2015高考数学（文）（立体几何）一轮专题练习题

2015高考数学（文）（立体几何）一轮专题练习题

中档题目强化练——立体几何 A组　专项基础训练 ‎(时间：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是 (　　)‎ A.球的三视图总是三个全等的圆 B.正方体的三视图总是三个全等的正方形 C.水平放置的各面均为正三角形的四面体的三视图都是正三角形 D.水平放置的圆台的俯视图是一个圆 答案　A 解析　画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆.‎ ‎2.设α、β、γ是三个互不重合的平面，m、n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是(　　)‎ A.若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ B.若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n C.若α⊥β，m⊥α，则m∥β D.若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β 答案　D 解析　对于A，若α⊥β，β⊥γ，α，γ可以平行，也可以相交，A错；对于B，若m∥α，n∥β，α⊥β，则m，n可以平行，可以相交，也可以异面，B错；对于C，若α⊥β，m⊥α，则m可以在平面β内，C错；易知D正确.‎ ‎3.设α、β、γ为平面，l、m、n为直线，则m⊥β的一个充分条件为 (　　)‎ A.α⊥β，α∩β＝l，m⊥l B.n⊥α，n⊥β，m⊥α C.α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ D.α⊥γ，β⊥γ，m⊥α 答案　B 解析　如图①知A错；如图②知C错；如图③在正方体中，两侧面α与β相交于l，都与底面γ垂直，γ内的直线m⊥α，但m与β不垂直，故D错；‎ 由n⊥α，n⊥β，得α∥β.又m⊥α，则m⊥β，故B正确.‎ ‎4.如图，在正四棱柱(底面是正方形的直四棱柱)ABCD－A1B‎1C1D1中，E、F 分别是AB1、BC1的中点，则下列结论不成立的是 (　　)‎ A.EF与BB1垂直 B.EF与BD垂直 C.EF与CD异面 D.EF与A‎1C1异面 答案　D 解析　连接B‎1C，AC，则B‎1C交BC1于F，‎ 且F为B‎1C的中点，‎ 又E为AB1的中点，所以EF綊AC，‎ 而B1B⊥平面ABCD，所以B1B⊥AC，‎ 所以B1B⊥EF，A正确；‎ 又AC⊥BD，所以EF⊥BD，B正确；‎ 显然EF与CD异面，C正确；由EF綊AC，AC∥A‎1C1，‎ 得EF∥A‎1C1.故不成立的选项为D.‎ ‎5.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 (　　)‎ A.2 B. C.3 D. 答案　A 解析　由三视图知原几何体可理解为三个部分拼接而成，其中一个棱长为1的正方体，另外两个为正方体的一半.因此易得总体积为2.‎ 二、填空题 ‎6.三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积等于________.‎ 答案　 解析　∵PA⊥底面ABC，‎ ‎∴PA为三棱锥P－ABC的高，且PA＝3.‎ ‎∵底面ABC为正三角形且边长为2，∴底面面积为×22×sin 60°＝，∴VP－ABC＝××3＝.‎ ‎7.已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则 ‎①棱AB与PD所在直线垂直；‎ ‎②平面PBC与平面ABCD垂直；‎ ‎③△PCD的面积大于△PAB的面积；‎ ‎④直线AE与直线BF是异面直线.‎ 以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号)‎ 答案　①③‎ 解析　由条件可得AB⊥平面PAD，‎ ‎∴AB⊥PD，故①正确；‎ 若平面PBC⊥平面ABCD，由PB⊥BC，‎ 得PB⊥平面ABCD，从而PA∥PB，这是不可能的，故②错；‎ S△PCD＝CD·PD，S△PAB＝AB·PA，‎ 由AB＝CD，PD>PA知③正确；‎ 由E、F分别是棱PC、PD的中点，‎ 可得EF∥CD，又AB∥CD，‎ ‎∴EF∥AB，故AE与BF共面，④错.‎ ‎8.三棱锥S－ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论中：‎ ‎①异面直线SB与AC所成的角为90°；‎ ‎②直线SB⊥平面ABC；‎ ‎③平面SBC⊥平面SAC；‎ ‎④点C到平面SAB的距离是a.‎ 其中正确结论的序号是________.‎ 答案　①②③④‎ 解析　由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，SB⊥平面ABC，平面SBC⊥ ‎ 平面SAC，①②③正确；取AB的中点E，连接CE，(如图)可证得CE⊥‎ 平面SAB，故CE的长度即为C到平面SAB的距离a，④正确.‎ 三、解答题 ‎9.如图，已知在直四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝DD1＝2AD＝2AB ‎＝2.‎ ‎(1)求证：DB⊥平面B1BCC1；‎ ‎(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使得D1E∥平面A1BD，并 说明理由.‎ ‎(1)证明　在Rt△ABD中，AB＝AD＝1，BD＝，‎ 又∵BC＝，CD＝2，‎ ‎∴∠DBC＝90°，即BD⊥BC.‎ 又BD⊥BB1，B1B∩BC＝B，‎ ‎∴BD⊥平面B1BCC1.‎ ‎(2)解　DC的中点即为E点，‎ 连接D1E，BE，∵DE∥AB，DE＝AB，‎ ‎∴四边形ABED是平行四边形.∴AD綊BE.‎ 又AD綊A1D1，∴BE綊A1D1，‎ ‎∴四边形A1D1EB是平行四边形.