全国高考2008文科数学历年试题分类汇编
安徽省固镇县第二中学
The second middle school in anhui province guzhen
2015 全国高考文科数学历年试题
分类汇编
年级组： 高一年级
学 科: 数 学
姓 名： 徐 严
时 间：2017 年 4 月 10 日
全国高考文科数学历年试题分类汇编
（一）小题分类
1.集合
（2015 卷 1）已知集合 ，则集合 中的元素个数为（ ）
（A） 5 （B）4 （C）3 （D）2
（2015 卷 2）已知集合 A=
A.(-1，3) B.(-1，0 ) C.(0，2) D.(2，3)
（2014 卷 1）已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
（2014 卷 2）已知集合 A=﹛-2,0,2﹜,B=﹛ | - - ﹜，则 （ ）
(A) （B） （C） (D)
（2013 卷 1）已知集合 ， ,则 （ ）
（A）｛0｝ （B）｛-1，,0｝ （C）{0，1} （D）｛-1，,0，1}
（2013 卷 2）已知集合 M＝{x|－3＜x＜1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，则 M∩N＝( )．
A．{－2，－1,0,1} B．{－3，－2，－1,0} C．{－2，－1,0} D．{－3，－2，－1}
（2012 卷 1）已知集合 A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1
3| 2x x <
= ∅
3| 2x x = <
{ } { }1 2 3 2 3 4A B= =，， ， ，， ， =A B
{ }1 2 3,4，， { }1 2 3，， { }2 3 4，， { }13 4，，
z ( 1) 1z i i− = + z =
2 i− − 2 i− + 2 i− 2 i+
=+=+
+
aii
ai 则,31
2
iiz ++=
1
1 =|| z
2
1
2
2
2
3
1 3
1
i
i
+ =−
1 2i+ 1 2i− + 1-2i 1-2i−
2
1 2
(1 )
i
i
+ =−
11 2 i− − 11 2 i− + 11 2 i+ 11 2 i−
2
1 i+
2 2 2
5
1 2
i
i
=−
2 i− 1 2i− 2 i− + 1 2i− +
（2010 卷 1）已知复数 z＝ 3＋i
(1－ 3i)2
，z是 z 的共轭复数，则 z·z＝( )
A.1
4 B.1
2 C．1 D．2
（2009 卷 1）复数
A． B． C． (D)
（2008 卷 1）已知复数 ，则 （ ）
A. 2 B. －2 C. 2i D. －2i
（2016 卷 1）设 的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a=
（A）－3（B）－2（C）2（D）3
（2016 卷 2）设复数 z 满足 ，则 =
（A） （B） （C） （D）
（2017II 卷 2）（1+i）（2+i）=
A.1-i B. 1+3i C. 3+i D.3+3i
（2017 卷 3）下列各式的运算结果为纯虚数的是
A．i(1+i)2 B．i2(1-i) C．(1+i)2 D．i(1+i)
3.向量
（2015 卷 1）已知点 ，向量 ，则向量 ( )
（A） （B） （C） （D）
（2015 卷 2）已知向量 ( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
（2014 卷 1）设 分别为 的三边 的中点，则 ( )
A. B. C. D.
（2014 卷 2）设向量 , 满足 ， ，则 （ ）
（A）1 （B） 2 （C）3 (D) 5
（2017 卷 2）设非零向量 ， 满足 则
A ⊥ B. C. ∥ D.
i 3 iz + = − z
1 2i− + 1 2i− 3 2i+ 3 2i−
3 2
2 3
i
i
+ =−
1 1− i i−
1z i= −
2
1
z
z
=−
(1 2i)( i)a+ +
(0,1), (3,2)A B ( 4, 3)AC = − − BC =
( 7, 4)− − (7,4) ( 1,4)− (1,4)
=•+−=−= ababa ）则（2),2,1(),1,0(
FED ,, ABC∆ ABCABC ,, =+ FCEB
AD AD2
1 BC2
1 BC
a b |a+b|= 10 |a-b|= 6 a b· =
a b + = -b ba a
a b = ba a b > ba
（2013卷1）已知两个单位向量 ， 的夹角为 ， ，若 ，则 _____。
（2013 卷 2）已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则 ＝__________.
（2012 卷 1）已知向量 a,b 夹角为 45° ，且|a|=1，|2a－b|= 10，则|b|=
（2012 卷 2）☆ 中， 边的高为 ，若 ， ， ， ， ，则
（A） （B） （C） （D）
（2011 卷 1）已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直，则
k=_____________．
（2009 卷 1）已知 ，向量 与 垂直，则实数 的值为( )
A． B． C． D．
（2008 卷 1）已知平面向量 =（1，－3）， =（4，－2）， 与 垂直，则 是（ ）
A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
（2016 卷 1）设向量 a=(x，x+1)，b=(1，2)，且 a b，则 x=.
（2016 卷 2）已知向量 a=(m,4)，b=(3,-2)，且 a∥b，则 m=___________.
（2017 卷 1）已知向量 a=（–1，2），b=（m，1）.若向量 a+b 与 a 垂直，则 m=______________.
4.框图
（2015 卷 1）执行右面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 （ ）
（A） （B） （C）7 （D）8
ABC∆ AB CD CB a= CA b= 0a b⋅ = | | 1a = | | 2b =
AD =
1 1
3 3a b− 2 2
3 3a b− 3 3
5 5a b− 4 4
5 5a b−
a b 60 (1 )= + −c ta t b 0⋅ =b c t =
AE BD⋅
( ) ( )3,2 , 1,0= − = −a b λ +a b 2−a b λ
1
7
− 1
7
1
6
− 1
6
a b a bλ + a λ
⊥
0.01t = n =
5 6
（2015 卷 2）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行
该程序框图，若输入的 a,b 分别为 14,18，则输出的 a 为
是 否
是 否
A. 0 B. 2 C. 4 D.14
（2014 卷 1）执行右面的程序框图，若输入的 分别为 1,2,3，则输出的 ( )
A. B. C. D.
（2014 卷 1） （2014 卷 2）
, ,a b k M =
20
3
7
2
16
5
15
8
开始
输入 a,b
a>b
b=b-aa=a-b
输出 a
结束
a ≠ b
（2014 卷 2）执行右面的程序框图，如果如果输入的 x，t 均为 2，则输出的 S=
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
（2013 卷 1）执行右面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 属于
（A） （B） （C） （ D ）
（2013 卷 1） （2013 卷 2）
（2013 卷 2）执行下面的程序框图，如果输入的 N＝4，那么输出的 S＝( )．
A． B．
C． D．
（2012 卷 1）如果执行右边的程序框图，输入正整数 N(N≥2)和实数 a1,a2,…,aN，输出 A,B，则
（A）A+B 为 a1,a2,…,aN 的和
（B）A＋B
2 为 a1,a2,…,aN 的算术平均数
（C）A 和 B 分别是 a1,a2,…,aN 中最大的数和最小的数
（D）A 和 B 分别是 a1,a2,…,aN 中最小的数和最大的数
[ 1,3]t ∈ − S
[ 3,4]− [ 5,2]− [ 4,3]− [ 2,5]−
开始
输入 t
t<1
s=3t s = 4t－t2
输出 s
结束
是 否
1 1 11+ 2 3 4
+ + 1 1 11+ 2 3 2 4 3 2
+ +× × ×
1 1 1 11+ 2 3 4 5
+ + + 1 1 1 11+ 2 3 2 4 3 2 5 4 3 2
+ + +× × × × × ×
（2011 卷 1）
（2011 卷 1）执行右面的程序框图，如果输入的 N 是 6，那么输出的 p 是
A．120 B． 720
C． 1440 D． 5040
（2010 卷 1）如果执行如图的框图，输入 N＝5，则输出的数等于( )
A.5
4 B.4
5 C.6
5 D.5
6
开始
A=x
B=x
x＞
否
输出 A，B
是
输 入 N ，
a1,a2,…,aN
结束
x x B. x > c C. c > b D. b > c
（2016 卷 1）执行右面的程序框图，如果输入的 n=1,则输出 的值满足
（A）
（B）
（C）
（D）
2, 0.5x h= − =
0, 1,x y= = ,x y
2y x=
3y x=
4y x=
5y x=
是
否
开始
输 入
a,b,c
x=a
b>
x
输出 x
结束
x=b
x=c
否
是
（2016 卷 2）中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框
图．执行该程序框图，若输入的 a 为 2，2，5，则输出的 s=
（A）7 （B）12 （C）17 （D）34
10．如图是为了求出满足 的最小偶数 n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入
A．A>1000 和 n=n+1 B．A>1000 和 n=n+2
C．A≤1000 和 n=n+1 D．A≤1000 和 n=n+2
（2017 卷 2）执行右面的程序框图，如果输入的 a=-1，则输出的 S=
A.2 B.3 C.4 D.5
3 2 1000n n− >
5.函数
（2015 卷 1）设函数 的图像与 的图像关于直线 对称，且
，则 ( )
（A） （B） （C） （D）
（2015 卷 2）如图，长方形的边 AB=2，BC=1,O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC,CD,与 DA 运动，记
x
P
O
D C
BA
( )y f x= 2x ay += y x= −
( 2) ( 4) 1f f− + − = a =
1− 1 2 4
的图像大致为则数两点距离之和表示为函到将动点 )(),(,, xfxfBAPxBOP =∠
（2015 卷 2）已知函数 。
（2014 卷 1）设函数 的定义域为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论中正确
的是
A. 是偶函数 B. 是奇函数
B. C. 是奇函数 D. 是奇函数
（2014 卷 2）?已知函数 的图像关于直线 =2 对称， =3，则 _______.
