12个专题2015-2017三年高考数学文试题分类汇编共315页
【12 份】三年高考（2015-2017）数学（文）
试题分类汇编
目录
【2017 年高考试题】
1.【2017 课表 1，文 1】已知集合 A= | 2x x ，B= |3 2 0x x ，则
A．A B=
3|
2
x x
B．A B
C．A B
3|
2
x x
D．A B=R
【答案】A
试题分析：由3 2 0x 得
3
2
x ，所以
3 3{ | 2} { | } { | }
2 2
A B x x x x x x ，选 A．
【考点】集合运算．
【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦
恩图处理．
2.【2017 课标 II，文 1】设集合 {1,2,3}, {2,3, 4}A B 则 A B
A. 1 2 3,4，， B. 1 2 3，， C. 2 3 4，， D. 13 4，，
【答案】A
由题意 {1,2,3, 4}A B ，故选 A.
【考点】集合运算
【名师点睛】集合的基本运算的关注点
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的
前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn 图．
3.【2017 课标 3，文 1】已知集合 A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则 A B 中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【考点】集合运算
【名师点睛】集合的基本运算的关注点
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的
前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn 图．
4.【2017 天津，文 1】设集合 {1,2,6}, {2,4}, {1,2,3,4}A B C ，则 ( )A B C
（A）{2}（B）{1,2,4}（C）{1,2,4,6}（D）{1,2,3,4,6}
【答案】 B
试题分析：由题意可得： 1,2,4,6 , 1,2,4A B A B C .本题选择 B选项.
【考点】集合的运算
【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示，若集
合是无限集合就用描述法表示，注意代表元素是什么，集合的交、并、补运算问题，应先把
集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.
5.【2017 北京，文 1】已知U R，集合 { | 2 2}A x x x 或 ，则 U A ð
（A） ( 2, 2) （B） ( , 2) (2, )
（C）[ 2,2] （D） ( , 2] [2, )
【答案】C
【考点】集合的运算
【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示，若
集合是无限集合就用描述法表示，注意代表元素是什么，集合的交、并、补运算问题，应
先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.
6.【2017 浙江，1】已知 }11|{ xxP ， }20{ xQ ，则 QP
A． )2,1( B． )1,0( C． )0,1( D． )2,1(
【答案】A
试题分析：利用数轴，取 QP, 所有元素，得 QP )2,1( ．
【考点】集合运算
【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦
恩图处理．
7.【2017 天津，文 2】设 xR ，则“ 2 0x ”是“ | 1| 1x ”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】 B
【考点】充分必要条件
【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：1.根据定义，若 ,p q q p ，那么 p是的充分
不必要条件，同时是 p的必要不充分条件，若 p q ，那互为充要条件，若 p q ，那就是
既不充分也不必要条件，2.当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若 : , :p x A q x B ,
若 A B
，那么 p是的充分必要条件，同时是 p的必要不充分条件，若 A B ，互为充要条件，
若没有包含关系，就是既不充分也不必要条件，3.命题的等价性，根据互为逆否命题的两个
命题等价，将 p是条件的判断，转化为 q 是 p 条件的判断.
8.【2017 山东，文 1】设集合 1 1M x x ， 2N x x ，则M N
A. 1,1 B. 1,2 C. 0,2 D. 1,2
【答案】C
试题分析：由 | 1 | 1x 得0 2x ,故 ={ | 0 2} { | 2} { | 0 2}M N x x x x x x ,故选 C.
【考点】 不等式的解法,集合的运算
【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,对连续数集间的运算,
借助数轴的直观性,进行合理转化；对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注
意单独考察等号能否取到,对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助 Venn 图．学
￥
9.【2017 山东，文 5】已知命题 p： ,x R 2 1 0x x ;命题 q：若 2 2a b ,则 a
b>c，则 a+b>c”是假命题
的一组整数 a,b,c
的值依次为______________________________．
【答案】-1，-2，-3（答案不唯一）
【考点】不等式的性质
【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的
方式举反例进行验证，答案不唯一．
11.【2017 江苏，1】已知集合 {1,2}A ， 2{ , 3}B a a ，若 {1}A B 则实数的值为 .
【答案】1
由题意1 B ，显然
2 3 3a ，所以 1a ，此时
2 3 4a ，满足题意，故答案为 1．
【考点】元素的互异性
【名师点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集
或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.
(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则
很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.
