高考数学压轴题专题训练共题
1．已知点，一动圆过点且与圆内切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）设点，点为曲线上任一点，求点到点距离的最大值；
（3）在的条件下，设△的面积为（是坐标原点，是曲线上横坐标为的点），以为边长的正方形的面积为．若正数满足，问是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由．
2．在直角坐标平面上有一点列，，…，，…，对每个正整数，点位于一次函数的图像上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列．
（1）求点的坐标；
（2）设二次函数的图像以为顶点，且过点，若过且斜率为的直线与只有一个公共点，求的值．
（3）设，为正整数，，为正整数，等差数列中的任一项，且是中的最大数，，求的通项公式．
3．已知点A（－1，0)，B（1,0)，C（－ ,0)，D（,0)，动点P（x, y)满足·＝0，动点Q（x, y)满足||+||＝
⑴求动点P的轨迹方程C0和动点Q的轨迹方程C1；
⑵是否存在与曲线C0外切且与曲线C1内接的平行四边形，若存在，请求出一个这样的平行四边形，若不存在，请说明理由；
⑶固定曲线C0，在⑵的基础上提出一个一般性问题，使⑵成为⑶的特例，探究能得出相应结论（或加强结论）需满足的条件，并说明理由。
4．已知函数f (x)＝m x2＋(m－3）x＋1的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，
⑴求实数m的取值范围；
⑵令t＝－m＋2，求[]；(其中[t]表示不超过t的最大整数，例如：[1]＝1， [2．5]＝2， [－2．5]＝－3)
⑶对⑵中的t，求函数g(t)＝的值域。
5．已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点
为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若Q是双曲线C上的任一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引∠F1QF2
的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．
（3）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线L经过M（－2，0）
及AB的中点，求直线L在y轴上的截距b的取值范围．
6．已知是定义在上的恒不为零的函数，且对于任意的、都满足：
（1）求的值，并证明对任意的，都有；
（2）设当时，都有，证明在上是减函数；
（3）在（2）的条件下，求集合中的最大元素和最小元素。
7．直线与x轴、y 轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为，所
围成区域内部（包括边界）的整点个数为．（整点就是横坐标，纵坐标都为整数的点）
（1）求和的值；
（2）求及的表达式；
（3）对个整点中的每一个点用红、黄、蓝、白四色之一着色，其方法总 数为An，对个整点中的每一个点用红、黄两色之一着色，其方法总数为Bn，试比较An与Bn的大小．
8．已知动点到定点（1，0）的距离比到定直线的距离小1。
（1）求证：点轨迹为抛物线，并求出其轨迹方程；
（2）大家知道，过圆上任意一点，任意作相互垂直的弦，则弦必过圆心（定点），受此启发，研究下面的问题：①过（1）中的抛物线的顶点任作相互垂直的弦，则弦是否经过一个定点？若经过定点（设为），请求出点的坐标，否则说明理由；②研究：对于抛物线上顶点以外的定点是否也有这样的性质？请提出一个一般的结论，并证明。
9．若函数的定义域为，其中a、b为任意正
实数，且a
0，k，n是正整数），S（k，n）表示
k方数列的前n项的和。
（1）比较S（1，2）·S（3，2）与[S（2，2）]2的大小；
（2）若的1方数列、2方数列都是等差数列，a1=a，求的k方数列通项公式。
（3）对于常数数列an=1，具有关于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n），
S（2，n）=S（3，n）等等，请你对数列的k方数列进行研究，写出一个不是常数数列
的k方数列关于S（k，n）的恒等式，并给出证明过程。
11．记函数，,它们定义域的交集为,若对任意的
,，则称是集合的元素．
（1）判断函数是否是的元素；
（2）设函数，求的反函数，并判断是否是的元素；
（3）若，写出的条件，并写出两个不同于（1）、（2）中的函数．（将根据写出的函数类型酌情给分）
12．已知抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为．
（1）求抛物线的方程．
（2）设直线与抛物线交于两点，且
，是弦的中点，过作平行于轴的直线交抛物线于点，
得到；再分别过弦、的中点作平行于轴的直线依次交抛物线于点，
得到和；按此方法继续下去．解决下列问题：
1)．求证：；
2)．计算的面积；
3)．根据的面积的计算结果，写出的面积；请设计一种求抛物线与线段所围成封闭图形面积的方法，并求出此封闭图形的面积．
·
F1
x
O
y
F2
·
13．设椭圆（）的两个焦点是和（），且椭圆与圆有公共点．
（1）求的取值范围；
