平面向量高考真题精选一

平面向量高考真题精选一

平面向量高考真题精选（一）‎ ‎　‎ 一．选择题（共20小题）‎ ‎1．（2017•新课标Ⅱ）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（　　）‎ A．⊥ B．||=|| C．∥ D．||＞||　‎ ‎2．（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（　　）‎ A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1　‎ ‎3．（2017•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=•，I2=•，I3=•，则（　　）‎ A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2 C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I3‎ ‎4．（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（　　）‎ A．3 B．2 C． D．2‎ ‎　‎ ‎5．（2016•四川）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是（　　）‎ A． B． C． D．　‎ ‎6．（2016•新课标Ⅱ）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（　　）‎ A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8‎ ‎　‎ ‎7．（2016•天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（　　）‎ A．﹣ B． C． D．‎ ‎　‎ ‎8．（2016•山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（　　）‎ A．4 B．﹣4 C． D．﹣　‎ ‎9．（2016•四川）在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（　　）‎ A． B． C． D．　‎ ‎10．（2016•新课标Ⅲ）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．120°‎ ‎11．（2015•新课标Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点，，则（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12．（2015•新课标Ⅰ）已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（　　）‎ A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4）　‎ ‎13．（2015•四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．6　‎ ‎14．（2015•山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（　　）‎ A．﹣a2 B．﹣a2 C．a2 D．a2　‎ ‎15．（2015•四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（　　）‎ A．20 B．15 C．9 D．6　‎ ‎16．（2015•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（　　）‎ A．||=1 B．⊥ C．•=1 D．（4+）⊥　‎ ‎17．（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形 ABCD是平行四边形，=（1，﹣2），=（2，1）则•=（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2　‎ ‎18．（2015•重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（　　）‎ A． B． C． D．π ‎19．（2015•重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎20．（2015•福建）设=（1，2），=（1，1），=+k，若，则实数k的值等于（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．　‎ 二．填空题（共8小题）‎ ‎21．（2017•新课标Ⅰ）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=　　．‎ ‎22．（2017•天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为　　．‎ ‎23．（2017•北京）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则•的最大值为　　．‎ ‎24．（2017•山东）已知， 是互相垂直的单位向量，若﹣ 与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是　　．‎ ‎26．（2017•新课标Ⅰ）已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m=　 ．　‎ ‎27．（2016•新课标Ⅰ）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=　　．‎ ‎28．（2016•山东）已知向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），若⊥（t+），则实数t的值为　　．　‎ 三．解答题（共2小题）‎ ‎29．（2017•山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，=﹣6，S△ABC=3，求A和a．‎ ‎30．（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．‎ ‎（1）若⊥，求tanx的值；‎ ‎（2）若与的夹角为，求x的值．‎ ‎　‎ 平面向量高考真题精选（一）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共20小题）‎ ‎1．（2017•新课标Ⅱ）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（　　）‎ A．⊥ B．||=|| C．∥ D．||＞||‎ ‎【解答】解：∵非零向量，满足|+|=|﹣|，‎ ‎∴，‎ 解得=0，‎ ‎∴．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（　　）‎ A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1‎ ‎【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，‎ 则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），‎ 设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），‎ 则•（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]‎ ‎∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，‎ 故选：B ‎　‎ ‎3．