(3)防范空集.在解决有关 ,A B A B 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑
是否成立，以防漏解.
12.【2017 江苏，1】已知集合 {1,2}A ， 2{ , 3}B a a ，若 {1}A B 则实数的值为 .
【答案】1
由题意1 B ，显然
2 3 3a ，所以 1a ，此时
2 3 4a ，满足题意，故答案为 1．
【考点】元素的互异性
【名师点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集
或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.
(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则
很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.
(3)防范空集.在解决有关 ,A B A B 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑
是否成立，以防漏解.
【2016，2015 年高考试题】
1. 【2016 高考新课标 1文数】设集合 1,3,5,7A , 2 5B x x ,则 A B （ ）
（A）{1,3} （B）{3,5} （C）{5,7} （D）{1,7}
【答案】B
考点：集合的交集运算
2.【2015 高考北京，文 1】若集合 5 2x x ， 3 3x x ，则 （ ）
A． 3 2x x B． 5 2x x
C． 3 3x x D． 5 3x x
【答案】A
在数轴上将集合 A，B表示出来，如图所示，
由交集的定义可得， A B 为图中阴影部分，即 3 2x x ，故选 A.
【考点定位】集合的交集运算.
【名师点晴】本题主要考查的是集合的交集运算，属于容易题．解题时要看清楚是求“”
还是求“”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．
3.【2016 高考新课标 2文数】已知集合 {12 3}A ，，， 2{ | 9}B x x ，则 A B （ ）
（A）{ 2 1 0 1 2 3} ， ，，，， （B）{ 2 1 0 1 2} ， ，，， （C）{1 2 3}，， （D）{1 2}，
【答案】D
考点： 一元二次不等式的解法，集合的运算.
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简在计算，常常借助数轴或韦恩图
处理.
4. 【2015 高考广东，文 1】若集合 1,1 ， 2,1,0 ，则 （ ）
A． 0, 1 B． 0 C． 1 D． 1,1
【答案】C
1 ，故选 C．
【考点定位】集合的交集运算．
【名师点晴】本题主要考查的是集合的交集运算，属于容易题．解题时要看清楚是求“”
还是求“”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．学￥
5. 【2014 高考广东卷.文.7】在 ABC 中,角 A . B .C所对应的变分别为..,则 a b“ ”是
sin sinA B“ ”的( )
A.充分必要条件 B.充分非必要条件
C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件
【答案】A
由正弦定理得 2
sin sin
a b R
A B
(其中 R为 ABC 外接圆的半径),则
2 sina R A , 2 sinb R B , 2 sin 2 sin sin sina b R A R B A B ,因此 a b“ ”是
sin sinA B“ ”的充分必要必要条件,故选 A.
【考点定位】本题考查正弦定理与充分必要条件的判定,属于中等题.
【名师点晴】本题主要考查的是正弦定理和充分条件与必要条件，属于中等题．解题时要弄
清楚哪个是条件，哪个是结论， 否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是正弦定理
和充分条件与必要条件，即 2R
sin sin sinC
a b c
（其中R 为 C 外接圆的半径），若
p q ，q p ，则 p是的充分不必要条件，若q p ， p q ，则 p是的必要不充分条件，
若 p q ，q p ，则 p是的充要条件，若 p q ，q p ，则 p是的既不充分也不必要条
件．
6. 【 2014 湖南文 1】设命题 2: , 1 0p x R x ，则 p 为（ ）
2
0 0. , 1 0A x R x 2
0 0. , 1 0B x R x
2
0 0. , 1 0C x R x 2. , 1 0D x R x
【答案】B
【考点定位】命题否定 全称命题 特称命题
【名师点睛】本题主要考查了原命题与否命题之间的关系，解决问题的关键是根据否命题是
对原命题的否定，掌握常见词语的否定形式是解决此类问题的关键，常见的否定词语如：是
对应否，存在对应任意，大于对应小于等于，不都是对应都不是等等.
7. 2016 高考新课标Ⅲ文数]设集合 {0,2,4,6,8,10}, {4,8}A B ，则 ABð ＝（ ）
（A）{4 8}, （B）{0 2 6}，, （C）{0 2 610}，，, （D）{0 2 4 6 810}，，，，,
【答案】C
试题分析：由补集的概念，得C {0,2,6,10}AB ，故选 C．
考点：集合的补集运算．
【技巧点拨】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几
何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而
对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．%网
8.【2015 高考湖南，文 3】设 R，则“>1”是“ 2x >1”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
【答案】C
由题易知“>1”可以推得“ 2x >1”， “ 2x >1”不一定得到“>1”，所以“>1”是“ 2x >1”的
充分不必要条件，故选 A.
