全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全53726
高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集
1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A，点B、D在直线l1上(B、D 位于点A右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M是该平面上的一个动点，M在l1上的射影点是N，且|BN|=2|DM|.
(Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M的轨迹C的方程．
(Ⅱ)过点D且不与l1、l2垂直的直线l交(Ⅰ)中的轨迹C于E、F两点；另外平面上的点G、H满足：
A
D
M
B
N
l2
l1
???
求点G的横坐标的取值范围．
2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程.
3. 已知椭圆的一条准线方程是其左、右顶点分别
是A、B；双曲线的一条渐近线方程为3x－5y=0.
（Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；
（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若. 求证：
4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为a.
（1）用半焦距c表示椭圆的方程及tan;
（2）若2
0,b>0）的右准线一条渐近线交于两点P、Q，F是双曲线的右焦点。
（I）求证：PF⊥；
（II）若△PQF为等边三角形，且直线y=x+b交双曲线于A，B两点，且，求双曲线的方程；
（III）延长FP交双曲线左准线和左支分别为点M、N，若M为PN的中点，求双曲线的离心率e。
22. 已知又曲线 在左右顶点分别是A，B，点P是其右准线上的一点，若点A关于点P的对称点是M，点P关于点B的对称点是N，且M、N都在此双曲线上。
（I）求此双曲线的方程；
（II）求直线MN的倾斜角。
23. 如图，在直角坐标系中，点A（-1，0），B（1，0），P（x，y）（）。设与x轴正方向的夹角分别为α、β、γ，若。
（I）求点P的轨迹G的方程；
（II）设过点C（0，-1）的直线与轨迹G交于不同两点M、N。问在x轴上是否存在一点，使△MNE为正三角形。若存在求出值；若不存在说明理由。
24. 设椭圆过点，且焦点为。
（1）求椭圆的方程；
（2）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点A、B时，在线段上取点，
满足，证明：点总在某定直线上。
25. 平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0）、B（0，－2），点C满足、
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与双曲线交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：.
26. 设，、分别为轴、轴上的点，且，动点满足：.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过定点任意作一条直线与曲线交与不同的两点、，问在轴上是否存在一定点，使得直线、的倾斜角互补？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
27. 如图，直角梯形ABCD中，∠，AD∥BC，AB=2，AD=，BC=
椭圆F以A、B为焦点，且经过点D，
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆F的方程；
C
B
D
A
（Ⅱ）是否存在直线与两点，且线段，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由.
28. 如图所示，B（– c，0），C（c，0），AH⊥BC，垂足为H，且．
（1）若= 0，求以B、C为焦点并且经过点A的椭圆的离心率；
（2）D分有向线段的比为，A、D同在以B、C为焦点的椭圆上，
当 ―5≤≤ 时，求椭圆的离心率e的取值范围．
29. 在直角坐标平面中，的两个顶点的坐标分别为，，平面内两点同时满足下列条件：
①；②；③∥
（1）求的顶点的轨迹方程；
（2）过点的直线与（1）中轨迹交于两点，求的取值范围
答案：
1.解：(Ⅰ) 以A点为坐标原点，l1为x轴，建立如图所示的坐标系，则D(1，0)，B(4，0)，设M（x，y），
则N（x，0）.
∵|BN|=2|DM|，
∴|4－x|=2,
整理得3x2+4y2=12,
∴动点M的轨迹
方程为.
(Ⅱ)∵
∴A、D、G三点共线，即点G在x轴上；又∵∴H点为线段EF的中点；又∵∴点G是线段EF的垂直平分线GH与x轴的交点。
设l：y=k(x－1)(k≠0)，代入3x2+4y2=12得
(3+4k2)x2－8k2x+4k2－12=0，由于l过点D(1，0)是椭圆的焦点，
∴l与椭圆必有两个交点，
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，EF的中点H的坐标为（x0，y0），
∴x1+x2= ，x1x2= ，
x0= = ，y0=k(x0－1)= ，
∴线段EF的垂直平分线为
y－ y0 =－ (x－x0)，令y=0得，
点G的横坐标xG = ky0+x0 = + =
= －，
∵k≠0，∴k2>0，∴3+4k2>3，0<<，∴－<－<0，
∴xG= －(0，）
∴点G的横坐标的取值范围为(0，）.
2.解：∵，∴
由得
∴设椭圆的方程为（）
即（）
设是椭圆上任意一点，则
（）
若即，则当时，
由已知有，得；
若即，则当时，
由已知有，得（舍去）.
综上所述，，.
所以，椭圆的方程为.
3.解：（I）由已知
∴椭圆的方程为，双曲线的方程.
