圆锥曲线高考题汇编
2006 年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编
一、选择题（共 26 题）
1．（安徽卷）若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则 的值为
A． B． C． D．
解：椭圆 的右焦点为(2,0)，所以抛物线 的焦点为(2,0)，则 ，
故选 D。
2．（福建卷）已知双曲线 (a>0,b<0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60°的
直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)
解析：双曲线 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 的直线与双
曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ，∴
≥ ，离心率 e2= ，∴ e≥2，选 C
3．（广东卷）已知双曲线 ，则双曲线右支上的点 到右焦点的距离与点 到右
准线的距离之比等于
A. B. C. 2 D. 4
解析：依题意可知 ， ，故选 C.
4．（湖北卷）设过点 的直线分别与 轴的正半轴和 轴的正半轴交于 两点，点
与点 关于 轴对称， 为坐标原点，若 且 ，则点 的轨迹方程
是
A． B．
C． D．
解：设 P（x，y），则 Q（－x，y），又设 A（a，0），B（0，b），则 a>0，b>0，于是
，由 可得 a＝ x，b＝3y，所以 x>0，y>0
2 2y px=
2 2
16 2
x y+ = p
2− 2 4− 4
2 2
16 2
x y+ = 2 2y px= 4p =
12
2
2
2
=−
b
y
a
x
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 60o
b
a
b
a
3
2 2 2
2 2
c a b
a a
+= ≥4
2 23 9x y− = P P
2 2 2
3
3293,3 22 =+=+== baca 2
3
32 ===
a
ce
( , )P x y x y ,A B
Q P y O 2BP PA= 1OQ AB =
P
2 233 1( 0, 0)2x y x y+ = > > 2 233 1( 0, 0)2x y x y− = > >
2 23 3 1( 0, 0)2 x y x y− = > > 2 23 3 1( 0, 0)2 x y x y+ = > >
BP x y b PA a x y ＝（ ， － ）， ＝（ － ，－ ） 2BP PA ＝ 3
2
又 ＝（－a，b）＝（－ x，3y），由 ＝1 可得
故选 D
5．（湖南卷）过双曲线 M: 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 ,若 与双曲线 M 的两
条渐近线分别相交于 B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是 ( )
A. B. C. D.
解析：过双曲线 的左顶点 (1，0)作斜率为 1 的直线 ：y=x－1, 若 与双
曲线 的两条渐近线 分别相交于点 , 联立方程组代入消元
得 ，∴ ，x1+x2=2x1x2，又 ,则 B 为 AC
中点，2x1=1+x2，代入解得 ，∴ b2=9，双曲线 的离心率 e= ，选 A.
6．（江苏卷）已知两点 M（－2，0）、N（2，0），点 P 为坐标平面内的动点，满足
＝0，则动点 P（x，y）的轨迹方程为
（A） （B） （C） （D）
【思路点拨】本题主要考查平面向量的数量积运算，抛物线的定义.
【正确解答】设 ， ， ，
则
由 ，则 ，
化简整理得 所以选 B
【解后反思】向量的坐标表示和数量积的性质在平面向量中的应用是学习的重点和难点.也
是高考常常考查的重要内容之一.在平时请多多注意用坐标如何来表示向量平行和向量垂直,
AB 3
2 •OQ AB )0,0(132
3 22 >>=+ yxyx
2
2
2 1yx b
− = l l
10 5 10
3
5
2
1: 2
2
2 =−
b
yxM A l l
M
2
2
2 0yx b
− = 1 1 2 2( , ), ( , )B x y C x y
2 2( 1) 2 1 0b x x− + − =
1 2 2
1 2 2
2
1
1
1
x x b
x x b
+ = −
⋅ = −
|||| BCAB =
1
2
1
4
1
2
x
x
=
=−
M 10c
a
=
MPMNMPMN ⋅+⋅ ||||
xy 82 = xy 82 −= xy 42 = xy 42 −=
( , )P x y 0, 0x y> > ( 2,0), (2,0)M N− 4MN =
( 2, ), ( 2, )MP x y NP x y= + = −
0=⋅+⋅ NPMNMPMN 2 24 ( 2) 4( 2) 0x y x+ + + − =
xy 82 −=
既要注意它们联系,也要注意它们的区别.
7．（江西卷）设 O 为坐标原点，F 为抛物线 y2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若
＝－4，则点 A 的坐标是（ ）
A．（2，±2 ） B. (1，±2) C.（1，2） D.(2，2 )
解：F（1，0）设 A（ ，y0）则 ＝（ ，y0）， ＝（1－ ，－y0），由
• ＝－4⇒y0＝±2，故选 B
8．（江西卷）P 是双曲线 的右支上一点，M、N 分别是圆（x＋5） 2＋y2＝4 和
（x－5）2＋y2＝1 上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）
A. 6 B.7 C.8 D.9
解：设双曲线的两个焦点分别是 F1（－5，0）与 F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，
当且仅当点 P 与 M、F1 三点共线以及 P 与 N、F2 三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|
＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9 故选 B
9．（辽宁卷）双曲线 的两条渐近线与直线 围成一个三角形区域,表示该区
域的不等式组是
(A) (B) (C) (D)
【解析】双曲线 的两条渐近线方程为 ，与直线 围成一个三角形区
域时有 。
10．（辽宁卷）曲线 与曲线 的
(A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同
【 解 析 】 由 知 该 方 程 表 示 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆 ， 由
知该方程表示焦点在 y 轴上的双曲线，故只能选择答案 A。
【点评】本题考查了椭圆和双曲线方程及各参数的几何意义，同时着重考查了审题能力即参
数范围对该题的影响。
OA FA•
2 2
2
0y
4 OA 2
0y
4 FA 2
0y
4
OA FA
2 2x y 19 16
－ ＝
2 2 4x y− = 3x =
0
0
0 3
x y
x y
x
− ≥
+ ≥
≤ ≤
0
0
0 3
x y
x y
x
− ≥
+ ≤
≤ ≤
0
0
0 3
x y
x y
x
− ≤
+ ≤
≤ ≤
0
0
0 3
x y
x y
x
− ≤
+ ≥
≤ ≤
2 2 4x y− = y x= ± 3x =
0
0
0 3
x y
x y
x
− ≥
+ ≥
≤ ≤
2 2
1( 6)10 6
x y mm m
+ = <− −
2 2
1(5 9)5 9
x y mm m
+ = < <− −
2 2
1( 6)10 6
x y mm m
+ = <− −
2 2
1(5 9)5 9
x y mm m
+ = < <− −
11．（辽宁卷）直线 与曲线 的公共点的个数
为
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
【解析】将 代入 得：
，显然该关于 的方程有两正解，即 x 有四解，所以交点有 4 个，
故选择答案 D。
【点评】本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧，同时对二次方程的实根分布
也进行了简单的考查。
12．（辽宁卷）方程 的两个根可分别作为（ ）
Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率
Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率
解：方程 的两个根分别为 2， ，故选 A
13．（全国卷 I）双曲线 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则
A． B． C． D．
解：双曲线 的虚轴长是实轴长的 2 倍，∴ m<0，且双曲线方程为 ，
∴ m= ，选 A.
14．（全国卷 I）抛物线 上的点到直线 距离的最小值是
A． B． C． D．
解 ： 设 抛 物 线 上 一 点 为 (m ， － m2) ， 该 点 到 直 线 的 距 离 为
，当 m= 时，取得最小值为 ，选 A.
15．（全国 II）已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆x
3＋y2＝1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且
椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是
（A）2 3 （B）6 （C）4 3 （D）12
解析(数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a,可得 的
周长为 4a= ,所以选 C
16．（全国 II）已知双曲线x
a－y
b＝1的一条渐近线方程为 y＝4
3x，则双曲线的离心率为
2y k= 2 2 2 29 18k x y k x+ = ( , )k R∈ ≠且k 0
2y k= 2 2 2 29 18k x y k x+ = 2 2 2 29 4 18k x k k x+ =
29 | | 18 4 0x x⇒ − + = | |x
22 5 2 0x x− + =
22 5 2 0x x− + = 1
2
2 2 1mx y+ = m =
1
4
− 4− 4 1
4
2 2 1mx y+ =
2
2 14
x y− + =
1
4
−
2y x= − 4 3 8 0x y+ − =
4
3
7
5
8
5 3
2y x= − 4 3 8 0x y+ − =
2| 4 3 8|
5
m m− −
3
2 4
3
ABC∆
4 3
（A）5
3 (B)4
3 (C)5
4 (D)3
2
解析:双曲线焦点在 x 轴,由渐近线方程可得 ,故选 A
17．（山东卷）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 ，焦点到相应准线的距离
为 1，则该椭圆的离心率为
(A) (B) (C) (D)
解：不妨设椭圆方程为 （a>b>0），则有 ，据此求出 e＝
，选 B
18．（山东卷）在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为 ，焦点到相应准线的距离
为 ，则该双曲线的离心率为
(A) (B)2 (C) (D)2
解：不妨设双曲线方程为 （a>0，b>0），则依题意有 ，
据此解得 e＝ ，选 C
19．(陕西卷)已知双曲线x2
a2 － y2
2 =1(a> 2)的两条渐近线的夹角为
π
3 ,则双曲线的离心率为
A.2 B. 3 C.2 6
3 D.2 3
3
解：双曲线 (a> 2)的两条渐近线的夹角为π
3，则 ，∴ a2=6，双
曲线的离心率为2 3
3 ，选 D．
20．（四川卷）已知两定点 ，如果动点 满足 ，则点 的轨
迹所包围的图形的面积等于
（A） （B） （C） （D）
解：两定点 ，如果动点 满足 ，设 P 点的坐标为(x，y)，
2 24 3 4 5,3 3 3
b cea a
+= = = =可得
2
2 2
2
2
1
4
2
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
2 22 2 1b a ca c
= − =且
2
2
2
2
1
2
2 2 2
2 2
2 2 1x y
a b
− =
2 22 12 2
b aca c
= − =且
2
2 2
2 12
x y
a
− = 2 3tan 6 3a
π= =
( ) ( )2,0 , 1,0A B− P 2PA PB= P
π 4π 8π 9π
( ) ( )2,0 , 1,0A B− P 2PA PB=
则 ，即 ，所以点 的轨迹所包围的图形
的面积等于 4π，选 B.
21．（四川卷）直线 与抛物线 交于 两点，过 两点向抛物线的准
线作垂线，垂足分别为 ，则梯形 的面积为
（A）48 （B）56 （C）64 （D）72
解析：直线 与抛物线 交于 两点，过 两点向抛物线的准线作垂线，
垂足分别为 ，联立方程组得 ，消元得 ，解得 ，
和 ，∴ |AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形 的面积为 48，选 A.
22．（天津卷）如果双曲线的两个焦点分别为 、 ，一条渐近线方程为
，那么它的两条准线间的距离是（ ）
A． B． C． D．
解析：如果双曲线的两个焦点分别为 、 ，一条渐近线方程为 ，∴
，解得 ，所以它的两条准线间的距离是 ，选 C.