【考点定位】充要关系
【名师点睛】判断充分条件和必要条件的方法
(1)命题判断法：
设“若 p，则 q”为原命题，那么：
①原命题为真，逆命题为假时，p是 q的充分不必要条件；
②原命题为假，逆命题为真时，p是 q的必要不充分条件；
③原命题与逆命题都为真时，p是 q的充要条件；
④原命题与逆命题都为假时，p是 q的既不充分也不必要条件．
(2)集合判断法：
从集合的观点看，建立命题 p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，
那么：
①若 A⊆B，则 p是 q的充分条件；若 AB 时，则 p是 q的充分不必要条件；
②若 B⊆A，则 p是 q的必要条件；若 BA 时，则 p是 q的必要不充分条件；
③若 A⊆B 且 B⊆A，即 A＝B时，则 p是 q的充要条件．
(3)等价转化法：
p是 q的什么条件等价于綈 q是綈 p的什么条件．
9. 【2016 高考天津文数】已知集合 }3,2,1{A ， },12|{ AxxyyB ，则 A B =（ ）
（A） }3,1{ （B） }2,1{ （C） }3,2{ （D） }3,2,1{
【答案】A
考点：集合运算
【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本
题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的
考查立足于元素互异性，做到不重不漏.
10.【2015 高考山东，文 1】 已知集合 | { |2 4 1 3 0}A x x B x x x ， （ )( ） ，则 A B
( )
（A） 1,3（ ） （B） 1, 4（ ） （C）（ 2,3（ ） （D） 2,4（ ））
【答案】C
因为 |1 3B x x ｛ ｝,所以 { | 2 4} { |1 3} (2,3)A B x x x x ，故选C .
【考点定位】1.集合的基本运算；2.简单不等式的解法.
【名师点睛】本题考查集合的基本运算及简单不等式的解法，不等式中出现一次因式积的形
式，降低了不等式求解的难度.本题属于基础题，注意基本概念的正确理解以及基本运算方法
的准确性.
11. 【2015 高考山东，文 5】设m R ,命题“若 0m ,则方程 2 0x x m 有实根”的逆否
命题是( )
（A）若方程 2 0x x m 有实根，则 0m
(B) 若方程 2 0x x m 有实根，则 0m
(C) 若方程 2 0x x m 没有实根，则 0m
(D) 若方程 2 0x x m 没有实根，则 0m
【答案】D
【考点定位】命题的四种形式.
【名师点睛】本题考查命题的四种形式，解答本题的关键，是明确命题的四种形式，正确理
解“否定”的内容.本题属于基础题，是教科书例题的简单改造.
12. 【2016 高考四川文科】设 p:实数 x，y满足 1x 且 1y ，q: 实数 x，y满足 2x y ，
则 p是 q的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
【答案】A
试题分析：由题意， 1x 且 1y ，则 2x y ，而当 2x y 时不能得出， 1x 且 1y .故 p
是的充分不必要条件，选 A.
考点：充分必要条件.
【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件
推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考．有
许多情况下可利用充分性、必要性和集合的包含关系得出结论．…网
13. 【2016 高考四川文科】设集合 { |1 5}A x x ,Z 为整数集，则集合 A∩Z中元素的个数
是( )
(A)6 (B) 5 (C)4 (D)3
【答案】B
试题分析：由题意， {1,2,3, 4,5}A Z ，故其中的元素个数为 5，选 B.
考点：集合中交集的运算.
【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般
是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.
14. 【2015 高考陕西，文 1】设集合 2{ | }M x x x ， { | lg 0}N x x ，则M N （ ）
A．[0,1] B． (0,1] C．[0,1) D． ( ,1]
【答案】 A
【考点定位】集合间的运算.
【名师点睛】1.本题考查以不等式为基础的集合间的运算，解不等式时注意原式意义的范围.2.
本题属于基础题，高考常考题型，注意运算的准确性.
