(1,0),B(0,1),C(a,b),D(c,d),若不等式2≥(m﹣2)•+m(•)•(•)对任何实数a,b,c,d都成立,则实数m的最大值是      .‎ ‎ ‎ 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知向量=(cosB,cosC),=(4a﹣b,c),且∥.‎ ‎(1)求cosC的值;‎ ‎(2)若c=,△ABC的面积S=,求a,b的值.‎ ‎16.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AA1=AB,D是AB的中点 ‎(1)求证:BC1∥平面A1CD;‎ ‎(2)若点P在线段BB1上,且BP=BB1,求证:AP⊥平面A1CD.‎ ‎17.某经销商计划销售一款新型的空气净化器,经市场凋研发现以下规律:当每台净化器的利润为x(单位:元,x>0)时,销售量q(x)(单位:百台)与x的关系满足:若x不超过20,则q(x)=;若x大于或等于180,则销售为零;当20≤x≤180时.q(x)=a﹣b(a,b为实常数).‎ ‎(1)求函数q(x)的表达式;‎ ‎(2)当x为多少时,总利润(单位:元)取得最大值,并求出该最大值.‎ ‎18.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: =1(a>b>0)的左,右焦点分别是F1,F2,右顶点、上顶点分别为A,B,原点O到直线AB的距离等于ab﹒‎ ‎(1)若椭圆C的离心率等于,求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若过点(0,1)的直线l与椭圆有且只有一个公共点P,且P在第二象限,直线PF2交y轴于点Q﹒试判断以PQ为直径的圆与点F1的位置关系,并说明理由﹒‎ ‎19.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,且对任意的正整数n,都有Sn+1=λSn+3n+1,其中常数λ>0.设bn=(n∈N*)﹒‎ ‎(1)若λ=3,求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(2)若λ≠1且λ≠3,设cn=an+(n∈N*),证明数列{cn}是等比数列;‎ ‎(3)若对任意的正整数n,都有bn≤3,求实数λ的取值范围.‎ ‎20.已知函数f(x)=a•ex+x2﹣bx(a,b∈R,e=2.71828…是自然对数的底数),其导函数为y=f′(x).‎ ‎(1)设a=﹣1,若函数y=f(x)在R上是单调减函数,求b的取值范围;‎ ‎(2)设b=0,若函数y=f(x)在R上有且只有一个零点,求a的取值范围;‎ ‎(3)设b=2,且a≠0,点(m,n)(m,n∈R)是曲线y=f(x)上的一个定点,是否存在实数x0(x0≠m),使得f(x0)=f′()(x0﹣m)+n成立?证明你的结论.‎ ‎ ‎ ‎【选做题】在A,B,C,D四小题中只能选做两题,每小题0分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1:几何证明选讲]‎ ‎21.已知△ABC内接于⊙O,BE是⊙O的直径,AD是BC边上的高.求证:BA•AC=BE•AD.‎ ‎ ‎ B.[选修4-2:矩阵与变换]‎ ‎22.已知变换T把平面上的点(3,﹣4),(5,0)分别变换成(2,﹣1),(﹣1,2),试求变换T对应的矩阵M.‎ ‎ ‎ C.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎23.在平面直角坐标系xOy中,直线l过点M(1,2),倾斜角为﹒以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C:ρ=6cosθ﹒若直线l与圆C相交于A,B两点,求MA•MB的值.‎ ‎ ‎ D.[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎24.设x为实数,求证:(x2+x+1)2≤3(x4+x2+1)﹒‎ ‎ ‎ ‎【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎25.