23．（天津卷）椭圆的中心为点 ，它的一个焦点为 ，相应于焦点 的准线
方程为 ，则这个椭圆的方程是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解析：椭圆的中心为点 它的一个焦点为 ∴ 半焦距 ，相应于焦点 F
的准线方程为 ∴ ， ，则这个椭圆的方程是 ，选 D.
24．（浙江卷）抛物线 的准线方程是
2 2 2 2( 2) 4[( 1) ]x y x y+ + = − + 2 2( 2) 4x y− + = P
3y x= − 2 4y x= ,A B ,A B
,P Q APQB
3y x= − 2 4y x= ,A B ,A B
,P Q
2 4
3
y x
y x
=
= −
2 10 9 0x x− + = 1
2
x
y
=
= −
9
6
x
y
=
= APQB
)0,3(1 −F )0,3(2F
xy 2=
36 4 2 1
)0,3(1 −F )0,3(2F xy 2=
2 2 9
2
a b
b
a
+ = =
2
2
3
6
a
b
=
=
2
2 2a
c
⋅ =
( 1 0)E − ， ( 3 0)F − ， F
7
2x = −
2 22( 1) 2 121 3
x y− + =
2 22( 1) 2 121 3
x y+ + =
2
2( 1) 15
x y
− + =
2
2( 1) 15
x y
+ + =
( 1,0),E − ( 3,0),F − 2c =
7.2x =−
2 5
2
a
c
= 2 25, 1a b= =
2
2( 1) 15
x y
+ + =
2 8y x=
(A) (B) (C) (D)
解：2p＝8，p＝4，故准线方程为 x＝－2，选 A
25．(重庆卷)设 是右焦点为 的椭圆 上三个不同的
点，则“ 成等差数列”是“ ”的
（A）充要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分不必要条件 （D）既非充分也非必要
解：a＝5，b＝3，c＝4，e＝ ，F（4，0），由焦半径公式可得|AF|＝5－ x1，
|BF|＝5－ ×4＝ ，|CF|＝5－ x2，故 成等差数列
⇔（5－ x1）＋（5－ x2）＝2× ⇔ 故选 A
26．（上海春）抛物线 的焦点坐标为( )
（A） . （B） . （C） . （D） .
解：（直接计算法）因为 p=2 ，所以抛物线 y2=4x 的焦点坐标为 ．应选
B ．
27．（上海春）若 ，则“ ”是“方程 表示双曲线”的( )
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.
（C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.
解：应用直接推理和特值否定法．当 k>3 时，有 k-3>0,k+3>0，所以方程 表示
双曲线；当方程 表示双曲线时，k=-4 是可以的，这不在 k>3 里．故应该选 A
二、填空题（共 7 题）
28．（江西卷）已知 为双曲线 的两个焦点， 为
双曲线右支上异于顶点的任意一点， 为坐标原点．下面四个命题（ ）
Ａ． 的内切圆的圆心必在直线 上；
Ｂ． 的内切圆的圆心必在直线 上；
Ｃ． 的内切圆的圆心必在直线 上；
Ｄ． 的内切圆必通过点 ．
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
2x = − 4x = − 2y = − 4y = −
1 1 2 2
9( , ), (4, ), ( , )5A x y B C x y F
2 2
125 9
x y+ =
, ,AF BF CF 1 2 8x x+ =
4
5
4
5
4
5
9
5
4
5 , ,AF BF CF
4
5
4
5
9
5 1 2 8x x+ =
xy 42 =
)1,0( )0,1( )2,0( )0,2(
R∈k 3>k 133
22
=+−− k
y
k
x
1 2F F，
2 2
2 2 1( 0 0 )a bx y a ba b
≠− = > > 且， P
O
1 2PF F△ x a=
1 2PF F△ x b=
1 2PF F△ OP
1 2PF F△ 0a( )，
解：设 的内切圆分别与 PF1、PF2 切于点 A、B，与 F1F2 切于点 M，则|PA|＝|PB|，|F1A|
＝|F1M|，|F2B|＝|F2M|，又点 P 在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a，故|F1M|－|F2M|＝2a，
而|F1M|＋|F2M|＝2c，设 M 点坐标为（x，0），则由|F 1M|－|F2M|＝2a 可得（x＋c）－（c－
x）＝2a 解得 x＝a，显然内切圆的圆心与点 M 的连线垂直于 x 轴，故 A、D 正确。
29．（山东卷）已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点，
则 y12+y22 的最小值是 .
解：显然 ≥0，又 ＝4（ ）≥8 ，当且仅当 时取等号，所
以所求的值为 32。
30．（山东卷）已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F（－2 ，0），且长轴长是短轴长的 2
倍，则该椭圆的标准方程是 ．
解：已知 为所求；
31．(上海卷)若曲线 ＝| |＋1 与直线 ＝ ＋ 没有公共点，
则 、 分别应满足的条件是 ．
解：作出函数 的图象，
如右图所示：
所以， ；
32．(上海卷)已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为 ,且焦距与虚轴长之比为
，则双曲线的标准方程是____________________.
解：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为 ,则焦点在 x 轴上，且 a=3，焦距与虚轴长
之比为 ，即 ，解得 ，则双曲线的标准方程是 .
33．(上海卷)若曲线 与直线 没有公共点，则 的取值范围是_________.
解：曲线 得|y|>1，∴ y>1 或 y<－1，曲线与直线 没有公共点，则 的取值
范围是[－1，1].
34．（四川卷）如图，把椭圆 的长轴 分成 等
份 ， 过 每 个 分 点 作 轴 的 垂 线 交 椭 圆 的 上 半 部 分 于
七个点， 是椭圆的一个
焦点，则 ;
1 2PF F△
1 2,x x 2 2
1 2y y+ 1 2x x+ 1 2x x 1 2 4x x= =
3
2
222
2 2 2
4
2 , 2 3
16 116 4
( 2 3,0)
b
a b c yxa
a b c
F
=
= = ⇒ ⇒ = ⇒ + =
− = −
2y x y kx b
k b
2 1, 0| | 1 1, 0
x xy x x x
+ ≥= + =− + <
0, ( 1,1)k b= ∈ −
(3,0)
5: 4
(3,0)
5: 4 : 5: 4c b = 5, 4c b= =
2 2
19 16
x y− =
2 1xy = + y b= b
2 1xy = + y b= b
2 2
125 16
x y+ = AB 8
x
1 2 3 4 5 6 7, , , , , ,P P P P P P P F
1 2 3 4 5 6 7P F P F P F P F P F P F P F+ + + + + + =
解析：如图，把椭圆 的长轴 分成 等份，过每个分点作 轴的垂线交椭
圆的上半部分于 七个点， 是椭圆的一个焦点，则根据椭圆的对称性
知， ，同理其余两对的和也是 ，又 ，∴
=35
三、解答题（共 28 题）
35．（安徽卷）如图，F 为双曲线 C：
的右焦点。P 为双曲线 C 右支上一点，且位于 轴上方，M 为左
准线上一点， 为坐标原点。已知四边形 为平行四边
形， 。
（Ⅰ）写出双曲线 C 的离心率 与 的关系式；
（Ⅱ）当 时，经过焦点 F 且品行于 OP 的直线交双曲线
于 A、B 点，若 ，求此时的双曲线方程。
解：∵四边形 是 ，∴ ，作双曲线的右准线交 PM 于 H，则
，又 ，
。
（Ⅱ）当 时， ， ， ，双曲线为 四边形
是菱形，所以直线 OP 的斜率为 ，则直线 AB 的方程为 ，代入到
双曲线方程得： ，
又 ，由 得： ，解
得 ，则 ，所以 为所求。
36．（北京卷）已知点 ，动点 满足条件 .记动点
的轨迹为 .
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）若 是 上的不同两点， 是坐标原点，求 的最小值.
2 2
125 16
x y+ = AB 8 x
1 2 3 4 5 6 7, , , , , ,P P P P P P P F
1 1 7 1 1 1 1 2| | | | | | | | 2PF P F PF PF a+ = + = 2a 4 1| |P F a=
1 2 3 4 5 6 7PF P F P F P F P F P F P F+ + + + + + = 7a
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > >
x
O OFPM
PF OFλ=
e λ
1λ =
12AB =
OFPM | | | |OF PM c= =
2
| | | | 2 aPM PH c
= +
2 2
2 2 2 2 2
| | | |
| | 2 22 2
PF OF c c ee a aPH c a ec cc c
λ λ λ λ= = = = =− −− −
2 2 0e eλ− − =
1λ = 2e = 2c a= 2 23b a=
2 2
2 2 14 3
x y
a a
− =
OFPM 3 3( 2 )y x a= −
2 29 48 60 0x ax a− + =
12AB = 2 2
1 2 1 21 ( ) 4AB k x x x x= + + −
2
248 6012 2 ( ) 49 9
a a= −
2 9
4a = 2 27
4b =
2 2
1279
4
x y− =
( 2,0), (2,0)M N− P | | | | 2 2PM PN− = P
W
W
,A B W O OA OB⋅
O F
x
y
PM H
解：（1）依题意，点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：
（x>0）
（1） 当直线 AB 的斜率不存在时，设直线 AB 的方程为 x＝x0，此时 A（x0， ），
B（x0，－ ）， ＝2
当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y＝kx＋b，代入双曲线方程 中，
得：（1－k2）x2－2kbx－b2－2＝0……………………1°
依题意可知方程 1°有两个不相等的正数根，设 A（x1，y1），B（x2，y2），则
解得|k|>1 又 ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋
x2）＋b2＝ >2
综上可知 的最小值为 2
37．（北京卷）椭圆 的两个焦点 F1、F2，点 P 在椭圆 C 上，且 P F1⊥
PF2,,| P F1|= ,,| P F2|= .
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）若直线 L 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M 交椭圆于 A、B 两点，且 A、B 关于点 M 对称，
求直线 L 的方程。
解法一：(Ⅰ)因为点 P 在椭圆 C 上，所以 ，a=3.
在 Rt△PF1F2 中， 故椭圆的半焦距 c= ,
从而 b2=a2－c2=4,
所以椭圆 C 的方程为 ＝1.
(Ⅱ)设 A，B 的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）. 由圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心 M
2 2x y 12 2
－ ＝
2
0x 2－
2
0x 2－ OA OB⋅
2 2x y 12 2
－ ＝
2 2 2 2
1 2 2
2
1 2 2
4k b 4 1 k b 2 0
2kbx x 01 k
b 2x x 0k 1
∆ • ≥
＝ － （ － ）（－ － ）
＋ ＝ －
＋＝ －
OA OB⋅
2
2 2
2k 2 42k 1 k 1
＋ ＝ ＋－ －
OA OB⋅
2 2
2 2 1( , 0)x y a ba b
+ = >
3
4
3
14
62 21 =+= PFPFa
,522
1
2
221 =−= PFPFFF 5
49
22 yx +
的坐标为（－2，1）. 从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1,
代入椭圆 C 的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.
