黑龙江省大庆实验中学高考数学一模试卷理科解析

黑龙江省大庆实验中学高考数学一模试卷理科解析

‎2016年黑龙江省大庆实验中学高考数学一模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.‎ ‎1．设全集I=R，集合A={y|y=log3x，x＞3}，B={x|y=}，则（　　）‎ A．A⊆BB．A∪B=AC．A∩B=∅D．A∩（∁IB）≠∅‎ ‎2．设i为虚数单位，则复数=（　　）‎ A．﹣4﹣3iB．﹣4+3iC．4+3iD．4﹣3i ‎3．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且c=，B=45°则S=2，则b等于（　　）‎ A． B． C．25D．5‎ ‎4．某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（　　）‎ A．36种B．30种C．24种D．6种 ‎5．已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p：若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q：若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β．对以上两个命题，下列结论中正确的是（　　）‎ A．命题“p且q”为真B．命题“p或¬q”为假 C．命题“p或q”为假D．命题“¬p且¬q”为假 ‎6．如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为（　　）‎ A．1B．2C．3D．4‎ ‎7．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p （p≠0），发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p的取值范围是（　　）‎ A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）‎ ‎8．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥C﹣ABD的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．如图，在由x=0，y=0，x=及y=cosx围成区域内任取一点，则该点落在x=0，y=sinx及y=cosx围成的区域内（阴影部分）的概率为（　　）‎ A．1﹣B．﹣1C． D．3﹣2‎ ‎10．若A，B，C是圆x2+y2=1上不同的三个点，O是圆心，且，存在实数λ，μ使得=，实数λ，μ的关系为（　　）‎ A．λ2+μ2=1B． C．λ•μ=1D．λ+μ=1‎ ‎11．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=a2=1，{nSn+（n+2）an}为等差数列，则an=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．定义区间[x1，x2]长度为x2﹣x1，（x2＞x1），已知函数f（x）= （a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最大长度时a的值为（　　）‎ A． B．a＞1或a＜﹣3C．a＞1D．3‎ ‎　‎ 二、填空题：：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．如图是判断“实验数”的流程图，在[30，80]内的所有整数中，“实验数”的个数是　　　　　　．‎ ‎14．已知向量=（m，1），=（4﹣n，2），m＞0，n＞0，若∥，则+的最小值　　　　　　．‎ ‎15．双曲线C：的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则双曲线C的离心率为　　　　　　．‎ ‎16．在正项等比数列{an}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+an＞a1a2…an的最大正整数n的值为　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2+sinAsinB=．‎ ‎（1）求角C的大小； ‎ ‎（2）若b=4，△ABC的面积为6，求边c的值．‎ ‎18．如图是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．‎ ‎（1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率；‎ ‎（2）设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列与数学期望．‎ ‎19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2，AD=1，PD⊥底面ABCD．‎ ‎（1）证明：PA⊥BD；‎ ‎（2）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．‎ ‎20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=4，椭圆C：，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中．设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2．‎ ‎（1）求k1k2的值；‎ ‎（2）记直线PQ，BC的斜率分别为kPQ，kBC，是否存在常数λ，使得kPQ=λkBC？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；‎ ‎（3）求证：直线AC必过点Q．‎ ‎21．已知函数f（x）=alnx+1（a＞0）．‎ ‎（1）当a=1且x＞1时，证明：f（x）＞3﹣；‎ ‎（2）若对∀x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）当a=时，证明： f（i）＞2（n+1﹣）．