一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球,从中有放回地摸球,每次摸出一个,若有3次摸到红球即停止.‎ ‎(1)求恰好摸4次停止的概率;‎ ‎(2)记4次之内(含4次)摸到红球的次数为X,求随机变量X的分布列.‎ ‎26.设实数a1,a2,…,an满足a1+a2+…+an=0,且|a1|+|a2|+…+|an|≤1(n∈N*且n≥2),令bn=(n∈N*).求证:|b1+b2+…+bn|≤(n∈N*).‎ ‎ ‎ ‎2016年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1.已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={2,3,4},那么A∪(∁UB)= {1,2,5} .‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算.‎ ‎【分析】先求出B的补集,再求出其与A的并集,从而得到答案.‎ ‎【解答】解:∵U={1,2,3,4,5},又B={2,3,4},‎ ‎∴(CUB)={1,5},‎ 又A={1,2},∴A∪(CUB)={1,2,5}.‎ 故答案为:{1,2,5}.‎ ‎ ‎ ‎2.已知(a﹣i)2=2i,其中i是虚数单位,那么实数a= ﹣1 .‎ ‎【考点】复数代数形式的混合运算.‎ ‎【分析】直接化简方程,利用复数相等条件即可求解.‎ ‎【解答】解:a2﹣2ai﹣1=a2﹣1﹣2ai=2i,a=﹣1‎ 故答案为:﹣1‎ ‎ ‎ ‎3.从某班抽取5名学生测量身高(单位:cm),得到的数据为160,162,159,160,159,则该组数据的方差s2=  .‎ ‎【考点】极差、方差与标准差.‎ ‎【分析】求出数据的平均数,从而求出方差即可.‎ ‎【解答】解:数据160,162,159,160,159的平均数是:160,‎ 则该组数据的方差s2=(02+22+12+02+12)=,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎4.同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次,则至少有两枚硬币正面向上的概率为  .‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式.‎ ‎【分析】由已知条件利用n次独立重复试验概率计算公式求解.‎ ‎【解答】解:∵同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次,‎ ‎∴至少有两枚硬币正面向上的概率为:‎ p==.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎5.若双曲线x2+my2=1过点(﹣,2),则该双曲线的虚轴长为 4 .‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】根据条件求出双曲线的标准方程即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵双曲线x2+my2=1过点(﹣,2),‎ ‎∴2+4m=1,即4m=﹣1,‎ m=﹣,‎ 则双曲线的标准范围为x2﹣=1,‎ 则b=2,‎ 即双曲线的虚轴长2b=4,‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ ‎6.函数f(x)=的定义域为 (0,1)∪(1,2) .‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法.‎ ‎【分析】由对数式的真数大于0,分式的分母不等于0联立不等式组求得答案.‎ ‎【解答】解:要使原函数有意义,则,解得:0<x<2,且x≠1.‎ ‎∴函数f(x)=的定义域为:(0,1)∪(1,2).‎ 故答案为:(0,1)∪(1,2).‎ ‎ ‎ ‎7.某算法流程图如图所示,该程序运行后,若输出的x=15,则实数a等于 1 .‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,即可解得a的值.