因为 A，B 关于点 M 对称. 所以 解得 ，
所以直线 l 的方程为 即 8x-9y+25=0. (经检验，符合题意)
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心 M 的坐标为（－2，1）.
设 A，B 的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意 x1 x2 且
①
②
由①－②得 ③
因为 A、B 关于点 M 对称，所以 x1+ x2=－4, y1+ y2=2,
代入③得 ＝ ，即直线 l 的斜率为 ，
所以直线 l 的方程为 y－1＝ （x+2），即 8x－9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)
38．（福建卷）已知椭圆 的左焦点为 F，O 为坐标原点。
（Ⅰ）求过点 O、F，并且与椭圆的左准线 l 相切的圆的方程；
（Ⅱ）设过点 F 且不与坐标轴垂直交椭圆于 A、B 两点，线段
AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围.
本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，
考查运算能力和综合解题能力。
解：（I）
圆过点 O、F，
圆心 M 在直线 上。
设 则圆半径
.294
918
2 2
2
21 −=+
+−=+
k
kkxx
9
8=k
,1)2(9
8 ++= xy
≠
,149
2
1
2
1 =+ yx
,149
2
2
2
2 =+ yx
.04
))((
9
))(( 21212121 =+−++− yyyyxxxx
21
21
xx
yy
−
−
9
8
9
8
9
8
12
2
2
=+ yx
2 22, 1, 1, ( 1,0), : 2.a b c F l x= = ∴ = − = −
∴ 1
2x = −
1( , ),2M t−
1 3( ) ( 2) .2 2r = − − − =
由 得 解得
所求圆的方程为
（II）设直线 AB 的方程为
代入 整理得
直线 AB 过椭圆的左焦点 F， 方程有两个不等实根。
记 中点 则
的垂直平分线 NG 的方程为 令 得
点 G 横坐标的取值范围为
39．（福建卷）已知椭圆 的左焦点为 F，O 为坐标原点。
（I）求过点 O、F，并且与椭圆的左准线 相切的圆的方程；
（II）设过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点，并且线段 AB 的中点在直线 上，
求直线 AB 的方程。
本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，
考查运算能力和综合解题能力。
解：（I）
圆过点 O、F，
圆心 M 在直线 上。
设 则圆半径
,OM r= 2 21 3( ) ,2 2t− + = 2.t = ±
∴ 2 21 9( ) ( 2) .2 4x y+ + ± =
( 1)( 0),y k x k= + ≠
2
2 1,2
x y+ = 2 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0.k x k x k+ + + − =
∴
1 1 2 2( , ), ( , ),A x y B x y AB 0 0( , ),N x y
2
1 2 2
4 ,2 1
kx x k
+ = − +
AB∴ 0 0
1 ( ).y y x xk
− = − − 0,y =
2 2 2
0 0 2 2 2 2
2 1 1 .2 1 2 1 2 1 2 4 2
10, 0,2
G
G
k k kx x ky k k k k
k x
= + = − + = − = − ++ + + +
≠ ∴− < <
∴ 1( ,0).2
−
2
2 12
x y+ =
l
0x y+ =
2 22, 1, 1, ( 1,0), : 2.a b c F l x= = ∴ = − = −
∴ 1
2x = −
1( , ),2M t−
1 3( ) ( 2) .2 2r = − − − =
由 得 解得
所求圆的方程为
（II）设直线 AB 的方程为
代入 整理得
直线 AB 过椭圆的左焦点 F， 方程有两个不等实根，
记 中点 则
线段 AB 的中点 N 在直线 上，
，或
当直线 AB 与 轴垂直时，线段 AB 的中点 F 不在直线 上。
直线 AB 的方程是 或
40．（湖北卷）设 分别为椭圆 的左、右顶点，椭圆长半轴的长等
于焦距，且 为它的右准线。
（Ⅰ）、求椭圆的方程；
（Ⅱ）、设 为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线 分别与椭圆相交于
异于 的点 ，证明点 在以 为直径的圆内。
点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学
知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。
解：（Ⅰ）依题意得 a＝2c， ＝4，解
,OM r= 2 21 3( ) ,2 2t− + = 2.t = ±
∴ 2 21 9( ) ( 2) .2 4x y+ + ± =
( 1)( 0),y k x k= + ≠
2
2 1,2
x y+ = 2 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0.k x k x k+ + + − =
∴
1 1 2 2( , ), ( , ),A x y B x y AB 0 0( , ),N x y
2
1 2 2
4 ,2 1
kx x k
+ = − +
2
0 1 2 0 02 2
1 2( ) , ( 1) ,2 2 1 2 1
k kx x x y k xk k
= + = − = + =+ +
0x y+ = ∴
2
0 0 2 2
2 0,2 1 2 1
k kx y k k
+ = − + =+ +
0k∴ = 1 .2k =
x 0x y+ =
∴ 0,y = 2 1 0.x y− + =
,A B
2 2
2 2 1( , 0)x y a ba b
+ = >
4x =
P ,AP BP
,A B M N、 B MN
c
a 2
2
1
-1
-2
-3
-4 -2 2 4BA
M
N
得 a＝2，c＝1，从而 b＝ .
故椭圆的方程为 .
（Ⅱ）解法 1：由（Ⅰ）得 A（－2，0），B（2，0）.设 M（x0，y0）.
∵M 点在椭圆上，∴y0＝ （4－x02）. ○1
又点 M 异于顶点 A、B，∴－2
0，∴ · >0，则∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角，
故点 B 在以 MN 为直径的圆内。
解法 2：由（Ⅰ）得 A（－2，0），B（2，0）.设 M（x1，y1），N（x2，y2），
则－2
x m p
m p m
p
2
3
2
3 p24
9 =
8
9=p 16
9
m p 2C
( 1)y k x= −
2 2
( 1)
14 3
y k x
x y
= − + =
y 2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k+ − + − =
2
2
43
8
k
k
+
2( ) 2
( 1)
y m px
y k x
− =
= −
2( ) 2kx k m px− − =
( , )2
pF m′ )1( −= xky
A
y
B
O x
所以 ，即 .代入②有 .
即 . …………………③
由于 x1,x2 也是方程③的两根，所以 x1＋x2＝ .
从而 ＝ . 解得 ……………………④
又 AB 过 C1、、＼、、C2 的焦点，所以
，
则 …………………………………⑤
由④、⑤式得 ，即 ．
解得 于是
因为 C2 的焦点 在直线 上，所以 .
或 ．
由上知，满足条件的 、 存在，且 或 ， ．
解法二： 设 A、B 的坐标分别为 ， ．
因为 AB 既过 C1 的右焦点 ，又过 C2 的焦点 ，
所以 .
即 . ……①
由（Ⅰ）知 ，于是直线 AB 的斜率 ， ……②
且直线 AB 的方程是 ,
所以 . ……③
( 1)2
pm k= −
2
kpm k+ = 2( ) 22
kpkx px− =
2 2
2 2 2( 2) 04
k pk x p k x− + + =
2
2
( 2)p k
k
+
2
2
8
3 4
k
k+
2
2
( 2)p k
k
+ 2
2 2
8
(4 3)( 2)
kp k k
= + +
1 2 1 2 1 2
1 1( ) ( ) (2 ) (2 )2 2 2 2
p pAB x x x x p x x= + + + = + + = − + −
2 2
1 2 2 2
3 12 4 124 ( ) 4 .2 4 3 4 3
k kp x x k k
+= − + = − =+ +
2 2
2 2 2
8 4 12
(4 3)( 2) 4 3
k k
k k k
+=+ + +
4 25 6 0k k− − =
2 6.k = 46, .3k p= ± =
),3
2( mF′ 6( 1)y x= ± − 26( 1)3m = ± −
∴ 6
3m = 6
3m = −
m p 6
3m = 6
3m = − 4
3p =
1 1( , )x y 2 2( )x y
)0,1(F ( , )2
pF m′
)2
12()2
12()2()2( 212121 xxpxxpxpxAB −+−=++=+++=
1 2
2 (4 )3x x p+ = −
1 2 , 2x x p≠ ≠ 2 1
2 1
0 2
212
y y m mk px x p
− −= = =− −−
2 ( 1)2
my xp
= −−
1 2 1 2
2 4 (1 )( 2)2 3( 2)
m m py y x xp p
−+ = + − =− −
又因为 ，所以 . ……④
将①、②、③代入④得 ． ……………⑤
因为 ，所以 ． …………⑥
将②、③代入⑥得 ……………⑦
由⑤、⑦得 即
解 得 ． 将 代 入 ⑤ 得 或
．
由上知，满足条件的 、 存在，且 或 ，
42．（湖南卷）已知椭圆 C1： ，抛物线 C2： ，且 C1、C2 的
公共弦 AB 过椭圆 C1 的右焦点.
（Ⅰ）当 轴时，求 p、m 的值，并判断抛物线 C2 的焦点是否在直线 AB 上；
（Ⅱ）若 且抛物线 C2 的焦点在直线 AB 上，求 m 的值及直线 AB 的方程.
解 （Ⅰ）当 AB⊥x 轴时，点 A、B 关于 x 轴对称，所以 m＝0，直线 AB 的方程为
x=1，从而点 A 的坐标为（1， ）或（1，－ ）.
因为点 A 在抛物线上，所以 ，即 .
此时 C2 的焦点坐标为（ ，0），该焦点不在直线 AB 上.
（Ⅱ）解法一 当 C2 的焦点在 AB 时，由（Ⅰ）知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB
的方程为 .
由 消去 y 得 . ……①
设 A、B 的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,
=+
=+
1243
1243
2
2
2
2
2
1
2
1
yx
yx 0)(4)(3
12
12
2121 =−
−⋅+++
xx
yyyyxx
2
2 3( 4)( 2)
16(1 )
p pm p
− −= −
2
1 1
2
2 2
( ) 2
( ) 2
y m px
y m px
− = − =
2 1
1 2
2 1
2 2 x xy y m p y y
−+ − = −
2
2 3 ( 2) .16 10
p pm p
−= −
23( 4)( 2)
16(1 )
p p
p
− −
−
23 ( 2) .16 10
p p
p
−= −
23 20 32 0p p+ − =
4 8( )3p p= = −或 舍去 4
3p = 2 2 ,3m = ∴ 6
3m =
6
3m = −
m p 6
3m = 6
3m = − 4
3p =
134
22
=+ yx )0(2)( 2 >=− ppxmy
xAB ⊥
3
4=p
2
3
2
3
p24
9 =
8
9=p
16
9
)1( −= xky
=+
−=
134
)1(
22 yx
xky
01248)43( 2222 =−+−+ kxkxk
则 x1,x2 是方程①的两根，x1＋x2＝ .
因为 AB 既是过 C1 的右焦点的弦，又是过 C2 的焦点的弦，
所以 ，且
.
从而 .
所以 ，即 .
解得 .
因为 C2 的焦点 在直线 上，所以 .
即 .
当 时，直线 AB 的方程为 ；
当 时，直线 AB 的方程为 .