‎ ‎　‎ ‎[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．‎ ‎（Ⅰ）求证：PM2=PA•PC；‎ ‎（Ⅱ）若⊙O的半径为2，OA=OM，求MN的长．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为它与曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A、B两点．‎ ‎（1）求|AB|的长；‎ ‎（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）‎ ‎（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；‎ ‎（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016年黑龙江省大庆实验中学高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.‎ ‎1．设全集I=R，集合A={y|y=log3x，x＞3}，B={x|y=}，则（　　）‎ A．A⊆BB．A∪B=AC．A∩B=∅D．A∩（∁IB）≠∅‎ ‎【考点】集合的包含关系判断及应用．‎ ‎【分析】根据对数函数的单调性便可解出A={x|x＞1}，利用被开方数大于等于0，求出B，从而找出正确选项．‎ ‎【解答】解：A={y|y=log3x，x＞3}={y|y＞1}，B={x|y=}={x|x≥1}，‎ ‎∴A⊆B，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．设i为虚数单位，则复数=（　　）‎ A．﹣4﹣3iB．﹣4+3iC．4+3iD．4﹣3i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则即可得出．‎ ‎【解答】解：原式==﹣4﹣3i，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且c=，B=45°则S=2，则b等于（　　）‎ A． B． C．25D．5‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【分析】由S==2，得a=1，再直接利用余弦定理求得b．‎ ‎【解答】解：由S===2，得a=1‎ 又由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=1+32﹣2×=25，所以b=5‎ 故选D ‎　‎ ‎4．某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（　　）‎ A．36种B．30种C．24种D．6种 ‎【考点】计数原理的应用．‎ ‎【分析】先不考虑学生甲，乙不能同时参加同一学科竞赛，从4人中选出两个人作为一个元素，同其他两个元素在三个位置上排列，其中有不符合条件的，即甲乙两人在同一位置，去掉即可．‎ ‎【解答】解：从4人中选出两个人作为一个元素有C42种方法，‎ 同其他两个元素在三个位置上排列C42A33=36，‎ 其中有不符合条件的，‎ 即学生甲，乙同时参加同一学科竞赛有A33种结果，‎ ‎∴不同的参赛方案共有 36﹣6=30，‎ 故选：B ‎　‎ ‎5．已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p：若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q：若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β．对以上两个命题，下列结论中正确的是（　　）‎ A．命题“p且q”为真B．命题“p或¬q”为假 C．命题“p或q”为假D．命题“¬p且¬q”为假 ‎【考点】平面与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】根据平面平行的判断方法，我们对已知中的两个命题p，q进行判断，根据判断结合和复合命题真值表，我们对四个答案逐一进行判断，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵当α⊥β，β⊥γ时，‎ α与γ可能平行与可能垂直 故命题p为假命题 又∵若α上不共线的三点到β的距离相等时 α与β可能平行也可能相交，‎ 故命题q也为假命题 故命题“p且q”为假，命题“p或¬q”为真，命题“p或q”为假，命题“¬p且¬q”为真 故选C ‎　‎ ‎6．如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为（　　）‎ A．1B．2C．3D．4‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】首先作出其可行域，再由题意讨论目标函数在哪个点上取得最值，解出k．‎ ‎【解答】解：作出其平面区域如右图：‎ A（1，2），B（1，﹣1），C（3，0），‎ ‎∵目标函数z=kx﹣y的最小值为0，‎ ‎∴目标函数z=kx﹣y的最小值可能在A或B时取得；‎ ‎∴①若在A上取得，则k﹣2=0，则k=2，此时，‎ z=2x﹣y在C点有最大值，z=2×3﹣0=6，成立；‎ ‎②若在B上取得，则k+1=0，则k=﹣1，‎ 此时，z=﹣x﹣y，在B点取得的应是最大值，‎ 故不成立，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p （p≠0），发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p的取值范围是（　　）‎ A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）‎ ‎【考点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差．