函数及其表示知识点大全例题及解析今年高考题带答案

函数及其表示知识点大全例题及解析今年高考题带答案

函数及其表示 ‎【考纲说明】‎ ‎1、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。‎ ‎2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。‎ ‎3、了解简单的分段函数，并能简单应用。‎ ‎4、本部分内容在高考中约占10分。‎ ‎【趣味链接】‎ 教室里有40个人（看成集合A），刚好有40张椅子（看成集合B）。如果你们很听话，每人坐一张椅子，就是一对一映射。但是如果你喜欢那个女生，你跑去和她共用一张椅子，也就是两个人都对应着同一张椅子，这就是多对一映射。但是你不可以一个人坐两张椅子，这样很霸道。也就是说你多少个人坐一张椅子都没关系，但是一个人不能坐多张椅子。也就是集合A中的很多元素都可以对应着集合B中的同一个元素，但是集合A中的一个元素不能同时对应着集合B中的多个元素。 于是，总的一句话，映射就是集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应。这句话有两个词很重要，一个是任意，另一个是唯一。 而函数呢，只要映射当中的集合A和集合B里面的元素都是数就叫做函数了。‎ ‎【知识梳理】‎ 一、 函数的概念 ‎1、设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为，f表示对应法则。‎ 给定一个集合到集合的映射，且。如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．‎ 注意：（1）A中元素必须都有象且唯一；（2）B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。‎ ‎2、函数的定义：‎ 设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意一个，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为。‎ ‎3、函数的定义域、值域 在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。显然，值域是集合B的子集。‎ ‎4、函数的三要素：定义域、值域和对应关系。‎ ‎5、区间的概念及表示法 设是两个实数，且，‎ 满足的实数的集合叫做闭区间，记做；‎ 满足的实数的集合叫做开区间，记做；‎ 满足，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；‎ 满足的实数的集合分别记做。‎ 注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须。‎ ‎6、求函数的定义域时，一般遵循以下原则：‎ ‎　①是整式时，定义域是全体实数。‎ ‎　②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数。‎ ‎　③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合。‎ ‎ ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1。‎ ‎　⑤中，。‎ ‎　⑥零（负）指数幂的底数不能为零。‎ ‎　⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集。‎ ‎　⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出。‎ ‎　⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论。‎ ‎　⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义。‎ 二、函数的表示方法 ‎ 函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法 ‎1、图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；‎ ‎2、列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；‎ ‎3、解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。‎ 三、分段函数 ‎ 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。‎ ‎ 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数。‎ 四、求函数解析式常用的方法 ‎ ‎1、待定系数法 ‎ 待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。‎ 2、 换元法 ‎ 换元法也是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。‎ ‎3、配凑法 已知复合函数的表达式，要求的解析式时，若表达式右边易配成的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。‎ ‎4、消元法，此方法的实质是解函数方程组 消元法适用的范围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。‎ ‎5、赋值法 赋值法是依据题条件的结构特点，由特殊到一般寻找普遍规律的方法。‎ 其方法：将适当变量取特殊值，使问题具体化、简单化，依据结构特点，从而找出一般规律，求出解析式。‎ ‎【经典例题】‎ ‎【例1】（2009山东理）定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为（ ）‎ A.-1 B. ‎0 C.1 D. 2‎ ‎【解析】由已知得,,,‎ ‎,,‎ ‎,,,‎ 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1，故选答案C.‎ ‎【例2】（2009山东文）定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（3）的值为（ ）‎ A.-1 B. ‎-2 C.1 D. 2‎ ‎【解析】由已知得,,,‎ ‎,,故选B. ‎ ‎【例3】（2009江西理）函数的定义域为（ ） ‎ A．　　　B．　　　C．　　　　D．‎ ‎【解析】由.故选C.