（2013 卷 1）函数 在 的图像大致为（ ）
（2012 卷 2）☆函数 的反函数为
（A） （B）
（C） （D）
（2011 卷 1）下列函数中，既是偶函数又在 单调递增的函数是
A． B． C． D．
（2011 卷 1）已知函数 的周期为 2，当 时 ，那么函数 的图象与函
数 的图象的交点共有
A．10 个 B．9 个 C．8 个 D．1 个
（2011 卷 1）在下列区间中，函数 的零点所在的区间为
( )f x x )0(f =− )1(f
π πO
1
y
x π πO
1
y
x π πO
1
y
x π πO
1
y
x
1( 1)y x x= + ≥ −
)0(12 ≥−= xxy )1(12 ≥−= xxy
)0(12 ≥+= xxy )1(12 ≥+= xxy
=−= axaxxf ），则的图像过点（ 4,1-2)( 3
)(),( xgxf R )(xf )(xg
)()( xgxf )(|)(| xgxf
|)(|)( xgxf |)()(| xgxf
( ) (1 cos )sinf x x x= − [ , ]π π−
(0, )+∞
3y x= | | 1y x= + 2 1y x= − + | |2 xy −=
( )y f x= [ 1,1]x∈ − 2( )f x x= ( )y f x=
| lg |y x=
( ) 4 3xf x e x= + −
A． B． C． D．
（2010 卷 1）如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 P0( 2，－ 2)，角速度为
1，那么点 P 到 x 轴的距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为( )
（2010 卷 1）设偶函数 f(x)满足 f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝( )
A．{x|x<－2 或 x>4} B．{x|x<0 或 x>4}
C．{x|x<0 或 x>6} D．{x|x<－2 或 x>2}
（2010 卷 1）?已知函数 f(x)＝Error!若 a，b，c 互不相等，且 f(a)＝f(b)＝f(c)，则 abc 的取值范围是( )
(1,12)
A．(1,10) B．(5,6) C．(10,12) D．(20,24)
（2009 卷 1）用 min{a，b，c}表示 a，b，c 三个数中的最小值．设 (x 0)，
则 的最大值为
A．4 B．5 C．6 D．7
（2016 卷 1）若 a>b>0，0cb
（2016 卷 1）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品 A 需要甲材料
1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时，生产
一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元。学.科网该企业现有甲材料 150kg，乙
材料 90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元。
（2016 卷 2）下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y=10lgx 的定义域和值域相同的是
（A）y=x（B）y=lgx（C）y=2x（D）
（2016 卷 2）已知函数 f(x)（x∈R）满足 f(x)=f(2-x)，若函数 y=|x2-2x-3| 与 y=f(x) 图像的交点为（x1,y1），
(x2,y2)，…，（xm,ym），则
(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m
（2017 卷 2）.函数 的单调递增区间是
A.(- ,-2) B. (- ,-1) C.(1, + ) D. (4, + )
1y
x
=
1
=
m
i
i
x
=
∑
1( ,0)4
− 1(0, )4
1 1( , )4 2
1 3( , )2 4
( ) min{2 , 2,10 }xf x x x= + − ≥
( )f x
2( ) ln( 2 8)f x x x= − −
∞ ∞ ∞ ∞
（2017 卷 2）.已知函数 是定义在 R 上的奇函数，当 x 时， ,
则
6.导数
（2015 卷 1）已知函数 的图像在点 的处的切线过点 ，则 .
（2015 卷 2）已知曲线 在点（1,1）处的切线与曲线 。
（2014 卷 1）已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则 的取值 范围
是
（A） （B） （C） （D）
（2014 卷 2）若函数 在区间（1，+ ）单调递增，则 k 的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
（2013 卷 2）已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．
A．∃x0∈R，f(x0)＝0
B．函数 y＝f(x)的图像是中心对称图形
C．若 x0 是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间(－∞，x0)单调递减
D．若 x0 是 f(x)的极值点，则 f′(x0)＝0
（2012 卷 1）设函数 f(x)=
(x + 1)2 + sinx
x2 + 1 的最大值为 M，最小值为 m，则 M+m=____
（2012 卷 1）曲线 y=x(3lnx+1)在点（1,1）处的切线方程为________
（2010 卷 1）曲线 y＝ x
x＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
（2009 卷 1）曲线 在点（0，1）处的切线方程为________________．
（2008 卷 1）设 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
（2016 卷 1）函数 y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为
（A） （B）
( )f x ( )- ，0∈ ∞ ( ) 3 22= +f x x x
( )2 =f
( ) 3 1f x ax x= + + ( )( )1, 1f ( )2,7 a =
xxy ln+= =+++= axaaxy 相切，则1)2(2
3 2( ) 3 1f x ax x= − + ( )f x 0x 0 0x > a
( )2,+∞ ( )1,+∞ ( ), 2−∞ − ( ), 1−∞ −
( ) lnf x kx x= − ∞
( ], 2−∞ − ( ], 1−∞ − [ )2,+∞ [ )1,+∞
2 1xy xe x= + +
( ) lnf x x x= 0'( ) 2f x = 0x =
2e e ln 2
2 ln 2
（C） （D）
（2017I 卷 9）已知函数 ，则
A． 在（0,2）单调递增 B． 在（0,2）单调递减
C．y= 的图像关于直线 x=1 对称 D．y= 的图像关于点（1,0）对称
（2017 卷 1）．曲线 在点（1，2）处的切线方程为_________________________.
7.三角函数与解三角形
（2015 卷 1）函数 的部分图像如图所示，则 的单调递减区间为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（2015 卷 2）已知三点 ,则 外接圆的圆心到原点的距离为
A. B. C. D.
（2014 卷 1）若 ，则
A. B. C. D.
（2014 卷 1）在函数① ，② ，③ ,④ 中，最
小正周期为 的所有函数为
A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③
（2014 卷 1）如图，为测量山高 ，选择 和另一座山的山顶 为测量观测点.从 点测得 点的
仰角 ， 点的仰角 以及 ；从 点测得 .已知山高
，则山高 ________ .
( ) ln ln(2 )f x x x= + −
( )f x ( )f x
( )f x ( )f x
2 1y x x
= +
( ) cos( )f x xω ϕ= + ( )f x
1 3( , ),4 4k k k Zπ π− + ∈
1 3(2 ,2 ),4 4k k k Zπ π− + ∈
1 3( , ),4 4k k k Z− + ∈
1 3(2 ,2 ),4 4k k k Z− + ∈
)32()30(),01( ，，，， CBA ABC∆
3
5
3
21
3
52
3
4
0tan >α
0sin >α 0cos >α 02sin >α 02cos >α
|2|cos xy = |cos| xy = )62cos(
π+= xy )42tan(
π−= xy
π
MN A C A M
60MAN∠ = ° C 45CAB∠ = ° 75MAC∠ = ° C 60MCA∠ = °
100BC m= MN = m
（2014 卷 2）函数 —2 的最大值为_________.
（2013卷1）设当 时，函数 取得最大值，则 ______.
（2013 卷 1）已知锐角 的内角 的对边分别为 ， ， ，
，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（2013 卷 2）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b＝2， ， ，则△ABC 的面
积为( )．
A． B． C． D．
（2013 卷 2）已知 sin 2α＝ ，则 ＝( )．
A． B． C． D．
（2013 卷 2）函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图像向右平移 个单位后，与函数 y＝
的图像重合，则 φ＝__________.
（2012 卷 1）已知 ω>0，0<φ<π，直线 x=π
4和 x=
5π
4 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴，则
φ=
（A）π
4 （B）π
3 （C）π
2 （D）
3π
4
（2012 卷 2）☆若函数 是偶函数，则
（A） （B） （C） （D）
（2012 卷 2）☆已知 为第二象限角， ，则
)sin()( ϕ+= xxf ϕsin xcos
( ) sin ( [0,2 ])3
xf x
ϕ ϕ π+= ∈ =ϕ
2
π
3
2π
2
3π
3
5π
α
3sin 5
α =
sin 2α =
x θ= ( ) sin 2cosf x x x= − cosθ =
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 223cos cos2 0A A+ = 7a =
6c = b =
10 9 8 5
π
6B = π
4C =
2 3+2 3+1 2 3 2− 3 1−
2
3
2 πcos 4
α +
1
6
1
3
1
2
2
3
π
2
πsin 2 3x +
（A） （B） （C） （D）
（2017 卷 1）已知 ,tan α=2，则 =__________。
（2012 卷 2）☆当函数 取得最大值时， ___________.
（2011 卷 1）已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 上，则 =
A． B． C． D．
（2011 卷 1）设函数 ，则
A． 在 单调递增，其图象关于直线 对称
B． 在 单调递增，其图象关于直线 对称
C． 在 单调递减，其图象关于直线 对称
D． 在 单调递减，其图象关于直线 对称
（2011 卷 1） 中， ，则 的面积为_________．
（2010 卷 1）若 cosα＝－4
5，α 是第三象限的角，则
1＋tanα
2
1－tanα
2
＝( )
A．－
1
2 B.
1
2 C．2 D．－2
（2010 卷 1）在△ABC 中，D 为边 BC 上一点，BD＝1
2CD，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC 的面积为 3－
3，则∠BAC＝________.
（2009 卷 1）已知函数 的图像如图所示，则 ________________．
25
24−
25
12−
25
12
25
24
sin 3 cos (0 2 )y x x x π= − ≤ < x =
π(0 )2a∈ ， πcos ( )4
α −
θ 2y x= cos2θ
4
5
− 3
5
− 3
5
4
5
( ) sin(2 ) cos(2 )4 4f x x x
π π= + + +
( )y f x= (0, )2
π
4x
π=
( )y f x= (0, )2
π
2x
π=
( )y f x= (0, )2
π
4x
π=
( )y f x= (0, )2
π
2x
π=
ABC∆ 120 , 7, 5B AC AB= ° = = ABC∆
( ) 2sin( )f x xω φ= + 7
12f
π =
（2016 卷 1）已知 θ 是第四象限角，且 sin(θ+ )= ，则 tan(θ– )=.
（2008 卷 1）函数 的最小值和最大值分别为（ ）
A. －3，1 B. －2，2 C. －3， D. －2，
（2016 卷 1）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 ， ， ，则 b=
（A） （B） （C）2（D）3
（2016 卷 1）若将函数 y=2sin (2x+
π
6 )的图像向右平移1
4个周期后，所得图像对应的函数为
（A） y=2sin(2x+
π
4 ) （B）y=2sin(2x+
π
3 ) （C）y=2sin(2x–
π
4 ) （D）y=2sin(2x–
π
3 )
（2016 卷 1）若函数 在 单调递增，则 a 的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
（2016 卷 2）函数 的部分图像如图所示，则
（A） （B）
（C） （D）
（2016 卷 2）函数 的最大值为
（A）4（B）5 （C）6 （D）7
（2017II 卷 3）.函数 的最小正周期为
A.4 B.2 C. D.