‎ ‎【解答】解:模拟执行程序,可得 n=1,x=a 满足条件n≤3,执行循环体,x=2a+1,n=2‎ 满足条件n≤3,执行循环体,x=2(2a+1)+1=4a+3,n=3‎ 满足条件n≤3,执行循环体,x=2(4a+3)+1=8a+7,n=4‎ 不满足条件n≤3,退出循环,输出x的值为15.‎ 所以:8a+7=15,解得:a=1.‎ 故答案为:1‎ ‎ ‎ ‎8.若tanα=,tan(α﹣β)=﹣,则tan(β﹣2α)= ﹣ .‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数.‎ ‎【分析】根据题意,先有诱导公式可得tan(β﹣2α)=﹣tan(2α﹣β),进而结合正切的和角公式可得tan(β﹣2α)=﹣tan(2α﹣β)=﹣tan[(α﹣β)+α]=﹣,代入数据计算可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,tan(β﹣2α)=﹣tan(2α﹣β)=﹣tan[(α﹣β)+α]=﹣=﹣=﹣;‎ 故答案为:﹣.‎ ‎ ‎ ‎9.若直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点,则实数m的取值范围是 [0,10] .‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系.‎ ‎【分析】圆x2+y2+2x﹣4y+4=0的圆心(﹣1,2),半径r=1,求出圆心(﹣1,2)到直线3x+4y﹣m=0的距离d,由直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点,得d≤r,由此能求出实数m的取值范围.‎ ‎【解答】解:圆x2+y2+2x﹣4y+4=0的圆心(﹣1,2),半径r==1,‎ 圆心(﹣1,2)到直线3x+4y﹣m=0的距离d==,‎ ‎∵直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点,‎ ‎∴,‎ 解得0≤m≤10,‎ ‎∴实数m的取值范围是[0,10].‎ 故答案为:[0,10].‎ ‎ ‎ ‎10.设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1,S1,底面半径高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2,S2,若=,则的值为  .‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.‎ ‎【分析】根据体积比得出a和r的关系,代入面积公式求出面积比即可.‎ ‎【解答】解:圆锥的母线l==r.‎ V1=a3,S1=6a2,V2=,S2=πrl=πr2.‎ ‎∵==,∴a=r.‎ ‎∴==.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎11.已知函数f(x)=x3+2x,若f(1)+f(log3)>0(a>0且a≠1),则实数a的取值范围是 (0,1)∪(3,+∞) .‎ ‎【考点】函数的值.‎ ‎【分析】可判断函数f(x)=x3+2x是奇函数,且在R上是增函数,从而化简f(1)+f(log3)>0为log3>﹣1;从而解得.‎ ‎【解答】解:∵函数f(x)=x3+2x是奇函数,且在R上是增函数,‎ ‎∵f(1)+f(log3)>0,‎ ‎∴f(log3)>﹣f(1)=f(﹣1),‎ ‎∴log3>﹣1;‎ ‎∴>1或3<a;‎ 即a∈(0,1)∪(3,+∞);‎ 故答案为:(0,1)∪(3,+∞).‎ ‎ ‎ ‎12.设公差为d(d为奇数,且d>1)的等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm﹣1=﹣9,Sm=0,其中m>3,且m∈N*,则an= 3n﹣12 .‎ ‎【考点】等差数列的前n项和.‎ ‎【分析】Sm﹣1=﹣9,Sm=0,其中m>3,可得:(m﹣1)a1+d=﹣9,ma1+d=0,化为:d=.由于m>3,且m∈N*,d为奇数,且d>1,通过分类讨论验证即可得出.