15. 【2014 高考陕西版文第 8题】原命题为“若 1
2
n n
n
a a a
，n N ，则 na 为递减数列”，
关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）
（A）真，真，真 （B）假，假，真 （C）真，真，假 （D）假，假，假
【答案】 A
试题分析：由 1
2
n n
n
a a a
1 { }n n na a a 为递减数列，所以原命题为真命题；逆命题：若
na 为递减数列，则 1
2
n n
n
a a a
，n N ；若 na 为递减数列，则 1n na a ，即 1
2
n n
n
a a a
，
所以逆命题为真；否命题：若 1
2
n n
n
a a a
， n N ，则 na 不为递减数列；由
1
1 { }
2
n n
n n n n
a a a a a a
不为递减数列，所以否命题为真；因为逆否命题的真假为原
命题的真假相同，所以逆否命题也为真命题.
故选 A .
考点：命题及命题的真假.
【名师点晴】本题主要考查的数列的单调性，命题以及命题的真假等知识，属于容易题；在
解答时对于正确选项要说明理由，对于错误选项则只要举出反例即可，在本题中原命题为真，
则其逆否命题也为真；而对于逆命题举出反例即可说明其为假，则否命题亦为假
【名师点睛】本题考查集合的概念和运算，本题属于基础题，注意仔细观察.
16. 【2016 高考浙江文数】已知全集 U={1，2，3，4，5，6}，集合 P={1，3，5}，Q={1，2，
4}，则 UP Q（ ）ð =（ ）
A.{1} B.{3，5} C.{1，2，4，6}
D.{1，2，3，4，5}
【答案】C
考点：补集的运算.
【易错点睛】解本题时要看清楚是求“”还是求“”，否则很容易出现错误；一定要注意
集合中元素的互异性，防止出现错误．
17. 【2014 全国 2，文 3】函数 ( )f x 在 0x x 处导数存在，若 0: ( ) 0p f x ； 0:q x x 是 ( )f x 的
极值点，则（ ）
A． p是的充分必要条件 B. p是的充分条件，但不是的必要条件
C. p是的必要条件，但不是的充分条件
D. p既不是的充分条件，也不是的必要条件
【答案】C
若 0x x 是函数 ( )f x 的极值点，则 '
0( ) 0f x ；若 '
0( ) 0f x ，则 0x x 不一定是极值点，例如
3( )f x x ，当 0x 时， ' (0) 0f ，但 0x 不是极值点，故 p是的必要条件，但不是的充分条
件，选 C ．
【考点定位】充要条件.
【名师点睛】本题主要考查了充要条件的判断方法，函数的导数与函数的极值之间的关系；
本题属于基础题，解决本题的关健在于掌握充要条件的判断方法：推出法，应用导数与极值
之间的关系，判断由 p能否推出 q,反之，由 q能否推出 p，从而可得结论.
18. 【2016 高考天津文数】已知 )(xf 是定义在 R上的偶函数，且在区间 )0,( 上单调递增，
若实数满
)2()2( |1| ff a ，则的取值范围是（ ）
（A） )
2
1,( （B） ),
2
3()
2
1,( （C） )
2
3,
2
1( （D） ),
2
3(
【答案】C
试题分析：由题意得
1
| 1| | 1| | 1| 2 1 1 3( 2 ) ( 2) 2 2 2 2 | 1|
2 2 2
a a af f a a ，故选 C
考点：利用函数性质解不等式
【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助
数”的方法有：
(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算
非常有效．
(2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的
问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．
19. 【2016 高考天津文数】设 0x ， Ry ，则“ yx ”是“ || yx ”的（ ）
（A）充要条件 （B）充分而不必要条件
（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】C
考点：充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若 p则 q”、“若 q则 p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p
⇒q”为真，则 p是 q的充分条件．
2．等价法：利用 p⇒q 与非 q⇒非 p，q⇒p 与非 p⇒非 q，p⇔q 与非 q⇔非 p的等价关系，对
于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
集合法：若 A⊆B，则 A是 B的充分条件或 B是 A的必要条件；若 A＝B，则 A是 B的充要条件．
20.【2014 四川，文 1】已知集合 { | ( 1)( 2) 0}A x x x ，集合 B为整数集，则 A B （ ）
A．{ 1,0} B．{0,1} C．{ 2, 1,0,1} D．{ 1,0,1,2}
【答案】D
试题分析： { | 1 2}, { 1,0,1, 2}A x x A B ，选 D.
【考点定位】集合的基本运算.
【名师点睛】本题考查集合的概念和运算，本题属于基础题，注意观察的仔细.
