高考卷;导数与定积分共53题
精品题库试题
用户：苏冠文 生成时间：2013.04.29 18:56:10
1.(2012辽宁,21,12分)设f(x)=ln(x+1)++ax+b(a,b∈R,a,b为常数),曲线y=f(x)与直线y=x在(0,0)点相切.
(1)求a,b的值;
(2)证明:当0
0. 若曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a= .
5.(2012山东,15,4分)设a>0. 若曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a= .
6. (2012辽宁,15,5分)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为 .
7.(2012广东,12,5分)曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为 .
8.(2007湖北, 20, 13分) 已知定义在正实数集上的函数f(x) =x2+2ax, g(x) =3a2ln x+b, 其中a>0. 设两曲线y=f(x) , y=g(x) 有公共点, 且在该点处的切线相同.
(Ⅰ) 用a表示b, 并求b的最大值;
(Ⅱ) 求证:f(x) ≥g(x) (x>0) .
9. (2007天津, 20, 12分) 已知函数f(x) =(x∈R) , 其中a∈R.
(Ⅰ) 当a=1时, 求曲线y=f(x) 在点(2, f(2) ) 处的切线方程;
(Ⅱ) 当a≠0时, 求函数f(x) 的单调区间与极值.
10. (2007全国Ⅱ, 22, 12分) 已知函数f(x) =x3-x.
(Ⅰ) 求曲线y=f(x) 在点M(t, f(t) ) 处的切线方程;
(Ⅱ) 设a>0, 如果过点(a, b) 时作曲线y=f(x) 的三条切线, 证明:-a0) 在x=0处取得极值, 且曲线y=f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线垂直于直线x+2y+1=0.
(Ⅰ) 求a, b的值;
(Ⅱ) 若函数g(x) =, 讨论g(x) 的单调性.
17. (2009天津, 20, 12分) 已知函数f(x) =(x2+ax-2a2+3a) ·ex(x∈R) , 其中a∈R.
(Ⅰ) 当a=0时, 求曲线y=f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线的斜率;
(Ⅱ) 当a≠时, 求函数f(x) 的单调区间与极值.
18.(2010福建, 20, 14分)
(Ⅰ) 已知函数f(x) =x3-x, 其图象记为曲线C.
(i) 求函数f(x) 的单调区间;
(ii) 证明:若对于任意非零实数x1, 曲线C与其在点P1(x1, f(x1) ) 处的切线交于另一点P2(x2, f(x2) ) , 曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3, f(x3) ) , 线段P1P2, P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1, S2, 则为定值;
(Ⅱ) 对于一般的三次函数g(x) =ax3+bx2+cx+d(a≠0) , 请给出类似于(Ⅰ) (ii) 的正确命题, 并予以证明.
19.(2010陕西, 21, 14分) 已知函数f(x) =, g(x) =aln x, a∈R.
(Ⅰ) 若曲线y=f(x) 与曲线y=g(x) 相交, 且在交点处有共同的切线, 求a的值和该切线方程;
(Ⅱ) 设函数h(x) =f(x) -g(x) , 当h(x) 存在最小值时, 求其最小值φ(a) 的解析式;
(Ⅲ) 对(Ⅱ) 中的φ(a) 和任意的a>0, b>0, 证明:
φ'≤≤φ'.
20.(2010重庆, 18, 13分) 已知函数f(x) =+ln(x+1) , 其中实数a≠-1.
(Ⅰ) 若a=2, 求曲线y=f(x) 在点(0, f(0) ) 处的切线方程;
(Ⅱ) 若f(x) 在x=1处取得极值, 试讨论f(x) 的单调性.
21.(2008山东, 14, 4分) 设函数f(x) =ax2+c(a≠0) , 若f(x) dx=f(x0) , 0≤x0≤1, 则x0的值为 .
22.(2008江苏, 8, 5分) 设直线y=x+b是曲线y=ln x(x>0) 的一条切线, 则实数b的值为 .
