北京2014高考数学压轴卷文含解析

北京2014高考数学压轴卷文含解析

‎2014北京市高考压轴卷 文科数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1.已知，其中是实数，是虚数单位，则的共轭复数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知函数，，且，，，则的值为 A.正 B.负 C.零 D.可正可负 ‎3.已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为（ ）‎ ‎ ‎ A．4+ B．4+ C．4+ D．4+‎ ‎4.如图所示为函数的部分图像，其中A，B两点之间的距离为5，那么( )‎ A．-1 B． ‎ C． D．1‎ ‎5.（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：‎ ‎①若m⊥n，m⊥α，则n∥α； ‎ ‎②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β； ‎ ‎③若m、n是两条异面直线，mα，nβ，m∥β，n∥α，则α∥β； ‎ ‎④若α⊥β，α∩β=m，nβ，n⊥m，则n⊥α．‎ 其中正确命题的个数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎4‎ ‎6.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为 A．     B．      C．      D．‎ ‎7. 已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上，若，线段AB的中点到直线的距离为1，则p的值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎1或3‎ C．‎ ‎2‎ D．‎ ‎2或6‎ ‎8. 已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：‎ ‎①f（0）f（1）＞0；‎ ‎②f（0）f（1）＜0；‎ ‎③f（0）f（3）＞0；‎ ‎④f（0）f（3）＜0．‎ 其中正确结论的序号是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎①③‎ B．‎ ‎①④‎ C．‎ ‎②③‎ D．‎ ‎②④‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎ 9.已知集合，若，则实数的值为________________.‎ ‎10.已知如图所示的流程图(未完成)，设当箭头a指向①时输出的结果S＝m，当箭头a指向②时，输出的结果S＝n，求m＋n的值．‎ ‎11.若是等差数列的前项和,且，则的值为 ． ‎ ‎12. 某市有400家超市，其中大型超市有40家，中型超市有120家，小型超市有240家．为了掌握各超市的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型超市数是________________.‎ ‎13.在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_______‎ ‎14.设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a=　　．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．‎ ‎15.已知向量．记 ‎ (I)求的周期；‎ ‎(Ⅱ)在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(‎2a—c)B=b， 若，试判断ABC的形状． ‎ ‎16. 某校要从2名男同学和4名女同学中选出2人担任羽毛球比赛的志愿者工作，每名同学当选的机会均相等．‎ ‎（Ⅰ）求当选的2名同学中恰有l名男同学的概率；‎ ‎（Ⅱ）求当选的2名同学中至少有1名女同学的概率．‎ ‎17. 如图，在四棱台ABCD﹣A1B‎1C1D1中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A1B‎1C1D1是边长为1的正方形，侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1=2．‎ ‎（1）求证：B1B∥平面D‎1AC；‎ ‎（2）求证：平面D‎1AC⊥平面B1BDD1．‎ ‎18.已知椭圆的左右焦点分别为，点为短轴的一个端点，.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）如图，过右焦点，且斜率为的直线与椭圆相交于两点，为椭圆的右顶点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为.‎ 求证: 为定值.‎ ‎19.已知数列的各项均为正数，记,,‎ ‎ .‎ ‎（Ⅰ）若，且对任意，三个数组成等差数列，求数列的通项公式.‎ ‎（Ⅱ）证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列.‎ ‎20. 已知函数，，令.‎ ‎(Ⅰ)当时，求的极值；‎ ‎(Ⅱ)当时，求的单调区间；‎ ‎(Ⅲ)当时，若对，使得恒成立,求的取值范围.‎ ‎2014北京市高考压轴卷数学文word版参考答案 ‎1. 【答案】D ‎【解析】故选D．‎ ‎2. 【答案】B ‎【解析】∵，∴函数在R上是减函数且是奇函数，‎ ‎∵，∴，∴，∴，∴，‎ 同理：，，∴.‎ ‎3. 【答案】A ‎【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分，所以该几何体的体积为．故选A．‎ ‎4. 【答案】A. ‎ ‎【解析】‎ ‎5. 【答案】C ‎【解析】①若m⊥n，m⊥α，则n可能在平面α内，故①错误 ‎②∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n⊥β，∴α∥β，故②正确 ‎③过直线m作平面γ交平面β与直线c，‎ ‎∵m、n是两条异面直线，∴设n∩c=O，‎ ‎∵m∥β，mγ，γ∩β=c∴m∥c，‎ ‎∵mα，cα，∴c∥α，‎ ‎∵nβ，cβ，n∩c=O，c∥α，n∥α ‎∴α∥β；故③正确 ‎④由面面垂直的性质定理：∵α⊥β，α∩β=m，nβ，n⊥m，∴n⊥α．故④正确 故正确命题有三个，‎ 故选C ‎6. 