21. 【2015 高考四川，文 1】设集合 A＝{x|－1＜x＜2}，集合 B＝{x|1＜x＜3}，则 A∪B＝
( )
(A){x|－1＜x＜3} (B){x|－1＜x＜1} (C){x|1＜x＜2} (D){x|2＜x＜
3}
【答案】A
由已知，集合 A＝(－1，2)，B＝(1，3)，故 A∪B＝(－1，3)，选 A
【考点定位】本题主要考查集合的概念，集合的表示方法和并集运算.
【名师点睛】集合的运算通常作为试卷的第一小题，是因为概念较为简单，学生容易上手，
可以让考生能够信心满满的尽快进入考试状态.另外，集合问题一般与函数、方程、不等式及
其性质关联，也需要考生熟悉相关知识点和方法.本题最后求两个集合的并集，相对来说比较
容易，与此相关的交集、补集等知识点也是常考点，应多加留意.属于简单题.
22.【2015 高考四川，文 4】设 a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的( )
(A)充要条件 (B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【考点定位】本题考查对数函数的概念和性质、充要条件等基本概念，考查学生综合运用数
学知识和方法解决问题的能力.
【名师点睛】判断条件的充要性，必须从“充分性”和“必要性”两个方向分别判断，同时
注意涉及的相关概念和方法.本题中涉及对数函数基本性质——单调性和函数值的符号，因此
可以结合对数函数的图象进行判断，从而得出结论.属于简单题.
23.【2015 高考新课标 1，文 1】已知集合 { 3 2, }, {6,8,10,12,14}A x x n n N B ，则集合
A B 中的元素个数为( )
（A） 5 （B）4 （C）3 （D）2
【答案】D
试题分析：由条件知，当 n=2 时，3n+2=8，当 n=4 时，3n+2=14，故 A∩B={8,14},故选 D.
考点：集合运算
【名师点睛】对集合运算问题，首项要确定集合类型，其次确定集合中元素的特征，先化简
集合，若元素是离散集合，紧扣集合运算定义求解，若是连续数集，常结合数轴进行集合运
算，若是抽象集合，常用文氏图法，本题是考查元素是离散的集合交集运算，是基础题.
24. 【2016 高考上海文科】设 Ra ，则“ 1a ”是“ 12 a ”的（ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
【答案】A
试题分析：
2 21 1, 1 1 1a a a a a 或 ，所以是充分非必要条件，选 A.
考点：充要条件
【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识
点结合.本题涉及不等关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生分析问题解决
问题的能力、逻辑推理能力等.
25. 【2016 高考北京文数】已知集合 ={ | 2 4}A x x ， { | 3B x x 或 5}x ，则 A B （ ）
A.{ | 2 5}x x B.{ | 4x x 或 5}x C.{ | 2 3}x x D.{ | 2x x 或 5}x
【答案】C
考点： 集合交集
【名师点睛】1． 首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，
如集合 )}(|{ xfyx ， )}(|{ xfyy ， )}(|),{( xfyyx 三者是不同的．
2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素
的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．
3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，
可借助 Venn 图实施，对连续的数集间的运算，常利用数轴进行，对点集间的运算，则通过坐
标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．
4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的
可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．
26. 【2016 高考山东文数】设集合 {1,2,3,4,5,6}, {1,3,5}, {3,4,5}U A B ，则 ( )U A Bð =（ ）
（A）{2,6} （B）{3,6} （C）{1,3,4,5} （D）{1,2,4,6}
【答案】A
试题分析：由已知， {1 3,5} {3,4,5} {1,3, 4,5}A B ， ，所以 ( ) {1,3,4,5} {2,6}U UC A B C ，
选 A.
考点：集合的运算
【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的
基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.
27. 【2015 高考浙江，文 3】设 a，b是实数，则“ 0a b ”是“ 0ab ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【考点定位】1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质.
【名师点睛】本题主要考查充分条件和必要条件.解答本题时要根据不等式的性质，采用特殊
值的方法，对充分性与必要性进行判断.本题属于容易题，重点考查学生对不等式的性质的处
理以及对条件的判断.
28. 【2015 高考浙江，文 1】已知集合 2 2 3x x x ， Q 2 4x x ，则 Q （ ）
A． 3, 4 B． 2,3 C． 1, 2 D． 1,3
【答案】A
由题意得， | 3 1P x x x 或 ，所以 [3, 4)P Q ，故选 A.