23.(2008全国Ⅱ, 14, 5分) 设曲线y=eax在点(0, 1) 处的切线与直线x+2y+1=0垂直, 则a= .
24.(2008北京, 12, 5分) 如图, 函数f(x) 的图象是折线段ABC, 其中A, B, C的坐标分别为(0, 4) , (2, 0) , (6, 4) , 则f[f(0) ]= ;= (用数字作答) .
25.(2009陕西, 16, 4分) 设曲线y=xn+1(n∈N*) 在点(1, 1) 处的切线与x轴的交点的横坐标为xn, 令an=lg xn, 则a1+a2+…+a99的值为 .
26.(2009湖北, 14, 5分) 已知函数f(x) =f 'cos x+sin x, 则f= .
27.(2009北京, 11, 5分) 设f(x) 是偶函数. 若曲线y=f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线的斜率为1, 则该曲线在点(-1, f(-1) ) 处的切线的斜率为 .
28.(2009福建, 14, 4分) 若曲线f(x) =ax3+ln x存在垂直于y轴的切线, 则实数a的取值范围是 .
29.(2009江苏, 9, 5分) 在平面直角坐标系xOy中, 点P在曲线C:y=x3-10x+3上, 且在第二象限内, 已知曲线C在点P处的切线的斜率为2, 则点P的坐标为 .
30.(2010课标全国, 13, 5分) 设y=f(x) 为区间[0, 1]上的连续函数, 且恒有0≤f(x) ≤1, 可以用随机模拟方法近似计算积分f(x) dx. 先产生两组(每组N个) 区间[0, 1]上的均匀随机数x1, x2, …, xN和y1, y2, …, yN, 由此得到N个点(xi, yi) (i=1, 2, …, N) . 再数出其中满足yi≤f(xi) (i=1, 2, …, N) 的点数N1, 那么由随机模拟方法可得积分f(x) dx的近似值为 .
31.(2010陕西, 13, 5分) 从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x, y) , 则点M取自阴影部分的概率为 .
32.(2011陕西, 11, 5分) 设f(x) =若f(f(1) ) =1, 则a= .
33.(2007宁夏, 10, 5分) 曲线y=在点(4, e2) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A. e2 B. 4e2 C. 2e2 D. e2
34.(2007江西, 11, 5分) 设函数f(x) 是R上以5为周期的可导偶函数, 则曲线y=f(x) 在x=5处的切线的斜率为( )
A. - B. 0 C. D. 5
35.(2007全国Ⅱ, 8, 5分) 已知曲线y=-3ln x的一条切线的斜率为, 则切点的横坐标为( )
A. 3 B. 2 C. 1 D.
36.(2008宁夏、海南, 10, 5分) 由直线x=, x=2, 曲线y=及x轴所围图形的面积为( )
A. B. C. ln 2 D. 2ln 2
37.(2008四川, 10, 5分) 设f(x) =sin(ωx+φ) , 其中ω>0, 则f(x) 是偶函数的充要条件是( )
A. f(0) =1 B. f(0) =0 C. f '(0) =1 D. f '(0) =0
38.(2008全国Ⅰ, 7, 5分) 设曲线y=在点(3, 2) 处的切线与直线ax+y+1=0垂直, 则a=( )
A. 2 B. C. - D. -2
39.(2008辽宁, 6, 5分) 设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点, 且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为, 则点P横坐标的取值范围为( )
