高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结

高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结

‎1. 均值不等式法 例1 设求证 例2 已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证： ‎ 例3 求证.‎ 例4 已知，，求证：≤1.‎ ‎2．利用有用结论 例5 求证 例6 已知函数 求证：对任意且恒成立。‎ 例7 已知 用数学归纳法证明；‎ 对对都成立，证明（无理数）‎ 例8 已知不等式。表示不超过的最大整数。设正数数列满足：求证 再如：设函数。‎ ‎ （Ⅰ）求函数最小值；（Ⅱ）求证：对于任意，有 例9 设，求证：数列单调递增且 ‎ ‎3. 部分放缩 例10 设,求证：‎ 例11 设数列满足，当时证明对所有 有：‎ ‎； .‎ ‎4 . 添减项放缩 例12 设，求证.‎ 例13 设数列满足 证明对一切正整数成立；‎ ‎5 利用单调性放缩: 构造函数 例14 已知函数的最大值不大于，又当时 ‎ （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，证明 例15 数列由下列条件确定：，．‎ ‎（I） 证明：对总有；(II) 证明：对总有 ‎6 . 换元放缩 例16 求证 例17 设，，求证.‎ ‎7 转化为加强命题放缩 ‎ 例18 设，定义，求证：对一切正整数有 例19 数列满足证明 ‎ 例20 已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝‎ （1） 求数列｛an｝的通项公式；（2）证明：对一切正整数n有a1·a2·……an<2·n！ ‎ ‎8. 分项讨论 例21 已知数列的前项和满足 ‎ （Ⅰ）写出数列的前3项； （Ⅱ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）证明：对任意的整数，有.‎ ‎9. 借助数学归纳法 例22（Ⅰ）设函数，求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）设正数满足，求证：‎ ‎10. 构造辅助函数法 例23 已知= ,数列满足 ‎（1）求在上的最大值和最小值; （2）证明：;‎ ‎（3）判断与的大小，并说明理由.‎ 例24 已知数列的首项，，．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的，，；‎ ‎（Ⅲ）证明：．‎ 例25 已知函数f(x)=x2-1(x>0)，设曲线y=f(x)在点（xn,f(xn)）处的切线与x轴的交点为（xn+1,0）(n∈N*).‎ ‎ (Ⅰ) 用xn表示xn+1； （Ⅱ）求使不等式对一切正整数n都成立的充要条件，并说明理由；‎ ‎（Ⅲ）若x1=2，求证：‎ 例1 解析 此数列的通项为，‎ ‎，即 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！‎ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 ‎ ，其中，等的各式及其变式公式均可供选用。‎ 例2 [简析] ‎ 例3 简析 不等式左边=‎ ‎=，故原结论成立.‎ 例4 【解析】使用均值不等式即可：因为，所以有 ‎ ‎ ‎ 其实，上述证明完全可以改述成求的最大值。本题还可以推广为：‎ ‎ 若，， 试求的最大值。‎ ‎ 请分析下述求法：因为，所以有 ‎ ‎ ‎ 故的最大值为，且此时有。‎ 上述解题过程貌似完美，其实细细推敲，是大有问题的：取“＝”的条件是，即必须有，即只有p=q时才成立！那么，呢？其实例6的方法照样可用，只需做稍稍变形转化：‎ 则有 ‎ ‎ ‎ 于是，，当且仅当 ‎ 结合其结构特征，还可构造向量求解：设，则 由立刻得解： ‎ 且取“＝”的充要条件是：。‎ ‎2．利用有用结论 例5 简析 本题可以利用的有用结论主要有：‎ 法1 利用假分数的一个性质可得 即 ‎ 法2 利用贝努利不等式的一个特例(此处)得，‎ 例6 [简析] 高考标准用数学归纳法证明，；这里给出运用柯西（）不等式的简捷证法：‎ 而由不等式得 ‎(时取等号)‎ ‎ （），得证！