‎ ‎【解答】解:∵Sm﹣1=﹣9,Sm=0,其中m>3,‎ ‎∴(m﹣1)a1+d=﹣9,‎ ma1+d=0,‎ 可得:d=.‎ ‎∵m>3,且m∈N*,d为奇数,且d>1,‎ ‎∴d=3,m=7.‎ ‎∴a1=﹣9.‎ ‎∴an=﹣9+3(n﹣1)=3n﹣12.‎ 故答案为:3n﹣12.‎ ‎ ‎ ‎13.已知函数f(x)=x|x2﹣a|,若存在x∈[1,2],使得f(x)<2,则实数a的取值范围是 (﹣1,5) .‎ ‎【考点】分段函数的应用.‎ ‎【分析】由题意可得f(x)<2可得﹣2<x3﹣ax<2,即为﹣x2﹣<﹣a<﹣x2+,等价为(﹣x2﹣)min<﹣a<(﹣x2+)max,分别判断不等式左右两边函数的单调性,求得最值,解不等式即可得到a的范围.‎ ‎【解答】解:当x∈[1,2]时,f(x)=|x3﹣ax|,‎ 由f(x)<2可得﹣2<x3﹣ax<2,‎ 即为﹣x2﹣<﹣a<﹣x2+,‎ 设g(x)=﹣x2﹣,导数为g′(x)=﹣2x+,‎ 当x∈[1,2]时,g′(x)≤0,‎ 即g(x)递减,可得g(x)min=﹣4﹣1=﹣5,‎ 即有﹣a>﹣5,即a<5;‎ 设h(x)=﹣x2+,导数为g′(x)=﹣2x﹣,‎ 当x∈[1,2]时,h′(x)<0,‎ 即h(x)递减,可得h(x)max=﹣1+2=1.‎ 即有﹣a<1,即a>﹣1.‎ 综上可得,a的范围是﹣1<a<5.‎ 故答案为:(﹣1,5).‎ ‎ ‎ ‎14.在平面直角坐标系xOy中,设点A(1,0),B(0,1),C(a,b),D(c,d),若不等式2≥(m﹣2)•+m(•)•(•)对任何实数a,b,c,d都成立,则实数m的最大值是 ﹣1 .‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算.‎ ‎【分析】根据条件可以求出向量的坐标,从而进行向量数量积的坐标运算便可求出的值,这样将这些值代入并整理便可得出c2+a2+d2+b2≥m(ac+bd+bc).‎ ‎【解答】解:根据条件,‎ ‎,,,代入并整理得:‎ c2+a2+d2+b2≥m(ac+bd+bc),‎ 即c2+a2+d2+b2﹣m(ac+bd+bc)≥0恒成立,配方得:‎ ‎(a﹣)2+(d﹣)2+(c2+b2﹣bc)≥0恒成立,‎ 有(a﹣)2≥0,(d﹣)2≥0满足,‎ 则要:(c2+b2﹣bc)≥0恒成立,‎ 则有:,‎ 解得﹣2≤m≤﹣1,‎ 所以m最大值为﹣1.‎ ‎ ‎ 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知向量=(cosB,cosC),=(4a﹣b,c),且∥.‎ ‎(1)求cosC的值;‎ ‎(2)若c=,△ABC的面积S=,求a,b的值.‎ ‎【考点】余弦定理;正弦定理.‎ ‎【分析】(1)利用向量平行的坐标表示,正弦定理可得sinCcosB=(4sinA﹣sinB)cosC,利用三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式可得sinA=4sinAcosC,结合sinA>0,即可解得cosC的值.‎ ‎(2)由(1)结合同角三角函数基本关系式可求sinC的值,利用三角形面积公式可解得ab=2,结合余弦定理可求a2+b2=4,从而解得a,b的值.‎ ‎【解答】(本题满分为14分)‎ 解:(1)∵m∥n,‎ ‎∴ccosB=(4a﹣b)cosC,…‎ 由正弦定理,得sinCcosB=(4sinA﹣sinB)cosC,‎ 化简,得sin(B+C)=4sinAcosC﹒…‎ ‎∵A+B+C=π,‎ ‎∴sinA=sin(B+C)﹒‎ 又∵A∈(0,π),‎ ‎∵sinA>0,‎ ‎∴. …‎ ‎(2)∵C∈(0,π),,‎ ‎∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴ab=2﹒①…‎ ‎∵,由余弦定理得,‎ ‎∴a2+b2=4,②…‎ 由①②,得a4﹣4a2+4=0,从而a2=2,(舍负),‎ ‎∴,‎ ‎∴. …‎ ‎ ‎ ‎16.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AA1=AB,D是AB的中点 ‎(1)求证:BC1∥平面A1CD;‎ ‎(2)若点P在线段BB1上,且BP=BB1,求证:AP⊥平面A1CD.‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.‎ ‎【分析】(1)连接AC1,设与CA1 交于O点,连接OD,由O为AC1 的中点,D是AB的中点,可得OD∥BC1,即可证明BC1∥平面A1CD.‎ ‎(2)由题意,取A1B1 的中点O,连接OC1,OD,分别以OC1,OA1,OD为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设OA1=a,OC1=b,由题意可得各点坐标,可求=(b,﹣a,2),=(0.﹣a,2),=(0,﹣2a,﹣),由•=0, •=0,即可证明AP⊥平面A1CD.‎ ‎【解答】证明:(1)如图,连接AC1,设与CA1 交于O点,连接OD,‎ ‎∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,O为AC1 的中点,‎ ‎∵D是AB的中点,‎ ‎∴△ABC1中,OD∥BC1,‎ 又∵OD⊂平面A1CD,‎ ‎∴BC1∥平面A1CD.‎ ‎(2)由题意,取A1B1 的中点O,连接OC1,OD,分别以OC1,OA1,OD为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设OA1=a,OC1=b,‎ 则:由题意可得各点坐标为:A1(0,a,0),C(b,0,2a),D(0,0,2),P(0,﹣a,),A(0,a,2),‎ 可得: =(b,﹣a,2),=(0.﹣a,2),=(0,﹣2a,﹣),‎ 所以:由•=0,可得:AP⊥A1C,由•=0,可得:AP⊥A1D,‎ 又:A1 C∩A1 D=A1,‎ 所以:AP⊥平面A1CD.‎ ‎ ‎ ‎17.某经销商计划销售一款新型的空气净化器,经市场凋研发现以下规律:当每台净化器的利润为x(单位:元,x>0)时,销售量q(x)(单位:百台)与x的关系满足:若x不超过20,则q(x)=;若x大于或等于180,则销售为零;当20≤x≤180时.q(x)=a﹣b(a,b为实常数).‎ ‎(1)求函数q(x)的表达式;‎ ‎(2)当x为多少时,总利润(单位:元)取得最大值,并求出该最大值.‎ ‎【考点】函数解析式的求解及常用方法;函数的最值及其几何意义.‎ ‎【分析】(1)分段函数由题意知分界点处函数值相等得到a,b ‎(2)总利润为每台的利润乘以销售量,分段函数每段求最大值,最后选择一个最大的为分段函数的最大值.‎ ‎【解答】解:(1)由x=20和x=180时可以解得a,b ‎∴a=90,b=3‎ ‎∴q(x)=‎ ‎(2)设总利润为W(x)‎ 则W(x)=‎ ‎①当x∈(0,20]时,W(x)=1260﹣为单调递增,最大值为1200,此时x=20‎ ‎②当x∈[20,180]时,W(x)=90x﹣3x,(W(x))′=90﹣‎ 此时x∈[20,80]时,W(x)单调递增.x∈[80,180]时,W(x)单调递减 ‎∴在x=80时取得最大为240000‎ 综上所述:x=80时,总利润最大为240000元.‎ ‎ ‎ ‎18.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: =1(a>b>0)的左,右焦点分别是F1,F2,右顶点、上顶点分别为A,B,原点O到直线AB的距离等于ab﹒‎ ‎(1)若椭圆C的离心率等于,求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若过点(0,1)的直线l与椭圆有且只有一个公共点P,且P在第二象限,直线PF2交y轴于点Q﹒试判断以PQ为直径的圆与点F1的位置关系,并说明理由﹒‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】(1)求得A,B的坐标,可得AB的方程,运用点到直线的距离公式和离心率公式,解方程可得a,b,进而得到椭圆方程;‎ ‎(2)点F1在以PQ为直径的圆上﹒由题意可得直线l与椭圆相切且l的斜率存在,设直线l的方程为:y=kx+1,代入椭圆方程,运用判别式为0,解得k的值,可得P(﹣a2,b2),从而可得直线PF2的方程,求得Q的坐标,可得向量,的坐标,求出数量积为0,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:(1)由题意得点A(a,0),B(0,b),‎ 