（2）若椭圆上的点到焦点的最短距离为，求椭圆的方程；
（3）对（2）中的椭圆，直线（）与交于不同的
两点、，若线段的垂直平分线恒过点，求实数的取值范围．
14．我们用和分别表示实数中的最小者和最大者．
（1）设，，，函数的值域为，函数的值域为，求；
（2）数学课上老师提出了下面的问题：设，，…，为实数，，求函数
（）的最小值或最大值．为了方便探究，遵循从特殊到一般的原则，老师让学生先解决两个特例：求函数和的最值． 学生甲得出的结论是：，且无最大值． 学生乙得出的结论是：，且无最小值．
请选择两个学生得出的结论中的一个，说明其成立的理由；
（3）试对老师提出的问题进行研究，写出你所得到的结论并加以证明（如果结论是分类的，请选择一种情况加以证明）．
15．设向量， (n为正整数)，函数在[0，1]上的最小值与最大值的和为，又数列满足：
．
(1) 求证：．
(2) (2)．求的表达式．
(3) 若，试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？证明你的结论．（注：与表示意义相同）
16、设斜率为的直线交椭圆：于两点，点为弦的中点，直线的斜率为（其中为坐标原点，假设、都存在）．
（1）求×的值．
（2）把上述椭圆一般化为（＞＞０），其它条件不变，试猜想与关系(不需要证明)．请你给出在双曲线（＞０，＞０）中相类似的结论，并证明你的结论．
（3）分析（2）中的探究结果，并作出进一步概括，使上述结果都是你所概括命题的特
例．如果概括后的命题中的直线过原点，为概括后命题中曲线上一动点，借助直线及动点，请你提出一个有意义的数学问题，并予以解决．
17．已知向量,向量与向量夹角为，且．
（1）求向量；
（2）若向量与向量的夹角为，其中，为的
内角，且，，依次成等差数列，试求求||的取值范围．
A
B
M
F
O
y
x
18．如图，过椭圆的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”．
(1)求椭圆的“左特征点”M的坐标；
(2)试根据(1)提出一个问题并给出解答。
19．如图，已知圆C：，设M为圆C与x轴左半轴的交点，过M作
圆C的弦MN，并使它的中点P恰好落在y轴上。
（1）当r=2时， 求满足条件的P点的坐标；
（2）当时，求N的轨迹G方程；
（3）过点P（0，2）的直线l与（2）中轨迹G相交于两个不同的点M,N，若，求直线的斜率的取值范围。
20．函数f(x)是定义在［0，1］上的增函数，满足且，在每个区间（1，2……）上，y=f(x)的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分。
（1）求f(0)及，的值，并归纳出的表达式（不必证明）；
（2）设直线，，轴及的图象围成的梯形的面积为（1，2……），记，求的表达式，并写出其定义域和最小值。
1．本题满分16分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题6分．
解（1）设动圆圆心为，半径为，已知圆圆心为，
由题意知，，于是，
所以点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，其方程为．
（2）设，则
，令，，所以，
当，即时在上是减函数，；
当，即时，在上是增函数，在上是减函数，则；
当，即时，在上是增函数，．
所以， ．
（3）当时,,于是,,（12分）
若正数满足条件，则，即，
，令，设，则，，
于是，
所以，当，即时，，
即，．所以，存在最小值．
2．解（1）由已知，，
所以．
（2）设二次函数，因为的图像过点，所以，解得
的方程为，代入得，
即 ①
由已知，方程①仅有一解，所以，（）
所以
．
（3）由题意为正整数},为正整数}
所以中的元素组成以为首项，为公差的等差数列，
所以，的公差为（）
若，则，；
若，则，；
若，则，即．
综上所述，的通项公式为（为正整数）．
3、⑴C0：x2＋y2＝1， C1：＋＝1，⑵连椭圆四端点可得□，⑶问题：已知C0：x2＋y2＝1和C1：＋＝1（a＞b＞0），试问，当a、 b满足什么条件时，对C1上任意一点Q均存在以Q
为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形。解得a2＋b2＝a 2b2；
4、⑴m≤1，⑵t＝1时[]＝1，t＞1时[]＝0，⑶｛｝∪[,)
5．解：（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kx－y=0
∵该直线与圆 相切，
∴双曲线C的两条渐近线方程为 …………2分
故设双曲线C的方程为，又∵双曲线C的一个焦点为
∴，∴双曲线C的方程为 ………4分
（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|=|OF1|
若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|
根据双曲线的定义|TF2|=2，所以点T在以F2为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是 ① …………8分
由于点N是线段F1T的中点，设N（x，y），T（）
则
代入①并整理得点N的轨迹方程为 ……10分
（3）由
令
直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 上有两个不等实根．