【考点定位】1.一元二次不等式的解法；2.集合的交集运算.
【名师点睛】本题主要考查集合的交集运算.利用解一元二次不等式确定集合的范围，从而进
行两个集合的交集运算.本题属于容易题，要注意不等式解的准确性.
29. 【2015 高考重庆，文 1】已知集合 {1,2,3},B {1,3}A = = ，则A B （ ）
(A) {2} (B) {1, 2} (C) {1,3} (D) {1,2,3}
【答案】C
由已知及交集的定义得A B {1,3}，故选 C.
【考点定位】集合的运算.
【名师点睛】本题考查集合的概念和运算，本题属于基础题，注意观察的仔细.
30. 【2015 高考重庆，文 2】“ x 1= ”是“ 2x 2 1 0x- + = ”的（ ）
(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
由“ x 1= ”显然能推出“ 2x 2 1 0x- + = ”，故条件是充分的，又由“ 2x 2 1 0x- + = ”可得
10)1( 2 xx ，所以条件也是必要的，故选 A.
【考点定位】充要条件.
【名师点睛】本题考查充要条件的概念和判断，采用推出法进行判断，本题属于基础题，注
意推理的正确性.
31.【2015 高考安徽，文 2】设全集 1 2 3 4 5 6U ，，，，， ， 1 2A ， ， 2 3 4B ，， ，则 UA C B
（ ）
（A） 1 2 5 6，，， （B） 1 （C） 2 （D） 1 2 3 4，，，
【答案】B
【考点定位】本题主要是考查了集合的交集、补集运算.
【名师点睛】学生在求 BCU 时，切不可遗漏，造成解答错，本题考查了考生的基本运算能力.
32. 【2015 高考安徽，文 3】设 p：x<3，q：-10,解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式 f′(x)<0,解集在定义
域内的部分为单调递减区间．
(2)根据函数单调性确定参数范围的方法：①利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a,b)
上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集．②转化为不等式的恒成立问题,即“若函数单调
递增,则 f′(x)≥0；若函数单调递减,则 f′(x)≤0”来求解．
11.【2017 天津，文 8】已知函数
| | 2, 1,
( ) 2 , 1.
x x
f x
x x
x
设 aR ，若关于的不等式 ( ) | |
2
xf x a
在R 上恒成立，则的取值范围是
（A）[ 2,2] （B）[ 2 3,2] （C）[ 2, 2 3] （D）[ 2 3,2 3]
【答案】 A
零点是 2 0x a ，零点右边
2
xg x a f x 恒成立，零点左边
2
xg x a ，根据图象
分析当 0x 时， 2 2a a ，即 2 0a ，当 0a 时， f x g x 恒成立，所以
2 2a ，故选 A.
【考点】1.分段函数；2.函数图形的应用；3.不等式恒成立.
【名师点睛】一般不等式恒成立求参数 1.可以选择参变分离的方法，转化为求函数最值的问
题；2.也可以画出两边的函数图象，根据临界值求参数取值范围；3.也可转化为 0F x 的
问题，转化讨论求函数的最值求参数的取值范围.
12.【2017 课标 II，文 14】已知函数 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数，当 ( ,0)x 时，
3 2( ) 2f x x x ,
则 (2)f ________．
【答案】12
【考点】函数奇偶性
【名师点睛】(1)已知函数的奇偶性求函数值或解+析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区
间上的解+析式，或充分利用奇偶性得出关于 ( )f x 的方程，从而可得 ( )f x 的值或解+析式.
(2)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据 ( ) ( ) 0f x f x 得到关于待
求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.
13.【2017 北京，文 11】已知 0x ， 0y ，且 x+y=1，则 2 2x y 的取值范围是__________．
【答案】
1 ,1
2
试题分析： 2 2 2 2 2(1 ) 2 2 1, [0,1]x y x x x x x ，所以当 0 1x 或 时，取最大值 1；
当
1
2
x 时，取最小值
1
2
；因此取值范围为
1[ ,1]
2
【考点】二次函数
【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了象本题的方法，转化为二次函数求取
值范围，也可以转化为几何关系求取值范围，当 0, 0x y ， 1x y 表示线段，那么
2 2x y 的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单.
14.【2017 课标 3，文 16】设函数
1 0
( )
2 0x
x x
f x
x
， ，
， ，
则满足
1( ) ( ) 1
2
f x f x 的 x的取值范围是
__________.
【答案】
1( , )
4
【考点】分段函数解不等式
【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解+
析式是什么然后代入该段的解+析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所
对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.