A. B. [-1, 0] C. [0, 1] D.
40.(2009福建, 4, 5分)
A. π B. 2 C. π-2 D. π+2
41.(2009安徽, 9, 5分) 已知函数f(x) 在R上满足f(x) =2f(2-x) -x2+8x-8, 则曲线y=f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线方程是( )
A. y=2x-1 B. y=x C. y=3x-2 D. y=-2x+3
42.(2009江西, 5, 5分) 设函数f(x) =g(x) +x2, 曲线y=g(x) 在点(1, g(1) ) 处的切线方程为y=2x+1, 则曲线y=f(x) 在点(1, f(1) ) 处切线的斜率为( )
A. 4 B. - C. 2 D. -
43.(2009全国Ⅰ, 9, 5分) 已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a) 相切, 则a的值为( )
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
44.(2009辽宁, 7, 5分) 曲线y=在点(1, -1) 处的切线方程为( )
A. y=x-2 B. y=-3x+2 C. y=2x-3 D. y=-2x+1
45.(2009全国Ⅱ, 4, 5分) 曲线y=在点(1, 1) 处的切线方程为( )
A. x-y-2=0 B. x+y-2=0 C. x+4y-5=0 D. x-4y-5=0
46.(2010山东, 7, 5分) 由曲线y=x2, y=x3围成的封闭图形面积为( )
A. B. C. D.
47.(2010湖南, 5, 5分) dx等于( )
A. -2ln 2 B. 2ln 2 C. -ln 2 D. ln 2
48.(2010辽宁, 10, 5分) 已知点P在曲线y=上, α为曲线在点P处的切线的倾斜角, 则α的取值范围是( )
A. B. C. D.
49.(2010全国Ⅱ, 10, 5分) 若曲线y=在点(a, ) 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18, 则a=( )
A. 64 B. 32 C. 16 D. 8
50.(2010课标全国, 3, 5分) 曲线y=在点(-1, -1) 处的切线方程为( )
A. y=2x+1 B. y=2x-1 C. y=-2x-3 D. y=-2x-2
51.(2011福建, 5, 5分) (ex+2x) dx等于( )
A. 1 B. e-1 C. e D. e+1
52.(2011湖南, 6, 5分) 由直线x=-, x=, y=0与曲线y=cos x所围成的封闭图形的面积为( )
A. B. 1 C. D.
53.(2011课标, 9, 5分) 由曲线y=, 直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为( )
A. B. 4 C. D. 6
答案
1.(1)由y=f(x)过(0,0)点,得b=-1.
由y=f(x)在(0,0)点的切线斜率为,又y'x=0=x=0=+a,得a=0. (3分)
(2)证明:证法一:由均值不等式,当x>0时,20时,20时, f(x)0) 在公共点(x0, y0) 处的切线相同.
∵f '(x) =x+2a, g'(x) =, 由题意f(x0) =g(x0) ,
f '(x0) =g'(x0) . 即
由x0+2a=得x0=a或x0=-3a(舍去) .
则有b=a2+2a2-3a2ln a=a2-3a2ln a.
令h(t) =t2-3t2ln t(t>0) , 则h'(t) =2t(1-3ln t) . 于是
当t(1-3ln t) >0, 即00;
当t(1-3ln t) <0, 即t>时, h'(t) <0.
故h(t) 在(0, -) 为增函数, 在(, +∞) 为减函数.
于是h(t) 在(0, +∞) 的最大值为h() =.
(Ⅱ) 证明:设F(x) =f(x) -g(x) =x2+2ax-3a2ln x-b(x>0) ,
则F'(x) =x+2a-=(x>0) .
故F(x) 在(0, a) 为减函数, 在(a, +∞) 为增函数,
于是函数F(x) 在(0, +∞) 上的最小值是
F(a) =F(x0) =f(x0) -g(x0) =0.
故当x>0时, 有f(x) -g(x) ≥0, 即当x>0时, f(x) ≥g(x) . 9.(Ⅰ) 当a=1时, f(x) =, f(2) =,
又f '(x) ==, f '(2) =-.
所以, 曲线y=f(x) 在点(2, f(2) ) 处的切线方程为
y-=-(x-2) , 即6x+25y-32=0.
(Ⅱ) f '(x) =. =.
由于a≠0, 以下分两种情况讨论.