因此 又AB中点为
∴直线L的方程为 …………14分
令x=0，得
∵ ∴
∴故b的取值范围是 …………16分
6．解：（1）
…………4分
（2）∵当时，都有…………6分
∴当，即时，有，…………8分
即
∴在上是减函数。…………10分
（3）∵在上是减函数，{}是递增数列∴数列是递减数列。
………14分
∴集合中的最大元素为
，最小元素为 。………18分
7．（1）时，直线上有个点，
直线上有 ，直线上有，
直线上有
2分
2分
（2）时， 时，
当时， 3分
2分
当 时也满足，， 1分
（3） ， 1分
； 1分
2分
当时， 1分
当且时， 1分
8、（18分）（1）到定点的距离等于到定直线的距离
轨迹为抛物线； 2分
轨迹方程为。 2分
（2）①设，
由 得， 2分
同理 2分
因此方程为
即 2分
令 得
2分
②设点为上一定点，则 1分
过作互相垂直的弦
设，，则，，
化简得即（*） 2分
假设过定点，则有
即化简得（**） 2分
比较（*）、（**）得，
过定点 1分
9．（1）当 …………2分
∵
∴当是减函数，当是增函数 ……4分
（2）是减函数；在上是增函数。 ………………6分
∴当有最小值为
…………8分
当有最大值为 ………10分
（3）当A=Ik时最小值为
当A= Ik+1时最小值为 …………12分
∴ …………14分
设
则
∴ ………………16分
10．解：（1）S（1，2）= …………2分
∴S（1，2）·S（3，2）－[S（2，2）]2
= …………4分
=
=
∵ …………5分
（2）设 …………7分
则 ……①
……②
∴②－①得 2d2=0，∴d=p=0 …………9分
∴ ………………11分
（3）当an=n时，恒等式为[S（1，n）]2=S（3，n） …………15分
证明：
相减得：
∴
相减得：
∴ ………………18分
11．解：（1）∵对任意，，∴--2分
∵不恒等于，∴--------------------------4分
（2）设
①时，由 解得：
由 解得其反函数为 ，-----------------6分
②时，由 解得：
解得函数的反函数为，--------------------8分
∵
∴--------------------------------------------------------------------11分
（3），的条件是：
存在反函数，且-----------------------------------------------13分
函数可以是：
； ；
； ；
或，；
或，．
以“；”划分为不同类型的函数，评分标准如下：
给出函数是以上函数中两个不同类型的函数得3分．
属于以上同一类型的两个函数得1分；
写出的是与（1）、（2）中函数同类型的不得分；
函数定义域或条件错误扣1分．
12．解：（1）由抛物线定义，抛物线上点到焦点的距离等于它到准线的距离，得，
所以抛物线的方程为． ----------------------------------------------------------4分
（只要得到抛物线方程，都得4分）
（2）由，得，（或）
当，即且时，
（或）
①由，即，得，
所以．----------------------------------------------------------------------8分
②由①知，中点的坐标为，点，
．-------------------------------------12分
③由问题②知，的面积值仅与有关，由于
，所以与的面积
，设-------14分
由题设当中构造三角形的方法，可以将抛物线与线段所围成的封闭图形的面积
看成无穷多个三角形的面积的和，即数列的无穷项和，------------------------16分
所以
即，
因此，所求封闭图形的面积为．--------------------------------------------------------18分
13．解：（1）由已知，，
∴ 方程组有实数解，从而，……（3分）
故，所以，即的取值范围是．…………（4分）
（2）设椭圆上的点到一个焦点的距离为，
则
（）．……………………（6分）
∵ ，∴ 当时，，……（7分）
于是，，解得 ．…………（9分）
∴ 所求椭圆方程为．…………（10分）
（直接给出的扣3分）
（3）由得 （*）
∵ 直线与椭圆交于不同两点， ∴ △，即．①……（12分）
设、，则、是方程（*）的两个实数解，
∴ ，∴ 线段的中点为，
又∵ 线段的垂直平分线恒过点，∴ ，
即，即 ②………………（14分）
由①，②得，，又由②得，
∴ 实数的取值范围是．…………（16分）
14．解（1），，∴ ．……（4分）
（2）若选择学生甲的结论，则说明如下，
，于是在区间上是减函数，在上
是减函数，在上是增函数，在上是增函数．……（8分）
所以函数的最小值是，且函数没有最大值．（10分）
若选择学生乙的结论，则说明如下，
，于是在区间上是增函数，在上是
增函数，在上是减函数，在上是减函数．…………（8分）
所以函数的最大值是，且函数没有最小值．（10 分）（3）结论：
若，则；
若，则；
若，则，
（写出每个结论得1分，共3分，证明为5分）
以第一个结论为例证明如下：
∵ ，∴ 当时，
，是减函数，
当时，
，是增函数
当时，函数的图像是以点，，…，