直线AB的方程为,即ax+by﹣ab=0﹒‎ 由题设,得,‎ 化简,得a2+b2=1﹒①,‎ 由,即为,即a2=3b2﹒②‎ 由①②,解得,‎ 可得椭圆C的方程为;‎ ‎(2)点F1在以PQ为直径的圆上﹒‎ 由题设,直线l与椭圆相切且l的斜率存在,设直线l的方程为:y=kx+1,‎ 由,得(b2+a2k2)x2+2ka2x+a2﹣a2b2=0,(*)‎ 则△=(2ka2)2﹣4(b2+a2k2)(a2﹣a2b2)=0,‎ 化简,得1﹣b2﹣a2k2=0,所以,‎ 由点P在第二象限,可得k=1,‎ 把k=1代入方程(*),得x2+2a2x+a4=0,‎ 解得x=﹣a2,从而y=b2,所以P(﹣a2,b2)﹒‎ 从而直线PF2的方程为:,‎ 令x=0,得,所以点﹒‎ 从而,,‎ 从而 ‎=,‎ 又a2+b2=1,a2=b2+c2,‎ ‎∴﹒‎ 所以点F1在以PQ为直径的圆上﹒‎ ‎ ‎ ‎19.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,且对任意的正整数n,都有Sn+1=λSn+3n+1,其中常数λ>0.设bn=(n∈N*)﹒‎ ‎(1)若λ=3,求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(2)若λ≠1且λ≠3,设cn=an+(n∈N*),证明数列{cn}是等比数列;‎ ‎(3)若对任意的正整数n,都有bn≤3,求实数λ的取值范围.‎ ‎【考点】数列递推式;等比关系的确定.‎ ‎【分析】(1)利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出.‎ ‎(2)利用递推关系、等比数列的定义及其通项公式即可得出;‎ ‎(3)通过对λ分类讨论,利用数列的通项公式及其不等式的性质即可得出.‎ ‎【解答】(1)解:∵,n∈N*,‎ ‎∴当n≥2时,,‎ 从而,n≥2,n∈N*﹒‎ 又在中,令n=1,可得,满足上式,‎ ‎∴,n∈N*﹒‎ 当λ=3时,,n∈N*,‎ 从而,即,‎ 又b1=1,所以数列{bn}是首项为1,公差为的等差数列,‎ ‎∴.‎ ‎(2)证明:当λ>0且λ≠3且λ≠1时, =,‎ 又,‎ ‎∴{cn}是首项为,公比为λ的等比数列,﹒‎ ‎(3)解:在(2)中,若λ=1,则cn=0也适合,∴当λ≠3时,.‎ 从而由(1)和(2)可知:an=.‎ 当λ=3时,,显然不满足条件,故λ≠3.‎ 当λ≠3时,.‎ 若λ>3时,,bn<bn+1,n∈N*,bn∈[1,+∞),不符合,舍去.‎ 若0<λ<1时,,,bn>bn+1,n∈N*,且bn>0.‎ ‎∴只须即可,显然成立.故0<λ<1符合条件;‎ 若λ=1时,bn=1,满足条件.故λ=1符合条件;‎ 若1<λ<3时,,,从而bn<bn+1,n∈N*,‎ ‎∵b1=1>0.故,要使bn≤3成立,只须即可.‎ 于是.‎ 综上所述,所求实数λ的范围是.‎ ‎ ‎ ‎20.已知函数f(x)=a•ex+x2﹣bx(a,b∈R,e=2.71828…是自然对数的底数),其导函数为y=f′(x).‎ ‎(1)设a=﹣1,若函数y=f(x)在R上是单调减函数,求b的取值范围;‎ ‎(2)设b=0,若函数y=f(x)在R上有且只有一个零点,求a的取值范围;‎ ‎(3)设b=2,且a≠0,点(m,n)(m,n∈R)是曲线y=f(x)上的一个定点,是否存在实数x0(x0≠m),使得f(x0)=f′()(x0﹣m)+n成立?证明你的结论.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性;导数的运算.‎ ‎【分析】(1)求得f(x)的导数,由题意可得f′(x)≤0恒成立,即为﹣b≤ex﹣2x,令g(x)=ex﹣2x,求得导数,单调区间,可得极小值,且为最小值,即可得到b的范围;‎ ‎(2)求得f(x)的解析式,令f(x)=0,可得﹣a=,设h(x)=,求得h(x)的导数和单调区间、极值,结合零点个数只有一个,即可得到a的范围;‎ ‎(3)假设存在实数x0(x0≠m),使得f(x0)=f′()(x0﹣m)+n成立.