(1) 当a>0时, 令f '(x) =0, 得到x1=-, x2=a. 当x变化时, f '(x) , f(x) 的变化情况如下表:
x
-
a
(a, +∞)
f '(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
所以f(x) 在区间, (a, +∞) 内为减函数, 在区间内为增函数.
函数f(x) 在x1=-处取得极小值f, 且f=-a2.
函数f(x) 在x2=a处取得极大值f(a) , 且f(a) =1.
(2) 当a<0时, 令f '(x) =0, 得到x1=a, x2=-. 当x变化时, f '(x) , f(x) 的变化情况如下表:
x
(-∞, a)
a
-
f '(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x) 在区间(-∞, a) , 内为增函数, 在区间内为减函数.
函数f(x) 在x1=a处取得极大值f(a) , 且f(a) =1.
函数f(x) 在x2=-处取得极小值f, 且f=-a2. 10.(Ⅰ) 求函数f(x) 的导数: f '(x) =3x2-1.
曲线y=f(x) , 在点M(t, f(t) ) 处的切线方程为:
y-f(t) =f '(t) (x-t) , 即y=(3t2-1) x-2t3.
(Ⅱ) 证明:如果有一条切线过点(a, b) ,
则存在t, 使b=(3t2-1) a-2t3.
于是, 若过点(a, b) 可作曲线y=f(x) 的三条切线,
则方程2t3-3at2+a+b=0. 有三个相异的实数根.
记g(t) =2t3-3at2+a+b, 则g'(t) =6t2-6at=6t(t-a)
当t变化时, g(t) , g'(t) 变化情况如下表:
t
(-∞, 0)
0
(0, a)
a
(a, +∞)
g'(t)
+
0
-
0
+
g(t)
↗
极大值a+b
↘
极小值b-f(a)
↗
由g(t) 的单调性, 当极大值a+b<0或极小值b-f(a) >0时, 方程g(t) =0最多有一个实数根;
当a+b=0时, 解方程g(t) =0得t=0, t=,
即方程g(t) =0只有两个相异的实数根;
当b-f(a) =0时, 解方程g(t) =0, 得t=-, t=a, 即方程g(t) =0, 只有两个相异的实数根.
综上, 如果过(a, b) 可作曲线y=f(x) 三条切线, 即g(t) =0有三个相异的实数根, 则即-a0(x≠0) . 这时f(x) 在(-∞, 0) 、(0, +∞) 内是增函数;当a>0时, 令f '(x) =0, 解得x=±.
当x变化时, f '(x) 、f(x) 的变化情况如下表:
x
(-∞, -)
-
(-, 0)
(0, )
(, +∞)
f '(x)
+
0
-
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
↘
极小值
↗
所以f(x) 在(-∞, -) 、(, +∞) 内是增函数, 在(-, 0) 、(0, ) 内是减函数.
(Ⅲ) 由(Ⅱ) 知, f(x) 在上的最大值为f与f(1) 中的较大者, 对于任意的a∈, 不等式f(x) ≤10在上恒成立, 当且仅当即
对任意的a∈成立. 从而得b≤,
所以满足条件的b的取值范围是. 13.(Ⅰ) 因为f(x) =ax2+bx+c, 所以f '(x) =2ax+b.
又因为曲线y=f(x) 通过点(0, 2a+3) ,
故f(0) =2a+3, 而f(0) =c, 从而c=2a+3.
又曲线y=f(x) 在(-1, f(-1) ) 处的切线垂直于y轴,
故f '(-1) =0, 即-2a+b=0, 因此b=2a.
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 得bc=2a(2a+3) =4-,
故当a=-时, bc取得最小值-. 此时有b=-, c=.
从而f(x) =-x2-x+, f '(x) =-x-.
g(x) =-f(x) e-x=e-x,
所以g'(x) =[f(x) -f '(x) ]e-x=-(x2-4) e-x.
