揭阳市高中毕业班第一次高考模拟考试数学(理科)

揭阳市高中毕业班第一次高考模拟考试数学(理科)

绝密★启用前 ‎ 揭阳市2014年高中毕业班第一次高考模拟考试 数学(理科) 2014.3.22‎ 本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．‎ 注意事项： ‎ ‎1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．‎ ‎4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若复数z满足：，则 A．1 B．2 C． D．5 ‎ ‎2．设函数的定义域为，函数的定义域为，则 A. B. C. D.‎ ‎3．设平面、，直线、，，则“” 是“”的 ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4．下列函数是偶函数，且在上单调递增的是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎5．一简单组合体的三视图如图（1）所示，则该组合体的 体积为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎6．如图(2)所示的程序框图，能使输入的x值与输出的y值 相等的x值个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 ‎ ‎7．设点是函数图象上的任意一点，‎ 点 ()，则|的最小值为 A. B. C. D.. ‎ ‎8．定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为，用表示有限集A的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合A，都有；②存在集合A，使得；③用表示空集，若则；④若则；⑤若则其中正确的命题个数为 A．4 B．3 C．2 D．1‎ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．‎ ‎（一）必做题（9－13题）‎ ‎9．若点在函数的图象上，则tan的值 为 ． ‎ ‎10．根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机 动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如 图(3)所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速 度为60 km/h~120 km/h，则该时段内过往的这100辆机 动车中属非正常行驶的有 辆，图中的x值为 ．‎ ‎11．已知向量、满足，且，则与的夹角为 ．‎ ‎12．已知首项为正数的等差数列中，．则当取最大值时，数列的公差 ‎ ．‎ ‎13．从中任取一个数x，从中任取一个数y，则使的概率为 ．‎ ‎（二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14.(坐标系与参数方程选做题)[来已知直线（为参数且）与曲线(是参数且)，则直线与曲线的交点坐标为 . ‎ ‎15.（几何证明选讲选做）如图(4)，AB是半圆的直径，C是AB 延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，‎ 且E是OB的中点，则BC的长为 ．‎ 三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（1）求函数的定义域和最小正周期；‎ ‎（2）若求的值．‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 图(5)是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．‎ ‎（1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率;‎ ‎（2）设是此人停留期间空气重度污染的天数，求的分布列与数学期望．‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 如图(6)，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，侧棱SA⊥底面ABCD，‎ 过A作AE垂直SB交SB于E点，作AH垂直SD交SD于H点，平面 AEH交SC于K点，且AB=1，SA=2．‎ ‎（1）设点P是SA上任一点，试求的最小值；‎ ‎（2）求证：E、H在以AK为直径的圆上；‎ ‎（3）求平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 已知正项数列满足:，数列的前项和为，且满足，．‎ ‎(1) 求数列和的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，求证：．‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 如图(7)所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E 上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，‎ 且，|BC|＝2|AC|． (1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2) 在椭圆E上是否存点Q，使得？‎ 若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作的两条 切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值．‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 已知函数 ‎（1）当且时，证明：；‎ ‎（2）若对，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）当时，证明：．‎ 揭阳市2014年高中毕业班高考第一次模拟考 数学(理科)参考答案及评分说明 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．‎ 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 四、只给整数分数．‎ 一、选择题：DCBD DCCB ‎ 解析：5.