【答案】C.‎ ‎【解析】由，得：，即，令，则当时，，即在是减函数，  ，，，‎ 在是减函数，所以由得，，即，故选 ‎7. 【答案】B.‎ ‎【解析】分别过A、B作交线l：x=﹣的垂线，垂足分别为C、D，‎ 设AB中点M在准线上的射影为点N，连接MN，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）‎ 根据抛物线的定义，得 ‎∴梯形ACDB中，中位线MN=（）=2，‎ 可得x0+=2，x ‎∵线段AB的中点M到直线的距离为1，可得|x0﹣|=1‎ ‎∴|2﹣p|=1，解之得p=1或3‎ 故选：B ‎8. 【答案】C.‎ ‎【解析】求导函数可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）‎ ‎∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．‎ ‎∴a＜1＜b＜3＜c 设f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc ‎∵f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc ‎∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9‎ ‎∴b+c=6﹣a ‎∴bc=9﹣a（6﹣a）＜‎ ‎∴a2﹣‎4a＜0‎ ‎∴0＜a＜4‎ ‎∴0＜a＜1＜b＜3＜c ‎∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0‎ ‎∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0‎ 故选C．‎ ‎9. 【答案】a=-1.‎ ‎【解析】若a-3=-3,则a=0，此时：‎ ‎ ,,与题意不符，舍 ‎ ‚若‎2a-1=-3,则a=-1，此时：‎ ‎ ，，a=-1‎ ‎ ƒ若a2+1=-3,则a不存在 ‎ 综上可知：a=-1‎ ‎10. 【答案】20.‎ ‎【解析】当箭头指向①时，计算S和i如下．‎ i＝1，S＝0，S＝1；‎ i＝2，S＝0，S＝2；‎ i＝3，S＝0，S＝3；‎ i＝4，S＝0，S＝4；‎ i＝5，S＝0，S＝5；‎ i＝6结束．‎ ‎∴S＝m＝5．‎ 当箭头指向②时，计算S和i如下．‎ i＝1，S＝0， S＝1；‎ i＝2，S＝3；‎ i＝3，S＝6；‎ i＝4，S＝10；‎ i＝5，S＝15；‎ i＝6结束．‎ ‎∴S＝n＝15．‎ ‎∴m＋n＝20．‎ ‎11. 【答案】44 ‎ ‎【解析】由,解得,又由 ‎12. 【答案】6.‎ ‎【解析】每个个体被抽到的概率等于 =，而中型超市有120家，故抽取的中型超市数是 120×=6‎ ‎13.【答案】4.‎ ‎【解析】设过坐标原点的一条直线方程为，因为与函数的图象交于P、Q两点，所以，且联列解得，所以 ‎14. 【答案】‎ ‎【解析】（1）a=1时，代入题中不等式明显不成立．‎ ‎（2）a≠1，构造函数y1=（a﹣1）x﹣1，y2=x 2﹣ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1）．‎ 考查函数y1=（a﹣1）x﹣1：令y=0，得M（，0），‎ ‎∴a＞1；‎ 考查函数y2=x 2﹣ax﹣1，显然过点M（，0），代入得：，‎ 解之得：a=，或a=0（舍去）．‎ 故答案为：‎ ‎15. 【解析】 ‎ ‎ ‎ ‎（I） ‎ ‎（Ⅱ 根据正弦定理知： ‎ ‎ ‎ ‎ ∵ ∴ 或或 ‎ 而，所以，因此ABC为等边三角形.……………12分 ‎16. 【解析】（I）所有的选法共有=15种，‎ 当选的2名同学中恰有1名男同学的选法有•=8种，‎ ‎∴当选的2名同学中恰有1名男同学的概率为 ．‎ ‎（II）所有的选法共有=15种，‎ 当选的2名同学中恰有2名女同学的选法有=6种，‎ 当选的2名同学中恰有1名女同学的选法有•=8种，‎ 故当选当选的2名同学中至少有1名女同学的选法有6+8=14种，‎ 故当选的2名同学中至少有1名女同学的概率为．‎ ‎17. 【解析】证明：（1）设AC∩BD=E，连接D1E，‎ ‎∵平面ABCD∥平面A1B‎1C1D1．‎ ‎∴B1D1∥BE，∵B1D1=BE=，‎ ‎∴四边形B1D1EB是平行四边形，‎ 所以B1B∥D1E．‎ 又因为B1B⊄平面D‎1AC，D1E⊂平面D‎1AC，‎ 所以B1B∥平面D‎1AC ‎（2）证明：侧棱DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，‎ ‎∴AC⊥DD1．‎ ‎∵下底ABCD是正方形，AC⊥BD．‎ ‎∵DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线，‎ ‎∴AC⊥平面B1BDD1‎ ‎∵AC⊂平面D‎1AC，∴平面D‎1AC⊥平面B1BDD1．‎ ‎18. 【解析】（Ⅰ）由条件…………2分 故所求椭圆方程为. …………4分 ‎（Ⅱ）设过点的直线方程为：. …………5分 由可得： …………6分 因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，即恒成立.‎ 设点，则 ‎. …………8分 因为直线的方程为：，‎ 直线的方程为：， ………9分 令，可得，，‎ 所以点的坐标. ………10分 直线的斜率为 ‎ …………12分 ‎ ‎ 所以为定值. …………13分 ‎19. 【解析】 (Ⅰ) 因为对任意，三个数是等差数列，‎ 所以. ………1分 所以, ………2分 即. ………3分 所以数列是首项为１，公差为４的等差数列. ………4分 所以. ………5分 ‎（Ⅱ）（１）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，则 ‎　　　 . ………6分 所以得 ‎ 即. ………7分 ‎　　 因为当时，由可得， ………8分 所以.‎ 因为，‎ 所以. ‎ 即数列是首项为，公比为的等比数列， ………9分 ‎（２）必要性：若数列是公比为的等比数列，则对任意，有 ‎. ………10分 因为，‎ 所以均大于.于是 ‎　　　　 ………11分 ‎　　　　 ………12分 即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列.‎ ‎………13分 综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数组成公比为的等比数列. ………14分 ‎20. 【解析】‎