∴D1E∥A1B.‎ ‎∵D1E⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，‎ ‎∴D1E∥平面A1BD.‎ ‎10.在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱AB，BB′，B′C′，C′D′‎ 的中点分别是E，F，G，H，如图所示.‎ ‎(1)求证：AD′∥平面EFG；‎ ‎(2)求证：A′C⊥平面EFG；‎ ‎(3)判断点A，D′，H，F是否共面？并说明理由.‎ ‎(1)证明　连接BC′.‎ 在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝C′D′，‎ AB∥C′D′，‎ 所以四边形ABC′D′是平行四边形，‎ 所以AD′∥BC′.‎ 因为F，G分别是BB′，B′C′的中点，‎ 所以FG∥BC′，所以FG∥AD′.‎ 因为EF，AD′是异面直线，所以AD′⊄平面EFG.‎ 因为FG⊂平面EFG，所以AD′∥平面EFG.‎ ‎(2)证明　连接B′C.‎ 在正方体ABCD－A′B′C′D′中，A′B′⊥平面BCC′B′，‎ BC′⊂平面BCC′B′，‎ 所以A′B′⊥BC′.‎ 在正方形BCC′B中，B′C⊥BC′，‎ 因为A′B′⊂平面A′B′C，B′C⊂平面A′B′C，‎ A′B′∩B′C＝B′，‎ 所以BC′⊥平面A′B′C.‎ 因为A′C⊂平面A′B′C，所以BC′⊥A′C.‎ 因为FG∥BC′，所以A′C⊥FG，同理可证A′C⊥EF.‎ 因为EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EF∩FG＝F，‎ 所以A′C⊥平面EFG.‎ ‎(3)解　点A，D′，H，F不共面.理由如下：‎ 假设A，D′，H，F共面，连接C′F，AF，HF.‎ 由(1)知，AD′∥BC′，‎ 因为BC′⊂平面BCC′B′，AD′⊄平面BCC′B′.‎ 所以AD′∥平面BCC′B′.‎ 因为C′∈D′H，‎ 所以平面AD′HF∩平面BCC′B′＝C′F.‎ 因为AD′⊂平面AD′HF，‎ 所以AD′∥C′F.‎ 所以C′F∥BC′，而C′F与BC′相交，矛盾.‎ 所以点A，D′，H，F不共面.‎ ‎B组　专项能力提升 ‎(时间：25分钟)‎ ‎1.已知直线l1，l2与平面α，则下列结论中正确的是 (　　)‎ A.若l1⊂α，l2∩α＝A，则l1，l2为异面直线 B.若l1∥l2，l1∥α，则l2∥α C.若l1⊥l2，l1⊥α，则l2∥α D.若l1⊥α，l2⊥α，则l1∥l2‎ 答案　D 解析　对于选项A，当A∈l1时，结论不成立；对于选项B、C，当l2⊂α时，结论不成立.‎ ‎2.已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下面四个命题：‎ ‎①α∥β⇒l⊥m；　②α⊥β⇒l∥m；‎ ‎③l∥m⇒α⊥β；　④l⊥m⇒α∥β.‎ 其中正确的命题有 (　　)‎ A.①② B.①③ C.②④ D.③④‎ 答案　B 解析　①中，⇒⇒l⊥m，故①正确；‎ ‎②中，l与m相交、平行、异面均有可能，故②错；‎ ‎③中，⇒⇒α⊥β，故③正确；‎ ‎④中，α与β也有可能相交，故④错误.‎ ‎3.如图所示，是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E、F分别为PA、PD的中点.‎ 在此几何体中，给出下面四个结论：‎ ‎①直线BE与直线CF异面；‎ ‎②直线BE与直线AF异面；‎ ‎③直线EF∥平面PBC；‎ ‎④平面BCE⊥平面PAD.‎ 其中正确的有 (　　)‎ A.①② B.②③ C.①④ D.②④‎ 答案　B 解析　对于①，因为E、F分别是PA、PD的中点，‎ 所以EF∥AD.又因为AD∥BC，‎ 所以EF∥BC.所以BE与CF共面.故①不正确.‎ 对于②，因为BE是平面APD的斜线，AF是平面APD内与BE不相交的直线，所以BE ‎ 与AF不共面.故②正确 .‎ 对于③，由①，知EF∥BC，所以EF∥平面PBC.故③正确.‎ 对于④，条件不足，无法判断两平面垂直.‎ ‎4.有一个内接于球的四棱锥P－ABCD，若PA⊥底面ABCD，∠BCD＝，∠ABC≠，BC＝3，CD＝4，PA＝5，则该球的表面积为________.‎ 答案　50π 解析　由∠BCD＝90°知BD为底面ABCD外接圆的直径，则2r＝＝5.‎ 又∠DAB＝90°⇒PA⊥AB，PA⊥AD，BA⊥AD.‎ 从而把PA，AB，AD看作长方体的三条棱，设外接球半径为R，则(2R)2＝52＋(2r)2＝52＋52，‎ ‎∴4R2＝50，∴S球＝4πR2＝50π.‎ ‎5. 如图，直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1中点．‎ ‎(1)求证：C1D⊥平面AA1B1B；‎ ‎(2)当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结 ‎ 论．‎ ‎(1)证明　如图，∵ABC－A1B‎1C1是直三棱柱，‎ ‎∴A‎1C1＝B‎1C1＝1，且∠A‎1C1B1＝90°.‎ 又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.‎ ‎∵AA1⊥平面A1B‎1C1，C1D⊂平面A1B‎1C1，‎ ‎∴AA1⊥C1D，‎ 又AA1∩A1B1＝A1，∴C1D⊥平面AA1B1B.‎ ‎(2)解　作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C‎1F，‎ 则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求．‎ ‎∵C1D⊥平面AA1BB，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.‎ 又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.‎