由三视图知，此组合体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体、中心去除一个半径为1的圆柱，故其体积为 ‎6．由框图知，x与y的函数关系为，由得 若，则或，若，则，若，显然，故满足题意的x值有0,1,3，故选C.‎ ‎7．如图示，点P在半圆C上，点Q在直线上，过圆心 C作直线的垂线，垂足为A，则,故选C.‎ ‎8．由的定义可知①、④正确，又若则，设则所以②错误，⑤正确，故选B。‎ 二、填空题：9．；10．15、0.0175；11．；12．-3；13．；14．（1，3）; 15. .‎ 解析：10.由直方图可知，这100辆机动车中属非正常行驶的有（辆），x的值=.‎ ‎11.由得 ‎，．‎ ‎12.设数列的公差为，由得，则，因故，当且仅当，即“=”成立，这时取得最大值，由得，所以。‎ ‎13.如右图，使是图中阴影部分，故所求的概率 ‎ ‎ ‎14．把直线的参数方程化为普通方程得，把曲线的参数方程化为普通方程得，由方程组解得交点坐标为（1，3）【或将曲线的参数方程化为普通方程得后将代入解得，进而得点坐标为（1，3）】‎ ‎15．DE为OB的中垂线且OD=OB，为等边三角形，，‎ 三.解答题：‎ ‎16．解：（1）由解得，‎ 所以函数的定义域为------------------------2分 ‎---4分 的最小正周期-----------------------------------6分 ‎（2）解法1：由---------------------8分 且，------------------------------------10分 ‎∴------------------------------------12分 解法2：由得，‎ 代入得，-----8分 ‎ ∴，又，---------------------------------10分 ‎∴------------------------------------12分 ‎17.解：设表示事件“此人于2月日到达该市”（ =1,2，…，12）.‎ 依题意知,,且.---------------------------------------2分 ‎（1）设B为事件“此人到达当日空气质量重度污染”，则,‎ 所以.‎ 即此人到达当日空气质量重度污染的概率为.--------------------------------------5分 ‎(2)由题意可知，的所有可能取值为0,1,2，3且------------------------------------6分 P(=0)=P(A4∪A8∪A9)= P(A4)+P(A8)+P(A9)=,-------------------7分 P(=2)=P(A2∪A11)= P(A2)+P(A11) =,-------------------------------8分 P(=3)=P(A1∪A12)= P(A1)+P(A12) =,-------------------------------9分 P(=1)=1－P(=0)－P(=2)－P(=3)=,--------------10分 ‎(或P(=1)=P(A3∪A5∪A6∪A7∪A10)= P(A3)+P(A5)+ P(A6)+P(A7)+P(A10)=)‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎-----------------------------------------------------------------11分 故的期望．-------------------------------12分 ‎18．（1）将侧面SAB绕侧棱SA旋转到与侧面SAD在同一平面内，如右图示，‎ 则当B、P、H三点共线时，取最小值，这时，的 最小值即线段BH的长，--------------------------------------------1分 设,则，‎ 在中，∵,∴,--------------------2分 在三角形BAH中，有余弦定理得：‎ ‎∴.------------------------------------------------------------4分 ‎（2）证明：∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥BC，又AB⊥BC，‎ ‎∴BC⊥平面SAB，又平面SAB，∴EA⊥BC，-------------------------------6分 又∵AE⊥SB，∴AE⊥平面SBC ，-------------------------------------------------------7分 又平面SBC，∴EA⊥EK， -------------------------------------------------------8分 同理 AH⊥KH，∴E、H在以AK为直径的圆上---------------------------------------9分 ‎（3）方法一：如图，以A为原点,分别以AB、AD、AS所在的直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如右图示，----------------------------------------------------------------------------10分 则S（0，0，2），C（1，1，0），由（1）可得AE⊥SC，AH⊥SC，∴SC⊥平面AEKH，‎ 为平面AEKH的一个法向量，-------------------11分 为平面ABCDF的一个法向量，-------------------12分 设平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的平面角为，‎ 则----------------13分 ‎∴平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值---14分 ‎【方法二： 由可知,故,‎ 又∵面AEKH，‎ 面AEKH, ∴面AEKH. ------------------------10分 设平面AEKH平面ABCD=l，∵面AEKH，‎ ‎∴-------------------------------------------------------------11分 ‎∵BD⊥AC，∴⊥AC，‎ 又BD⊥SA，∴BD⊥平面SAC，又平面SAC，‎ ‎∴BD⊥AK， ∴⊥AK， ‎ ‎∴为平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的一个平面角，--------------13分 ‎∴平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为．