= sin( )y A xω ϕ+
2sin(2 )6y x
π= − 2sin(2 )3y x
π= −
2sin(2 + )6y x
π= 2sin(2 + )3y x
π=
π( ) cos2 6cos( )2f x x x= + −
π
4
3
5
π
4
( ) cos2 2sinf x x x= +
3
2
3
2
5a = 2c = 2cos 3A =
2 3
1( ) sin 2 sin3f x x - x a x= + ( ),−∞ +∞
[ ]1,1− 11, 3
−
1 1,3 3
−
11, 3
− −
( )f x =
π
s i n（ 2x + ）
3
π π π
2
π
（2017 卷 8）..函数 的部分图像大致为
（2017 卷 1）．△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c。已知 ，
a=2，c= ，则 C=
A． B． C． D．
（2017 卷 2）．函数 的最大值为
（2017 卷 2）△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 2bcosB=acosC+ccosA,则 B=
（2016 卷 2）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ， ，a=1，则
b=____________.
8.不等式
（2015 卷 1）若 x,y 满足约束条件 ,则 z=3x+y 的最大值为 ．
（2015 卷 1）已知函数 ，且 ，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
4cos 5A = 5cos 13C =
sin2
1 cos
xy x
= −
sin sin (sin cos ) 0B A C C+ − =
2
π
12
π
6
π
4
π
3
( ) cos sin=2 +f x x x
2 0
2 1 0
2 2 0
x y
x y
x y
+ − ≤
− + ≤
− + ≥
1
2
2 2, 1( )
log ( 1), 1
x xf x
x x
− − ≤= − + >
( ) 3f a = − (6 )f a− =
7
4
− 5
4
− 3
4
− 1
4
−
（2015 卷 2）若 x,y 满足约束条件 。
（2015 卷 2）函数
A. B. C. D.
（2014 卷 1）设 ， 满足约束条件 且 的最小值为 7，则
（A）-5 （B）3 （C）-5 或 3 （D）5 或-3
（2014 卷 1）设函数 则使得 成立的 的取值范围是________.
（2014 卷 2）设 x，y 满足的约束条件 ，则 的最大值为
（A）8 （B）7 （C）2 （D）
（2013 卷 1）设 满足约束条件 ，则 的最大值为______。
（2013 卷 1）已知函数 ，若 ，则 的取值范围是（ ）
（A） （B） (C) (D)
（2013 卷 2）设 x，y 满足约束条件 则 z＝2x－3y 的最小值是( )．
A．－7 B．－6 C．－5 D．－3
（2013 卷 2）设 a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( )．
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
（2013 卷 2）若存在正数 x 使 2x(x－a)＜1 成立，则 a 的取值范围是( )．
A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
（2012 卷 1）已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1)，B(1,3)，顶点 C 在第一象限，若点（x，y）在△ABC 内
部，则 z=－x+y 的取值范围是
（A）(1－ 3，2) （B）(0，2) （C）( 3－1，2) （D）(0，1+ 3)
（2012 卷 1）当 0+−+=
)1,3
1( ),1()3
1,( +∞−∞ )3
1,3
1(− ),3
1()3
1,( +∞−−∞
x y ,
1,
x y a
x y
+ ≥
− ≤ − z x ay= + a =
( )
1
1
3
, 1,
, 1,
xe x
f x
x x
− <=
≥
( ) 2f x ≤ x
1 0
1 0
3 3 0
x y
x y
x y
+ − ≥
− − ≤
− + ≥
2z x y= +
,x y 1 3,
1 0
x
x y
≤ ≤
− ≤ − ≤ 2z x y= −
2 2 , 0,( )
ln( 1), 0
x x xf x
x x
− + ≤= + >
| ( ) |f x ax≥ a
( ,0]−∞ ( ,1]−∞ [ 2,1]− [ 2,0]−
1 0,
1 0,
3,
x y
x y
x
− + ≥
+ − ≥
≤
（2012 卷 2）☆已知 ， ， ，则
（A） （B） （C） （D）
（2012 卷 2）☆若 满足约束条件 ，则 的最小值为____________.
（2011 卷 1）若变量 x，y 满足约束条件 ，则 的最小值是_________．
（2009 卷 1）设 满足 则
A．有最小值 2，最大值 3 B．有最小值 2，无最大值
C．有最大值 3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值
点 P（x，y）在直线 4x + 3y = 0 上，且满足－14≤x－y≤7，则点 P 到坐标原点距离的取值范围是（ ）
A. [0，5] B. [0，10] C. [5，10] D. [5，15]
（2008 卷 1）已知 ，则使得 都成立的 取值范围是（ ）
A.（0， ） B. （0， ） C. （0， ） D. （0， ）
（2016 卷 2） 若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x-2y 的最小值为__________
（2017 卷 1）设 x，y 满足约束条件 则 z=x+y 的最大值为
A．0 B．1 C．2 D．3
（2017 卷 2）设 x、y 满足约束条件 。则 的最小值是
A. -15 B.-9 C. 1 D 9
9.概率统计
（2015 卷 1）如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从
lnx π= 5log 2y = 1
2z e
−
=
x y z< < z x y< < z y x< < y z x< <
,x y
1 0
3 0
3 3 0
x y
x y
x y
− + ≥
+ − ≤
+ − ≥ 3z x y= −
1 0
3 0
3 0
x y
x y
x
− + ≥
+ − ≥
− ≤
3 2 9
6 9
x y
x y
≤ + ≤
≤ − ≤ 2z x y= +
,x y
2 4,
1,
2 2,
x y
x y
x y
+ ≥
− ≥
− ≤
z x y= +
1 2 3 0a a a> > > 2(1 ) 1ia x− < ( 1,2,3)i = x
1
1
a 1
2
a 3
1
a 3
2
a
3 3,
1,
0,
x y
x y
y
+ ≤
− ≥
≥
2 +3 3 0
2 3 3 0
3 0
x y
x y
y
− ≤
− + ≥
+ ≥
2z x y= +
中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（2015 卷 2）根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结
论中不正确的是
A.逐年比较，2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著；
B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效；
C.2006 年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势；
D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。
（2014 卷 1）将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为
________.
（2014 卷 2）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种，则
他们选择相同颜色运动服的概率为_______.
（2013 卷 1）从 中任取 个不同的数，则取出的 个数之差的绝对值为 的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（2013 卷 2）从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数，其和为 5 的概率是__________．
（2012 卷 1）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn 不全相等）的散点
图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线 y=
1
2x+1 上，则这组样本数据的样本相关系数为
（A）－1 （B）0 （C）
1
2 （D）1
（2012 卷 2）☆ 位选手依次演讲，其中选手甲不再第一个也不再最后一个演讲，则不同的演讲次序共有
（A） 种 （B） 种 （C） 种 （D） 种
（2011 卷 1）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性
相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
A． B．
C． D．
（2010 卷 1）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1 000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需
6
240 360 480 720
1,2,3,4,5
3
10
1
5
1
10
1
20
1,2,3,4 2 2 2
1
2
1
3
1
4
1
6
1
3
1
2
2
3
3
4
再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为( )
A．100 B．200 C．300 D．400
（2016 卷 1）为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，学.科.网余
下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是
（A） （B） （C） （D）
（2016 卷 2）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒.若一名行人来到该
路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为学.科网
（A） （B） （C） （D）
（2017 卷 2）为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作试验田.这 n 块地的亩产量（单位：kg）分别
为 x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是
A．x1，x2，…，xn 的平均数 B．x1，x2，…，xn 的标准差
C．x1，x2，…，xn 的最大值 D．x1，x2，…，xn 的中位数
（2017 卷 1）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部
分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A． B． C． D．
（2017 卷 2）.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师
说，你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙
的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以
上信息，则
A.乙可以知道两人的成绩 B.丁可能知道两人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩
（2017 卷 2）从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一
张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
7
10
5
8
3
8
3
10
1
3
1
2
1
3
5
6
1
4
π
8
1
2
π
4
A. B. C. D.
（2010 卷 1）设 y＝f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有 0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算
积分 f(x)dx.先产生两组(每组 N 个)区间[0,1]上的均匀随机数 x1，x2，…，xN 和 y1，y2，…，yN，由此
得到 N 个点(xi，yi)(i＝1,2，…，N)．再数出其中满足 yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的点数 N1，那么由随机模拟
方法可得积分 f(x)dx 的近似值为________．
（2009 卷 1）对变量 有观测数据（ ， ）（ ），得散点图 1；对变量 有观测数据
（ ， ）（i=1，2，…，10），得散点图 2. 由这两个散点图可以判断
A．变量 x 与 y 正相关，u 与 v 正相关 B．变量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相关
C．变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关 D．变量 x 与 y 负相关，u 与 v 负相关
（2008 卷 1）从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：
甲品种：271 273 280 285 287 292 294 295 301 303 303 307
308 310 314 319 323 325 328 331 334 337 352
乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318
320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356
由以上数据设计了如下茎叶图
根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：
①
；
②
1
10
1
5
3
10
2
5
1
0
∫
1
0
∫
,x y ix iy 1,2, ,10i = ⋅⋅⋅ ,u v
iu iv
.
（2016 卷 2）有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙
的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字
不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是________________.