15【2017 山东，文 14】已知 f(x)是定义在 R上的偶函数,且 f(x+4)=f(x-2).若当 [ 3,0]x
时, ( ) 6 xf x ,则 f(919)= .
【答案】
试题分析：由 f(x+4)=f(x-2)可知, f x 是周期函数,且 6T ,所以
(919) (6 653 1) (1)f f f ( 1) 6f .
【考点】函数奇偶性与周期性
【名师点睛】与函数奇偶性有关问题的解决方法
①已知函数的奇偶性,求函数值
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
②已知函数的奇偶性求解+析式
将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于
f(x)的方程(组),从而得到 f(x)的解+析式．
③已知函数的奇偶性,求函数解+析式中参数的值
常常利用待定系数法：利用 f(x)±f(－x)＝0 得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得
参数的值或方程求解．
④应用奇偶性画图象和判断单调性
利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．
16.【2017 江苏，11】已知函数 3 1( ) 2 e
e
x
xf x x x , 其中 e是自然对数的底数. 若
2( 1) (2 ) 0f a f a ≤ ,则实数的取值范围是 ▲ .
【答案】
1[ 1, ]
2
【考点】利用函数性质解不等式
【名师点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为 ( ( )) ( ( ))f g x f h x 的形式，
然后根据函数的单调性去掉“ f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 ( )g x 与 ( )h x 的取
值应在外层函数的定义域内
17.【2017 江苏，14】设 ( )f x 是定义在R 且周期为 1的函数，在区间 [0,1)上,
2 , ,( )
, ,
x x Df x
x x D
其中集合
1, *nD x x n
n
N ，则方程 ( ) lg 0f x x 的解的个数是 .
【答案】8
由于 ( ) [0,1)f x ，则需考虑1 10x 的情况
在此范围内， x Q 且 xZ 时，设 *, , , 2qx p q p
p
N ，且 ,p q 互质
若 lg x Q ，则由 lg (0,1)x ，可设 *lg , , , 2nx m n m
m
N ，且 ,m n 互质
因此10
n
m q
p
，则10 ( )n mq
p
，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此 lg x Q
因此 lg x 不可能与每个周期内 x D 对应的部分相等，
只需考虑 lg x与每个周期 x D 的部分的交点，
画出函数图像，图中交点除外 (1,0) 其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期 x D 的部
分，
且 1x 处
1 1(lg ) 1
ln10 ln10
x
x
，则在 1x 附近仅有一个交点
因此方程解的个数为 8个.
【考点】函数与方程
【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合
函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极
值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期
性等．
【2016，2015 高考题】
1. 【2016 高考新课标 1文数】若 0a b , 0 1c ,则（ ）
（A）logaccb
【答案】B
考点：指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数
或对数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
2. 【2014 高考北京文第 2题】下列函数中，定义域是 R且为增函数的是（ ）
A. xy e B. 3y x C. lny x D. y x
【答案】B
对于选项 A，在 R上是减函数；选项 C的定义域为 (0, ) ；选项 D，在 ( ,0) 上是减函数，故
选 B.
考点：本小题主要考查函数的单调性，属基础题，难度不大.
3. 【2014 高考北京文第 8 题】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称
为“可食用率”.在特定条件下，可食用率 p与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系
2p at bt c （、、是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，
可以得到最佳加工时间为（ ）
A.3.50分钟 B.3.75分钟 C. 4.00分钟 D.4.25分钟
【答案】B
考点：本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解+析式的求解、二次函数的最值等基
础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.
4. 【2014 高考北京文第 6题】已知函数 2
6 logf x x
x
，在下列区间中，包含 f x 零点的
区间是（ ）
A. 0,1 B. 1,2 C. 2,4 D. 4,
【答案】C
因为 (2) 4 1 0f ，
3(4) 2 0
2
f ，所以由根的存在性定理可知：选 C.
考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类
题目的关键.
5. 【2015 高考北京，文 3】下列函数中为偶函数的是（ ）
A． 2 siny x x B． 2 cosy x x C． lny x D． 2 xy
【答案】B
【考点定位】函数的奇偶性.