解法二 当 C2 的焦点在 AB 时，由（Ⅰ）知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程
为 .
由 消去 y 得 . ……①
因为 C2 的焦点 在直线 上，
所以 ，即 .代入①有 .
即 . ……②
设 A、B 的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,
则 x1,x2 是方程②的两根，x1＋x2＝ .
由 消去 y 得 . ……③
由于 x1,x2 也是方程③的两根，所以 x1＋x2＝ .
从而 ＝ . 解得 .
2
2
43
8
k
k
+
)(2
14)2
12()2
12( 2121 xxxxAB +−=−+−=
3
4)2()2( 212121 ++=++=+++= xxpxxpxpxAB
)(2
143
4
2121 xxxx +−=++
9
16
21 =+xx 9
16
43
8
2
2
=
+ k
k
6,62 ±== kk 即
),3
2( mF′ )1( −= xky km 3
1−=
3
6
3
6 −== mm 或
3
6=m )1(6 −−= xy
3
6−=m )1(6 −= xy
)1( −= xky
−=
=−
)1(
3
8)( 2
xky
xmy xmkkx 3
8)( 2 =−−
),3
2( mF′ )1( −= xky
)13
2( −= km km 3
1−= xkkx 3
8)3
2( 2 =−
09
4)2(3
4 2
222 =++− kxkxk
2
2
3
)2(4
k
k +
=+
−=
134
)1(
22 yx
xky
01248)43( 2222 =−+−+ kxkxk
2
2
43
8
k
k
+
2
2
3
)2(4
k
k +
2
2
43
8
k
k
+ 6,62 ±== kk 即
A
y
B
O x
因为 C2 的焦点 在直线 上，所以 .
即 .
当 时，直线 AB 的方程为 ；
当 时，直线 AB 的方程为 .
解法三 设 A、B 的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,
因为 AB 既过 C1 的右焦点 ，又是过 C2 的焦点 ，
所以 .
即 . ……①
由（Ⅰ）知 ，于是直线 AB 的斜率 ， ……②
且直线 AB 的方程是 ,
所以 . ……③
又因为 ，所以 . ……④
将①、②、③代入④得 ，即 .
当 时，直线 AB 的方程为 ；
当 时，直线 AB 的方程为 .
43．（江苏卷）已知三点 P（5，2）、 （－6，0）、 （6，0）.
（Ⅰ）求以 、 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点 P、 、 关于直线 y＝x 的对称点分别为 、 、 ，求以 、 为焦
点且过点 的双曲线的标准方程。
本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力。
解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为 (a>b>0),其半焦距 c=6
∴ ,b2=a2-c2=9.
),3
2( mF′ )1( −= xky km 3
1−=
3
6
3
6 −== mm 或
3
6=m )1(6 −−= xy
3
6−=m )1(6 −= xy
)0,1(F ),3
2( mF′
)2
12()2
12()2()2( 212121 xxpxxpxpxAB −+−=++=+++=
9
16)4(3
2
21 =−=+ pxx
21 xx ≠ mm
xx
yyk 3
13
2
0
12
12 =
−
−=−
−=
)1(3 −−= xmy
3
2)2(3 2121
mxxmyy =−+−=+
=+
=+
1243
1243
2
2
2
2
2
1
2
1
yx
yx 0)(4)(3
12
12
2121 =−
−⋅+++
xx
yyyyxx
3
22 =m 3
6
3
6 −== mm 或
3
6=m )1(6 −−= xy
3
6−=m )1(6 −= xy
1F 2F
1F 2F
1F 2F P′ '
1F '
2F '
1F '
2F
P′
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
2 2 2 2
1 22 11 2 1 2 6 5a PF PF= + = + + + = 3 5a =
所以所求椭圆的标准方程为
（2）点 P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为点 P，(2，5)、F1，(0，-6)、
F2，(0，6).
设所求双曲线的标准方程为 由题意知，半焦距 c1=6
,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为
44．（江西卷）如图，椭圆 Q： （a>b>0）的右焦点 F（c，0），过
点 F 的一动直线 m 绕点 F 转动，并且交椭圆于 A、B 两点，P 是线段 AB
的中点
（1） 求点 P 的轨迹 H 的方程
（2） 在 Q 的 方 程 中 ， 令 a2 ＝ 1 ＋ cosθ ＋ sinθ ， b2 ＝ sinθ
（0<θ≤ ），确定 θ 的值，使原点距椭圆的右准线 l 最远，此
时，设 l 与 x 轴交点为 D，当直线 m 绕点 F 转动到什么位置时，三角
形 ABD 的面积最大？
解：如图，（1）设椭圆 Q： （a>b>0）上的点 A（x1，y1）、B（x2，y2），又设 P
点坐标为 P（x，y），则
1°当 AB 不垂直 x 轴时，x1≠x2，
由（1）－（2）得
b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0
∴b2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3）
2°当 AB 垂直于 x 轴时，点 P 即为点 F，满足方程（3）
故所求点 P 的轨迹方程为：b2x2＋a2y2－b2cx＝0
（2）因为，椭圆 Q 右准线 l 方程是 x＝ ，原点距 l
2 2
145 9
x y+ =
2 2
1 12 2
1 1
1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
2 2 2 2
1 1 22 11 2 1 2 4 5a P F P F′ ′′ ′= + = + − + =
1 2 5a =
2 2
120 16
x y− =
2 2
2 2
x y 1a b
＋ ＝
2
π
2 2
2 2
x y 1a b
＋ ＝
2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 2 2 2 2
2 2
b x a y a b 1
b x a y a b 2
＋ ＝ …………（ ）
＋ ＝ …………（ ）
2
1 2
2
1 2
y y b x y
x x a y x c
∴ － ＝－ ＝－ －
2a
c
的距离为 ，由于 c2＝a2－b2，a2＝1＋cosθ＋sinθ，b2＝sinθ（0<θ≤ ）
则 ＝ ＝2sin（ ＋ ）
当 θ＝ 时，上式达到最大值。此时 a2＝2，b2＝1，c＝1，D（2，0），|DF|＝1
设椭圆 Q： 上的点 A（x1，y1）、B（x2，y2），三角形 ABD 的面积
S＝ |y1|＋ |y2|＝ |y1－y2|
设直线 m 的方程为 x＝ky＋1，代入 中，得（2＋k2）y2＋2ky－1＝0
由韦达定理得 y1＋y2＝ ，y1y2＝ ，
4S2＝（y1－y2）2＝（y1＋y2）2－4 y1y2＝
令 t＝k2＋1≥1，得 4S2＝ ，当 t＝1，k＝0 时取等号。
因此，当直线 m 绕点 F 转到垂直 x 轴位置时，三角形 ABD 的面积最大。
45．（江西卷）如图，椭圆 的右焦点为 ，过点 的一动直
线 绕点 转动，并且交椭圆于
两点， 为线段 的中点．
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）若在 的方程中，令 ，
．设轨迹 的最高点和最
低点分别为 和 ．当 为何值时， 为一个正三角形？
解：如图，（1）设椭圆 Q： （a>b>0）
上的点 A（x1，y1）、B（x2，y2），又设 P 点坐标为 P（x，y），则
2a
c 2
π
2a
c
1 cos sin
1 cos
θ θ
θ
＋ ＋
＋ 2
θ
4
π
2
π
2
2x y 12
＋ ＝
1
2
1
2
1
2
2
2x y 12
＋ ＝
2
2k
2 k
－ ＋ 2
1
2 k
－ ＋
2
2 2
8 k 1
k 2
（ ＋ ）
（ ＋ ）
2
8t 8 8 21t 1 4t 2t
≤＝ ＝（ ＋ ） ＋ ＋
2 2
2 2 1( 0)x yQ a ba b
+ = > >： ( 0)F c， F
m F A B，
P AB
P H
Q 2 1 cos sina θ θ= + +
2 sin 0b θ θ π = < 2 ≤ H
M N θ MNF△
2 2
2 2
x y 1a b
＋ ＝
2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 2 2 2 2
2 2
b x a y a b 1
b x a y a b 2
＋ ＝ …………（ ）
＋ ＝ …………（ ）
O P
A
F
B
D x
y
l
1°当 AB 不垂直 x 轴时，x1≠x2，
由（1）－（2）得 b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0
∴b2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3）
2°当 AB 垂直于 x 轴时，点 P 即为点 F，满足方程（3）
故所求点 P 的轨迹方程为：b2x2＋a2y2－b2cx＝0
（2）因为轨迹 H 的方程可化为：
∴M（ ， ），N（ ，－ ），F（c，0），使△MNF 为一个正三角形时，则
tan ＝ ＝ ，即 a2＝3b2. 由于 ，
，则 1＋cosθ＋sinθ＝3 sinθ，得 θ＝arctan
46．（辽宁卷）已知点 , 是抛物线 上的两个动
点 , 是 坐 标 原 点 , 向 量 , 满 足 . 设 圆 的 方 程 为
(I) 证明线段 是圆 的直径;
(II)当圆 C 的圆心到直线 X-2Y=0 的距离的最小值为时，求 P 的值。
【解析】(I)证明 1:
整理得:
设 M(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点,则
即
整理得:
故线段 是圆 的直径
证明 2:
2
1 2
2
1 2
y y b x y
x x a y x c
∴ － ＝－ ＝－ －
2
2
2
2 2
2
2
cx y c
a b a
（ － ）
＋ ＝（ ）
c
2 2
bc
a
c
2 2
bc
a
6
π 2
2
bc
a
c
b
a
2 1 cos sina θ θ= + +
2 sin 0b θ θ π = < 2 ≤ 4
3
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2( 0)x x ≠ 2 2 ( 0)y px p= >
O OA OB OA OB OA OB+ = − C
2 2
1 2 1 2( ) ( ) 0x y x x x y y y+ − + − + =
AB C
2 2, ( ) ( )OA OB OA OB OA OB OA OB+ = − ∴ + = −
2 2 2 2
2 2OA OA OB OB OA OA OB OB+ ⋅ + = − ⋅ +
0OA OB⋅ =
1 2 1 2 0x x y y∴ ⋅ + ⋅ =
0MA MB⋅ =
1 2 1 2( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y− − + − − =
2 2
1 2 1 2( ) ( ) 0x y x x x y y y+ − + − + =
AB C
2 2, ( ) ( )OA OB OA OB OA OB OA OB+ = − ∴ + = −
2 2 2 2
2 2OA OA OB OB OA OA OB OB+ ⋅ + = − ⋅ +
整理得: ……..(1)
设(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上则
即
去分母得:
点 满足上方程,展开并将(1)代入得:
故线段 是圆 的直径
证明 3:
整理得: ……(1)
以线段 AB 为直径的圆的方程为
展开并将(1)代入得:
故线段 是圆 的直径
(II)解法 1:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则
又因
所以圆心的轨迹方程为
设圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则
0OA OB⋅ =
1 2 1 2 0x x y y∴ ⋅ + ⋅ =
2 1
1 2
2 1
1( , )y y y y x x x xx x x x
− −⋅ = − ≠ ≠− −
1 2 1 2( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y− − + − − =
1 1 1 2 2 1 2 2( , ),( , ),( , )( , )x y x y x y x y
2 2
1 2 1 2( ) ( ) 0x y x x x y y y+ − + − + =
AB C
2 2, ( ) ( )OA OB OA OB OA OB OA OB+ = − ∴ + = −
2 2 2 2
2 2OA OA OB OB OA OA OB OB+ ⋅ + = − ⋅ +
0OA OB⋅ =
1 2 1 2 0x x y y∴ ⋅ + ⋅ =
2 2 2 21 2 1 2
1 2 1 2
1( ) ( ) [( ) ( ) ]2 2 4
x x y yx y x x y y
+ +− + − = − + −
2 2
1 2 1 2( ) ( ) 0x y x x x y y y+ − + − + =
AB C
1 2
1 2
2
2
x xx
y yy
+ = + =
2 2
1 1 2 22 , 2 ( 0)y px y px p= = >
2 2
1 2
1 2 24
y yx x p
∴ =
1 2 1 2 0x x y y⋅ + ⋅ = 1 2 1 2x x y y∴ ⋅ = − ⋅
2 2
1 2
1 2 24
y yy y p
∴− ⋅ =
1 2 1 20, 0x x y y⋅ ≠ ∴ ⋅ ≠ 2
1 2 4y y p∴ ⋅ = −
2 2 2 21 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1( ) ( 2 )2 4 4 4
x x y yx y y y y y yp p p
+= = + = + + − 2 21 ( 2 )y pp
= +
2 22y px p= −
当 y=p 时,d 有最小值 ,由题设得 .