10.立体几何
（2015 卷 1）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下
问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几
何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥
的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米
堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立
方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（ ）
（A） 斛 （B） 斛 （C） 斛 （D） 斛
（2015 卷 1）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的
正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为 ，则 ( )
（A）
（B）
（C）
（D）
（2015 卷 2）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部
分体积的比值为
A. B. C. D.
（ 2015 卷 2 ） 已 知 A,B 是 球 O 的 球 面 上 两 点 ，
若三棱锥 O-ABC
体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为
A. 36π B. 64π C. 144π D.256π
（2014 卷 1）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的 是一个几何体的三视图，则这个几何体
是（ ）A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱
（2014 卷 2）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm），图中粗线画出
的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削
得到，则切 削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值
为
14 22 36 66
r
16 20π+ r =
1
2
4
8
8
1
7
1
6
1
5
1
为该球面上动点，CAOB ,90°=∠
（A） （B） （C） (D)
（2014 卷 2）正三棱柱 的底面边长为 2，侧棱长为 ，则三棱锥 的体
积为
（A）3 （B） （C）1 （D）
（2013 卷 1）某几何体的三视图如图所示，则该几何的体积为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（2013 卷 1）已知 是球 的直径 上一点， ， 平面 ， 为垂足， 截球
所得截面的面积为 ，则球 的表面积为_______。
（2013 卷 2）已知正四棱锥 O－ABCD 的体积为 ，底面边长为 ，则以 O 为球心，OA 为半径的
球的表面积为__________．
（2013 卷 2）一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O－xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，
(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．
（2012 卷 1）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积
为
（A）6
（B）9
（C）12
（D）18
17
27
5
9
10
27
1
3
1 1 1ABC A B C− 3 1 1 1A A B C−
3
2
3
2
16 8π+ 8 8π+
16 16π+ 8 16π+
侧视图
俯视图
44
4
2
2
2
4
2
主视图
H O AB : 1: 2AH HB = AB ⊥ α H α
O π O
3 2
2 3
（2012 卷 1）平面α截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面α的距离为 2，则此球的体积为
（A） 6π （B）4 3π （C）4 6π （D）6 3π
（2012 卷 2）☆已知正四棱柱 中 ， ，
， 为 的中点，则直线 与平面 的距离为
（A） （B） （C） （D）
（2011 卷 1）在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图
如右图所示，则相应的侧视图可以为
（2011 卷 1）
（2011 卷 1）已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面
上．若圆锥底面面积是这个球面面积的 ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体
积较大者的高的比值为________．
（2010 卷 1）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，
顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2 B.7
3πa2 C.11
3 πa2 D．5πa2
（2010 卷 1）正视图为一个三角形的几何体可以是________．(写出三种)
1 1 1 1ABCD A B C D− 2AB =
1 2 2CC = E 1CC 1AC BED
2 3 2 1
3
16
（2009 卷 1 ）如图，正方体 的棱线长为 1 ，线段 上有两个动点 E ，F ，且
，则下列结论中错误的是
A． B．EF∥平面 ABCD
C．三棱锥 的体积为定值 D．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等
（2009 卷 1）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位： ）为
A． B． C． D．
（2016 卷 1）如图，学.科网某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该
几何体的体积是28π
3 ，则它的表面积是
（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π
（ 2016 卷 1 ） 平 面 过 正 文 体 ABCD—A1B1C1D1 的 顶 点 A , ，
，则 m，n 所成角的正弦值为
（A） （B） （C） （D）
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1B D
1
2EF =
AC BE⊥
A BEF−
2cm
48 12 2+ 48 24 2+ 36 12 2+ 36 24 2+
α 1 1// CB Dα 平面 ABCD mα = 平面
1 1ABB A nα = 平面
3
2
2
2
3
3
1
3
（2017 卷 6）如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则
在这四个正方体中，直接 AB 与平面 MNQ 不平行的是
（2017 卷 1）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径。若平面 SCA⊥平面
SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 S-ABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为________。
（2017 卷 2）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平
面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A.90 B.63 C.42 D.36
（2008 卷 1）已知平面α⊥平面β，α∩β= l，点 A∈α，A l，直线 AB∥l，直线 AC⊥l，直线 m∥
α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）
A. AB∥m B. AC⊥m C. AB∥β D. AC⊥β
（2008 卷 1）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，
且该六棱柱的高为 ，底面周长为 3，那么这个球的体积为 _________
（2016 卷 2）体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
（A） （B） （C） （D）
（2016 卷 2）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面
积为
12π 32
3
π 8π 4π
π π π π
∉
3
（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π
（2017 卷 2）长方体的长、宽、高分别为 3,2,1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为
11.平面几何与圆锥曲线
（2015 卷 1）已知椭圆 E 的中心为坐标原点，离心率为 ，E 的右焦点与抛物线 的焦点重合，
是 C 的准线与 E 的两个交点，则
（A） （B） （C） （D）
（2015 卷 1）已知 是双曲线 的右焦点，P 是 C 左支上一点， ，当 周
长最小时，该三角形的面积为 ．
（2015 卷 2）已知双曲线过点 ，且渐近线方程为 ，则该双曲线的标准方程为 。
（2016 卷 1）设直线 y=x+2a 与圆 C：x2+y2-2ay-2=0 相交于 A，B 两点，若 ，则圆 C 的面积
为 。
（2014 卷 1）已知双曲线 的离心率为 2，则
A. 2 B. C. D. 1
（2014 卷 1）已知抛物线 C： 的焦点为 , 是 C 上一点， ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
（2014 卷 2）设 F 为抛物线 的焦点，过 F 且倾斜角为 的直线交于 C 于 两点，
则 =
（A） （B）6 （C）12 （D）
（2014 卷 2）设点 ，若在圆 上存在点 N，使得 ,则 的取值范
围是
1
2
2: 8C y x=
,A B AB =
3 6 9 12
F
2
2: 18
yC x − = ( )0,6 6A APF∆
），（ 3,4 xy 2
1±=
)0(13
2
2
2
>=− ay
a
x =a
2
6
2
5
xy =2 F ( )yxA 00, xFA 04
5= =x0
2: y =3xC °30 ,A B
AB
30
3 7 3
0(x ,1)M 2 2: x y =1O + °45OMN∠ = 0x
（A） （B） （C） （D）
（2013 卷 1）已知双曲线 的离心率为 ，则 的渐近线方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（2013 卷 1） 为坐标原点， 为抛物线 的焦点， 为 上一点，若 ，则
的面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（2013 卷 2）设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与 C 交于 A，B 两点．若|AF|＝3|BF|，则 l
的方程为( )．
A．y＝x－1 或 y＝－x＋1 B．y＝ 或 y＝
C．y＝ 或 y＝ D．y＝ 或 y＝
（2013 卷 2）设椭圆C： (a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是 C 上的点，PF2⊥F1F2，∠
PF1F2＝30°，则 C 的离心率为( )．
A． B． C． D．
（2012 卷 1）设 F1、F2 是椭圆 E：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P 为直线 x=
3a
2 上一点，△F1PF2 是
底角为 30°的等腰三角形，则 E 的离心率为（ ）
（A）
1
2 （B）
2
3 （C）
3
4 （D）
4
5
（2012 卷 1）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A，B 两点，
|AB|=4 3，则 C 的实轴长为
（A） 2 （B）2 2 （C）4 （D）8
（2012 卷 2）☆椭圆的中心在原点，焦距为 ，一条准线为 ，则该椭圆的方程为
（A） （B）
（C） （D）
已知 、 为双曲线 的左、右焦点，点 在 上， ，则
（A） （B） （C） （D）
4 4x = −
2 2
116 12
x y+ =
2 2
112 8
x y+ =
2 2
18 4
x y+ =
2 2
112 4
x y+ =
1F 2F 2 2: 2C x y− = P C 1 2| | 2 | |PF PF= 1 2cos F PF∠ =
1
4
3
5
3
4
4
5
[ ]1,1− 1 1
2 2
− ， 2, 2 −
2 2
2 2
−
，
2 2
2 2: 1x yC a b
− = ( 0, 0)a b> > 5
2 C
1
4y x= ± 1
3y x= ± 1
2y x= ± y x= ±
O F 2: 4 2C y x= P C | | 4 2PF =
POF∆
2 2 2 2 3 4
3 ( 1)3 x − 3 ( 1)3 x− −
3 ( 1)3 x − 3 ( 1)3 x− − 2 ( 1)2 x − 2 ( 1)2 x− −
2 2
2 2 =1x y
a b
+
3
6
1
3
1
2
3
3
（2012 卷 2）☆正方形 的边长为 ，点 在边 上，点 在边 上， 。动点
从 出发沿直线向 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点 第一次碰到
时， 与正方形的边碰撞的次数为
（A） （B） （C） （D）
（2011 卷 1）椭圆 的离心率为
A． B． C． D．
（2011 卷 1）已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点， ，
P 为 C 的准线上一点，则 的面积为
A．18 B．24 C． 36 D． 48
（2017 卷 1）．已知F 是双曲线 C：x2- =1 的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标
是(1,3).则△APF 的面积为
A． B． C． D．
（2017 卷 1）设A、B 是椭圆 C： 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足∠AMB=120°，则
m 的取值范围是
A． B．
C． D．
（2017 卷 2）过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F，且斜率为 的直线交 C 于点 M（M 在 x 轴上方），l 为 C 的准
线，点 N 在 l 上且 MN⊥l,则 M 到直线 NF 的距离为
A. B. C. D.
（2010 卷 1）已知双曲线 E 的中心为原点，F(3,0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，
且 AB 的中点为 N(－12，－15)，则 E 的方程为( )
ABCD 1 E AB F BC
1
3AE BF= =
P
E F P E
P
8 6 4 3
2 2
116 8
x y+ =
1
3
1
2
3
3
2
2
| | 12AB =
ABP∆
2
3
y
1
3
1
2
2
3
3
2
2 2
13
x y
m
+ =
(0,1] [9, )+∞ (0, 3] [9, )+∞
(0,1] [4, )+∞ (0, 3] [4, )+∞
3
5 2 2 2 3 3 3
A.
x2
3 －
y2
6 ＝1 B.
x2
4 －
y2
5 ＝1 C.
x2
6 －
y2
3 ＝1 D.
x2
5 －
y2
4 ＝1
（ 2010 卷 1 ） 过 点 A(4,1) 的 圆 C 与 直 线 x － y － 1 ＝ 0 相 切 于 点 B(2 ， 1) ， 则 圆 C 的 方 程 为
________________．
（2009 卷 1）已知圆 ： + =1，圆 与圆 关于直线 对称，则圆 的方程
为
A． + =1 B． + =1
C． + =1 D． + =1
（2009 卷 1）已知抛物线 C 的顶点坐标为原点，焦点在 x 轴上，直线 y=x 与抛物线 C 交于 A，B 两点，
若 为 AB 的中点，则抛物线 C 的方程为________________．
（2008 卷 1）双曲线 的焦距为（ ）
A. 3 B. 4 C. 3 D. 4
（2008 卷 1）过椭圆 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A、B 两点，O 为坐标原点，
则△OAB 的面积为______________
（2016 卷 2）设 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，曲线 y= （k>0）与 C 交于点 P，PF⊥x 轴，则 k=
（A） （B）1 （C） （D）2
（2016 卷 2） 圆 x2+y2−2x−8y+13=0 的圆心到直线 ax+y−1=0 的距离为 1，则 a=
（A）− （B）− （C） （D）2
（2017 卷 2）若 ＞1，则双曲线 的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
12.数列
（2015 卷 1）已知 是公差为 1 的等差数列， 为 的前 项和，若 ，则 （ ）
k
x
1
2
3
2
4
3
3
4 3
1C 2( 1)x + 2( 1)y − 2C 1C 1 0x y− − = 2C
2( 2)x + 2( 2)y − 2( 2)x − 2( 2)y +
2( 2)x + 2( 2)y + 2( 2)x − 2( 2)y −
(2,2)P
2 2
110 2
x y− =
2 2 3 3
2 2
15 4
x y+ =
a
x y
a
=
2
2
2 - 1
2 +∞（ ， ） 2 2（ ，） 2（1， ） 1 2（，）
{ }na nS { }na n 8 44S S= 10a =
（A） （B） （C） （D）
（2015 卷 1）数列 中 为 的前 n 项和，若 ，则 .