（2017•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=•，I2=•，I3=•，则（　　）‎ A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2 C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I3‎ ‎【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，‎ ‎∴AC=2，‎ ‎∴∠AOB=∠COD＞90°，‎ 由图象知OA＜OC，OB＜OD，‎ ‎∴0＞•＞•，•＞0，‎ 即I3＜I1＜I2，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（　　）‎ A．3 B．2 C． D．2‎ ‎【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，‎ 则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），‎ ‎∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，‎ 设圆的半径为r，‎ ‎∵BC=2，CD=1，‎ ‎∴BD==‎ ‎∴BC•CD=BD•r，‎ ‎∴r=，‎ ‎∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，‎ 设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），‎ ‎∵=λ+μ，‎ ‎∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），‎ ‎∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，‎ ‎∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，‎ ‎∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，‎ ‎∴1≤λ+μ≤3，‎ 故λ+μ的最大值为3，‎ 故选：A ‎　‎ ‎5．（2016•四川）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．‎ B（0，0），C．‎ A．‎ ‎∵M满足||=1，‎ ‎∴点P的轨迹方程为：=1，‎ 令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．‎ 又=，则M，‎ ‎∴||2=+=+3sin≤．‎ ‎∴||2的最大值是．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．（2016•新课标Ⅱ）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（　　）‎ A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8‎ ‎【解答】解：∵向量=（1，m），=（3，﹣2），‎ ‎∴+=（4，m﹣2），‎ 又∵（+）⊥，‎ ‎∴12﹣2（m﹣2）=0，‎ 解得：m=8，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．（2016•天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（　　）‎ A．﹣ B． C． D．‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，‎ ‎∴•==‎ ‎==‎ ‎===‎ ‎=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．（2016•山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（　　）‎ A．4 B．﹣4 C． D．﹣‎ ‎【解答】解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+），‎ ‎∴•（t+）=t•+2=t||•||•+||2=（）||2=0，‎ 解得：t=﹣4，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（2016•四川）在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：由==，可得D为△ABC的外心，‎ 又•=•=•，可得 ‎•（﹣）=0，•（﹣）=0，‎ 即•=•=0，‎ 即有⊥，⊥，可得D为△ABC的垂心，‎ 则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．‎ 由•=﹣2，即有||•||cos120°=﹣2，‎ 解得||=2，△ABC的边长为4cos30°=2，‎ 以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，‎ 可得B（3，﹣），C（3，），D（2，0），‎ 由=1，可设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），‎ 由=，可得M为PC的中点，即有M（，），‎ 则||2=（3﹣）2+（+）2‎ ‎=+=‎ ‎=，‎ 当sin（θ﹣）=1，即θ=时，取得最大值，且为．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．（2016•新课标Ⅲ）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．120°‎ ‎【解答】解：，；‎ ‎∴；‎ 又0°≤∠ABC≤180°；‎ ‎∴∠ABC=30°．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．（2015•新课标Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点，，则（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【解答】解：由已知得到如图 由===；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．（2015•新课标Ⅰ）已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（　　）‎ A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4）‎ ‎【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），‎ 则向量==（﹣7，﹣4）；‎ 故答案为：A．‎ ‎　‎ ‎13．（2015•四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ ‎【解答】解；因为向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，‎ 所以4x=2×6，解得x=3；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎14．（2015•山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（　　）‎ A．﹣a2 B．﹣a2 C．a2 D．a2‎ ‎【解答】解：∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，‎ ‎∴=a2，=a×a×cos60°=，‎ 则=（）•==‎ 故选：D ‎　‎ ‎15．（2015•四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（　　）‎ A．20 B．15 C．9 D．6‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足，，‎ ‎∴根据图形可得：=+=，‎ ‎==，‎ ‎∴=，‎ ‎∵=•（）=2﹣，‎ ‎2=22，‎ ‎=22，‎ ‎||=6，||=4，‎ ‎∴=22=12﹣3=9‎ 故选：C ‎　‎ ‎16．（2015•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（　　）‎ A．||=1 B．⊥ C．•=1 D．