‎ ‎【例4】（2009四川）已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有 ‎ ，则的值是 ( )‎ ‎ A. 0 B. C. 1 D. ‎ ‎【解析】若≠0，则有，取，则有：‎ ‎ （∵是偶函数，则 ‎ ）由此得于是 故选答案A.‎ ‎【例5】（2010福建）下列函数中，与函数 有相同定义域的是 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】由可得定义域是的定义域；的定义域是≠0；的定义域是定义域是。故选答案A。‎ ‎【例6】（2010浙江理）对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有．下列结论中正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，且，则 C．若，，则 ‎ D．若，，且，则 ‎【解析】对于，即有，令，有，不妨设，，即有，因此有，因此有.故选答案C.‎ ‎【例7】（2011福建）定义在R上的偶函数的部分图像如右图所示，则在上，下列函数中与的单调性不同的是（ ） ‎ A． B. ‎ C. D．‎ ‎【解析】根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在上单调递减，注意到要与的单调性不同，故所求的函数在上应单调递增。而函数在上递减；函数在时单调递减；函数在（上单调递减，理由如下y’=3x2>0(x<0),故函数单调递增， 显然符合题意；而函数，有y’=-<0(x<0),故其在（上单调递减， 不符合题意，综上选答案C。‎ ‎【例8】（2009北京）已知函数若，则 . ‎ ‎【解析】由，无解，故应填.‎ ‎【例9】（2008北京）若函数 则不等式的解集为____________.‎ ‎【解析】（1）由.‎ ‎ （2）由.‎ ‎ ∴不等式的解集为，∴应填 ‎【例10】（2008浙江）已知函数，，其中． ‎ ‎（I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；‎ ‎（II）设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】（I）因，，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得 ‎ ‎，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有， 于是，得，而当时有在 上有两个相等的实根，故舍去，所以； ‎ ‎（II）当时有；‎ 当时有，因为当时不合题意，因此，‎ 下面讨论的情形，记A，B=（ⅰ）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，（ⅱ）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（ⅰ）（ⅱ）；‎ 当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；‎ 同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意. ‎ ‎【课堂练习】‎ ‎1、（2009山东）已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2、（2009全国Ⅱ）函数y=(x0)的反函数是 （ ）‎ ‎ A. （x0） B. （x0） C. （x0） D.（x0） ‎ ‎3、（2009江西）函数的定义域为（ ）‎ A.　　　 B.　　　C.　　　　D.‎ ‎4、（2008全国Ⅱ）设则 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5、（2009天津）设函数则不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6、（2010天津）设函数f(x)在R上的导函数为f’(x),且‎2f(x)+xf’(x)>x,x下面的不等式在R内恒成立的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7、（2009湖南）设函数在（，+）内有定义，对于给定的正数K，定义函数 ‎ 取函数=。若对任意的，恒有=，则（ ） ‎ A. K的最大值为2 B. K的最小值为‎2 C. K的最大值为1 D. K的最小值为1 ‎ 2. ‎（2009天津理）已知函数若则实数的取值范围（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9、（2008年山东）设函数则的值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎10、（2007福建）已知函数为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎11、（2007安徽）图中的图象所表示的函数的解析式为 ( )‎ A. (0≤x≤2) B. (0≤x≤2)‎ ‎ C. (0≤x≤2) D. (0≤x≤2)‎ ‎12、（2007上海）函数的定义域是 ．‎ ‎13、（2006安徽）函数对于任意实数满足条件，若________.‎ ‎14、（2006上海）已知函数是定义在上的偶函数. 当时，‎ ‎，则当时， .‎ ‎15、（2008安徽）已知函数，则不等式的解集为 .‎ ‎16、（2009北京）函数，则，若，则实数的取值范围是　　　　　　　 .‎ ‎17、（2009江苏）已知集合，若则实数的取值范围是，其中= . ‎ ‎18、（2009广东）已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=－1处取得最小值m－1(m).设函数.‎ ‎（1）若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值.‎ ‎（2）如何取值时,函数存在零点,并求出零点.‎ ‎19、（2008江苏）设为实数，函数. ‎ ‎（1）若，求的取值范围； ‎ ‎（2）求的最小值； ‎ ‎（3）设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.‎ ‎20、（2008上海）已知函数的反函数。定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”.‎ ‎（1）判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由； ‎ ‎（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；‎ ‎（3）设函数对任何，满足“积性质”。求的表达式.