（2015 卷 2）设 若 （ ）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
（2015 卷 2）已知等比数列 （ ）
A. 2 B. 1 C. D.
（2014 卷 2）等差数列 的公差为 2，若 ， ， 成等比数列，则 的前 n 项和 =
（A） （B） （C） (D)
（2014 卷 2）数列 满足 = ， =2，则 =_________.
（2013 卷 1）设首项为 ，公比为 的等比数列 的前 项和为 ，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（2012 卷 1）数列{an}满足 an+1＋(－1)n an ＝2n－1，则{an}的前 60 项和为
（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830
（2012 卷 1）等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3+3S2=0，则公比 q=_______
（2012 卷 2）☆已知数列 的前 项和为 ， ， ，,则
（A） （B） （C） （D）
（2009 卷 1）等比数列 的前 n 项和为 ，已知 ， ，则
A．38 B．20 C．10 D．9
（2009 卷 1）等比数列 的公比 ， 已知 =1， ，则{ }的前 4 项和
=________________．
（2008 卷 1）已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则 a5 = ____________
（2008 卷 1）设等比数列 的公比 ，前 n 项和为 ，则 （ ）
A. 2 B. 4 C. D.
{ }na 1+na na−1
1
2a 1a
{ }na n nS 1 1a = 12n nS a += nS =
12 −n
1)2
3( −n 1)3
2( −n
12
1
−n
17
2
19
2 10 12
{ }na 1 12, 2 ,n n na a a S+= = { }na 126nS = n =
{ } 项和，的前是等差数列 naS nn ==++ 5531 ,3 Saaa 则
{ } =−== 24531 ),1(4,4
1 aaaaaan 则满足
2
1
8
1
{ }na 2a 4a 8a { }na ns
( )1n n + ( )1n n − ( )1
2
n n + ( )1
2
n n −
1 2
3 { }na n nS
2 1n nS a= − 3 2n nS a= − 4 3n nS a= − 3 2n nS a= −
{ }na nS 2
1 1 0m m ma a a− ++ − = 2 1 38mS − = m =
{ }na 0q > 2a 2 1 6n n na a a+ ++ = na 4S
{ }na 2q = nS 4
2
S
a
=
15
2
17
2
（2016 卷 1）直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的1
4，则该椭圆的
离心率为
（A）1
3（B）1
2（C）2
3（D）3
4
13.逻辑与推理
（2014 卷 1）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 、 、 三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 城市；
乙说：我没去过 城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为________.
（2014 卷 2）函数 在 处导数存在，若 是 的极值点，则
（A） 是 的充分必要条件
（B） 是 的充分条件，但不是 的必要条件
（C） 是 的必要条件，但不是 的充分条件
(D) 既不是 的充分条件，也不是 的必要条件
（2013 卷 1）已知命题 ， ；命题 ， ，则下列命题中为真命题的是：
（ ）
（A） （B） （C） （D）
（2012 卷 2）☆ 的展开式中 的系数为____________.
（2010 卷 1）已知命题 p1：函数 y＝2x－2－x 在 R 为增函数．
p2：函数 y＝2x＋2－x 在 R 为减函数．
则在命题 q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈 p1)∨p2 和 q4：p1∧(綈 p2)中，真命题是( )
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
（2009 卷 1）有四个关于三角函数的命题：
： x R， + = : ，
: x ， :
其中假命题的是
8)2
1( xx + 2x
A B C
B
C
( )f x 0x=x ( )0 0p f 0: :x q x x′ = =： ( )f x
p q
p q q
p q q
p q q
:p x R∀ ∈ 2 3x x< :q x R∃ ∈ 3 21x x= −
p q∧ p q¬ ∧ p q∧ ¬ p q¬ ∧ ¬
1p ∃ ∈ 2sin 2
x 2cos 2
x 1
2 2p ,x y R∃ ∈ sin( ) sin sinx y x y− = −
3p ∀ ∈ [ ]0,π 1 cos2 sin2
x x
− = 4p sin cos 2x y x y
π= ⇒ + =
A． ， B． ， C． ， D． ，
（2008 卷 1）平面向量 ， 共线的充要条件是（ ）
A. ， 方向相同 B. ， 两向量中至少有一个为零向量
C. ， D. 存在不全为零的实数 ， ，
(二)大题分类
1.三角函数
（2015 卷 1）已知 分别是 内角 的对边， .
（I）若 ，求
（II）若 ，且 求 的面积.
（2015 卷 2）
（Ⅰ）求 （Ⅱ）若
（2014 卷 2）四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补，AB=1，BC=3, CD=DA=2.
(I)求 C 和 BD;
(II)求四边形 ABCD 的面积。
（2012 卷 1）已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，c = 3asinC－ccosA
(1) 求 A
(2) 若 a=2，△ABC 的面积为 3，求 b,c
（2012 卷 2）☆ 中，内角 、 、 成等差数列，其对边 、 、 满足 ，求 。
（2009 卷 1）如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的 A，B，C 三点进行测量，已
知 ， ，于 A 处测得水深 ，于 B 处测得水深 ，于 C 处测得
水深 ，求∠DEF 的余弦值．
ABC∆ A B C a b c 22 3b ac= A
1p 4p 2p 4p 1p 3p 2p 3p
a b
a b a b
Rλ∃ ∈ b aλ=
1
λ 2
λ 1 2 0a bλ λ+ =
, ,a b c ABC∆ , ,A B C 2sin 2sin sinB A C=
a b= cos ;B
90B = 2,a = ABC∆
.2, DCBDBACADBCDABC =∠∆ 平分上的点，是中，
;sin
sin
C
B
∠
∠
.,60 BBAC ∠°=∠ 求
50AB m= 120BC m= 80AD m= 200BE m=
110CF m=
（2008 卷 1）如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD 交 AC 于 E，
AB=2。
（1）求 cos∠CBE 的值；（2）求 AE。
2.数列
（2014 卷 1）已知 是递增的等差数列， ， 是方程 的根。
（I）求 的通项公式；
（II）求数列 的前 项和.
（2013卷1）已知等差数列 的前 项和 满足 ， 。
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前 项和。
（2013 卷 2）已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且 a1，a11，a13 成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求 a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
（2012 卷 2）☆已知数列 中， ，前 项和 。
（Ⅰ）求 ， ；
（Ⅱ）求 的通项公式。
（2011 卷 1）已知等比数列 中， ，公比 ．
（I） 为 的前 n 项和，证明：
（II）设 ，求数列 的通项公式．
{ }na 1 1a = n
2
3n n
nS a
+=
2a 3a
{ }na
{ }na 2a 4a 2 5 6 0x x− + =
{ }na
2
n
n
a n
{ }na n nS 3 0S = 5 5S = −
{ }na
2 1 2 1
1{ }
n na a− +
n
{ }na 1
1
3a = 1
3q =
nS { }na 1
2
n
n
aS
−=
3 1 3 2 3log log logn nb a a a= + + + { }nb
E
D
C
BA
（2010 卷 1）设数列{an}满足 a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令 bn＝nan，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
（2016 卷 1）已知 是公差为 3 的等差数列，数列 满足 ，.
（I）求 的通项公式；
（II）求 的前 n 项和.
（2016 卷 2）等差数列{ }中，
（I） 求{ }的通项公式；
(II)设 =[ ]，求数列{ }的前 10 项和，其中[x]表示不超过 x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2
（2017 卷 1）（12 分）
记 Sn 为等比数列 的前 n 项和，已知 S2=2，S3=-6.
（1）求 的通项公式；
（2）求 Sn，并判断 Sn+1，Sn，Sn+2 是否成等差数列。
（2017 卷 2）（12 分）
已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn，a1=-1，b1=1，a3+b2=2.
（1） 若 a3+b2=5，求{bn}的通项公式；
（2） 若 T=21，求 S1
3.立体几何
（2015 卷 1）如图四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 交点， ，
na 3 4 5 74, 6a a a a+ = + =
na
nb na nb
{ }na { }nb 1 2 1 1
1= = 3 n n n nb b a b b nb+ ++ =1， ，
{ }na
{ }nb
{ }na
{ }na
BE ABCD⊥ 平面
（I）证明：平面 平面 ；
（II）若 ， 三棱锥 的体积为 ，求该三棱锥的侧面积.
（2015 卷 2）如图,长方体 中 AB=16,BC=10, ,点 E,F 分别在 上,
过点 E,F 的平面 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；
（II）求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值.
（2014卷1）如图，三棱柱 中，侧面 为菱形， 的中点为 ，且 平面
.
（1）证明：
（2）若 , 求三棱柱 的高.