‎ ‎【分析】根据题意，首先求出X=1、2、3时的概率，进而可得EX的表达式，由题意EX＞1.75，可得p2﹣3p+3＞1.75，解可得p的范围，结合p的实际意义，对求得的范围可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，学生发球次数为1即一次发球成功的概率为p，即P（X=1）=p，‎ 发球次数为2即二次发球成功的概率P（X=2）=p（1﹣p），‎ 发球次数为3的概率P（X=3）=（1﹣p）2，‎ 则Ex=p+2p（1﹣p）+3（1﹣p）2=p2﹣3p+3，‎ 依题意有EX＞1.75，则p2﹣3p+3＞1.75，‎ 解可得，p＞或p＜，‎ 结合p的实际意义，可得0＜p＜，即p∈（0，）‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥C﹣ABD的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】画出几何体的图形，根据三视图的特征，推出左视图的形状，然后求解即可．‎ ‎【解答】解：在三棱锥C﹣ABD中，‎ C在平面ABD上的射影为BD的中点，‎ 左视图的面积等于，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．如图，在由x=0，y=0，x=及y=cosx围成区域内任取一点，则该点落在x=0，y=sinx及y=cosx围成的区域内（阴影部分）的概率为（　　）‎ A．1﹣B．﹣1C． D．3﹣2‎ ‎【考点】定积分在求面积中的应用；几何概型．‎ ‎【分析】根据积分的几何意义求出阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由x=0，y=0，x=及y=cosx围成区域内围成的区域面积S==sinx|，‎ 由x=0，y=sinx及y=cosx围成的区域面积S==（sinx+cosx）|=，‎ ‎∴根据根据几何概型的概率公式可得所求的概率P=，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．若A，B，C是圆x2+y2=1上不同的三个点，O是圆心，且，存在实数λ，μ使得=，实数λ，μ的关系为（　　）‎ A．λ2+μ2=1B． C．λ•μ=1D．λ+μ=1‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用；向量的共线定理；数量积判断两个平面向量的垂直关系．‎ ‎【分析】由A，B，C是圆x2+y2=1上不同的三个点，可得，又，所以对两边平方即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵，两边平方得：‎ ‎∵‎ ‎∴λ2+μ2=1‎ 故选A ‎　‎ ‎11．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=a2=1，{nSn+（n+2）an}为等差数列，则an=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】设bn=nSn+（n+2）an，由已知得b1=4，b2=8，从而bn=nSn+（n+2）an=4n，进而得到是以为公比，1为首项的等比数列，由此能求出．‎ ‎【解答】解：设bn=nSn+（n+2）an，‎ ‎∵数列{an}的前n项和为Sn，且a1=a2=1，‎ ‎∴b1=4，b2=8，‎ ‎∴bn=b1+（n﹣1）×（8﹣4）=4n，‎ 即bn=nSn+（n+2）an=4n 当n≥2时，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴是以为公比，1为首项的等比数列，‎ ‎∴，∴．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．定义区间[x1，x2]长度为x2﹣x1，（x2＞x1），已知函数f（x）= （a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最大长度时a的值为（　　）‎ A． B．a＞1或a＜﹣3C．a＞1D．3‎ ‎【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．‎ ‎【分析】得出，故m，n是方程）=﹣=x的同号的相异实数根，即a2x2﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根得出mn=，只需△=a2（a+3）（a﹣1）＞0，a＞1或a＜﹣3，利用函数求解n﹣m==，n﹣m取最大值为．此时a=3，‎ ‎【解答】解：设[m，n]是已知函数定义域的子集．‎ x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），‎ 故函数f（x）=﹣在[m，n]上单调递增，则，‎ 故m，n是方程）=﹣=x的同号的相异实数根，‎ 即a2x2﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根 ‎∵mn=‎ ‎∴m，n同号，只需△=a2（a+3）（a﹣1）＞0，‎ ‎∴a＞1或a＜﹣3，n﹣m==，‎ n﹣m取最大值为．此时a=3，‎ 故选：D ‎　‎ 二、填空题：：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．如图是判断“实验数”的流程图，在[30，80]内的所有整数中，“实验数”的个数是　12　．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】从程序框图中得到实验数的定义，找出区间中被3整除的数；找出被12整除的数；找出不能被6整除的数得到答案．‎ ‎【解答】解：由程序框图知实验数是满足：能被3整除不能被6整除或能被12整除的数，‎ 在[30，80]内的所有整数中，所有的能被3整除数有：‎ ‎30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78共有17个数，‎ 在这17个数中能被12 整除的有36，48，60，72，共4个数，‎ 在这17个数中不能被6 整除的有33，39，45，51，57，63，69，75，共计8个数，‎ 所以在[30，80]内的所有整数中“试验数”的个数是12个．