求得f(x)的导数,化简整理可得=e,考虑函数y=ex的图象与y=lnx的图象关于直线y=x对称,上式可转化为=,设t=>1,上式即为lnt=,令m(t)=lnt﹣,t>1,求出导数,判断单调性即可判断不存在.‎ ‎【解答】解:(1)函数f(x)=﹣ex+x2﹣bx的导数为f′(x)=﹣ex+2x﹣b,‎ 函数y=f(x)在R上是单调减函数,可得f′(x)≤0恒成立,‎ 即为﹣b≤ex﹣2x,令g(x)=ex﹣2x,‎ g′(x)=ex﹣2,当x>ln2时,g′(x)>0,g(x)递增;‎ 当x<ln2时,g′(x)<0,g(x)递减.‎ 则g(x)在x=ln2处取得极小值,且为最小值2﹣2ln2,‎ 即有﹣b≤2﹣2ln2,即b≥2ln2﹣2,‎ 则b的取值范围是[2ln2﹣2,+∞);‎ ‎(2)由b=0,可得f(x)=a•ex+x2,‎ 令f(x)=0,即有﹣a=,‎ 设h(x)=,h′(x)=,‎ 当0<x<2时,h′(x)<0,h(x)在(0,2)递减;‎ 当x>2或x<0时,h′(x)>0,h(x)在(﹣∞,0),(2,+∞)递增.‎ 可得h(x)在x=2处取得极大值,‎ 且h(x)>0,x→+∞,h(x)→0,‎ 由题意函数y=f(x)在R上有且只有一个零点,‎ 则﹣a=0或﹣a>,‎ 即为a=0或a<﹣,即a的取值范围是{0}∪(﹣∞,﹣);‎ ‎(3)假设存在实数x0(x0≠m),使得f(x0)=f′()(x0﹣m)+n成立.‎ 函数f(x)=a•ex+x2﹣bx的导数为f′(x)=aex+2x﹣b,‎ 可得a•ex0+x02﹣bx0=(ae+x0+m﹣b)(x0﹣m)+a•em+m2﹣bm,‎ 化简可得(x0﹣m)(+x0+m﹣b)=(ae+x0+m﹣b)(x0﹣m),‎ 由a≠0,x0≠m,可得=e,‎ 上式的几何意义为函数y=ex图象上两点的斜率等于中点处的切线的斜率,‎ 考虑函数y=ex的图象与y=lnx的图象关于直线y=x对称,‎ 上式可转化为=,‎ 设x0>m>0,即有lnx0﹣lnm=,即ln=,‎ 设t=>1,上式即为lnt=,‎ 令m(t)=lnt﹣,t>1,则m′(t)=﹣=>0,‎ 则m(t)在(1,+∞)递增,‎ 即有m(t)>m(1)=0,则方程lnt=无实数解.‎ 即有=不成立,‎ 则=e不成立.‎ 故不存在实数x0(x0≠m),使得f(x0)=f′()(x0﹣m)+n成立.‎ ‎ ‎ ‎【选做题】在A,B,C,D四小题中只能选做两题,每小题0分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1:几何证明选讲]‎ ‎21.已知△ABC内接于⊙O,BE是⊙O的直径,AD是BC边上的高.求证:BA•AC=BE•AD.‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段.‎ ‎【分析】连结AE.证明△BEA∽△ACD,可得,即可证明BA•AC=BE•AD.‎ ‎【解答】证明:连结AE.‎ ‎∵BE是⊙O的直径,‎ ‎∴∠BAE=90°. …‎ ‎∴∠BAE=∠ADC. …‎ 又∵∠BEA=∠ACD,‎ ‎∴△BEA∽△ACD. …‎ ‎∴,‎ ‎∴BA•AC=BE•AD. …‎ ‎ ‎ B.[选修4-2:矩阵与变换]‎ ‎22.已知变换T把平面上的点(3,﹣4),(5,0)分别变换成(2,﹣1),(﹣1,2),试求变换T对应的矩阵M.‎ ‎【考点】几种特殊的矩阵变换.‎ ‎【分析】先设出所求矩阵,利用待定系数法建立一个四元一次方程组,解方程组即可.‎ ‎【解答】解:设,由题意,得,…‎ ‎∴…‎ 解得.…‎ 即. …‎ ‎ ‎ C.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎23.在平面直角坐标系xOy中,直线l过点M(1,2),倾斜角为﹒以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C:ρ=6cosθ﹒若直线l与圆C相交于A,B两点,求MA•MB的值.‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程.