令g'(x) =0, 解得x1=-2, x2=2. 当x∈(-∞, -2) 时, g'(x) <0,
故g(x) 在x∈(-∞, -2) 上为减函数;
当x∈(-2, 2) 时, g'(x) >0, 故g(x) 在x∈(-2, 2) 上为增函数;
当x∈(2, +∞) 时, g'(x) <0, 故g(x) 在x∈(2, +∞) 上为减函数.
由此可见, 函数g(x) 的单调递减区间为(-∞, -2) 和(2, +∞) ;单调递增区间为(-2, 2) . 14.∵ f(x) =f1(x) ⊗f2(x) =-(x2-3c) (x-3b) +4bc=-x3+bx2+cx+bc, ∴f '(x) =-x2+2bx+c.
(Ⅰ) 由f(x) 在x=1处有极值-, 可得
解得或
若b=1, c=-1, 则f '(x) =-x2+2x-1=-(x-1) 2≤0, 此时f(x) 没有极值;
若b=-1, c=3, 则f '(x) =-x2-2x+3=-(x+3) (x-1) .
当x变化时, f(x) 、f '(x) 的变化情况如下表:
x
(-∞, -3)
-3
(-3, 1)
1
(1, +∞)
f '(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
极小值-12
↗
极大值-
↘
∴当x=1时, f(x) 有极大值-, 故b=-1, c=3即为所求.
(Ⅱ) 设曲线y=f(x) 在x=t处的切线的斜率为c,
∵f '(x) =-x2+2bx+c, ∴-t2+2bt+c=c, 即t2-2bt=0, 解得t=0或t=2b.
若t=0, 则f(0) =bc, 得切点为(0, bc) , 切线方程为y=cx+bc;
若t=2b, 则f(2b) =b3+3bc, 得切点为, 切线方程为y=cx+bc+b3.
①若-x3+bx2+cx+bc=cx+bc ⇔ x3-3bx2=0, 解得x1=x2=0, x3=3b, 则此时切线y=cx+bc与曲线y=f(x) 的公共点为(0, bc) , (3b, 4bc) ;
②若-x3+bx2+cx+bc=cx+bc+b3⇔ x3-3bx2+4b3=0, 解得x1=x2=2b, x3=-b,
此时切线y=cx+bc+b3与曲线y=f(x) 的公共点为
.
综合可知, 当b=0时, 斜率为c的切线与曲线y=f(x) 有且仅有一个公共点(0, 0) ;
当b≠0时, 斜率为c的切线与曲线y=f(x) 有两个不同的公共点, 分别为(0, bc) 和(3b, 4bc) 或和.
(Ⅲ) g(x) =|f '(x) |=|-(x-b) 2+b2+c|.
①当|b|>1时, 函数y=f '(x) 的对称轴x=b位于区间[-1, 1]之外, ∴f '(x) 在[-1, 1]上的最值在两端点处取得.
故M应是g(-1) 和g(1) 中较大的一个.
∴2M≥g(1) +g(-1) =|-1+2b+c|+|-1-2b+c|≥|4b|>4, 即M>2.
②当|b|≤1时, 函数y=f '(x) 的对称轴x=b位于区间[-1, 1]内,
此时M=max{g(-1) , g(1) , g(b) }.
由f '(1) -f '(-1) =4b, 有f '(b) -f '(±1) =(b∓1) 2≥0.
(i) 若-1≤b≤0, f '(1) ≤f '(-1) ≤f '(b) ,
∴g(-1) ≤max{g(1) , g(b) },
于是M=max{|f '(1) |, |f '(b) |}≥(|f '(1) |+|f '(b) |) ≥|f '(1) -f '(b) |=(b-1) 2≥.
(ii) 若0.
综上, 对任意的b、c都有M≥.
而当b=0, c=时, g(x) =在区间[-1, 1]上的最大值M=,
故M≥k对任意的b、c恒成立的k的最大值为. 15.(Ⅰ) f '(x) =(1+kx) ekx, f '(0) =1, f(0) =0, 曲线y=f(x) 在点(0, f(0) ) 处的切线方程为y=x.