又 ∴双曲线的离心率
（Ⅱ）由（Ⅰ）A（－5，0），B（5，0） 设M得M为AP的中点
∴P点坐标为 将M、p坐标代入c1、c2方程得
消去y0得 解之得
由此可得P（10，
当P为（10， 时 PB： 即
代入
MN⊥x轴 即
4.解：（1）由题意可知所以椭圆方程为
设，将其代入椭圆方程相减，将
代入 可化得
（2）若2|CA|=2，于是点 Q的轨迹是以点C，A为焦点，半焦距c=1，长半轴a=的椭圆，短半轴
点Q的轨迹E方程是：.
（2）设Ｆ（x1，y1）H（x2，y2），则由，
消去y得
又点O到直线FH的距离d=1，
18.解：（1）以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A（－c，0），B（c，0）
依题意：
∴点P的轨迹为以A、B为焦点，实半轴为a，虚半轴为的双曲线右支
∴轨迹方程为：。
（2）法一：设M（，），N（，）
依题意知曲线E的方程为
，l的方程为
设直线m的方程为
由方程组，消去y得
①
∴
∵直线与双曲线右支交于不同的两点
∴及，从而
由①得
解得且
当x＝2时，直线m垂直于x轴，符合条件，∴
又设M到l的距离为d，则
∵
∴
设，
由于函数与均为区间的增函数
∴在单调递减
∴的最大值＝
又∵
而M的横坐标，∴
法二：为一条渐近线
①m位于时，m在无穷远，此时
②m位于时，，d较大
由
点M
∴
故
19.解：(1) 曲线表示以为圆心,以3为半径的圆, 圆上两点P、Q满足关于直线对称,则圆心在直线上,代入解得
(2)直线PQ与直线垂直,所以设PQ方程为
,.
将直线与圆的方程联立得
由解得.
.
又以PQ为直径的圆过O点
解得
故所求直线方程为
20.解：（1）∵，且，
∴动点到两个定点的距离的和为4，
∴轨迹是以为焦点的椭圆，方程为
（2）设，直线的方程为，代入，
消去得 ，
由得 ， 且，
∴
设点，由可得
∵点在上，
∴
∴，
又因为的任意性，∴，
∴，又， 得 ，
代入检验，满足条件，故的值是。
21.解：(1) 不妨设.
, F.(c,0)
设
k2= ∴k1k2=－1.
即PF⊥.
（2）由题
. x2－bx－b2=0,
∴a=1, ∴双曲线方程为
（3） y=－ M(－
∴N（－）.
又N在双曲线上。∴
∴e=
22.解：（I）点A、B的坐标为A（-3，0），B（3，0），设点P、M、N的坐标依次为
则有
② 4-①得 ，解得c=5
故所求方程是
（II）由②得，
所以，M、N的坐标为
所以MN的倾斜角是
23.解：（I）由已知，当时，
当时，，也满足方程<1>
∴所求轨迹G方程为
（II）假设存在点，使为正△
设直线方程：代入
得：
∴MN中点
在正△EMN中，
与矛盾
∴不存在这样的点使△MNE为正△
24.解：（1）由题意： ，解得，
所求椭圆方程为
（2）解：设过P的直线方程为：，
设，，
则
，
∵，∴，即，
化简得：，
∴，
去分母展开得：
化简得：，解得：
又∵Q在直线上，
∴，∴
即，
∴Q恒在直线上。
25.解：（1）解：设
即点C的轨迹方程为x+y=1
26.解：（1）设，则、，
又，，即.
（2）设直线的方程为：，、
假设存在点满足题意，则，
，即，，
，又
，
由于，则
对不同的值恒成立，即对不同的值恒成立，
则，即，故存在点符合题意.
27.解：（Ⅰ）以AB中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图
则A（-1,0） B(1,0) D(-1,)
设椭圆F的方程为
得
得
所求椭圆F方程
（Ⅱ）解：若存在这样的直线l，依题意，l不垂直x轴
设 l方程
代入
设、 有
得
又内部
故所求直线l方程
（Ⅱ）解法2：若存在这样的直线l，设，
有
两式相减得
有
得 即l斜率为
又，故所求直线l方程
28.解：（1）因为，所以H ，又因为AH⊥BC，所以设A，由 得 即 3分
所以|AB| = ，|AC | =
椭圆长轴2a = |AB| + |AC| = (+ 1)c， 所以，．
（2）设D (x1，y1)，因为D分有向线段的比为，所以，，
设椭圆方程为= 1 (a > b > 0)，将A、D点坐标代入椭圆方程得 .①
…………………………….. ②
由①得，代入②并整理得，
因为 – 5≤≤，所以，又0 < e < 1，所以≤e≤．
29.解：（1）设
， 点在线段的中垂线上
由已知；又∥，
又
，顶点的轨迹方程为 .
(2)设直线方程为：，，
由 消去得： ①
，
而
由方程①知 ＞＜
，＜＜， .