‎ ‎【课后作业】‎ ‎1、若函数是函数的反函数，且，则 （ ） ‎ A. B. C. D.2 ‎ ‎2、函数的反函数是（ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎3、设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数 ‎ 取函数。当=时，函数的单调递增区间为（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4、下列函数中，满足“对任意，（0，），当<时，都有>的是（ ）‎ A.= B. = C.= D..‎ ‎5、已知函数满足：x≥4,则＝；当x＜4时＝，则＝（ ）‎ A. B.. C.. D.‎ ‎6、已知函数的反函数为，则（ ）‎ ‎ A.0 B‎.1 C.2 D.4‎ ‎7、已知函数连续，则常数的值是（ ） ‎ A.2　　 B‎.‎‎3　‎　 　C.4　　 　D.5 ‎ ‎8、若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎9、设，则的定义域为（ ） ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎10、函数的反函数是（ ） ‎ A. B..‎ C. D.‎ ‎11、函数的反函数为（ ） ‎ A. B. ‎ C. D.科 ‎12、定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则（ ）‎ ‎　  A. 　　  　　　  B.   ‎ ‎ C. 　　  　　　  D. ‎ ‎13、已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为 .‎ ‎14、函数的定义域为 . ‎ ‎15、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则 ‎ ‎16、已知函数为上的奇函数，当时，.若，则实数 .‎ ‎17、若对于任意a[-1,1], 函数f(x) = x+ (a－4)x + 4－‎2a的值恒大于零,　则x的取值范围是 .‎ ‎18、设函数.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若当时,(其中)不等式恒成立,求实数的取值范围；‎ ‎（3）试讨论关于的方程:在区间上的根的个数.‎ ‎19、两县城A和B相距‎20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.‎ ‎（1）将y表示成x的函数；‎ A ‎ B ‎ C ‎ x ‎ ‎（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由.‎ 1、 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P处，已知AB=20km,‎ CB=‎10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），‎ 且A,B与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP，‎ 设排污管道的总长为km．‎ ‎（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：‎ ‎①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；‎ ‎②设OP(km) ，将表示成的函数关系式.‎ ‎（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短.‎ ‎【参考答案】‎ ‎【课堂练习】‎ ‎1、D 2、B 3、D 4、B 5、A 6、A 7、D 8、A 9、A 10、C 11、B ‎12、 ‎ ‎13、 - ‎ ‎14、 ‎ ‎15、 ‎ ‎16、 ‎ ‎17、4‎ ‎18、（1）设，则；又的图像与直线平行 又在取极小值， ， ， ；‎ ‎ ， 设 则 ‎ ； ‎ ‎（2）由，得 ‎ ‎ 当时，方程有一解，函数有一零点；‎ ‎ 当时，方程有二解，若，，‎ ‎ 函数有两个零点；若，‎ ‎ ，函数有两个零点；‎ ‎ 当时，方程有一解, , 函数有一零点 ‎ ‎19、（1）若，则 ‎（2）当时，‎ ‎ 当时，‎ ‎ 综上 ‎（3）时，得，‎ 当时，；‎ 当时，△>0,得：‎ 讨论得：当时，解集为;‎ 当时，解集为;‎ 当时，解集为.‎ ‎20、（1）函数的反函数是 ‎ 而其反函数为 故函数不满足“1和性质”‎ ‎（2）设函数满足“2和性质”，‎ 而得反函数由“2和性质”定义可知=对恒成立即所求一次函数为 ‎ ‎（3）设，，且点在图像上，则在函数图象上，‎ ‎ 故，可得， 　‎ ‎ ‎ 令，则。，即。　‎ 综上所述，，此时，其反函数就是，‎ 而，故与互为反函数 。 ‎ ‎【课后作业】‎ ‎1、A 2、C 3、C 4、A 5、A 6、C 7、B 8、A 9、B 10、D 11、D 12、A ‎13、m3 15、-8 16、 17、(‎ ‎18、（1）函数的定义域为. 由得; ‎ 由得, 则增区间为,减区间为. ‎ ‎(2)令得,由(1)知在上递减,在上递增, ‎ 由,且, ‎ 时, 的最大值为,故时,不等式恒成立. ‎ ‎(3)方程即.记,则.由得;由得.所以g(x)在[0,1]上递减，在[1，2]上递增.而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1) 所以，当a＞1时，方程无解；‎ 当3-2ln3＜a≤1时，方程有一个解，当2-2ln2＜a≤a≤3-2ln3时，方程有两个解；当a=2-2ln2时，方程有一个解；‎ 当a＜2-2ln2时，方程无解.综上所述，a时，方程无解；或a=2-2ln2‎ 时，方程有唯一解；时，方程有两个不等的解. ‎ ‎19、（1）如图,由题意知AC⊥BC,,其中当时，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函数为 ‎（2）,,令得,所以,即,当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值.‎ ‎20、（Ⅰ）①设AB中点为Q，由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则, 故，又OP＝，所以， 所求函数关系式为 ‎②若OP=(km) ，则OQ＝10－，所以OA=OB=所求函数关系式为 ‎（Ⅱ）选择函数模型①，令得sin，因为，所以=.当时，，是的减函数；当时，，y是的增函数.所以当=时，(km)。这时点0位于线段AB 的中垂线上，且距离AB边km处.‎