解法 2: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则
又因
所以圆心的轨迹方程为
设直线 x-2y+m=0 到直线 x-2y=0 的距离为 ,则
因为 x-2y+2=0 与 无公共点,所以当 x-2y-2=0 与 仅有一个公共
点时,该点到直线 x-2y=0 的距离最小值为
将(2)代入(3)得
2 2
2 2
1| ( 2 ) 2 || 2 | | 2 2 |
5 5 5
y p yx y y py ppd
p
+ −− − += = =
2 2| ( ) |
5
y p p
p
− +=
5
p 2 5
55
p = 2p∴ =
1 2
1 2
2
2
x xx
y yy
+ = + =
2 2
1 1 2 22 , 2 ( 0)y px y px p= = >
2 2
1 2
1 2 24
y yx x p
∴ =
1 2 1 2 0x x y y⋅ + ⋅ = 1 2 1 2x x y y∴ ⋅ = − ⋅
2 2
1 2
1 2 24
y yy y p
∴− ⋅ =
1 2 1 20, 0x x y y⋅ ≠ ∴ ⋅ ≠ 2
1 2 4y y p∴ ⋅ = −
2 2 2 21 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1( ) ( 2 )2 4 4 4
x x y yx y y y y y yp p p
+= = + = + + − 2 21 ( 2 )y pp
= +
2 22y px p= −
2 5
5 2m = ±
2 22y px p= − 2 22y px p= −
2 5
5
2 2
2 2 0 (2)
2 (3)
x y
y px p
− − =
= −
2 22 2 2 0y py p p− + − =
2 24 4(2 2 ) 0p p p∴∆ = − − =
0
2.
p
p
>
∴ =
解法 3: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则
圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则
又因
当 时,d 有最小值 ,由题设得 .
【点评】本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础
知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力.
47．（辽宁卷）已知点 是抛物线 上的两个
动 点 ， 是 坐 标 原 点 ， 向 量 满 足 ， 设 圆 的 方 程 为
．
（1）证明线段 是圆 的直径；
（2）当圆 的圆心到直线 的距离的最小值为 时，求 的值．
解析：本小题主要考查平面向量的基本运算，圆与抛物线的方程，点到直线的距离等基础知
识，以及综合运用解析几何知识解决问题的能力。
（I）证法一：
即
整理得 ......................12 分
1 2
1 2
2
2
x xx
y yy
+ = + =
1 2
1 2| ( ) |2
5
x x y y
d
+ − +
=
2 2
1 1 2 22 , 2 ( 0)y px y px p= = >
2 2
1 2
1 2 24
y yx x p
∴ =
1 2 1 2 0x x y y⋅ + ⋅ = 1 2 1 2x x y y∴ ⋅ = − ⋅
2 2
1 2
1 2 24
y yy y p
∴− ⋅ =
1 2 1 20, 0x x y y⋅ ≠ ∴ ⋅ ≠ 2
1 2 4y y p∴ ⋅ = −
2 2
1 2 1 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1| ( ) ( )| | 2 4 ( ) 8 |4
5 4 5
y y y y y y y y p y y ppd
p
+ − + + + − + +∴ = =
2 2
1 2( 2 ) 4
4 5
y y p p
p
+ − +=
1 2 2y y p+ =
5
p 2 5
55
p = 2p∴ =
1 1 2 2 1 2( ) ( )( 0)A x y B x y x x ≠， ， ， 2 2 ( 0)y px p= >
O OAOB ， | | | |OA OB OA OB= + - C
2 2
1 2 1 2( ) ( ) 0x y x x x y y y+ − + − + =
AB C
C 2 0x y− = 2 5
5 p
,OA OB OA OB+ = −
( ) ( )2 2
,OA OB OA OB+ = −
2 2 2 22 2 ,OA OA OB OB OA OA OB OB+ ⋅ + = − ⋅ +
0.OA OB⋅ =
1 2 1 2 0.x x y y∴ + =
设点 M（x,y）是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点，则
即
展开上式并将①代入得
故线段 是圆 的直径。
证法二：
即 ，
整理得 ①……3 分
若点 在以线段 为直径的圆上，则
去分母得
点 满足上方程，展开并将①代入得
所以线段 是圆 的直径.
证法三：
即 ，
整理得
以 为直径的圆的方程是
展开，并将①代入得
所以线段 是圆 的直径.
（Ⅱ）解法一：设圆 的圆心为 ，则
，
又
0.MA MB⋅ =
1 2 1 2( )( ) ( )( ) 0.x x x x y y y y− − + − − =
2 2
1 2 1 2( ) ( ) 0.x y x x x y y y+ − + − + =
AB C
| | | |OA OB OA OB+ = −
， OA OB OA OB∴ + − 2 2（ ）=（ ），
2 2 2 22 2OA OA OB OB OA OA OB OB+ ⋅ + = − ⋅ +
0OA OB⋅ =
1 2 1 2 0x x y y∴ + =
( ),x y AB 1 2
1 2
2
1( , )y y y y x x x xx x
− −⋅ = − ≠ ≠−1x- x
1 2 1 2( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y− − + − − =
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 1 2 2, , , , , , ,x y x y x y x y
( ) ( )2 2
1 2 1 2 0x y x x x y y y+ − + − + =
AB C
OA OB OA OB+ = − OA OB OA OB∴ + − 2 2（ ）=（ ），
2 2 2 22 2OA OA OB OB OA OA OB OB+ ⋅ + = ⋅ ⋅ +
0OA OB⋅ =
1 2 1 2 0x x y y∴ + =
AB 2 2 2 21 2 1 2
1 2 1 2
1( ) ( ) [( ) ( ) ]2 2 4
x x y yx y x x y y
+ +− + − = − + −
2 2
1 2 1 2( ) ( ) 0x y x x x y y y+ − + − + =
AB C
C ( ),C x y
1 2
1 2
,2
,2
x xx
y yy
+ = + =
2 2
1 1 2 22 , 2 ( 0)y px y px p= = >
2 2
1 2
1 2 24
y yx x p
∴ =
1 2 1 2 0,x x y y+ = 1 2 1 2 ,x x y y∴ = −
2 2
1 2
1 2 24
y yy y p
∴− =
所以圆心的轨迹方程为：
设圆心 到直线 的距离为 ，则
当 时， 有最小值 ，由题设得 ……14 分
解法二：设圆 的圆心为 ，则
又
…………9 分
所 以 圆 心 得 轨 迹 方 程 为 … … … … 11 分 设 直 线 与
的距离为 ,则
因为 与 无公共点.
所以当 与 仅有一个公共点时，该点到 的距离最小，
最小值为
1 2 0,x x ≠ 1 2 0,y y ≠ 2
1 2 4y y p∴ = −
2 21 2
1 2
1 ( )2 4
x xx y yp
+∴ = = + 2 2 1 2
1 2 1 2
1 ( 2 )4 2
y yy y y yp p
= + + − 2 21 ( 2 )y pp
= +
2 22y px p= −
C 2 0x y− = d
| 2 |
5
x yd
−=
2 21| ( 2 ) 2 |
5
y p yp
+ −
=
2 2| ( ) |
5
y p p
p
− +=
y p= d 9
5
9 2 5
55
= ∴ 2p =
C ( ),C x y
1 2
1 2
2
2
x xx
y yy
+ = + =
2 2
1 1 2 22 , 2 ( 0)y px y px p= = >
2 2
1 2
1 2 2 ,4
y yx x p
∴ =
1 2 1 2 0,x x y y+ = 1 2 1 2 ,x x y y∴ = −
2
1 2 1 20, 4 .x x y y p≠ ∴ = −
1 2
2
x xx
+=
2 2
1 2
1 ( )4 y yp
= ≠ 2 2 1 2
1 2 1 2
1 ( 2 )4 2
y yy y y yp p
= + + − 2 21 ( 2 )y pp
= +
2 22y px p= − 2 0x y m− + =
2 0x u− = 2 5
5 2m = ±
2 2 0x y− + = 2 22y px p= −
2 2 0x y− + = 2 22y px p= − 2 0x y− =
2 5
5
将②代入③ ，有 …………14 分
解法三：设圆 的圆心为 ，则
若圆心 到直线 的距离为 ，那么
又
当 时， 有最小值时 ，由题设得
48．（全国卷 I）在平面直角坐标系 中，有一个以 和 为焦点、离
心率为 的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线 C，动点 P 在 C 上，C 在点 P 处的切线
与 轴的交点分别为 A、B，且向量 。求：
（Ⅰ）点 M 的轨迹方程； （Ⅱ） 的最小值。
.解: 椭圆方程可写为: y2
a2 + x2
b2 =1 式中 a>b>0 , 且 {a2－b2 = 3
3
a =
3
2
得 a2=4,b2=1,所以曲线 C
的方程为: x2+ y2
4 =1 (x>0,y>0). y=2 1－x2(0
2 2
1 2
1 2 2 ,4
y yx x p
∴ =
1 2 1 2 0,x x y y+ = 1 2 1 2 ,x x y y∴ = −
1 2 0,x x ≠ 2
1 2 4y y p∴ = −
( ) ( )2 2
1 2 1 2
1
4
5
y y y ypd
+ − +
∴ =
( )2 2 2
1 2 1 2 1 22 4 8
4 5
y y y y p y y p
p
+ + − + +
= ( )2 2
1 2 2 4
4 5
y y p p
p
+ − +=
1 2 2y y p+ = d
5
p 2 5
55
p = 2.p∴ =
xOy ( )1 0, 3F − ( )2 0, 3F
3
2
x y、 OM OA OB= +
OM
设 P(x0,y0),因 P 在 C 上,有 01,y>2)
(Ⅱ)| |2= x2+y2, y2= 4
1－ 1
x2
=4+ 4
x2－1 ,
∴| |2= x2－1+ 4
x2－1+5≥4+5=9.且当 x2－1= 4
x2－1 ,即 x= 3>1 时,上式取等号.