（4+）⊥‎ ‎【解答】解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足=2，=2+，又，∴的方向应该为的方向．‎ 所以，，‎ 所以=2，=1×2×cos120°=﹣1，‎ ‎4=4×1×2×cos120°=﹣4，=4，所以=0，即（4）=0，即=0，所以；‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎17．（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形 ABCD是平行四边形，=（1，﹣2），=（2，1）则•=（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎【解答】解：由向量加法的平行四边形法则可得，==（3，﹣1）．‎ ‎∴=3×2+（﹣1）×1=5．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎18．（2015•重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（　　）‎ A． B． C． D．π ‎【解答】解：∵（﹣）⊥（3+2），‎ ‎∴（﹣）•（3+2）=0，‎ 即32﹣22﹣•=0，‎ 即•=32﹣22=2，‎ ‎∴cos＜，＞===，‎ 即＜，＞=，‎ 故选：A ‎　‎ ‎19．（2015•重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：由已知非零向量满足||=4||，且⊥（），设两个非零向量的夹角为θ，‎ 所以•（）=0，即2=0，所以cosθ=，θ∈[0，π]，所以；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎20．（2015•福建）设=（1，2），=（1，1），=+k，若，则实数k的值等于（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎【解答】解：∵=（1，2），=（1，1），‎ ‎∴=+k=（1+k，2+k）‎ ‎∵，∴•=0，‎ ‎∴1+k+2+k=0，解得k=﹣‎ 故选：A ‎　‎ 二．填空题（共8小题）‎ ‎21．（2017•新课标Ⅰ）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=　2　．‎ ‎【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，‎ ‎∴=+4•+4‎ ‎=22+4×2×1×cos60°+4×12‎ ‎=12，‎ ‎∴|+2|=2．‎ ‎【解法二】根据题意画出图形，如图所示；‎ 结合图形=+=+2；‎ 在△OAC中，由余弦定理得 ‎||==2，‎ 即|+2|=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎22．（2017•天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为　　．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ ‎△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，‎ ‎=2，‎ ‎∴=+‎ ‎=+‎ ‎=+（﹣）‎ ‎=+，‎ 又=λ﹣（λ∈R），‎ ‎∴=（+）•（λ﹣）‎ ‎=（λ﹣）•﹣+λ ‎=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，‎ ‎∴λ=1，‎ 解得λ=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎23．（2017•北京）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则•的最大值为　6　．‎ ‎【解答】解：设P（cosα，sinα）.=（2，0），=（cosα+2，sinα）．‎ 则•=2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1时取等号．‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎24．（2017•山东）已知， 是互相垂直的单位向量，若﹣ 与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是　　．‎ ‎【解答】解：， 是互相垂直的单位向量，‎ ‎∴||=||=1，且•=0；‎ 又﹣ 与+λ的夹角为60°，‎ ‎∴（﹣）•（+λ）=|﹣|×|+λ|×cos60°，‎ 即+（﹣1）•﹣λ=×‎ ‎×，‎ 化简得﹣λ=××，‎ 即﹣λ=，‎ 解得λ=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎25．（2017•新课标Ⅲ）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m=　2　．‎ ‎【解答】解：∵向量=（﹣2，3），=（3，m），且，‎ ‎∴=﹣6+3m=0，‎ 解得m=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎26．（2017•新课标Ⅰ）已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m=　7　．‎ ‎【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（m，1），‎ ‎∴=（﹣1+m，3），‎ ‎∵向量+与垂直，‎ ‎∴（）•=（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0，‎ 解得m=7．‎ 故答案为：7．‎ ‎　‎ ‎27．（2016•新课标Ⅰ）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=　﹣2　．‎ ‎【解答】解：|+|2=||2+||2，‎ 可得•=0．‎ 向量=（m，1），=（1，2），‎ 可得m+2=0，解得m=﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎　‎ ‎28．（2016•山东）已知向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），若⊥（t+），则实数t的值为　﹣5　．‎ ‎【解答】解：∵向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），‎ ‎∴t+=（t+6，﹣t﹣4），‎ ‎∵⊥（t+），‎ ‎∴•（t+）=t+6+t+4=0，‎ 解得t=﹣5，‎ 故答案为：﹣5．‎ ‎　‎ 三．解答题（共2小题）‎ ‎29．（2017•山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，=﹣6，S△ABC=3，求A和a．‎ ‎【解答】解：由=﹣6可得bccosA=﹣6，①，‎ 由三角形的面积公式可得S△ABC=bcsinA=3，②‎ ‎∴tanA=﹣1，‎ ‎∵0＜A＜180°，‎ ‎∴A=135°，‎ ‎∴c==2，‎ 由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=9+8+12=29‎ ‎∴a=‎ ‎　‎ ‎30．（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．‎ ‎（1）若⊥，求tanx的值；‎ ‎（2）若与的夹角为，求x的值．‎ ‎【解答】解：（1）若⊥，‎ 则•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx=0，‎ 即sinx=cosx sinx=cosx，即tanx=1；‎ ‎（2）∵||=，||==1，•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx，‎ ‎∴若与的夹角为，‎ 则•=||•||cos=，‎ 即sinx﹣cosx=，‎ 则sin（x﹣）=，‎ ‎∵x∈（0，）．‎ ‎∴x﹣∈（﹣，）．‎ 则x﹣=‎ 即x=+=．‎ ‎　‎