高考数学分难点突破训练——应用题

高考数学分难点突破训练——应用题

‎ 2011届高考数学140分难点突破训练——应用题 ‎1.某种商品每件进价12元，售价20元，每天可卖出48件。若售价降低，销售量可以增加，且售价降低元时，每天多卖出的件数与成正比。已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件。‎ ‎（1）试将该商品一天的销售利润表示成的函数；‎ ‎（2）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎2. 商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款（年利率5％，按复利计算），公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元．其余部分全部在年底还建行贷款．‎ ‎　　（1）若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；‎ ‎　　（2）若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元（精确到元）．（参考数据：lg1.7343＝0.2391，lgl.05＝0.0212，＝1.4774）‎ ‎3. （理）某城市2004年末粮食储备量为100万吨，预计此后每年耗用上一年末粮食储备量的5%，并且每年新增粮食x万吨。‎ ‎（1）记2004年末的粮食储备量为a1万吨，此后各年末的粮食储备量为a2万吨，a3万吨，……，写出a1，a2，a3和an(n∈N*)的表示式；‎ ‎（2）受条件限制，该城市的粮食储备量不能超过150万吨，那么每年新增粮食储备量不应超过多少万吨？‎ ‎20、（文）某地区预计明年从年初开始的前x个月内，对某种商品的需求总量f(x)（万件）与月份x的近似关系为：‎ ‎（1）写出明年第x个月的需求量g(x)（万件）与月份x的函数关系，并求出哪个月份的需求量最大，最大需求量是多少？‎ ‎（2）如果将该商品每月都投放市场P万件（销售未完的商品都可以在以后各月销售），要保证每月都足量供应，问P至少为多少万件？‎ ‎4. 7月份，有一款新服装投入某市场销售，‎7月1日该款服装仅销售出3件，‎‎7月2日 售出6件，‎7月3日售出9件，‎7月4日售出12件，尔后，每天售出的件数分别递增3件直到日销售量达到最大（只有1天）后，每天销售的件数开始下降，分别递减2件，到‎7月31日刚好售出3件。‎ ‎（1）问7月几号该款服装销售件数最多？其最大值是多少？‎ ‎（2）按规律，当该商场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行，问该款服装在社会上流行几天？说明理由。‎ ‎5. 如图，某海滨浴场的岸边可近似的看成直线，位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B处，而沿岸边自A跑到距离B最近的D处，然后游向B处，若救生员在岸边的行速为‎6米/秒，在海中的行进速度为‎2米/秒，‎ ‎⑴分析救生员的选择是否正确；‎ ‎300米 A C D B ‎⑵在AD上找一点C，是救生员从A到B的时间为最短，并求出最短时间。‎ ‎6. 某企业甲将经营状态良好的某种消费品专卖店以58万元的 ‎ ‎ 优惠价转让给企业乙，约定乙用经营该店的利润偿还转让费（不计息）。已知经营 ‎ 该店的固定成本为6.8万元/月，该消费品的进价为16元/件，月销量q（万件）‎ ‎ 与售价p(元/件)的关系如图.‎ ‎ (1）写出销量q与售价p的函数关系式；‎ ‎ （2）当售价p定为多少时，月利润最多？‎ ‎ （3）企业乙最早可望在经营该专卖店几 ‎ 个月后还清转让费？‎ ‎7. 随着我国加入WTO，某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，打入国际市场。已知投资生产这两种产品的有关数据如下表（单位：万美元）‎ ‎ 项 目 类 别 年固定成本 每件产品成本 每件产品销售价 每年最多生产的件数 甲产品 ‎30‎ ‎ a ‎ 10‎ ‎ 200‎ 乙产品 ‎ 50‎ ‎ 8‎ ‎ 18‎ ‎ 120‎ ‎ 其中年固定成本与生产的件数无关，a为常数，且4≤a≤8。令外，年销售x件乙产品时需上交0.05x万美元的特别关税。‎ （１） 写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y,y与生产相应产品的件数x (x 之间的函数关系式；‎ （１） 分别求出投资生产这两种产品的最大年利润；‎ （２） 如何决定投资可获最大年利润。‎ ‎8. 设某旅游景点每天的固定成本为500元，门票每张为30元，变动成本与购票进入旅游景点的人数的算术平方根成正比。一天购票人数为25时，该旅游景点收支平衡；一天购票人数超过100时，该旅游景点须另交保险费200元。设每天的购票人数为，盈利额为。‎ ‎（Ⅰ）求与之间的函数关系； （Ⅱ）试用程序框图描述算法（要求：输入购票人数，输出盈利额）；‎ ‎（Ⅲ）该旅游景点希望在人数达到20人时即不出现亏损，若用提高门票价格的措施，则每张门票至少要多少元（取整数）？ 注：可选用数据：.‎ ‎9. 已知如图, 某海滨浴场的岸边可近似地看成直线, 位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救, 救生员尚有直接从A处游向B处, 而是沿岸边自A跑到距离B最近的D处, 然后游向B处,若救生员在岸边的行进速度为‎6米/秒,在海中的行进速度为‎2米/秒.