故||的最小值为 3.
49．（全国卷 I）设 P 是椭圆 短轴的一个端点， 为椭圆上的一个动点，
求 的最大值。
解: 依题意可设 P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|= x2 + (y－1)2,又因为 Q 在椭圆上,
所以,x2=a2(1－y2) , |PQ|2= a2(1－y2)+y2－2y+1=(1－a2)y2－2y+1+a2
=(1－a2)(y－ 1
1－a2 )2－ 1
1－a2+1+a2 .
因为|y|≤1,a>1, 若 a≥ 2, 则| 1
1－a2|≤1, 当 y= 1
1－a2时, |PQ|取最大值a2 a2－1
a2－1 ;
若 1 Q
PQ
解②、③式得 y1＝λ，y2＝1
λ，且有 x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，
抛物线方程为 y＝1
4x2，求导得 y′＝1
2x．
所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是
y＝1
2x1(x－x1)＋y1，y＝1
2x2(x－x2)＋y2，即 y＝1
2x1x－1
4x12，y＝1
2x2x－1
4x22．
解出两条切线的交点 M 的坐标为(
x
1＋x
2
2 ，
x
1x
2
4 )＝(
x
1＋x
2
2 ，－1)． ……4 分
所以FM·AB＝(
x
1＋x
2
2 ，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝1
2(x22－x12)－2(1
4x22－1
4x12)＝0
所以FM·AB为定值，其值为 0． ……7 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中，FM⊥AB，因而 S＝1
2|AB||FM|．
|FM|＝ (f(xSdo(1)＋xSdo(2),2))＋(－2)＝ 1
4x
1＋1
4x
2＋1
2x
1x
2＋4＝ y
1＋y
2＋1
2 × (－4)＋4
＝ λ＋1
λ＋2＝ λ＋ 1
λ
．
因为|AF|、|BF|分别等于 A、B 到抛物线准线 y＝－1 的距离，所以
|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋1
λ＋2＝( λ＋ 1
λ)2．
于是 S＝1
2|AB||FM|＝( λ＋ 1
λ)3，
由 λ＋ 1
λ
≥2 知 S≥4，且当 λ＝1 时，S 取得最小值 4．
51．（山东卷）双曲线 C 与椭圆 有相同的焦点，直线 y= 为 C 的一条渐近线.
（1）求双曲线 C 的方程；
（2）过点 P(0,4)的直线 ，交双曲线 C 于 A,B 两点，交 x 轴于 Q 点（Q 点与 C 的顶点不
重合）.当 ，且 时，求 Q 点的坐标.
解：（Ⅰ）设双曲线方程为 由椭圆
求得两焦点为 ，
对于双曲线 ，又 为双曲线 的一条渐近线
2 2
18 4
x y+ = x3
l
1 2PQ QA QBλ λ= =
3
8
21 −=+ λλ
2 2
2 2 1x y
a b
− =
2 2
18 4
x y+ =
( 2,0),(2,0)−
∴ : 2C c = 3y x= C
解得 ，
双曲线 的方程为
（Ⅱ）解法一：
由题意知直线 的斜率 存在且不等于零。
设 的方程： ， 则
在双曲线 上，
同理有：
若 则直线 过顶点，不合题意.
是二次方程 的两根.
，
此时 . 所求 的坐标为 .
解法二：由题意知直线 的斜率 存在且不等于零
设 的方程， ，则 .
， 分 的比为 .
由定比分点坐标公式得
∴ 3b
a
= 2 21, 3a b= =
∴ C
2
2 13
yx − =
l k
l 1 14, ( , )y kx A x y= + 2 2( , )B x y 4( ,0)Q k
−
1PQ QAλ=
1 1 1
4 4( , 4) ( , )x yk k
λ∴ − − = +
1
11 1
1 1 1
1
4 4
4 4( )
44
x k kxk k
y y
λλ
λ
λ
= − − − = + ∴ ⇒
− = = −
1 1)( ,A x y C ∴ 21
2
1 1
116 16( ) 1 0k
λ
λ λ
+ − − =
∴ 2 2 2 2
1 1
1616 32 16 0.3 k kλ λ λ+ + − − =
∴ 2 2 2
1 1
16(16 ) 32 16 0.3k kλ λ− + + − =
2 2 2
2 2
16(16 ) 32 16 0.3k kλ λ− + + − =
216 0,k− = l 216 0,k∴ − ≠
1 2,λ λ∴ 2 2 216(16 ) 32 16 0.3k x x k− + + − =
1 2 2
32 8
16 3k
λ λ∴ + = = −−
2 4k∴ =
0, 2k∆ > ∴ = ± ∴ Q ( 2,0)±
l k
l 1 1 2 24, ( , ), ( , )y kx A x y B x y= + 4( ,0)Q k
−
1PQ QAλ=
Q∴ PA
1
λ
1 1
1 1
1 1
1 1
1
11
4 4 (1 )1
4 40 1
x xk k
y y
λ λλ λ
λ
λλ
− = = − + + → + = −= +
下同解法一
解法三：由题意知直线 的斜率 存在且不等于零
设 的方程： ，则 .
， .
， ， ，
又 ， ，即
将 代入 得
，否则 与渐近线平行。 。
解 法 四 ： 由 题 意 知 直 线 l 得 斜 率 k 存 在 且 不 等 于 零 ， 设 的 方 程 ： ，
，则
, 。
同理
.
即 。 （*）
又
消去 y 得 .
当 时，则直线 l 与双曲线得渐近线平行，不合题意， 。
l k
l 1 1 2 24, ( , ), ( , )y kx A x y B x y= + 4( ,0)Q k
−
1 2PQ QA QBλ λ= =
1 1 1 2 2 2
4 4 4( , 4) ( , ) ( , )x y x yk k k
λ λ∴ − − = + = +
1 1 2 24 y yλ λ∴− = = 1
1
4
y
λ∴ = − 2
2
4
y
λ = −
1 2
8
3
λ λ+ = −
1 2
1 1 2
3y y
∴ + = 1 2 1 23( ) 2y y y y+ =
4y kx= +
2
2 13
yx − = 2 2 2(3 ) 24 48 3 0k y y k− − + − =
23 0k− ≠ l
2
1 2 1 22 2
24 48 3,3 3
ky y y yk k
−∴ + = =− −
2
2 2
24 48 33 23 3
k
k k
−∴ × = ×− − 2k∴ = ± ( 2,0)Q∴ ±
l 4y kx= +
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 4( ,0)Q k
−
1PQ QAλ=
1 1 1
4 4( , 4) ( , )x yk k
λ∴ − − = + ∴ 1
1
1
4
4
4 4
k
kxx k
λ
−
= = − ++
1
2
4
4kx
λ = − +
1 2
1 2
4 4 8
4 4 3kx kx
λ λ+ = − − = −+ +
2
1 2 1 22 5 ( ) 8 0k x x k x x+ + + =
2
2
4
13
y kx
yx
= +
− =
2 2(3 ) 8 19 0k x kx− − − =
23 0k− = 23 0k− ≠
由韦达定理有：
代入（*）式得 所求 Q 点的坐标为 。
52．（山东卷）已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组
成的四边形为正方形，两准线间的距离为 l.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)直线 过点 P(0,2)且与椭圆相交于 A、B 两点，当ΔAOB 面积取得最大值时，求直线 l
的方程.
解：设椭圆方程为
（Ⅰ）由已知得
∴所求椭圆方程为 .
（Ⅱ）解法一：由题意知直线 的斜率存在，设直线 的方程为
由 ，消去 y 得关于 x 的方程：
由直线 与椭圆相交于 A、B 两点， 解得
又由韦达定理得
原点 到直线 的距离
1 2 2
1 2 2
8
3
19
3
kx x k
x x k
+ = −
= − −
2 4, 2k k= = ± ∴ ( 2,0)±
l
2 2
2 2 1( )x y a b ca b
+ = > >
2
2 2 2
2 4
b c
a
c
a b c
=
= ⇒
= +
2
2
2
2
1
1
a
b
c
=
=
=
2
2 12
x y+ =
l l 1 1 2 22, ( , ), ( , )y kx A x y B x y= +
2
2
2
12
y kx
x y
= + + =
2 2(1 2 ) 8 6 0k x kx+ + + =
l 2 20 64 24(1 2 ) 0k k∴ > ⇒ − + > 2 3
2k >
1 2 2
1 2 2
8
1 2
6
1 2
kx x k
x x k
+ = − +
⋅ = +
2 2 2
1 2 1 2 1 2| | 1 | | 1 ( ) 4AB k x x k x x x x∴ = + − = + + −
2
2
2
1 16 241 2
k kk
+= −+
O l 2
2
1
d
k
=
+
.
解法 1：对 两边平方整理得： （*）
∵ ，
整理得：
又 ， 从而 的最大值为 ，
此时代入方程（*）得
所以，所求直线方程为： .
解法 2：令 ， 则
当且仅当 即 时，
此时 . 所以，所求直线方程为
解 法 二 ： 由 题 意 知 直 线 l 的 斜 率 存 在 且 不 为 零 . 设 直 线 l 的 方 程 为
，则直线 l 与 x 轴的交点 ，
由解法一知 且 ，
解法 1： =
2 2
2 2
1 16 24 2 2 2 3| |2 1 2 1 2AOB
k kS AB d k k
− −= ⋅ = =+ +
2
2
16 24
1 2
kS k
−= +
2 4 2 2 24 4( 4) 24 0S k S k S+ − + + =
0S ≠
2 2 2 2
2
2
2
2
16( 4) 4 4 ( 24) 0,
4 0
24 04
S S S
S
S
S
S
− − × + ≥
− >
+ >
2 1
2S ≤
0S > 20 2S∴ < ≤ AOBS
2
2S =
4 24 28 49 0k k− + = 14
2k∴ = ±
14 2 4 0x y± − + =
22 3( 0)m k m= − > 2 22 3k m= +
2
2 2 2 2 2
44 2
mS m m m
∴ = = ≤+ +
4m m
= 2m = max
2
2S =
14
2k = ± 14 2 4 0y± − + =
1 1 2 22, ( , ), ( , )y kx A x y B x y= + 2( ,0)D k
−
2 3
2k >
1 2 2
1 2 2
8
1 2
6
1 2
kx x k
x x k
+ = − +
⋅ = +
1 2 1 2
1 1 2| | | | | | | 2 2 |2 2AOBS OD y y kx kxk
= ⋅ − = ⋅ + − −
1 2| |x x−
.