‎ 故答案为：12．‎ ‎　‎ ‎14．已知向量=（m，1），=（4﹣n，2），m＞0，n＞0，若∥，则+的最小值　frac{9}{2}　．‎ ‎【考点】基本不等式；平面向量共线（平行）的坐标表示．‎ ‎【分析】由∥，可得：n+2m=4．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵∥，∴4﹣n﹣2m=0，即n+2m=4．‎ ‎∵m＞0，n＞0，‎ ‎∴+=（n+2m）=≥=，当且仅当n=4m=时取等号．‎ ‎∴+的最小值是．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．双曲线C：的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则双曲线C的离心率为　sqrt{7}　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率．‎ ‎【解答】解：根据双曲线的定义，可得|BF1|﹣|BF2|=2a，‎ ‎∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|=|AB|‎ ‎∴|BF1|﹣|BF2|=2a，即|BF1|﹣|AB|=|AF1|=2a 又∵|AF2|﹣|AF1|=2a，‎ ‎∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，‎ ‎∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°‎ ‎∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos120°‎ 即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，解之得c=a，‎ 由此可得双曲线C的离心率e==‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．在正项等比数列{an}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+an＞a1a2…an的最大正整数n的值为　12　．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和；一元二次不等式的解法；数列的函数特性；等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】设正项等比数列{an}首项为a1，公比为q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+an及a1a2…an的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案．‎ ‎【解答】解：设正项等比数列{an}首项为a1，公比为q，‎ 由题意可得，解之可得：a1=，q=2，‎ 故其通项公式为an==2n﹣6．‎ 记Tn=a1+a2+…+an==，‎ Sn=a1a2…an=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=．‎ 由题意可得Tn＞Sn，即＞，‎ 化简得：2n﹣1＞，即2n﹣＞1，‎ 因此只须n＞，即n2﹣13n+10＜0‎ 解得＜n＜，‎ 由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12．‎ 故答案为：12‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2+sinAsinB=．‎ ‎（1）求角C的大小； ‎ ‎（2）若b=4，△ABC的面积为6，求边c的值．‎ ‎【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．‎ ‎【分析】（1）利用降幂公式，两角和与差的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简已知等式，可求cosC的值，结合C的范围可求C的值．‎ ‎（2）利用三角形面积公式可求a的值，结合余弦定理即可求得c的值．‎ ‎【解答】解：（1）sin2+sinAsinB=．‎ ‎⇒，‎ ‎⇒，‎ ‎⇒，‎ ‎⇒，‎ ‎⇒，‎ ‎⇒，‎ ‎⇒，‎ ‎（2）∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∵c2=a2+b2﹣2abcosC=10，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎18．如图是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．‎ ‎（1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率；‎ ‎（2）设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列与数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．‎ ‎【分析】（1）设Ai表示事件“此人于2月i日到达该市”依题意知p（Ai）=，设B为事件“此人到达当日空气质量重度污染”，则B=A1∪A2∪A3∪A7∪A12，由此能求出此人到达当日空气质量重度污染的概率．‎ ‎（2）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和ξ的期望．‎ ‎【解答】解：（1）设Ai表示事件“此人于2月i日到达该市”（i=1，2，…，12）．‎ 依题意知，p（Ai）=，且Ai∩Aj=Φ（i≠j）．‎ 设B为事件“此人到达当日空气质量重度污染”，‎ 则B=A1∪A2∪A3∪A7∪A12，‎ 所以P（B）=（A1∪A2∪A3∪A7∪A12）‎ ‎=P（A1）+P（A2）+P（A3）+P（A7）+P（A12）=．‎ 即此人到达当日空气质量重度污染的概率为．