‎ ‎(I) 分析救生员的选择是否正确;‎ ‎(II) 有AD上找一点C, 使救生员从A到B的时间为最短,并求出最短时间. ‎ ‎ B ‎ ‎ ‎ ‎‎300米 ‎ ‎ ‎ A C D ‎10. 某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为（k＞0，k为常数，且n≥0），若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为万元．‎ ‎　　（1）求k的值，并求出的表达式；‎ ‎　　（2）问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?‎ ‎11. 已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大．‎ ‎　　现有以下两种设计，如图：‎ ‎　　图①的过水断面为等腰△ABC，AB＝BC，过水湿周．图②的过水断面为等腰梯形ABCD，AB＝CD，AD∥BC，∠BAD＝60°，过水湿周．‎ ‎　　若△ABC与梯形ABCD的面积都为S，‎ ‎　　　　　　　　　　 图①　　　　　　　　　　　　 　图②‎ ‎　　（1）分别求和的最小值；‎ ‎　　（2）为使流量最大，给出最佳设计方案．‎ ‎12. 某渔业公司今年初用98万购进一艘渔船用于捕捞.第一年需各种费 ‎ 用12万元，从第二年开始每年包括维修费在内，所需费用均比上一年增加4万元，该船捕捞总收入预计每年50万元.‎ 1） 该船捕捞几年开始盈利（即总收入减去成本及所有费用之差为正）？ ‎ 2） 该船捕捞若干年后，处理方案有两种：‎ ‎① 年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；‎ ‎② 盈利总额达到最大时，以8万元的价格卖出.‎ ‎ 问哪一种方案较为合算？并说明理由.‎ ‎13. 一个有140名职工的合资企业投资生产甲、乙两种不同产品，2000年该企业生产的甲产品创外汇32万元，乙产品创外汇216万元，该企业以后每年所创外汇是甲产品以2.25倍的速度递增，而生产乙产品的机器由于老化的原因，每年创外汇为上年的。这个企业只要年人均创外汇达3万元就可以列入国家重点企业。若以2000为第一年，问：‎ ‎（Ⅰ）从哪一年开始，甲产品年创外汇超过乙产品年创外汇（lg2=0.3010,lg3=0.4771）‎ ‎（Ⅱ）该企业哪一年所创外汇最少？该年甲、乙两种产品各创外汇多少万元？‎ ‎（Ⅲ）该企业到2003年能否进入国家重点企业？‎ ‎14. 某地区预计从2005年初的前n个月内，对某种商品的需求总量（万件）与月份n的近似关系为 ‎ （I）求2005年第n个月的需求量g(n)（万件）与月份n的函数关系式，并求出哪个月份的需求量超过1.4万件。‎ ‎ （II）如果将该商品每月都投放市场P万件，要保持每月都满足供应，则P至少为多少万件？‎ ‎15. 学校食堂改建一个开水房，计划用电炉或煤炭烧水，但用煤时也要用电鼓风及时排气，用煤浇开水每吨开水费为S元，用电炉烧开水每吨开水费为P元．‎ ‎　　，．‎ ‎　　其中x为每吨煤的价格，y为每百度电的价格，如果烧煤时的费用不超过用电炉时的费用，则仍用原备的锅炉烧水，否则就用电炉烧水．‎ ‎（1）如果两种方法烧水费用相同，试将每吨煤的价格表示为每百度电价的函数；‎ ‎（2）如果每百度电价不低于60元，则用煤烧水时每吨煤的最高价是多少?‎ ‎16. 某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．‎ ‎（1）问第几年开始获利?‎ ‎　　（2）若干年后，有两种处理方案：‎ ‎　　方案一：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船 ‎　　方案二：总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案合算．‎ ‎17. 如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方‎20km和‎54km处。某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号。在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是‎1.5km/s.‎ ‎（1）设A到P的距离为x km，用x表示B ，C到P的距离，并求x的值；‎ ‎（2）求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到‎0.01km）。‎ ‎18. 如图，一科学考察船从港口O出发，沿北偏东α角的射线OZ方向航行，而在离港口Oa（a为正常数）海里的北偏东β角的A处共有一个供给科考船物资的小岛，其中已知.现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O正东m海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科考船.该船沿BA方向全速追赶科考船，并在C处相遇.经测算当两船运行的航线与海岸线OB围成的三角形OBC的面积S最小时，这种补给最适宜.