（新课标）天津市2020年高考数学二轮复习 思想方法训练2 分类讨论思想 理

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（新课标）天津市2020年高考数学二轮复习 思想方法训练2 分类讨论思想 理

思想方法训练2　分类讨论思想 一、能力突破训练 ‎1.已知函数f(x)=若存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是 (　　)‎ A.(-∞,2) ‎ B.(-∞,4) ‎ C.[2,4] ‎ D.(2,+∞)‎ ‎2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b2+c2-a2=bc,且b=a,则下列关系一定不成立的是(　　)‎ A.a=c B.b=c ‎ C‎.2a=c D.a2+b2=c2‎ ‎3.若a>0,且a≠1,p=loga(a3+1),q=loga(a2+1),则p,q的大小关系是(　　)‎ A.p=q B.pq D.当a>1时,p>q;当00,且x≠1,则函数y=lg x+logx10的值域为 (　　)‎ A.R B.[2,+∞)‎ C.(-∞,-2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞)‎ ‎7.设Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=2am,则m等于(　　)‎ A.6 B.7 ‎ C.8 D.10‎ ‎8.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,AB=BC=CA=3,SA=SB=SC,球心O到平面ABC的距离为1,则SA与平面ABC所成角的大小为(　　)‎ A.30° B.60° ‎ C.30°或60° D.45°或60°‎ ‎9.已知函数y=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大,则a的值是　　　　　. ‎ ‎10.已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为　　　　　. ‎ ‎11.已知函数f(x)=2asin2x-2asin xcos x+a+b(a≠0)的定义域为,值域为[-5,1],求常数a,b的值.‎ 11‎ ‎12.设a>0,函数f(x)=x2-(a+1)x+a(1+ln x).‎ ‎(1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处与直线y=-x+1垂直的切线方程;‎ ‎(2)求函数f(x)的极值.‎ 二、思维提升训练 11‎ ‎13.若直线l过点P且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则直线l的方程为(　　)‎ A.3x+4y+15=0‎ B.x=-3或y=-‎ C.x=-3‎ D.x=-3或3x+4y+15=0‎ ‎14.已知函数f(x)=则方程f(x)=ax恰有两个不同实数根时,实数a的取值范围是(注:e为自然对数的底数)(　　)‎ A.(-1,0] B.‎ C.(-1,0]∪ D.‎ ‎15.已知a为实数,函数f(x)=|x2-ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a).当a=　　　　　时,g(a)的值最小. ‎ ‎16.已知函数f(x)=aln x+x2(a为实数).‎ ‎(1)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值及相应的x值;‎ ‎(2)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围.‎ ‎17.设函数f(x)=αcos 2x+(α-1)(cos x+1),其中α>0,记|f(x)|的最大值为A.‎ ‎(1)求f'(x);‎ ‎(2)求A;‎ ‎(3)证明|f'(x)|≤‎2A.‎ 11‎ 思想方法训练2　分类讨论思想 一、能力突破训练 ‎1.B　解析 当-<1时,显然满足条件,即a<2;当a≥2时,-1+a>‎2a-5,即2≤a<4.综上知,a<4,故选B.‎ ‎2.B　解析 在△ABC中,由余弦定理得cos A=,则A=‎ 又b=a,由正弦定理,得sin B=sin A=,则B=或B=‎ 当B=时,△ABC为直角三角形,选项C,D成立;‎ 当B=时,△ABC为等腰三角形,选项A成立,故选B.‎ ‎3.C　解析 当0loga(a2+1),即p>q.‎ 当a>1时,y=ax和y=logax在其定义域上均为增函数,∴a3+1>a2+1,‎ ‎∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即p>q.‎ 综上可得p>q.‎ ‎4.C　解析 焦点在x轴上时,,此时离心率e=;焦点在y轴上时,,此时离心率e=,故选C.‎ ‎5.C　解析 不妨设|AB|=2,以AB中点O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,则A(-1,0),B(1,0),设M(x,y),则N(x,0),=(0,-y),=(x+1,0),=(1-x,0),代入已知式子得λx2+y2=λ,当λ=1时,曲线为A;当λ=2时,曲线为B;当λ<0时,曲线为D,所以选C.‎ ‎6.D　解析 当x>1时,y=lg x+logx10=lg x+2=2;当01时,y=ax在区间[1,2]上递增,故a2-a=,得a=;当01,‎ 所以方程|p(x)|=1有2个解,即方程|ln x+x2-6|=1有2个解.