高考安徽文科数学试题及答案解析

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高考安徽文科数学试题及答案解析

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)‎ 数学(文科)‎ 第Ⅰ卷(选择题 共50分)‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.‎ ‎(1)【2015年安徽,文1】设是虚数单位,则复数( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】,故选C.‎ ‎(2)【2015年安徽,文2】设全集,,,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】,,故选B.‎ ‎(3)【2015年安徽,文3】设,,则是成立的( )‎ ‎(A)充分必要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】,,,但,则是成立的必要不充分条件,故选C.‎ ‎(4)【2015年安徽,文4】下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】选项A: 的定义域为,故不具备奇偶性,故A错误;选项B: 是偶函数,但无解,即不存在零点,故B错误;选项C: 是奇函数,故C错;选项D: 是偶函数,且,故选D.‎ ‎(5)【2015年安徽,文5】已知,满足约束条件,则 的最大值是( )‎ ‎ (A)-1 (B)-2 (C)-5 (D)1‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意作出约束条件确定的可行域,如下图:令,‎ 可知在图中处,取到最大值-1,故选A.‎ ‎(6)【2015年安徽,文6】下列双曲线中,渐近线方程为的是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为,故选A.‎ ‎(7)【2015年安徽,文7】执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的为( )‎ ‎(A)3 (B)4 (C)5 (D)6‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意,程序框图循环如下:①,;②,;‎ ‎③,;④,,此时,‎ ‎,所以输出.故选B.‎ ‎(8)【2015年安徽,文8】直线与圆相切,则( )‎ ‎(A)-2或12 (B)2或-12 (C)-2或-12 (D)2或12‎ ‎【答案】D ‎【解析】直线与圆心为,半径为1的圆相切,2或12,故选D. ‎ ‎(9)【2015年安徽,文9】一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意,该四面体的直观图如下,,时直角三角形,,是等边三角形,则,,所以四面体的表面积,故选C.‎ ‎(10)【2015年安徽,文10】函数的图像如图所示,则下列结论 ‎ 成立的是( )‎ ‎(A),,, (B),,, ‎ ‎(C),,, (D),,,‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数的图像可知,令,又,可知, ‎ 是的两根,由图可知,,,故选A.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎(11)【2015年安徽,文11】= .‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】.‎ ‎(12)【2015年安徽,文12】在中,,,,则 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由正弦定理可知:.‎ ‎(13)【2015年安徽,文13】已知数列中,,,则数列的前9项和等于 .‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】时,,且,是以为首项,为公差的等差数列.‎ ‎.‎ ‎(14)【2015年安徽,文14】在平面直角坐标系中,若直线与函数的图像只有一个交点,则的值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在同一直角坐株系内,作出与的大致图像,如下图:由题意,可知.‎ ‎(15)【2015年安徽,文15】是边长为2的等边三角形,已知向量、满足,,则下列结论中正确的是 .(写出所有正确结论得序号)‎ ‎①为单位向量;②为单位向量;③;④;⑤.‎ ‎【答案】①④⑤‎ ‎【解析】∵等边三角形的边长为2,,,故①正确;,‎ ‎,故②错误,④正确;由于,与夹角为,故③错误;又,故⑤正确.因此,正确的编号是①④⑤.‎ 三、解答题:本大题共6题,共75分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定 区域内.‎ ‎(16)【2015年安徽,文16】(本小题满分12分)已知函数.‎ ‎ (Ⅰ)求最小正周期;‎ ‎ (Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.‎ 解:(Ⅰ)化简可得,即可求出的最小正周期.‎ ‎(Ⅱ)时,,,,.‎ ‎(17)【2015年安徽,文17】(本小题满分12分)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问 ‎50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),‎ 其中样本数据分组区间为,,…,,.‎ ‎(Ⅰ)求频率分布图中的值;‎ ‎(Ⅱ)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率;‎ ‎(Ⅲ)从评分在的受访职工中,随机抽取2人,求此2人评分都在的概率. ‎ 解:(Ⅰ)因为,所以.‎ ‎(Ⅱ)由所给出频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为 ‎,所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.‎ ‎ (Ⅲ)受访职工中评分在的有:(人),记为;受访职工中评分在的 有:(人),记为.从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10‎ 种,它们是,,,,,,,,,‎ ‎,又因为所抽取2人的评分都在的结果又1种,即,故所求的概率为.‎ ‎(18)【2015年安徽,文18】(本小题满分12分)已知数列是递增的等比数列,且,.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设为数列的前项和,,求数列的前项和.‎ 解:(Ⅰ)由题设知:,又,可解得或(舍去).‎ ‎ 由得公比,故. ‎ ‎(Ⅱ),,‎ ‎. ‎ ‎(19)【2015年安徽,文19】(本小题满分13分)如图,三棱锥中,平面,,,,.‎ ‎(Ⅰ)求三棱锥的体积;‎ ‎(Ⅱ)证明:在线段上存在点M,使得,并求的值.‎ 解:(Ⅰ)由题设,,,可得.‎ 由平面,可知是三棱锥的高,又,‎ 所以三棱锥的体积. ‎ ‎(Ⅱ)在平面内,过点作,垂足为.在平面内,过点作交于点,连接.由平面知.由于,故平面,又平面,所以.在直角中,,从而.由,得.‎ ‎(20)【2015年安徽,文20】(本小题满分13分)设椭圆的方程为,点为坐标原点,点的坐标为,点的坐标为,点在线段上,满足,直线的斜率为.‎ ‎(Ⅰ)求的离心率;‎ ‎(Ⅱ)设点的坐标为,为线段的中点,证明.‎ 解:(Ⅰ)由题设条件知,点的坐标为,又,从而,‎ 进而得,故.‎ ‎(Ⅱ)由是的中点知,点的坐标为,可得.又,‎ 从而有.‎ 由(Ⅰ)的计算结果可知,所以,故.‎ ‎(21)【2015年安徽,文21】(本题满分13分)已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求的定义域,并讨论的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若,求在内的极值.‎ 解:(Ⅰ)由题意知,所求的定义域为.,‎ ‎,所以当或时,,‎ 当时,.‎ 因此,的单调递减区间为和,的单调递增区间为.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)的解答可知,在上单调递增,在上单调递减,‎ ‎ 因此,是的极大值点.所以在内的极大值为.‎ ‎ 所以在内极大值为100,无极小值.‎
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