下同解法一.
解法 2： =
下同解法一.
53．(陕西卷) 如图,三定点 A(2,1),B(0,－1),C(－2,1); 三动点 D,E,M
满足AD→
=tAB→
, BE→
= t BC→
, DM→
=t DE→
, t∈[0,1]. (Ⅰ) 求动直线 DE 斜率
的变化范围; (Ⅱ)求动点 M 的轨迹方程.
解法一: 如图, (Ⅰ)设 D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由AD→
=tAB→
, BE→
= t BC→
,
知 (xD － 2,yD － 1)=t( － 2, － 2). ∴ {xD = －2t + 2
yD = －2t + 1 同 理
{xE = －2t
yE = 2t－1 . ∴kDE =
yE－yD
xE－xD =
2t－1－(－2t + 1)
－2t－(－2t + 2) = 1－2t.
∴t∈[0,1] , ∴kDE∈[－1,1].
(Ⅱ) ∵DM→
=t DE→
∴(x+2t－2,y+2t－1)=t(－2t+2t－2,2t－1+2t－1)=t(－2,4t－2)=(－2t,4t2－2t).
∴{x = 2(1－2t)
y = (1－2t)2 ,
∴y=
x2
4 , 即 x2=4y. ∵t∈[0,1], x=2(1－2t)∈[－2,2].
即所求轨迹方程为: x2=4y, x∈[－2,2]
解法二: (Ⅰ)同上．
(Ⅱ) 如图， OD→
=OA→
+AD→
= OA→
+ tAB→
= OA→
+ t(OB→
－OA→
) = (1－t) OA→
+tOB→
，
OE→
= OB→
+BE→
= OB→
+tBC→
= OB→
+t(OC→
－OB→
) =(1－t) OB→
+tOC→
，
OM→
= OD→
+DM→
= OD→
+ tDE→
= OD→
+t(OE→
－OD→
)=(1－t) OD→
+ tOE→
= (1－t2) OA→
+ 2(1－t)tOB→
+t2OC→
．
设 M 点的坐标为(x，y)，由OA→
=(2，1)， OB→
=(0，－1)， OC→
=(－2，1)得
{x = (1－t2)·2 + 2(1－t)t·0 + t2·(－2) = 2(1－2t)
y = (1－t)2·1 + 2(1－t)t·(－1) + t2·1 = (1－2t)2 消去 t 得 x2=4y， ∵t∈[0，1]， x∈[－2，
2]．
故所求轨迹方程为: x2=4y， x∈[－2，2]
54．(上海卷)在平面直角坐标系 O 中，直线 与抛物线 ＝2 相交于 A、B 两点．
2 2 2
1 2( ) 4x x x x= + −
2
2
16 24
1 2
k
k
−= +
2
2
2 2 2 3
1 2
k
k
−= +
AOB POB POAS S S= −
2 1
1 2 || | | ||2 x x= × × − 2 1| |x x= −
2
2
2 2 2 3
1 2
k
k
−
+
x y l 2y x
y
xO
M D
A
B
C
－1
－1－2 1 2
B
E
第 21 题解法图
（1）求证：“如果直线 过点 T（3，0），那么 ＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
[解]（1）设过点 T(3,0)的直线 交抛物线 y2=2x 于点 A(x1,y1)、B(x2,y2).
当直线 的钭率不存在时,直线 的方程为 x=3,此时,直线 与抛物线相交于点 A(3,
)、B(3,－ ). ∴ =3；
当直线 的钭率存在时,设直线 的方程为 ，其中 ，
由 得
又 ∵ ，
∴ ，
综上所述，命题“如果直线 过点 T(3,0)，那么 =3”是真命题；
(2)逆命题是：设直线 交抛物线 y2=2x 于 A、B 两点,如果 =3,那么该直线过点
T(3,0).该命题是假命题.
例如：取抛物线上的点 A(2,2)，B( ,1)，此时 =3,直线 AB 的方程为：
，而 T(3,0)不在直线 AB 上；
说明：由抛物线 y2=2x 上的点 A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足 =3，可得 y1y2=－6，
或 y1y2=2，如果 y1y2=－6，可证得直线 AB 过点(3,0)；如果 y1y2=2，可证得直线 AB 过点(－
1,0),而不过点(3,0).
55 ．( 上海卷) 已知在平面直角坐标系 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为
,右顶点为 ,设点 .
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若 是椭圆上的动点，求线段 中点 的轨迹方程；
（3）过原点 的直线交椭圆于点 ，求 面积的最大值。
解(1)由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c= ,则半短轴 b=1.
又椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的标准方程为
(2)设线段 PA 的中点为 M(x,y) ,点 P 的坐标是(x0,y0),
l
→−−
OA
→−−
⋅OB
l
l l l
6 6 OBOA⋅
l l ( 3)y k x= − 0k ≠
2 2
( 3)
y x
y k x
=
= −
2
1 22 6 0 6ky y k y y− − = ⇒ =−
2 2
1 1 2 2
1 1,2 2x y x y= =
2
1 2 1 2 1 2 1 2
1( ) 34OA OB x x y y y y y y= + = + =
l OBOA⋅
l OBOA⋅
2
1 OA OB
2( 1)3y x= +
OBOA⋅
xOy
( 3,0)F − (2,0)D 11, 2A
P PA M
O ,B C ABC∆
3
14
2
2
=+ yx
x= x0=2x－1
由
y=
得
y0=2y－
由,点 P 在椭圆上,得 ,
∴线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 .
(3)当直线 BC 垂直于 x 轴时,BC=2,因此△ABC 的面积 S△ABC=1.
当直线 BC 不垂直于 x 轴时,说该直线方程为 y=kx,代入 ,
解得 B( , ),C(－ ,－ ),
则 ,又点 A 到直线 BC 的距离 d= ,
∴△ABC 的面积 S△ABC=
于是 S△ABC=
由 ≥－1,得 S△ABC≤ ,其中,当 k=－ 时,等号成立.
∴S△ABC 的最大值是 .
56．（四川卷）已知两定点 ，满足条件 的点 的轨
迹是曲线 ，直线 与曲线 交于 两点。如果 ，且曲线 上存在
点 ，使 ，求 的值和 的面积 。
本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及
解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分 12 分。
解：由双曲线的定义可知，曲线 是以 为焦点的双曲线的左支，
且 ，易知 ， 故曲线 的方程为
2
10 +x
2
2
1
0 +y
2
1
1)2
12(4
)12( 2
2
=−+−
yx
1)4
1(4)2
1( 22 =−+− yx
14
2
2
=+ yx
14
2
2 +k 14
2
2 +k
k
14
2
2 +k 14
2
2 +k
k
2
2
41
14
k
kBC +
+=
21
2
1
k
k
+
−
241
12
2
1
k
kdAB +
−=⋅
14
4114
144
22
2
+−=+
+−
k
k
k
kk
14
4
2 +k
k 2 2
1
2
( ) ( )1 22,0 , 2,0F F− 2 1 2PF PF− = P
E 1y kx= − E ,A B 6 3AB = E
C OA OB mOC+ = m ABC∆ S
E ( ) ( )1 22,0 , 2,0F F−
2, 1c a= = 1b = E ( )2 2 1 0x y x− = <
设 ，由题意建立方程组
消去 ，得
又已知直线与双曲线左支交于两点 ，有
解得
又∵
依题意得 整理后得
∴ 或 但 ∴
故直线 的方程为
设 ，由已知 ，得
∴ ，
又 ，
∴点
将点 的坐标代入曲线 的方程，得
得 ，但当 时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意
∴ ， 点的坐标为
4 5 8,C m m
−
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 2 2
1
1
y kx
x y
= −
− =
y ( )2 21 2 2 0k x kx− + − =
,A B
( ) ( )
2
2 2
1 2 2
1 2 2
1 0
2 8 1 0
2 01
2 01
k
k k
kx x k
x x k
− ≠
∆ = + − >
− + = < − − = > −
2 1k− < < −
2
1 21AB k x x= + ⋅ − ( )22
1 2 1 21 4k x x x x= + ⋅ + −
2
2
2 2
2 21 41 1
kk k k
− − = + ⋅ − × − −
( )( )
( )
2 2
22
1 2
2
1
k k
k
+ −
=
−
( )( )
( )
2 2
22
1 2
2 6 3
1
k k
k
+ −
=
−
4 228 55 25 0k k− + =
2 5
7k = 2 5
4k = 2 1k− < < − 5
2k = −
AB 5 1 02 x y+ + =
( ),c cC x y OA OB mOC+ = ( ) ( ) ( )1 1 2 2, , ,c cx y x y mx my+ =
( ) 1 2 1 2, ,c c
x x y ymx my m m
+ + =
( )0m ≠
1 2 2
2 4 51
kx x k
+ = = −− ( ) 2
1 2 1 2 2 2
2 22 2 81 1
ky y k x x k k
+ = + − = − = =− −
C E 2 2
80 64 1m m
− =
4m = ± 4m = −
4m = C ( )5,2−
到 的距离为
∴ 的面积
57．（天津卷）如图，以椭圆 的
中心 为圆心，分别以 和 为半径作大圆和小圆。过
椭圆右焦点 作垂直于 轴的直线交大圆于
第一象限内的点 ．连结 交小圆于点 ．设直线
是小圆的切线．
（1）证明 ，并求直线 与 轴的交点 的坐
标；
（2）设直线 交椭圆于 、 两点，证明 ．
本小题主要考查椭圆的标准方程的几何性质、直线方程。平面向量、曲线和方程的关系
等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力.满分 14 分.
证明：（Ⅰ）由题设条件知， ∽ 故
，即
因此，
在 ，
因此，
在 中 ， .
于是，直线 OA 的斜率 .设直线 BF 的斜率为 ，则 .