（2014 卷 2）如图，四棱锥 p—ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA⊥
面 ABCD，E 为 PD 的中点。
（I）证明：PB//平面 AEC;
(II)设 AP=1，AD= ,三棱锥
P-ABD 的体积 V= ，求 A 到平面 PBD 的距
离。
（2013 卷 1 ）如图，三棱柱 中，
， ， 。
F
E
D1 C1
B1
A1
D C
BA
3
4
3
AEC ⊥ BED
120ABC∠ = ,AE EC⊥ E ACD− 6
3
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 8AA = 1 1 1 1,A B D C
1 1 4.A E D F= = α
α
111 CBAABC − CCBB 11 CB1 O ⊥AO
CCBB 11
;1 ABCB ⊥
1ABAC ⊥ ,1,601 ==∠ BCCBB
111 CBAABC −
1 1 1ABC A B C−
CA CB= 1AB AA= 1 60BAA∠ =
C1
B1
A A1
B
C
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若 ， ，求三棱柱 的体积。
（2013 卷 2）如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D，E 分别是 AB，BB1 的中点．
（1）证明：BC1∥平面 A1CD;
(2)设 AA1=AC=CB=2，AB= ,求三棱锥 C-A1DE 的体积。
（2012 卷 1）如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=
1
2AA1，D 是棱 AA1
的中点
(Ｉ)证明：平面 BDC1⊥平面 BDC
（Ⅱ）平面 BDC1 分此棱柱为两部分，求这两部分体 积的比。
（2012 卷 2）☆如图，四棱锥 中，底面 为菱
形 ，
底面 ， ， ， 是 上的一点，
。
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）设二面角 为 ，求 与平面 所成角的
大小。
（ 2011 卷 1 ） 如 图 ， 四 棱 锥 中 ， 底 面 ABCD 为 平 行 四 边 形 ， ，
， 底面 ABCD．
（I）证明： ；
（II）设 PD=AD=1，求棱锥 D-PBC 的高．
P ABCD− ABCD
PA ⊥ ABCD 2 2AC = 2PA = E PC
2PE EC=
PC ⊥ BED
A PB C− − 90 PD PBC
1AB AC⊥
2AB CB= = 1 6AC = 1 1 1ABC A B C−
2 2
P ABCD− 60DAB∠ = °
2AB AD= PD ⊥
PA BD⊥
E
C
B D
A
P
（2010 卷 1）如图，已知四棱锥 P－ABCD 的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为 H，PH
是四棱锥的高，E 为 AD 中点．
(1)证明：PE⊥BC；
(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值．
（2009 卷 1）如图，在三棱锥 中，△PAB 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º．
（Ⅰ）证明：AB⊥PC；（Ⅱ）若 ，且平面 ⊥平面 ，求三棱锥 体积．
（2008 卷 1）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视
图在下面画出（单位：cm）。
（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的
体积；（3）在所给直观图中连结 ，证明： ∥面 EFG。
P ABC−
4PC = PAC PBC P ABC−
'BC 'BC
G
E
F
C'
B'
D'
C
A B
D
（2016 卷 1）如图，在已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投
影为点 E，连接 PE 并延长交 AB 于点 G.
（I）证明 G 是 AB 的中点；
（II）在答题卡第（18）题图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F（说明作法及理由），并求四面体 PDEF
的体积．
（2016 卷 2）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E、F 分别在 AD，CD 上，AE=CF，EF
交 BD 于点 H，将 沿 EF 折到 的位置.
（I）证明： ；
(II)若 ,求五棱锥 体
积.
（2017 卷 1）（12 分）
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB//CD，且
（1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD；
（2）若 PA=PD=AB=DC, ,且四棱锥 P-ABCD 的体积为 ，求该四棱锥的侧面积.
DEF 'D EF
'AC HD⊥
55, 6, , ' 2 24AB AC AE OD= = = = ' ABCEFD −
90BAP CDP∠ = ∠ =
90APD∠ =
8
3
（2017 卷 2）(12 分)
如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC= AD, ∠BAD=∠
ABC=90°。
（1） 证明：直线 BC∥平面 PAD;
（2） 若△PAD 面积为 2 ，求四棱锥 P-ABCD 的体积。
4.概率统计
（2015 卷 1）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售
量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的宣传费 和年销售量 数
据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
1
2
7
ix ( )1,2, ,8iy i =
（I）根据散点图判断， 与 ，哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方
程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；
（III）已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 ，根据（II）的结果回答下列问题：
（i）当年宣传费 =49 时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（ii）当年宣传费 为何值时，年利润的预报值最大？
（2015 卷 2）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从 A, B 两地区分别随机调查了 40 个用户,根据用户
对其产品的满意度的评分,得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频率
分布表.
B 地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100
]
y a bx= + y c d x= +
0.2z y x= −
x
x
频 数 2 8 14 10 6
（I）在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均
值及分散程度,（不要求计算出具体值,给出结论即可）
（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：
满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.
（2014 卷 1）从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如
下频数分布表：
质量指标值分组 [75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125)
频数 6 26 38 22 8
（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至
少要占全部产品的80%”的规定？
（2014 卷 2）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，学科网随机访问了 50 位市民。根据这 50
位市民
（I）分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数；
（II）分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分做于 90 的概率；
（III）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙学科网两部门的评价。
（2013 卷 1）为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为 药， 药）的疗效，随机地选取 位患者
服用 药， 位患者服用 药，这 位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：
），试验的观测结果如下：
服用 药的 位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用 药的 位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
（3）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
（2013 卷 2）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t 该产品获利润 500 元，未售出的产
品，每 1 t 亏损 300 元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销
商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品．以 X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需
求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将 T 表示为 X 的函数；
(2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率．
A B 20
A 20 B 40
h
A 20
B 20
（2012 卷 1）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售。如
果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。
（Ⅰ）若花店一天购进 17 枝玫瑰花，求当天的利润 y(单位：元)关于当天需求量 n（单位：枝，n∈N）
的函数解析式。
（Ⅱ）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
(1)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花，求这 100 天的日利润（单位：元）的平均数；
(2)若花店一天购进 17 枝玫瑰花，以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利
润不少于 75 元的概率。
（2012 卷 2）☆乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在 平前，一方连续发球 次后，对方再连
续发球 次，依次轮换。每次发球，胜方得 分，负方得 分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方
得 分的概率为 ，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。
（Ⅰ）求开始第 次发球时，甲、乙的比分为 比 的概率；
（Ⅱ）求开始第 次发球时，甲得分领先的概率。
（2011 卷 1）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等
于 102 的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方）做试验，各生产了 100 件这种产品，
并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：
A 配方的频数分布表
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数 8 20 42 22 8
B 配方的频数分布表
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数 4 12 42 32 10
（I）分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；
（II）已知用 B 配方生产的一种产品利润 y（单位：元）与其质量指标值 t 的关系式为
估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率，并求用 B 配方生产的上述 100 件产品平均一件的
利润．
（2010 卷 1）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了
500 位老年人，结果如下：
性别
是否需要志愿者
男 女
需要 40 30
10 2
2 1 0
1 0.6
4 1 2
5
2, 94
2,94 102
4, 102
t
y t
t
− <
= ≤ <
≥
不需要 160 270
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
(2)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年
人的比例？说明理由．
附：
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
K2＝ n(ad－bc)2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
（2009 卷 1）某工厂有工人 1000 名，其中 250 名工人参加过短期培训（称为 A 类工人），另外 750
名工人参加过长期培训（称为 B 类工人）.现用分层抽样方法（按 A 类，B 类分二层）从该工厂的工人中
共抽查 100 名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）．
（Ⅰ）A 类工人中和 B 类工人各抽查多少工人？
（Ⅱ）从 A 类工人中抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2．
表 1：
生产能力分组
人数 4 8 5 3
表 2：
生产能力分组
人数 6 y 36 18
（i）先确定 ，再在答题纸上完成下列频率分布直方图．就生产能力而言，A 类工人中个体间的差
异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）
（ii）分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同
一组中的数据用该区间的中点值作代表）．
[ )100,110 [ )110,120 [ )120,130 [ )130,140 [ )140,150
x
[ )110,120 [ )120,130 [ )130,140 [ )140,150
,x y
（2008 卷 1）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校 6 名学
生进行问卷调查，6 人得分情况如下：5，6，7，8，9，10。把这 6 名学生的得分看成一个总体。
（1）求该总体的平均数；（2）用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名，他们的得分组成一个样本。
求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率。
（2016 卷 1）某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器
时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500
元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内
更换的易损零件数，得下面柱状图：
记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单
位：元）， 表示购机的同时购买的易损零件数.
（I）若 =19，求 y 与 x 的函数解析式；
（II）若要求学科&网“需更换的易损零件数不大于 ”的频率不小于 0.5，求 的最小值；
（III）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个易损零件，分别计
算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 19
个还是 20 个易损零件？
（2016 卷 2）某险种的基本保费为 a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度
的保费与其上年度出险次数的关联如下：
随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
（I）记 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。求 P(A)的估计值；
(II)记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160％”.
求 P(B)的估计值；
（III）求续保人本年度的平均保费估计值.
（2017 卷 1）（12 分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，
并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的 16 个零件的尺寸：
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8
零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16
n
n
n n
零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得 ， ，
， ，其中 为抽取的第 个零件的尺寸，
．
（1）求 的相关系数 ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过
程的进行而系统地变大或变小（若 ，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大
或变小）．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这一
天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在 之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺
寸的均值与标准差．（精确到 0.01）
附：样本 的相关系数 ， ．
（2017 卷 2）（12 分）
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱
水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：
（1） 记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg”，估计 A 的概率；
（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
16
1
1 9.9716 i
i
x x
=
= =∑ 16 16
2 2 2
1 1
1 1( ) ( 16 ) 0.21216 16i i
i i
s x x x x
= =
= − = − ≈∑ ∑
16
2
1
( 8.5) 18.439
i
i
=
− ≈∑ 16
1
( )( 8.5) 2.78i
i
x x i
=
− − = −∑ ix i
1,2, ,16i = ⋅⋅⋅
( , )ix i ( 1,2, ,16)i = ⋅⋅⋅ r
| | 0.25r <
( 3 , 3 )x s x s− +
( 3 , 3 )x s x s− +
( , )i ix y ( 1,2, , )i n= ⋅⋅⋅ 1
2 2
1 1
( )( )
( ) ( )
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
=
= =
− −
=
− −
∑
∑ ∑ 0.008 0.09≈
（3） 根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较。
附：
P（ ） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
5.圆锥曲线
（2015 卷 1）已知过点 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C： 交于 M，N 两点.
（I）求 k 的取值范围；
（II）若 ，其中 O 为坐标原点，求 .