‎ ‎（2）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，‎ P（ξ=0）=P（A4∪A8∪A9）=P（A4）+P（A8）+P（A9）=，‎ P（ξ=2）=P（A2∪A11）=P（A2）+P（A11）=，‎ P（ξ=3）=P（A1∪A12）=P（A1）+P（A12）=，‎ P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=2）﹣P（ξ=3）=1﹣=，‎ ‎∴ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故ξ的期望Eξ=．‎ ‎　‎ ‎19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2，AD=1，PD⊥底面ABCD．‎ ‎（1）证明：PA⊥BD；‎ ‎（2）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．‎ ‎【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．‎ ‎【分析】（1）由余弦定理得BD=，由勾股定理，得BD⊥AD，由线线面垂直得BD⊥PD，从而BD⊥平面PAD，由此能证明PA⊥BD．‎ ‎（2）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面APB的法向量和平面PBC的法向量，由此能求出二面角A﹣PB﹣C的余弦值．‎ ‎【解答】（1）证明：因为∠DAB=60°，AB=2，AD=1，‎ 由余弦定理得BD==，‎ ‎∴BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD，‎ ‎∵PD⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴BD⊥PD，又AD∩PD=D，‎ ‎∴BD⊥平面PAD，又PA⊂平面PAD，‎ ‎∴PA⊥BD．‎ ‎（2）解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，‎ 建立空间直角坐标系，‎ 由已知得A（1，0，0），P（0，0，1），B（0，，0），C（﹣1，，0），‎ ‎=（1，0，﹣1），=（0，，﹣1），=（﹣1，，﹣1），‎ 设平面APB的法向量=（x，y，z），‎ 则，取y=，得=（3，，3），‎ 设平面PBC的法向量=（a，b，c），‎ 则，取b=，得=（0，，3），‎ 设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ，由图象知θ为钝角，‎ ‎∴cosθ=﹣|cos＜＞|=﹣||=﹣||=﹣．‎ ‎∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为﹣．‎ ‎　‎ ‎20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=4，椭圆C：，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中．设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2．‎ ‎（1）求k1k2的值；‎ ‎（2）记直线PQ，BC的斜率分别为kPQ，kBC，是否存在常数λ，使得kPQ=λkBC？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；‎ ‎（3）求证：直线AC必过点Q．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）设B（x0，y0），则C（﹣x0，﹣y0），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求值；‎ ‎（2）联立直线AB的方程和圆方程，求得P的坐标；联立直线AB的方程和椭圆方程，求得B的坐标，再求直线PQ，和直线BC的斜率，即可得到结论；‎ ‎（3）讨论直线PQ的斜率不存在和存在，联立直线PQ的方程和椭圆方程，求得Q的坐标，可得AQ的斜率，即可得证．‎ ‎【解答】解：（1）设B（x0，y0），则C（﹣x0，﹣y0），，‎ 所以； ‎ ‎（2）联立得，‎ 解得，‎ 联立得，‎ 解得，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 故存在常数，使得． ‎ ‎（3）证明：当直线PQ与x轴垂直时，，‎ 则，所以直线AC必过点Q．‎ 当直线PQ与x轴不垂直时，直线PQ方程为：，‎ 联立，‎ 解得，‎ 所以，‎ 故直线AC必过点Q．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=alnx+1（a＞0）．‎ ‎（1）当a=1且x＞1时，证明：f（x）＞3﹣；‎ ‎（2）若对∀x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）当a=时，证明： f（i）＞2（n+1﹣）．‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】（1）当a=1且x＞1时，构造函数m（x）=lnx+﹣2，利用函数单调性和导数之间的关系即可证明：f（x）＞3﹣；‎ ‎（2）根据函数最值和函数导数之间的关系将不等式恒成立问题进行转化，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）根据函数的单调性的性质，利用放缩法即可证明不等式．‎ ‎【解答】（1）证明：要证f（x）＞3﹣，即证lnx+﹣2＞0，‎ 令m（x）=lnx+﹣2，‎ 则m'（x）=，‎ ‎∴m（x）在（1，+∞）单调递增，m（x）＞m（1）=0，‎ ‎∴lnx+﹣2＞0，‎ 即f（x）＞3﹣成立．‎ ‎（2）解法一：由f（x）＞x且x∈（1，e），可得a，‎ 令h（x）=，则h'（x）=，‎ 由（1）知lnx﹣1+＞1+=，‎ ‎∴h'（x）＞0函数，h（x）在（1，e）单调递增，当x∈（1，e）时，h（x）＜h（e）=e﹣1，‎ 即a≥e﹣1．