这时，直线 BF 与 轴的交点为
(Ⅱ)由（Ⅰ），得直线 BF 得方程为 且 ②
由已知，设 、 ，则它们的坐标漫步方程组
C AB ( )
2
2
5 5 2 12 1
35 12
× − + +
=
+
ABC∆ 1 16 3 32 3S = × × =
( )012
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x
O a b
( )( )bccF >0, x
A OA B
BF
abc =2 BF y M
BF P Q 21
2OP OQ b⋅ =
Rt OFA Rt OBF
OF OB
OA OF
= c b
a c
=
2c ab=
Rt OFA
2 2 2 2 .FA OA OF a c b= − = − =
2 .c ab=
Rt OFA
2 2 2 2FA OA OF a c b− = − =＝
oa
bk c
= k 1
oa
ck k b
= − = −
y (0, )M a
,y kx a= +
2
2
2 2
c ab ak b b b
= = =
1 1( , )P x y 2 2( , )Q x y
③
由方程组③消去 ，并整理得
由式①、②和④，
由方程组③消去 ，并整理得 ⑤
由式②和⑤，
综上，得到
注意到 ，得
58．（天津卷）如图，双曲线 的离心率为 ． 分别为左、
右焦点， 为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且 ．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设 和 是 轴上的两点，过点 作斜率不为 0 的直线 ，
使得 交双曲线于 两点，作直线 交双曲线于另一点 ．证明直线 垂
本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量、曲线和方程的关
系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力。
（I）解：根据题设条件，
设点 则 、 满足
2 2
2 2 1x y
a b
y kx a
+ =
= +
y 2 2 2 2 3 4 2 2( ) 2 0b a k x a kx a a b+ + + − =
4 2 2 2 2 2 3 2
1 2 2 2 2 3 3
2 2
( )a a b a a b a bx x ab a k a bb a b
− −= = =+ ++
x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 0b a k y ab y a b a b k+ + + − =
2 2
2 2 2 2 2
1 2 2 2 2 3 3
2 2
(1 )(1 ) ( )
aa ba b k a b b aby y ab a k b ab a b
−− −= = =+ ++ ⋅
3 2 2 2 2 3
1 2 1 2 3 3 3 3 3 3
( )a b a b b a a bOP OQ x x y y a b a b a b
−⋅ = + = + =+ + +
2 2 2 2 2 22a ab b a c b b− + = − + =
2 3 2 3 2
3 3 2( ) 2 2( )
a b a b a bOP OQ a b a b b a b
⋅ = = =+ + ⋅ +
2 2 2
2( ) 1( )2( ) 2( ) 2
ac a a b a aba b a b
−= = = −+ +
2 2 21 1( )2 2a c b= − =
2 2
2 2 1x y
a b
− = ( 0 0)a b> >， 5
2 1 2F F，
M 1 2
1
4F M F M = − ·
( 0)A m， 1 0 (0 1)B mm
< < ， x A l
l C D， BC E DE
1 2( ,0), ( ,0).F c F c−
( , ),M x y x y
因 解得 ，故
利用 得 于是 因此，所求双曲线方程为
（II）解：设点 则直线 的方程为
于是 、 两点坐标满足
将①代入②得
由已知，显然 于是 因为 得
同理， 、 两点坐标满足
可解得
所以 ，故直线 DE 垂直于 轴。
59．（浙江卷）如图，椭圆 ＝1（a＞b＞0）与过点 A（2，0）B(0,1)的直线有且只
2
.
ax c
by xa
= −
= −
5 ,2
ce a
= = 2 2( , )
5 5
a bM −
1 2
2 2 2 2. ( , ).( , )
5 5 5 5
a b a bF M F M c c= − + − − 2 2 24 4 1 .5 5 4a c b= − + = −
2 2 2 ,a b c+ = 2 5 ,4c = 2 2 11, .4a b= = 2 24 1.x y− =
1 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , ),C x y D x y E x y l 1
1
( ).yy x mx m
= −−
1 1( , )C x y 2 2( , )D x y
1
1
2 2
( )
4 1
yy x mx m
x y
= − −
− =
①
②
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1( 2 4 ) 8 4 2 0.x xm m y x my x y m x mx m− + − + − − + − =
2
12 1 0.m x m− + ≠
2 2 2
1 1 1
1 2 2
1
2 .2 1
x mx m xx x m x m
− += − − + 1 0,x ≠
2
1 1
2 2
1
2 .2 1
x m m xx m x m
− += − − +
1 1( , )C x y 3 3( , )E x y
1
1
2 2
1( )1
4 1.
yy x mx m
x y
= − −
− =
2
21 1
1 1
3 2
2 1
1
1 12 ( ) 2 .1 1 2( ) 2 1
x x m x m xm mx x m mx mm
− + − += − = − − +− +
2 3x x= x
b
y
a
x 2
2
2
+
有一个公共点 T，且椭圆的离心率 e= .
(Ⅰ)求椭圆方程；
(Ⅱ)设 F 、F 分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段 AF 的中点，求证：∠ATM=∠AF T.
本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考察解析几何的基本思
想方法和综合解题能力。
解：（I）过点 、 的直线方程为
因为由题意得 有惟一解，
即 有惟一解，
所以 （ ），
故
又因为 即 所以
从而得 故所求的椭圆方程为
（II）由（I）得 故 从而
由 解得 所以
因为 又 得
2
3
1 2 1 1
A B 1.2
x y+ =
2 2
2 2 1,x y
a b
+ =
1 12y x= − +
2 2 2 2 2 2 2 21( ) 04b a x a x a a b+ − + − =
2 2 2 2( 4 4) 0a b a b∆ = + − = 0ab ≠
2 24 4 0.a b+ − =
3 ,2e =
2 2
2
3 ,4
a b
a
− = 2 24 .a b=
2 2 12, ,2a b= =
2
22 1.2
x y+ =
6 ,2c = 1 2
6 6( ,0), ( ,0),2 2F F− 6(1 ,0).4M +
2
22 1,2
x y+ =
1 2 1,x x= = 1(1, ).2T
1 12y x= − +
1
6tan 1,2AFT∠ = − 1tan ,2TAM∠ = 2
2tan ,
6
TMF∠ =
因此
60．(重庆卷)已知一列椭圆 Cn:x2+ =1. 0＜bn＜1,n=1,2. .
若椭圆 C 上有一点 Pn 使 Pn 到右准线 ln 的距离 d.是｜PnFn｜与
｜PnCn｜的等差中项，其中 Fn、Cn 分别是 Cn 的左、右焦点.
（Ⅰ）试证：bn≤ (n≥1);
（Ⅱ）取 bn＝ ，并用 SA 表示 PnFnGn 的面积，试证：S1＜S1 且 Sn＜Sn+3 (n≥3).
证 ： （ I ） 由 题 设 及 椭 圆 的 几 何 性 质 有 ， 故 。 设
，则右准线方程为 .因此，由题意 应满足
即 解之得： 。即 从而对任意
（ II ） 高 点 的 坐 标 为 ， 则 由 及 椭 圆 方 程 易 知
因 ，故
的 面 积 为 ， 从 而 。 令
。 由 得 两 根 从 而 易 知 函 数
在 内是增函数。而在 内是减函数。
现在由题设取 则 是增数列。又易
知 。故由前已证，知 ，且
2 1
26tan 11
6
ATM
−
∠ =
+
6 1,2
= − 1 .ATM AFT∠ = ∠
2
2
nb
y
2
3
2
32
+
+
n
n ∆
2 nd { } { } 2n n n nP F P G= + = 4nd =
21nG b= − 12n
n
l x G
= nd 1 11 1.n
n n
dG G
− ≤ ≤ +
1 1 1
,
0 1
n
n
G
G
− ≤
< <
1 12 nG≤ < 21 1 1.2 nb≤ − < 31. 2nn b≥ ≤
P ( ),n nx y 1nd =
2 2 2 2 21 11, (1 ) (1 )(1 ( 1) )n n n n n
n n
x y b x GG G
= − = − = − − − 2 2
2
1 ( 2 2 1).n n n
n
G G GG
= − + + − { }n nF G 2 nG=
n n nP F G { }4n nS G y= 2 3 3 12 2 1 12n n n n nS G G G G = − + + − < <
3 2( ) 2 2 1f c c c c= − + + − ' 2( ) 6 2 2 0.f c c c= − + + = 1 13 .6
±
( )f c 1 1 13,2 6
+
1 13 ,16
+
2 3 ,2n
nb n
+= +
2 1 11 1 ,2 2n n n
nC b Cn n
+= − = = −+ +
2 3
3 1 13 4
4 6 5C C
+= < < = 1 2S S< 1 (n 3)n nS S +> ≥
61．(重庆卷)如图，对每个正整数 ， 是抛物线 上的点，过焦点 的直
线 角抛物线于另一点 。
（Ⅰ）试证： ；
（Ⅱ）取 ，并记 为抛物线上分别以 与 为切点的
两 条 切 线 的 交 点 。 试 证 ：
；
证明：（Ⅰ）对任意固定的 因为焦点 F（0,1）,所以可设
直线 的方程为 将它与抛物线方程 联立得: ,由一
元二次方程根与系数的关系得 ．
（ Ⅱ ） 对 任 意 固 定 的 利 用 导 数 知 识 易 得 抛 物 线 在 处 的 切 线 的 斜 率
故 在 处的切线的方程为： ，……①
类似地，可求得 在 处的切线的方程为： ，……②
由②－①得： ， ……③
将③代入①并注意 得交点 的坐标为 ．
由两点间的距离公式得：
．
现在 ，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：
62．（上海春）学校科技小组在计算机上模拟航天器变
n ( , )n n nA x y 2 4x y= F
nFA ( , )n n nB s t
4( 1)n nx s n= − ≥
2n
nx = nC nA nB
1
1 2 2 2 1n n
nFC FC FC − ++ + + = − +
1,n ≥
n nA B 1 ,ny k x− = 2 4x y= 2 4 4 0nx k x− − =
4( 1)n nx s n= − ≥
1,n ≥ 2 4x y= nA
,2n
n
A
xk = 2 4x y= nA ( )2
n
n n
xy y x x− = −
2 4x y= nB ( )2
n
n n
sy t x s− = −
2 2 2 2
2 2 4 4
n n n n n n
n n
x s x s x sy t x
− −− = − + = −
2 2
,2 4 2
n n n n n nx s x s x sx x
− − += ∴ =
4n nx s = − nC ( , 1)2
n nx s+ −
2 2
2 2( ) 4 22 4 4
n n n n
n
x s x sFC
+= + = + +
2
2
2
4 2 22 ( ) ,4 2 2
nn n
n
n n n
xx x FCx x x
= + + = + ⇒ = +
2n
nx =
1 2 1 2
1 2
2 1 1
2
1 1 1 1( ) 2( )2
1 1 1 1(2 2 2 ) 2( ) (2 1) (2 2 ) 2 2 1.2 2 2 2
n n
n
n n n n n
n
FC FC FC x x x x x x
− − +
+ + + = + + + + + + +
= + + + + + + + = − + − = − +
轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为 ，变轨
（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以 轴为对称轴、 为
顶点的抛物线的实线部分，降落点为 . 观测点 同时跟踪航天器.
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在 轴上方时，观测点 测得离航天器的距离分别为多少时，应
向航天器发出变轨指令？
解：（1）设曲线方程为 ， 由题意可知， . .
曲线方程为 .
（2）设变轨点为 ，根据题意可知
得
，
或 （不合题意，舍去）.
.
得 或 （不合题意，舍去）. 点的坐标为 ，
.
答：当观测点 测得 距离分别为 时，应向航天器发出变轨指令.
125100
22
=+ yx
y
7
64,0M
)0,8(D )0,6()0,4( BA 、
x BA、
7
642 += axy 7
64640 +⋅= a 7
1−=∴ a
∴
7
64
7
1 2 +−= xy
),( yxC
+−=
=+
)2(,7
64
7
1
)1(,125100
2
22
xy
yx
03674 2 =−− yy
4=y 4
9−=y
4=∴ y
6=x 6−=x ∴ C )4,6(
4||,52|| == BCAC
BA、 BCAC、 452 、