------------------------14分】‎ ‎19．解：（1）由,得. ---------2分 由于是正项数列,所以.---------------------------------3分 由可得当时，，两式相减得，------------5分 ‎∴数列是首项为1，公比的等比数列，----------------------------------7分 ‎（2）∵---------------------------------8分 方法一：∴‎ ‎--------------------------------------------------------------11分 ‎---------------------------------------------------------------------------------------14分 ‎【方法二：∵-----------------11分 ‎----------------------------------------------14分】‎ ‎20.解：(1)依题意知：椭圆的长半轴长，则A(2，0)，‎ 设椭圆E的方程为-----------------------2分　‎ 由椭圆的对称性知|OC|＝|OB| 又∵，|BC|＝2|AC|‎ ‎∴AC⊥BC，|OC|＝|AC| ∴△AOC为等腰直角三角形，‎ ‎∴点C的坐标为(1，1)，点B的坐标为(－1，－1) ，---------------------4分 将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得 ‎ ‎∴所求的椭圆E的方程为----------------------------------------------5分 ‎（2）解法一：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则 即点Q在直线上，-----------------------------------------------------------7分 ‎∴点Q即直线与椭圆E的交点，‎ ‎∵直线过点，而点椭圆在椭圆E的内部，‎ ‎∴满足条件的点Q存在，且有两个．------------------------------------------------------9分 ‎【解法二：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则 即，--------①-------------------------------------------------7分 又∵点Q在椭圆E上，∴，-----------------②‎ 由①式得代入②式并整理得：，-----③‎ ‎∵方程③的根判别式，‎ ‎∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个．---------------9分】‎ ‎（3）解法一：设点，由M、N是的切点知，,‎ ‎∴O、M、P、N四点在同一圆上，------------------------------------------10分 且圆的直径为OP,则圆心为，‎ 其方程为，------------------------------11分 即-----④‎ 即点M、N满足方程④，又点M、N都在上，‎ ‎∴M、N坐标也满足方程---------------⑤‎ ‎⑤-④得直线MN的方程为，------------------------------12分 令得，令得，----------------------------------13分 ‎∴，又点P在椭圆E上，‎ ‎∴，即=定值.-----------------------------------14分 ‎【解法二：设点则----------10分 直线PM的方程为化简得--------------④‎ 同理可得直线PN的方程为---------------⑤-------------------11分 把P点的坐标代入④、⑤得 ‎∴直线MN的方程为，------------------------------------------------------12分 令得，令得，--------------------------------------------13分 ‎∴，又点P在椭圆E上，‎ ‎∴，即=定值．---------------------------------------------14分】‎ ‎21.（1）证明：要证，即证，--------------------1分 令则------------3分 ‎∴在单调递增，，‎ ‎，即成立．----------------------4分 ‎（2）解法一：由且可得---------------------------------------5分 令---------------------------------------------------------6分 由（1）知-----------------------------------8分 函数在单调递增，当时，‎ ‎．----------------------------------------------------------9分 ‎【解法二：令，则，-------------------5分 当时，，函数在上是增函数，有，------6分 当时，∵函数在上递增，在上递减，‎ 对，恒成立，只需，即．---------------7分 当时，函数在上递减，对，恒成立，只需，‎ 而，不合题意，-----------------------------------------------------------8分 综上得对，恒成立，．------------------------9分】‎ ‎【解法三：由且可得---------------5分 由于表示两点的连线斜率，-----------------6分 由图象可知在单调递减，‎ 故当时，--------------------------------8分 即-------------------------------------------------9分】‎ ‎（3）当时，则，‎ 要证，即证--------------------10分 由（1）可知又 ‎-------------11分 ‎∴‎ ‎∴ ，-------------------------------------------13分 故得证．------------------------------------------14分