‎ 解法二：令h（x）=alnx+1﹣x，则h'（x）=，‎ 当a＞e时，h'（x）＞0，函数h（x）在（1，e）上是增函数，有h（x）＞h（1）=0，‎ 当1＜a≤e时，∵函数h（x）在（1，a）上递增，在（a，e）上递减，‎ 对∀x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，只需h（e）≥0，即a≥e﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 当a≤1时，函数h（x）在（1，e）上递减，对∀x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，只需h（e）≥0，‎ 而h（e）=a+1﹣e＜0，不合题意，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 综上得对∀x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，a≥e﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣】‎ ‎【解法三：由f（x）＞x且x∈（1，e）可得 由于表示两点A（x，lnx），B（1，0）的连线斜率，‎ 由图象可知y=在（1，e）单调递减，‎ 故当x∈（1，e）时，，‎ ‎∴0，‎ 即a≥e﹣1．‎ ‎（3）当a=时，f（x）=，则f（i）=ln（n+1）!+n，‎ 要证f（i）＞2（n+1﹣），即证lni＞2n+4﹣4，‎ 由（1）可知ln（n+1）＞2﹣，‎ 又n+2=（n+1）+1＞2＞，‎ ‎∴，‎ ‎∴ln（n+1）＞2﹣，‎ ‎∴ln2+ln3+…+ln（n+1）=2n+4﹣4，‎ 故f（i）＞2（n+1﹣）．得证．‎ ‎　‎ ‎[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．‎ ‎（Ⅰ）求证：PM2=PA•PC；‎ ‎（Ⅱ）若⊙O的半径为2，OA=OM，求MN的长．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段．‎ ‎【分析】（Ⅰ）做出辅助线连接ON，根据切线得到直角，根据垂直得到直角，即∠ONB+∠BNP=90°且∠OBN+∠BMO=90°，根据同角的余角相等，得到角的相等关系，得到结论．‎ ‎（Ⅱ）本题是一个求线段长度的问题，在解题时，应用相交弦定理，即BM•MN=CM•MA，代入所给的条件，得到要求线段的长．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：连接ON，因为PN切⊙O于N，‎ ‎∴∠ONP=90°，‎ ‎∴∠ONB+∠BNP=90°‎ ‎∵OB=ON，‎ ‎∴∠OBN=∠ONB 因为OB⊥AC于O，‎ ‎∴∠OBN+∠BMO=90°，‎ 故∠BNP=∠BMO=∠PMN，PM=PN ‎∴PM2=PN2=PA•PC ‎（Ⅱ）∵OM=2，BO=2，BM=4‎ ‎∵BM•MN=CM•MA=（2+2）（2﹣2）（2﹣2）=8，‎ ‎∴MN=2‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为它与曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A、B两点．‎ ‎（1）求|AB|的长；‎ ‎（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．‎ ‎【考点】直线的参数方程；点到直线的距离公式；柱坐标刻画点的位置．‎ ‎【分析】（Ⅰ）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t2﹣12t﹣5=0，求出t1+t2和t1•t2，根据|AB|‎ ‎=•|t1﹣t2|=5，运算求得结果．‎ ‎（Ⅱ）根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为 =． 由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=•||，运算求得结果．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t2﹣12t﹣5=0，‎ 设A，B对应的参数分别为 t1 和t2，则 t1+t2=，t1•t2 =﹣． ‎ 所以|AB|=•|t1﹣t2|=5 =． ‎ ‎（Ⅱ）易得点P在平面直角坐标系下的坐标为（﹣2，2），‎ 根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为 =． ‎ 所以由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=•||=．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）‎ ‎（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；‎ ‎（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【考点】带绝对值的函数；绝对值不等式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，或，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．‎ ‎（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，由题意可得|a﹣1|≥4，与偶此解得 a的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于 ‎，，或，或．‎ 解得：x≤0或 x≥5．‎ 故不等式f（x）≥5的解集为 {x|x≤0，或 x≥5 }． …‎ ‎（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）‎ 所以：f（x）min=|a﹣1|．…‎ 由题意得：|a﹣1|≥4，解得 a≤﹣3，或a≥5． …‎ ‎　‎ ‎2016年7月14日