‎ 例7 [解析] 结合第问结论及所给题设条件（）的结构特征，可得放缩思路：。‎ 于是，‎ ‎ 即 ‎【注】：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩：‎ ‎，‎ 即 例8 【简析】 当时，即 于是当时有 ‎ 注：本题涉及的和式为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论来进行有效地放缩；‎ 再如：【解析】（Ⅰ）1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，对x>－1有，利用此结论进行巧妙赋值：取，则有 即对于任意，有 例9 [解析] 引入一个结论：若则，（可通过构造一个等比数列求和放缩来证明，略）‎ 整理上式得（），以代入（）式得。即单调递增。以代入（）式得。此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。‎ ‎ 注：上述不等式可加强为简证如下： 利用二项展开式进行部分放缩：‎ ‎ 只取前两项有对通项作如下放缩：‎ 故有 ‎3. 部分放缩 例10 [解析] ‎ 又（只将其中一个变成，进行部分放缩），，‎ 于是 例11 【解析】 用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，‎ 则当时，成立。‎ ‎ 利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得 ‎ 【注】上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；‎ 证明就直接使用了部分放缩的结论。‎ 例12 [简析] 观察的结构，注意到，展开得 即，得证.‎ 例13[简析] 本题有多种放缩证明方法，这里我们对（Ⅰ）进行减项放缩，有 法1 用数学归纳法（只考虑第二步）；‎ 法2 ‎ 则 例14 [解析] （Ⅰ）=1 ；（Ⅱ）由得 且 用数学归纳法（只看第二步）：在是增函数，则得 例15 [解析] 构造函数易知在是增函数。当时在 递增，故。对(II)有，构造函数 它在上是增函数，故有，得证。‎ ‎【注】①数列单调递减有下界因而有极限：‎ ②是递推数列的母函数，研究其单调性对此数列本质属性具有重要的指导作用。‎ 例16 [简析] 令，这里则有 ‎，从而有 注：通过换元化为幂的形式，为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的作用。‎ 例17 [简析] 令，则，，应用二项式定理进行部分放缩有 ‎，‎ 注意到，则（证明从略），因此.‎ ‎7 转化为加强命题放缩 例18 [解析] 用数学归纳法推时的结论，仅用归纳假设及递推式 是难以证出的，因为出现在分母上！可以逆向考虑：‎ 故将原问题转化为证明其加强命题：对一切正整数有（证略）‎ 例19 [简析] 将问题一般化：先证明其加强命题 用数学归纳法，只考虑第二步：‎ ‎。因此对一切有 ‎ ‎ 例20 [解析]：（1）将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为1－＝，公比，从而1－＝，据此得an＝（n³1）……1° ‎（2）证：据1°得，a1·a2·…an＝，为证a1·a2·……an<2·n！，‎ 只要证nÎN*时有>……2° 显然，左端每个因式都是正数，先证明一个加强不等式：‎ ‎ 对每个nÎN*，有³1－（）……3° ‎（用数学归纳法，证略）利用3°得³1－（）‎ ‎＝1－＝1－>。故2°式成立，从而结论成立。‎ ‎8. 分项讨论 例21 [简析] （Ⅰ）略，（Ⅱ） ；（Ⅲ）由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：‎ 当且为奇数时 ‎（减项放缩），‎ 于是, ①当且为偶数时，‎ ②当且为奇数时，（添项放缩）‎ 由①知。由①②得证。‎ ‎9. 借助数学归纳法 例22 [解析] 科学背景：直接与凸函数有关！