（2015 卷 2）已知椭圆 的离心率为 ,点 在 C 上.
（I）求 C 的方程；
（II）直线 l 不经过原点 O,且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 中点为 M,证明：直线 OM 的
斜率与直线 l 的斜率乘积为定值.
（2014 卷 1）已知点 ，圆 : ，过点 的动直线 与圆 交于 两点，线段
的中点为 ， 为坐标原点.
（1）求 的轨迹方程；
（2）当 时，求 的方程及 的面积
（2014 卷 2）设 F1 ，F2 分别是椭圆 C： （a>b>0）的左，右焦点，M 是 C 上一点且 MF2
与 x 轴垂直，直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N。
（I）若直线 MN 的斜率为 ，求 C 的离心率；
（II）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 且|MN|=5|F1N|，求 a，b。
（2013 卷 1）已知圆 ，圆 ，动圆 与圆 外切并且与圆
内切，圆心 的轨迹为曲线 。
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ） 是与圆 ，圆 都相切的一条直线， 与曲线 交于 ， 两点，当圆 的半径最长是，求 。
12
2
2
2
=+
b
y
a
x
4
3
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
( )1,0A ( ) ( )2 22 3 1x y− + − =
12OM ON⋅ = MN
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > 2
2
( )2, 2
)2,2(P C 0822 =−+ yyx P l C BA, AB
M O
M
OMOP = l POM∆
2 2:( 1) 1M x y+ + = 2 2:( 1) 9N x y− + = P M N
P C
C
l P M l C A B P | |AB
（2013 卷 2）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 在 y 轴上截得线段长为
.
(1)求圆心 P 的轨迹方程；
(2)若 P 点到直线 y＝x 的距离为 ，求圆 P 的方程．
（2012 卷 1）设抛物线 C：x2=2py(p>0)的焦点为 F，准线为 l，A 为 C 上一点，已知以 F 为圆心，FA 为
半径的圆 F 交 l 于 B，D 两点。
（I）若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2，求 p 的值及圆 F 的方程；
（II）若 A，B，F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到
m，n 距离的比值。
（2012 卷 2）☆已知抛物线 与圆 有一个公共点 ，且
在点 处两曲线的切线为同一直线 .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）设 、 是异于 且与 及 都相切的两条直线， 、 的交点为 ，求 到 的距离。
（2011 卷 1）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 与坐标轴的交点都在圆 C 上．
（I）求圆 C 的方程；
（II）若圆 C 与直线 交于 A，B 两点，且 求 a 的值．
（2010 卷 1）设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过 F1 斜率为 1 的直线 l 与 E
相交于 A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
(1)求 E 的离心率；
(2)设点 P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求 E 的方程．
（2009 卷 1）已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 的原点，焦点在 轴上，它的一个项点到两个焦点的
距离分别是 7 和 1． （Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若 为椭圆 的动点， 为过 且垂直于 轴的直线上的点， ，（e 为椭圆 C 的离心
率），求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
（2008 卷 1）已知 m∈R，直线 l： 和圆 C：
。
（1）求直线 l 斜率的取值范围；
（2）直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段圆弧？为什么？
（2016 卷 1）在直角坐标系 中，直线 l:y=t(t≠0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C： 于点
P，M 关于点 P 的对称点为 N，连结 ON 并延长交 C 于点 H.
2: ( 1)C y x= +
2 2 21:( 1) ( ) ( 0)2M x y r r− + − = >
A
A l
r
m n l C M m n D D l
2 2
2 3
2
2
2 6 1y x x= − +
0x y a− + = ,OA OB⊥
xOy x
C
P C M P x OP eOM
=
M
2( 1) 4mx m y m− + =
2 2 8 4 16 0x y x y+ − + + =
1
2
xOy 2 2 ( 0)y px p= >
（I）求 ；
（II）除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由.
（2016 卷 2）已知 A 是椭圆 E： 的左顶点，斜率为 的直线交 E 于 A，M 两点，点 N
在 E 上， .
（I）当 时，求 的面积
(II)当 2 时，证明： .
（2017 卷 1）（12 分）
设 A，B 为曲线 C：y= 上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4.
（1）求直线 AB 的斜率；
（2）设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM BM，求直线 AB 的方程.
（2017 卷 2）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点
P 满足
（1） 求点 P 的轨迹方程；
（2） 设点 在直线 x=-3 上，且 .证明过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.
6.函数与导数
（2015 卷 1）设函数 .
（I）讨论 的导函数 的零点的个数；
（II）证明：当 时 .
（2015 卷 2）已知 .
（I）讨论 的单调性；
（II）当 有最大值,且最大值大于 时,求 a 的取值范围
（2014 卷 1）设函数 ，zxxk 曲线 处的切线
2 2
14 3
x y+ = ( )0k k＞
MA NA⊥
AM AN= AMN
AM AN= 3 2k< <
OH
ON
2
4
x
⊥
( ) 2 lnxf x e a x= −
( )f x ( )f x′
0a > ( ) 22 lnf x a a a
≥ +
( ) ( )ln 1f x x a x= + −
( )f x
( )f x 2 2a −
( ) ( )21ln 12
af x a x x bx a
−= + − ≠ ( ) ( )( )1 1y f x f= 在点 ，
斜率为 0
（1）求 b;
（2）若存在 使得 ，求 a 的取值范围。
（2014 卷 2）已知函数 f（x）= ，曲线 在点（0,2）处的切线与 轴交
点的横坐标为-2.
（I） 求 a；
（II）证明：当时，曲线 与直线 只有一个交点。
（2013 卷 1）已知函数 ，曲线 在点 处切线方程为
。
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）讨论 的单调性，并求 的极大值。
（2013 卷 2）已知函数 f(x)＝x2e－x.
(1)求 f(x)的极小值和极大值；
(2)当曲线 y＝f(x)的切线 l 的斜率为负数时，求 l 在 x 轴上截距的取值范围．
（2012 卷 1）设函数 f(x)= ex－ax－2
(Ⅰ)求 f(x)的单调区间
(Ⅱ)若 a=1，k 为整数，且当 x>0 时，(x－k) f´(x)+x+1>0，求 k 的最大值
（2012 卷 2）☆已知函数
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）设 有两个极值点 ，若过两点 ， 的直线 与 轴的交点在曲线
上，求 的值。
（2011 卷 1）已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
（I）求 a，b 的值；
（II）证明：当 x>0，且 时， ．
（2010 卷 1）设函数 f(x)＝ex－1－x－ax2.
(1)若 a＝0，求 f(x)的单调区间；
(2)若当 x≥0 时 f(x)≥0，求 a 的取值范围．
（2009 卷 1）已知函数 .
axxxxf ++= 23
3
1)(
( )f x
( )f x 21, xx ))(,( 11 xfx ))(,( 22 xfx l x
)(xfy = a
0 1,x ≥ ( )0 1
af x a
< −
3 23 2x x ax− + + ( )y f x= x
( )y f x= 2y kx= −
2( ) ( ) 4xf x e ax b x x= + − − ( )y f x= (0, (0))f
4 4y x= +
,a b
( )f x ( )f x
ln( ) 1
a x bf x x x
= ++ ( )y f x= (1, (1))f 2 3 0x y+ − =
1x ≠ ln( ) 1
xf x x
> −
3 2 2 3( ) 3 9f x x ax a x a= − − +
（Ⅰ）设 ，求函数 的极值；
（2）若 ，且当 时， 12a 恒成立，试确定 的取值范围．
（2008 卷 1）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为
。
（1）求 的解析式；（2）证明：曲线 上任一点处的切线与直线 和直线 所围
成的三角形面积为定值，并求此定值。
（2016 卷 1）已知函数 .
(I)讨论 的单调性；
(II)若 有两个零点，求 的取值范围.
（2016 卷 2）已知函数 .
（I）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(II)若当 时， ，求 的取值范围.
（2017 卷 1）（12 分）
已知函数 =ex(ex﹣a)﹣a2x．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ，求 a 的取值范围．
（2017 卷 2）（12 分）
设函数 f(x)=(1-x2)ex.
（1）讨论 f(x)的单调性；
（2）当 x 0 时，f(x) ax+1，求 a 的取值范围.
7.选做题
（1）几何证明选讲
（2015 卷 1）如图 AB 是 O 直径，AC 是 O 切线，BC 交 O 与点 E.
( ) ( 1)ln ( 1)f x x x a x= + − −
4a = ( )y f x= ( )1, (1)f
( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x ＞ a
1a = ( )f x
1
4a > [ ]1,4x a∈ )(' xf ≤ a
( ) bf x ax x
= − ( )y f x= (2, (2))f
7 4 12 0x y− − =
( )y f x= ( )y f x= 0x = y x=
a
( )f x
( )f x
( ) 0f x ≥
≥ ≤
（I）若 D 为 AC 中点，证明：DE 是 O 切线；
（II）若 ，求 的大小.
（2015 卷 2）如图 O 是等腰三角形 ABC 内一点, ⊙O 与△ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的高
交于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点.
（I）证明 ∥ .
（II）若 AG 等于⊙O 的半径,且 ,求四边形 EDCF 的面积.
（2014 卷 1）如图，四边形 是 的内接四边形， 的延长线与 的延长线交于点 ，且
.
（I）证明： ；
（II）设 不是 的直径， 的中点为 ，zxxk 且 ，学科网证明： 为等边
三角形.
（2014 卷 2）如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与⊙O 相交于点 B，C，PC=2PA，
D 为 PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点 E，证明:
（I）BE=EC；
3OA CE= ACB∠
EF BC
2 3AE MN= =
ABCD O AB DC E
CB CE=
D E∠ = ∠
AD O AD M MB MC= ABC∆
NM
G
O
FE
D CB
A
（II）AD·DE=2PB2。
（2013 卷 1）如图，直线 为圆的切线，切点为 ，点 在圆上， 的角平分线 交圆于
点 ， 垂直 交圆于点 。
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）设圆的半径为 ， ，延长 交 于点 ，求 外接圆的半径。
（2013 卷 2）如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线 CD 于点 D，E，F 分别为弦 AB 与弦 AC
上的点，且 BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C 四点共圆．
（2012 卷 1）如图，D，E 分别为△ABC 边 AB，AC 的中点，直线 DE 交△ABC 的外接圆于 F，G 两点，
若 CF//AB，证明：
(Ⅰ)CD=BC；
FG D
E
A
B C
AB B C ABC∠ BE
E DB BE D
DB DC=
1 3BC = CE AB F BCF∆
A
B
C
D
E
F
(Ⅱ)△BCD∽△GBD
（2011 卷 1）如图，D，E 分别为 的边 AB， AC
上的点，且不与 的顶点重合．已知 AE 的长 为 m，
AC 的长为 n，AD，AB 的长是关于 x 的方程
的两个根．
（I）证明：C，B，D，E 四点共圆；
（II）若 ，且 求 C，B， D，E
所在圆的半径．
（2010 卷 1）如图，已知圆上的弧 ＝ ，过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点，证明：
(1)∠ACE＝∠BCD；
(2)BC2＝BE×CD.