‎ 综上可知,方程|f(x)+g(x)|=1共有4个实根.‎ ‎11.解 f(x)=a(1-cos 2x)-asin 2x+a+b ‎=-2asin+‎2a+b.‎ 11‎ ‎∵x,∴2x+,‎ ‎∴-sin1.‎ 因此,由f(x)的值域为[-5,1],‎ 可得 或 解得 ‎12.解 (1)由已知x>0,f'(x)=x-(a+1)+‎ 因为曲线y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为1,‎ 所以f'(2)=1,即2-(a+1)+=1,所以a=0,‎ 此时f(2)=2-2=0,‎ 故曲线f(x)在(2,f(2))处的切线方程为x-y-2=0.‎ ‎(2)f'(x)=x-(a+1)+‎ ‎①当00,函数f(x)单调递增;‎ 若x∈(a,1),则f'(x)<0,函数f(x)单调递减;‎ 若x∈(1,+∞),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增.‎ 此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点,‎ 函数f(x)的极大值是f(a)=-a2+aln a,极小值是f(1)=-‎ ‎②当a=1时,若x∈(0,1),则f'(x)>0,若x=1,则f'(x)=0,若x∈(1,+∞),则f'(x)>0,所以函数f(x)在定义域内单调递增,此时f(x)没有极值点,也无极值.‎ ‎③当a>1时,若x∈(0,1),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增;‎ 若x∈(1,a),则f'(x)<0,函数f(x)单调递减;‎ 若x∈(a,+∞),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增,此时x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(1)=-,极小值是f(a)=-a2+aln a.‎ 11‎ 综上,当01时,f(x)的极大值是-,极小值是-a2+aln a.‎ 二、思维提升训练 ‎13.D　解析 若直线l的斜率不存在,则该直线的方程为x=-3,代入圆的方程解得y=±4,故直线l被圆截得的弦长为8,满足条件;若直线l的斜率存在,不妨设直线l的方程为y+=k(x+3),即kx-y+3k-=0,因为直线l被圆截得的弦长为8,故半弦长为4,又圆的半径为5,则圆心(0,0)到直线l的距离为,解得k=-,此时直线l的方程为3x+4y+15=0.‎ ‎14.C　解析 因为方程f(x)=ax恰有两个不同的实数根,所以y=f(x)与y=ax的图象有2个交点,a表示直线y=ax的斜率.当a>0,x>1时,y'=设切点为(x0,y0),k=,所以切线方程为y-y0=(x-x0),而切线过原点,所以y0=1,x0=e2,k=,所以切线l1的斜率为设过原点与y=x+1平行的直线为l2,则直线l2的斜率为,所以当直线在l1和l2之间时,符合题意,此时实数a的取值范围是当a<0时,设过原点与点(1,-1)的直线为l3,其斜率为-1,则在l3的位置以O为中心逆时针旋转一直转到水平位置都符合题意,此时实数a的取值范围是(-1,0].综上所述,实数a的取值范围是(-1,0],故选C.‎ ‎15.2-2　解析 当a≤0时,在区间[0,1]上,f(x)=|x2-ax|=x2-ax,且在区间[0,1]上为增函数,当x=1时,f(x)取得的最大值为f(1)=1-a;‎ 当00,解得0,‎ 因而a,x∈[1,e],令g(x)=(x∈[1,e]),‎ 则g'(x)=,‎ 11‎ 当x∈[1,e]时,x-1≥0,ln x≤1,x+2-2ln x>0,‎ 从而g'(x)≥0(仅当x=1时取等号),‎ 所以g(x)在区间[1,e]上是增函数,‎ 故g(x)min=g(1)=-1,‎ 所以实数a的取值范围是[-1,+∞).‎ ‎17.(1)解 f'(x)=-2αsin 2x-(α-1)sin x.‎ ‎(2)解 (分类讨论)当α≥1时,‎ ‎|f(x)|=|αcos 2x+(α-1)(cos x+1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f(0).‎ 因此A=3α-2.‎ 当0<α<1时,将f(x)变形为 f(x)=2αcos2x+(α-1)cos x-1.‎ 令g(t)=2αt2+(α-1)t-1,则A是|g(t)|在[-1,1]上的最大值,‎ g(-1)=α,g(1)=3α-2,且当t=时,g(t)取得极小值,极小值为g=--1=-‎ 令-1<<1,解得α<-(舍去),α>‎ 当0<时,g(t)在区间(-1,1)内无极值点,‎ ‎|g(-1)|=α,|g(1)|=2-3α,|g(-1)|<|g(1)|,‎ 所以A=2-3α.‎ 当<α<1时,由g(-1)-g(1)=2(1-α)>0,‎ 知g(-1)>g(1)>g 又-|g(-1)|=>0,‎ 所以A=‎ 综上,A=‎ 11‎ ‎(3)证明 由(1)得|f'(x)|=|-2αsin 2x-(α-1)sin x|≤2α+|α-1|.‎ 当0<时,|f'(x)|≤1+α≤2-4α<2(2-3α)=‎2A.‎ 当<α<1时,A=1,‎ 所以|f'(x)|≤1+α<‎2A.‎ 当α≥1时,|f'(x)|≤3α-1≤6α-4=‎2A.‎ 所以|f'(x)|≤‎2A.‎ 11‎
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