（Ⅰ）略，只证（Ⅱ）：‎ 考虑试题的编拟初衷，是为了考查数学归纳法，于是借鉴詹森不等式的证明思路有：‎ 法1（用数学归纳法）‎ ‎（i）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立。（ii）假定当时命题成立，即若正数，‎ 则 当时，若正数（*）‎ 为利用归纳假设，将（*）式左边均分成前后两段：‎ 令 则为正数，且 由归纳假定知 ‎ （1）‎ 同理，由得 ‎（2）‎ 综合（1）（2）两式 即当时命题也成立. 根据（i）、（ii）可知对一切正整数n命题成立.‎ 法2 构造函数 利用（Ⅰ）知，当 对任意② ‎ ‎（②式是比①式更强的结果）. 下面用数学归纳法证明结论.‎ ‎（i）当n=1时，由（I）知命题成立.‎ ‎（ii）设当n=k时命题成立，即若正数 ‎ ‎ 对（*）式的连续两项进行两两结合变成项后使用归纳假设，并充分利用②式有 由归纳法假设 ‎ ‎ 得 ‎ 即当时命题也成立. 所以对一切正整数n命题成立.‎ ‎【评注】（1）式②也可以直接使用函数下凸用（Ⅰ）中结论得到；‎ ‎（2）为利用归纳假设，也可对（*）式进行对应结合：而变成项；‎ ‎（3）本题用凸函数知识分析如下：先介绍詹森（jensen）不等式：若为上的下凸函数，则 对任意，有 ‎ 特别地，若，则有 若为上凸函数则改“”为“”。‎ 由为下凸函数得 ，又，所以 ‎（4）本题可作推广如下：若正数满足，则 ‎。简证：构造函数，‎ 易得 故 ‎10. 构造辅助函数法 例23 【解析】(1) 求导可得在上是增函数,‎ ‎（2）（数学归纳法证明）①当时，由已知成立；②假设当时命题成立，即成立，‎ 那么当时，由（1）得，，， ，这就是说时命题成立。由①、②知，命题对于都成立 ‎ ‎（3） 由, 构造辅助函数，得 ‎，当时，‎ 故，所以<0 得g(x)在是减函数， ‎ ‎ ∴g(x)>g(0)=f(0)-2=0，∴>0,即>0，得>。‎ 例24 【解析】（Ⅰ）．（Ⅱ）提供如下两种思路：‎ 思路1 观察式子右边特征，按为元进行配方，确定其最大值。‎ 法1 由（Ⅰ）知，‎ ‎，原不等式成立．‎ 思路2 将右边看成是关于x的函数，通过求导研究其最值来解决：‎ 法2 设，则 ‎，当时，；当时，，‎ 当时，取得最大值．原不等式成立．‎ ‎（Ⅲ）思路1 考虑本题是递进式设问，利用（Ⅱ）的结论来探究解题思路：‎ 由（Ⅱ）知，对任意的，有 ‎．取，‎ 则．原不等式成立．‎ ‎【注】本解法的着眼点是对上述不等式中的x进行巧妙赋值，当然，赋值方法不止一种，如：还可令，得 ‎ 思路2 所证不等式是与正整数n有关的命题，能否直接用数学归纳法给予证明？尝试：‎ ‎ （1）当时，成立；‎ ‎ （2）假设命题对成立，即 则当时，有 ，‎ 只要证明；即证，‎ 即证 用二项式定理（展开式部分项）证明，再验证前几项即可。如下证明是否正确，请分析：易于证明对任意成立；于是 ‎【注】上述证明是错误的！因为：是递增的，不能逐步“缩小”到所需要的结论。可修改如下：‎ 考虑是某数列的前n项和，则，‎ 只要证明 思路3 深入观察所证不等式的结构特征, 利用均值不等式可得如下妙证：‎ 由取倒数易得：，用n项的均值不等式：‎ ‎，‎ 例25 【解析】(Ⅰ) （Ⅱ）使不等式对一切正整数n都成立的充要条件是x1≥1.‎ ‎ (Ⅲ) 基本思路：寻求合适的放缩途径。‎ ‎ 探索1 着眼于通项特征，结合求证式特点，尝试进行递推放缩：‎ ‎ ‎ ‎ 即。于是由此递推放缩式逐步放缩得 ‎ 探索2 从求证式特征尝试分析：结论式可作如下变形：‎ ‎ 逆向思考，猜想应有：（用数学归纳法证明，略）。‎ ‎ 探索3 探索过渡“桥”，寻求证明加强不等式：由（2）知xn≥1，由此得。有 尝试证明 ‎ 证法1（数学归纳法，略）；‎ ‎ 法2 （用二项展开式部分项）：当n≥2时2n=(1+1)n≥‎ ‎ 此题还可发现一些放缩方法，如：‎ ‎。（每一项都小于1），而再证即，则需要归纳出条件n≥4.(前4项验证即可)‎ 技巧积累:(1) (2) ‎ ‎ (3) ‎ ‎ (4) ‎ ‎ (5) (6) ‎ ‎ (7) (8) ‎ ‎ (9) ‎ ‎ (10) (11)‎ ‎ (11) ‎ ‎ (12) ‎ ‎ ‎ ‎ (13) ‎ ‎ (14) (15) ‎ ‎ (15) ‎