（2016 卷 1）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲
如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°.以⊙O 为圆心， OA 为半径作圆.
(I)证明：直线 AB 与 O 相切；
(II)点 C,D 在⊙O 上，且 A,B,C,D 四点共圆，证明：AB∥CD.
（2016 卷 2）如图，在正方形 ABCD 中，E，G 分别在边 DA，DC 上（不与端点重合），且
DE=DG，过 D 点作 DF⊥CE，垂足为 F. 学科.网
（Ⅰ）证明：B，C，G，F 四点共圆；
（Ⅱ）若 AB=1，E 为 DA 的中点，求四边形 BCGF 的面积.
ABC∆
ABC∆
2 14 0x x mn− + =
90A∠ = ° 4, 6,m n= =
AC BD
（2）坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，直线 ，圆 ，以坐标原点为极点,x 轴正半轴
为极轴建立极坐标系.
（I）求 的极坐标方程.
（II）若直线 的极坐标方程为 ，设 的交点为 ，求 的面积.
（2015 卷 2）在直角坐标系 中,曲线 （t 为参数,且 ）,其中 ,在以 O
为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
（I）求 与 交点的直角坐标；
（II）若 与 相交于点 A, 与 相交于点 B,求 最大值.
（2014 卷 1）已知曲线 ，直线 （ 为参数）
（1）写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程；
（2）过曲线 上任意一点 作与 夹角为 30°的直线，交 于点 ，学科网求 的最大值与最小值.
（2014 卷 2）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半
圆 C 的极坐标方程为 p=2cosθ，θ [0， ]。
（I）求 C 的参数方程；
（II）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 l：y= x+2 垂直，根据（I）中你得到的参数
方程，确定 D 的坐标。
（2013 卷 1）已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 。
（Ⅰ）把 的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求 与 交点的极坐标（ ）。
（2013 卷 2）已知动点 P，Q 都在曲线 C： (t 为参数)上，对应参数分别为 t＝α 与 t＝2α(0
＜α＜2π)，M 为 PQ 的中点．
(1)求 M 的轨迹的参数方程；
(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点．
∈
2
π
3
xOy 1 : 2C x = − ( ) ( )2 2
2 : 1 2 1C x y− + − =
1 2,C C
3C ( )π R4
θ ρ= ∈ 2 3,C C ,M N 2C MN∆
xOy 1
cos ,: sin ,
x tC y t
α
α
=
= 0t ≠ 0 α π≤ <
2 3: 2sin , : 2 3 cos .C Cρ θ ρ θ= =
2C 3C
1C 2C 1C 3C AB
194:
22
=+ yxC
−=
+=
ty
txl 22
2: t
C l
C P l l A PA
1C 4 5cos ,
5 5sin
x t
y t
= +
= + t x
2C 2sinρ θ=
1C
1C 2C 0,0 2ρ θ π≥ ≤ <
2cos ,
2sin
x t
y t
=
=
（2012 卷 1）已知曲线 C1 的参数方程是Error!(φ 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2.正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上，且 A、B、C、D 以逆时针次序
排列，点 A 的极坐标为(2，π
3)
(Ⅰ)求点 A、B、C、D 的直角坐标；
(Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2 的取值范围。
（2011 卷 1）在直角坐标系 xOy 中，曲线 的参数方程为 为参数），M 为 上的动点，
P 点满足 ，点 P 的轨迹为曲线 ．
（I）求 的方程；
（II）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 的异于极点的交点为 A，
与 的异于极点的交点为 B，求|AB|．
（2010 卷 1）已知直线 C1：Error!(t 为参数)，圆 C2：Error!(θ 为参数)．
(1)当 α＝π
3时，求 C1 与 C2 的交点坐标；
(2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线，垂足为 A，P 为 OA 的中点．当 α 变化时，求 P 点轨迹的参数方程，
并指出它是什么曲线．
（2009 卷 1）已知曲线 C1： （t 为参数）， C2： （ 为参数）．
（Ⅰ）化 C1，C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（Ⅱ）若 C1 上的点 P 对应的参数为 ，Q 为 C2 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线
（t 为参数）距离的最小值．
（2008 卷 1）已知曲线 C1： ，曲线 C2： 。
（1）指出 C1，C2 各是什么曲线，并说明 C1 与 C2 公共点的个数；
（2）若把 C1，C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 ， 。写出 ， 的参数
方程。 与 公共点的个数和 C1 与 C2 公共点的个数是否相同？
说明你的理由。
（2016 卷 1）在直线坐标系 xoy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数，a＞0）。在以坐标
1C 2cos (2 2sin
x
y
α αα
=
= + 1C
2OP OM=
2C
2C
3
πθ = 1C
2C
4 cos ,
3 sin ,
x t
y t
= − +
= +
8cos ,
3sin ,
x
y
θ
θ
=
=
θ
2t
π= 3
3 2 ,: 2
x tC y t
= +
= − +
cos ( )sin
x
y
θ θθ
=
=
为参数
2 22 ( )
2
2
x t
t
y t
= −
=
为参数
1 'C 2 'C 1 'C 2 'C
1 'C 2 'C
原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ=4cosθ.
（I）说明 C1 是哪种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；
（II）直线 C3 的极坐标方程为 θ=α0，其中 α0 满足 tanα0=2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a。
（2016 卷 2）在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 .
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；
（Ⅱ）直线 l 的参数方程是 （t 为参数），l 与 C 交于 A，B 两点， ,求 l 的斜率.
（2017 卷 1）[选修 4―4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （θ 为参数），直线 l 的参数方程为
.
（1）若 a=−1，求 C 与 l 的交点坐标；
（2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 ，求 a.
（2017 卷 2）选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。曲线 C1 的
极坐标方程为
（1）M 为曲线 C1 的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 ，求点 P 的轨
迹 C2 的直角坐标方程；
（2）设点 A 的极坐标为 ，点 B 在曲线 C2 上，求△OAB 面积的最大值。
（3）不等式选讲
（2015 卷 1）已知函数 .
（I）当 时求不等式 的解集；
（II）若 的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围.
2 2( + 6) + = 25x y
cos
sin
x t α,
y t α,
ì =ïïíï =ïî
10AB =
3cos ,
sin ,
x
y
θ
θ
=
=
4 ,
1 ,
x a t ty t
= +
= −
（ 为参数）
17
16⋅OM OP =
π2 3
（ ， ）
( ) 1 2 , 0f x x x a a= + − − >
1a = ( ) 1f x >
( )f x
（2015 卷 2）设 均为正数,且 .证明：
（I）若 ,则 ；
（II） 是 的充要条件.
（2014 卷 1）若 且
（I）求 的最小值；
（II）是否存在 ，使得 ？并说明理由.
（2014 卷 2）设函数 f（x）=|x+ |+|x-a|(a>0)。
（I）证明：f（x）≥2；
（II）若 f（3）<5，求 a 的取值范围。
（2013 卷 1）已知函数 ， 。
（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）设 ，且当 时， ，求 的取值范围。
（2013 卷 2）设 a，b，c 均为正数，且 a＋b＋c＝1.证明：
(1)ab＋bc＋ca≤ ；
(2) ≥1.
（2012 卷 1）已知函数 f(x) = |x + a| + |x－2|.
(Ⅰ)当 a =－3 时，求不等式 f(x)≥3 的解集；
(Ⅱ)若 f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求 a 的取值范围。
（2011 卷 1）设函数 ，其中 ．
（I）当 a=1 时，求不等式 的解集．
（II）若不等式 的解集为｛x| ，求 a 的值．
（2010 卷 1）设函数 f(x)＝|2x－4|＋1.
(1)画出函数 y＝f(x)的图象；
(2)若不等式 f(x)≤ax 的解集非空，求 a 的取值范围．
（2009 卷 1）如图，O 为数轴的原点，A，B，M 为数轴上三点， C 为 线 段
OM 上的动点，设 表示 C 与原点的距离， 表示 C 到 A 距离 4 倍与 C 到 B 距离的 6 倍的和．
（Ⅰ）将 表示为 的函数；
a
1
, , ,a b c d a b c d+ = +
ab cd> a b c d+ > +
a b c d+ > + a b c d− < −
,0,0 >> ba abba
=+ 11
33 ba +
ba, 632 =+ ba
( ) | 2 1| | 2 |f x x x a= − + + ( ) 3g x x= +
2a = − ( ) ( )f x g x<
1a > − 1[ , )2 2
ax∈ − ( ) ( )f x g x≤ a
1
3
2 2 2a b c
b c a
+ +
( ) | | 3f x x a x= − + 0a >
( ) 3 2f x x≥ +
( ) 0f x ≤ 1}x ≤ −
x y
y x
（Ⅱ）要使 的值不超过 70， 应该在什么范围内取值？
（2016 卷 1）已知函数 f(x)= ∣x+1∣-∣2x-3∣.
（I）在答题卡第（24）题图中画出 y= f(x)的图像；
（2016 卷 2）求不等式∣f(x)∣﹥1 的解集。
已知函数 ，M 为不等式 的解集.
（Ⅰ）求 M；
（Ⅱ）证明：当 a，b 时， .
（2017 卷 1）[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 f（x）=–x2+ax+4，g（x）=│x+1│+│x–1│.
（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式 f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求 a 的取值范围.
（2017 卷 2） [选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知 =2。证明：
（1） ：
（2） 。
1 1( ) 2 2f x x x= - + + ( ) 2f x <
MÎ 1a b ab+ < +
y x