(Ⅱ) 由f '(x) =(1+kx) ekx=0得x=-(k≠0) .
若k>0, 则当x∈时, f '(x) <0, 函数f(x) 单调递减;
当x∈时, f '(x) >0, 函数f(x) 单调递增.
若k<0, 则当x∈时, f '(x) >0, 函数f(x) 单调递增;
当x∈时, f '(x) <0, 函数f(x) 单调递减.
(Ⅲ) 由(Ⅱ) 知, 若k>0, 则当且仅当-≤-1, 即k≤1时, 函数f(x) 在(-1, 1) 内单调递增;
若k<0, 则当且仅当-≥1, 即k≥-1时, 函数f(x) 在(-1, 1) 内单调递增.
综上可知, 函数f(x) 在区间(-1, 1) 内单调递增时, k的取值范围是[-1, 0) ∪(0, 1]. 16.(Ⅰ) 因f(x) =ax2+bx+k(k>0) , 故f '(x) =2ax+b, 又f(x) 在x=0处取得极值, 故f '(0) =0, 从而b=0.
由曲线y=f(x) 在(1, f(1) ) 处的切线与直线x+2y+1=0相互垂直可知该切线斜率为2, 即f '(1) =2, 有2a=2, 从而a=1.
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知, g(x) =(k>0) , g'(x) =(k>0) ,
令g'(x) =0, 有x2-2x+k=0(k>0) .
①当Δ=4-4k<0, 即当k>1时, g'(x) >0在R上恒成立, 故函数g(x) 在R上为增函数.
②当Δ=4-4k=0, 即当k=1时, 有g'(x) =>0(x≠1) , 从而当k=1时, g(x) 在R上为增函数.
③当Δ=4-4k>0, 即当00, 故g(x) 在(-∞, 1-) 上为增函数;
当x∈(1-, 1+) 时, g'(x) <0, 故g(x) 在(1-, 1+) 上为减函数;
当x∈(1+, +∞) 时, g'(x) >0, 故g(x) 在(1+, +∞) 上为增函数. 17.(Ⅰ) 当a=0时, f(x) =x2ex, f '(x) =(x2+2x) ex, 故f '(1) =3e.
所以曲线y=f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线的斜率为3e.
(Ⅱ) f '(x) =[x2+(a+2) x-2a2+4a]ex.
令f '(x) =0, 解得x=-2a或x=a-2. 由a≠知, -2a≠a-2.
以下分两种情况讨论.
①若a>, 则-2aa-2. 当x变化时, f '(x) 、f(x) 的变化情况如下表
x
(-∞, a-2)
a-2
(a-2, -2a)
-2a
(-2a, +∞)
f '(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x) 在(-∞, a-2) , (-2a, +∞) 内是增函数, 在(a-2, -2a) 内是减函数.
函数f(x) 在x=a-2处取得极大值f(a-2) , 且f(a-2) =(4-3a) ea-2.
函数f(x) 在x=-2a处取得极小值f(-2a) , 且f(-2a) =3ae-2a. 18.解法一:(Ⅰ) (i) 由f(x) =x3-x得
f '(x) =3x2-1=3.
当x∈和时, f '(x) >0;
当x∈时, f '(x) <0.
因此, f(x) 的单调递增区间为和, 单调递减区间为.
(ii) 曲线C在点P1处的切线方程为y=(3-1) (x-x1) +-x1,
即y=(3-1) x-2. 由
得x3-x=(3-1) x-2, 即(x-x1) 2(x+2x1) =0, 解得x=x1或x=-2x1, 故x2=-2x1.
进而有S1=
==.
用x2代替x1, 重复上述计算过程, 可得x3=-2x2和S2=.
又x2=-2x1≠0, 所以S2=≠0, 因此有=.