‎ ‎ （Ⅰ）（本问6分）求S关于m的函数关系式S（m）；‎ ‎ （Ⅱ）（本问6分）应征调m为何值处的船只，补给最适宜？‎ ‎19. 某人上午7时，乘摩托艇以匀速v海里/时从A港出发到距50海里的B港去，然后乘汽车以匀速千米/时自B港向距300千米的C市驶去，应该在同一天下午4时至9点到达C市．设汽车、摩托艇所需要的时间分别是x、y小时．‎ ‎　　（1）作图表示满足上述条件的x、y范围；‎ ‎　　（2）如果已知所要的经费（元），那么v、分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？‎ ‎20. 甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在、两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为‎1千克的药瓶，他们从、两个喷雾器中分别取‎1千克的药水，将中取得的倒入中，中取得的倒入中，这样操作进行了次后，喷雾器中药水的浓度为%，喷雾器中药水的浓度为%．‎ ‎（Ⅰ）证明是一个常数；‎ ‎（Ⅱ）求与的关系式；‎ ‎（Ⅲ）求的表达式．‎ ‎21. 某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上行驶入内陆海湾进行了一次模拟试验。如图，内陆海湾的入口处有暗礁，图中阴影所示的区域为暗礁区，其中线段关于坐标轴或原点对称，线段的方程为，过有一条航道。有一艘正在海面上航行的轮船准备进入内陆海湾，在点处测得该船发出的汽笛声的时刻总晚（设海面上声速为）。若该船沿着当前的航线航行（不考虑轮船的体积）‎ ‎（I）问兴趣小组观察到轮船的当前的航线所在的曲线方程是什么？‎ ‎（II）这艘船能否由海上安全驶入内陆海湾？请说明理由。‎ 答案：‎ ‎1. （1）由题意可设，每天多卖出的件数为，∴，∴‎ 又每件商品的利润为元，每天卖出的商品件数为 ‎∴该商品一天的销售利润为 ‎（2）由 令可得或 ‎ 当变化时，、的变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎384‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值432‎ ‎↘‎ ‎0‎ ‎∴当商品售价为16元时，一天销售利润最大，最大值为432元 ‎2. 依题意，公寓2002年底建成，2003年开始使用．‎ ‎　　（1）设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1000×80（元）＝800000（元）＝80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元．‎ ‎　　依题意有　…．‎ ‎　　化简得．‎ ‎　　∴　．‎ ‎　　两边取对数整理得．∴　取n＝12（年）．‎ ‎　　∴　到2014年底可全部还清贷款．‎ ‎　　（2）设每生和每年的最低收费标准为x元，因到2010年底公寓共使用了8年，‎ ‎　　依题意有…．‎ ‎　　化简得．‎ ‎∴　（元）‎ ‎　　故每生每年的最低收费标准为992元．‎ ‎3. （理）（1）a1=100，a2=0.95×100+x，a3=‎0.95a2+x=0.952×100+0.95x+x 对n>2有：an=0.95 an—1+x=0.952an—2+(x+0.95x)=…=0.95n—‎1a1 +x(1+0.95+…+0.95n—2)‎ ‎= ‎ ‎（2）当100-20x≥0，即x≤5时 当100-20x<0，即x>5时，‎ 此时{an}逐项增加，可任意接近20x 依题意可知：即20x150，∴x7.5‎ ‎∴每年新增粮食储备量不应超过7.5万吨 ‎（文）（1）‎ 当时，g(x)=f(x)-f(x-1)‎ 当x=1时，g(x)=g(1)也适合上式 又 等号当且仅当x=12-x即x=6时成立，即当x=6时，（万件）‎ ‎∴6月份该商品的需求量最大，最大需求量为万件。‎ ‎（2）依题意，对一切，有 令 答每个月至少投入万件可以保证每个月都足量供应。‎ ‎4. （1）设7月日售出的服装件数为， 为最大。‎ ‎ ， - ‎ ‎，‎ ‎7月13日该款服装销售件数最多，最大值为39件。‎ ‎（2）设是数列的前项和，‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 由时，得，‎ ‎ 由时，得，‎ ‎ 从‎7月12日到‎7月22日共11天该款服装在社会上流行。‎ ‎5. ⑴由A直接游向B处的时间为（秒）。‎ ‎ 由A经D到B的时间为（秒），而，‎ ‎ 因此，救生员的选择是正确的。‎ ‎⑵设∠BCD=α，则CD=300cotα，BC=，AC=300-300cotα。‎ ‎ 于是从A经C到B的时间为 ‎==‎ ‎ =≥=‎ 当且仅当，即时，‎ 上式等号成立。‎ 此时，CD=（米）时，t取得最小值为秒。‎ 因此，点C应选在沿岸边AD，距D点米处，才能使救生员从A到B所用时间最短，最短时间为秒。‎ ‎6. （1）‎ ‎ （2）设月利润为W（万元），则W=（p－16）q－6.8‎ ‎ =‎ 当 当 ‎∴当售价定为23元/件时，月利润最多为3万元 ‎（3）设最早n个月后还清转让费，则 ‎∴企业乙最早可望20个月后还清转让费 ‎7. ‎ ‎ 当4时，投资甲产品；当7.6

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