‎ ‎【分析】直线l的参数方程为为参数),圆C:ρ=6cosθ,即ρ2=6ρcosθ,把ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,代入可得直角坐标方程﹒直线l的参数方程代入圆C的普通方程,利用根与系数的关系、参数的意义即可得出.‎ ‎【解答】解:直线l的参数方程为为参数),‎ 圆C:ρ=6cosθ,即ρ2=6ρcosθ,把ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,代入可得直角坐标方程为:(x﹣3)2+y2=9﹒‎ 直线l的参数方程代入圆C的普通方程,得,‎ 设该方程两根为t1,t2,则t1•t2=﹣1﹒‎ ‎∴MA•MB=|t1•t2|=1.‎ ‎ ‎ D.[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎24.设x为实数,求证:(x2+x+1)2≤3(x4+x2+1)﹒‎ ‎【考点】不等式的证明.‎ ‎【分析】利用作差法得出右﹣左=2x4﹣2x3﹣2x+2,只需证明恒大于等于零即可.‎ ‎【解答】证明:右﹣左=2x4﹣2x3﹣2x+2‎ ‎=2(x﹣1)(x3﹣1)=2(x﹣1)2(x2+x+1)‎ ‎=,‎ 所以(x2+x+1)2≤3(x4+x2+1)﹒‎ ‎ ‎ ‎【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎25.一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球,从中有放回地摸球,每次摸出一个,若有3次摸到红球即停止.‎ ‎(1)求恰好摸4次停止的概率;‎ ‎(2)记4次之内(含4次)摸到红球的次数为X,求随机变量X的分布列.‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列;古典概型及其概率计算公式.‎ ‎【分析】(1)设事件“恰好摸4次停止”的概率为P,利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出恰好摸4次停止的概率.‎ ‎(2)由题意,得X=0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列.‎ ‎【解答】解:(1)设事件“恰好摸4次停止”的概率为P,‎ 则. …‎ ‎(2)由题意,得X=0,1,2,3,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,…‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎…‎ ‎ ‎ ‎26.设实数a1,a2,…,an满足a1+a2+…+an=0,且|a1|+|a2|+…+|an|≤1(n∈N*且n≥2),令bn=(n∈N*).求证:|b1+b2+…+bn|≤(n∈N*).‎ ‎【考点】数学归纳法;数列递推式.‎ ‎【分析】按照数学归纳法的证题步骤:先证明n=2时命题成立,再假设当n=k时结论成立,去证明当n=k+1时,结论也成立,从而得出命题对任意n≥2,n∈N*,等式都成立 ‎【解答】证明:(1)当n=2时,a1=﹣a2,‎ ‎∴2|a1|=|a1|+|a2|≤1,即,‎ ‎∴,即当n=2时,结论成立.‎ ‎(2)假设当n=k(k∈N*且k≥2)时,结论成立,‎ 即当a1+a2+…+ak=0,且|a1|+|a2|+…+|ak|≤1时,‎ 有.‎ 则当n=k+1时,由a1+a2+…+ak+ak+1=0,且|a1|+|a2|+…+|ak+1|≤1,‎ ‎∵2|ak+1|=|a1+a2+…+ak|+|ak+1|≤a1|+|a2|+…+|ak+1|≤1,‎ ‎∴,‎ 又∵a1+a2+…+ak﹣1+(ak+ak+1)=0,且|a1|+|a2|+…+|ak﹣1|+|ak+ak+1|≤|a1|+|a2|+…+|ak+1|≤1,‎ 由假设可得,‎ ‎∴,‎ ‎=,‎ ‎=,‎ 即当n=k+1时,结论成立.‎ 综上,由(1)和(2)可知,结论成立.‎ ‎ ‎ ‎2016年8月27日
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