(Ⅱ) 记函数g(x) =ax3+bx2+cx+d(a≠0) 的图象为曲线C', 类似于(Ⅰ) (ii) 的正确命题为:若对任意不等于-的实数x1, 曲线C'与其在点P1(x1, g(x1) ) 处的切线交于另一点P2(x2, g(x2) ) , 曲线C'与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3, g(x3) ) , 线段P1P2, P2P3与曲线C'所围成封闭图形的面积分别记为S1, S2, 则为定值.
证明如下:
因为平移变换不改变面积的大小, 故可将曲线y=g(x) 的对称中心平移至坐标原点, 因而不妨设g(x) =ax3+hx, 且x1≠0. 类似(Ⅰ) (ii) 的计算可得S1=a, S2=a≠0.
故=.
解法二:(Ⅰ) 同解法一.
(Ⅱ) 记函数g(x) =ax3+bx2+cx+d(a≠0) 的图象为曲线C', 类似于(Ⅰ) (ii) 的正确命题为:若对任意不等于-的实数x1, 曲线C'与其在点P1(x1, g(x1) ) 处的切线交于另一点P2(x2, g(x2) ) , 曲线C'与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3, g(x3) ) , 线段P1P2, P2P3与曲线C'所围成封闭图形的面积分别记为S1, S2, 则为定值.
证明如下:
由g(x) =ax3+bx2+cx+d(a≠0) 得g'(x) =3ax2+2bx+c,
所以曲线C'在点(x1, g(x1) ) 处的切线方程为
y=(3a+2bx1+c) x-2a-b+d.
由得
(x-x1) 2[a(x+2x1) +b]=0,
所以x=x1或x=--2x1, 即x2=--2x1, 故
S1=[ax3+bx2-(3a+2bx1) x+2a+b]dx=,
用x2代替x1, 重复上述计算过程, 可得
x3=--2x2和S2=. 又x2=--2x1且x1≠-,
所以S2===≠0,
故=. 19.(Ⅰ) f '(x) =, g'(x) =(x>0) ,
由已知得解得a=, x=e2,
∴两条曲线交点的坐标为(e2, e) . 切线的斜率为k=f '(e2) =,
∴切线的方程为y-e=(x-e2) .
(Ⅱ) 由条件知h(x) =-aln x(x>0) , ∴h'(x) =-=,
(i) 当a>0时, 令h'(x) =0, 解得x=4a2,
∴当04a2时, h'(x) >0, h(x) 在(4a2, +∞) 上递增.
∴x=4a2是h(x) 在(0, +∞) 上的唯一极值点, 且是极小值点, 从而也是h(x) 的最小值点.
∴最小值φ(a) =h(4a2) =2a-aln 4a2=2a(1-ln 2a) .
(ii) 当a≤0时, h'(x) =>0, h(x) 在(0, +∞) 上递增, 无最小值. 故h(x) 的最小值φ(a) 的解析式为φ(a) =2a(1-ln 2a) (a>0) .
(Ⅲ) 证明:由(Ⅱ) 知φ'(a) =-2ln 2a,
对任意的a>0, b>0,
=-=-ln 4ab, ①
φ'=-2ln=-ln(a+b) 2≤-ln 4ab, ②
φ'=-2ln≥-2ln=-ln 4ab, ③
故由①②③得φ'≤≤φ'. 20.(Ⅰ) f '(x) =+=+.
当a=2时, f '(0) =+=, 而f(0) =-, 因此曲线y=f(x) 在点(0, f(0) ) 处的切线方程为y-=(x-0) , 即7x-4y-2=0.
(Ⅱ) 因a≠-1, 由(Ⅰ) 知f '(1) =+=+, 又因f(x) 在x=1处取得极值, 所以f '(1) =0,
即+=0, 解得a=-3.
此时f(x) =+ln(x+1) , 其定义域为(-1, 3) ∪(3, +∞) , 且f '(x) =+=, 由f '(x) =0得x1=1, x2=7. 当-17时, f '(x) >0;当1
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