为端点的一系列互相连接的折线所组成，
所以有．
15、 (1)证：对称轴， 所以在[0，1]上为增函数 ---2分 --4分
(2)、解．由，得，
= 两式相减，
得----------------------------------8分
----------------------------------- 10分
(3)由(1)与（2）得
设存在自然数，使对，恒成立-----------------------12分
当时，
当时，， 当时，
当时，，当时， ---------------------------14分
所以存在正整数，使对任意正整数，均有
------------------16分
16．、（解一）：（1）设直线方程为，代入椭圆方程并整理得：
，-----------------------------------2分
，又中点M在直线上，所以，从而可得弦中点M的坐标为，，所以。-----------4分
（解二）设点， 中点 则
----------------------------2分
又与作差得
所以 ----------------------------------------------4分
（2）对于椭圆， ---------------------------------6分
已知斜率为的直线交双曲线（＞０，＞０）于两点，点 为弦的中点，直线的斜率为（其中为坐标原点，假设、都存在）．
则×的值为． ------- -------------------- -----------------------8分
（解一）、设直线方程为，代入（＞０，＞０）方程并整理得：
，，
所以，即 --------------------10分
(解二）设点 中点
则
又因为点在双曲线上，则与作差得
即 -----------------10分
（3）对（2）的概括：设斜率为的直线交二次曲线：（）于两点，点为弦的中点，直线的斜率为（其中为坐标原点，假设、都存在），则．------------12分
提出问题与解决问题满分分别为3分，提出意义不大的问题不得分，解决问题的分值不得超过提出问题的分值。
提出的问题例如：直线过原点，为二次曲线（）上一动点，设直线交曲线于两点，当异于两点时，如果直线的斜率都存在，则它们斜率的积为与点无关的定值。-----------------15分
解法1：设直线方程为，两点坐标分别为、，则
把代入得，
，
所以---------------------18分
提出的问题的例如： 直线：，为二次曲线（）上一动点，设直线交曲线于两点。试问使的点是否存在？-----------------13分
意义不大的问题例如：1）直线过原点，为二次曲线（）上一动点，设直线交曲线于两点，求的值。
2）直线过原点，为二次曲线（）上一动点，设直线交曲线于两点，求的最值。
17．解：(1)设，有．--------------------------------------2分
因为向量与向量夹角为，
又∵，，
∴-------------------------------------------------------------------4分
解得∴即或------------------------6分
(2)由垂直知．由2B=A+C知----8分
若，则
∴
----------------------------------------------------------10分
∵,
∴．．
即． ∴ -----------------------------16分
18．解：(1)解：设M(m，0)为椭圆的左特征点，
椭圆的左焦点为，
设直线AB的方程为
将它代入得：，
即 ---------------------------------2分
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，-----------------4分
∵∠AMB被x轴平分，∴
即，Þ
Þ
∴， ----------------------------------------6分
于是
∵，∴，即
∴M(，0) ---------------------------------8分
(2) 问题不唯一，只要能在（1）基础上提出新的问题，并把所提问题解答出来就相应得分。如可以变换椭圆的方程，求出相应的M点坐标；或你想设问等。
如问题：椭圆 的“左特征点”M是一个怎样的点？
求解出M---------------------------------18分
19．解：（1）解法一：由已知得，时，可求得点的坐标为（-1,0）， 2分
设P（0，b）,则由（或用勾股定理）得： ，所以即点P坐标为。 4分
解法二：同上可得，设则
解得。所以的中点P坐标为。
（2）解法一：设由已知得，在圆方程中令y=0，求得点的坐标为。设P（0，b）,则由（或用勾股定理）得：。 6分
因为点P为线段的中点，所以,，又r>1
所以点N的轨迹方程为 。 10分
解法二：设N（x,y），同上可得，则
，消去r，又r>1，所以点N的轨迹方程为。
（3）设直线的方程为,，
消去因为直线与抛物线相交于两个不同的点，所以，所以，
12分
又因为，所以，
所以，，
所以 14分
综上可得。 16分
20．解：（1）由，得 2分
由及，得 4分
同理，， 6分
归纳得 8分
（2）当时，
所以是首项为，公比为的等比数列。 14分
所以
的定义域为1，当时取得最小值。 18分