【名师点晴】本题主要考查的是函数的奇偶性，属于容易题．解题时一定要判断函数的定义
域是否关于原点对称，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是函数的奇偶性，即
奇函数：定义域关于原点对称，且 f x f x ；偶函数：定义域关于原点对称，且
f x f x ．
6. 【2014 高考广东卷.文.5】下列函数为奇函数的是( )
A.
12
2
x
x B. 3 sinx x C. 2cos 1x
D. 2 2xx
【答案】A
对于 A选项中的函数 12 2 2
2
x x x
xf x ,函数定义域为 R , 2 2 2 2xx x xf x
f x ,故A选项中的函数为奇函数；对于B选项中的函数 3 sing x x x ,由于函数 3
1y x 与
函数 2 siny x 均为奇函数,则函数 3 sing x x x 为偶函数；对于 C选项中的函数
2cos 1h x x ,定义域为 R , 2cos 1 2cos 1h x x x h x ,故函数 2cos 1h x x
为偶函数；对于 D选项中的函数 2 2xx x , 1 3 , 31
2
,则 1 1 ,因此函
数 2 2xx x 为非奇非偶函数,故选 A.
【考点定位】本题考查函数的奇偶性的判定,着重考查利用定义来进行判断,属于中等题.
【名师点晴】本题主要考查的是函数的奇偶性，属于中等题．解题时一定要判断函数的定义
域是否关于原点对称，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是函数的奇偶性，即
奇函数：定义域关于原点对称，且 f x f x ；偶函数：定义域关于原点对称，且
f x f x ．
7. 【2016 高考新课标 1文数】函数 22 xy x e 在 2,2 的图像大致为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
考点：函数图像与性质
【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目
一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用
间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项.
8. 【2015 高考广东，文 3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A ． 2 siny x x B ． 2 cosy x x C ．
12
2
x
xy
D． sin 2y x x
【答案】A
函数 2 sinf x x x 的定义域为R，关于原点对称，因为 1 1 sin1f ， 1 1 sin1f ，
所以函数 2 sinf x x x 既不是奇函数，也不是偶函数；函数 2 cosf x x x 的定义域为R，
关于原点对称，因为 2 2cos cosf x x x x x f x ，所以函数 2 cosf x x x 是
偶函数；函数 12
2
x
xf x 的定义域为R，关于原点对称，因为
1 12 2
2 2
x x
x xf x f x
，所以函数 12
2
x
xf x 是偶函数；函数 sin 2f x x x 的
定义域为R，关于原点对称，因为 sin 2 sin 2f x x x x x f x ，所以函数
sin 2f x x x 是奇函数．故选 A．
【考点定位】函数的奇偶性．
【名师点晴】本题主要考查的是函数的奇偶性，属于容易题．解题时一定要判断函数的定义
域是否关于原点对称，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是函数的奇偶性，即
奇函数：定义域关于原点对称，且 f x f x ；偶函数：定义域关于原点对称，且
f x f x ．
9. 【 2014 湖南文 4】下列函数中，既是偶函数又在区间 ( ,0) 上单调递增的是（ ）
2
1. ( )A f x
x
2. ( ) 1B f x x 3. ( )C f x x . ( ) 2 xD f x
【答案】A
【考点定位】奇偶性 单调性
【名师点睛】有关函数的基本性质的判断题目属于平时考试和练习的常见题型，解决问题的
关键是根据所给选项对应的函数性质进行逐一发现验证即可.
10. 【2016 高考新课标 2文数】下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y=10
lgx
的定义域和
值域相同的是（ ）
（A）y=x （B）y=lgx （C）y=2x
（D）
1y
x
【答案】D
试题分析： lg10 xy x ，定义域与值域均为 0, ，只有 D满足，故选 D．
考点： 函数的定义域、值域，对数的计算.
【名师点睛】基本初等函数的定义域、值域问题，应熟记图象，运用数形结合思想求解.
11.【2016 高考新课标 2文数】已知函数 f(x)（x∈R）满足 f(x)=f(2-x)，若函数 y=|x2
-2x-3|
与 y=f(x) 图像的交点为（x1,y1），(x2,y2)，…，（xm,ym），则
1
=
m
i
i
x
（ ）
(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m
【答案】B
试题分析：因为 2( ), y | 2 3 |y f x x x 都关于 1x 对称，所以它们交点也关于 1x 对称，当m
为偶数时，其和为 2
2
m m ，当m为奇数时，其和为
12 1
2
m m
，因此选 B.
考点： 函数的奇偶性，对称性.
【名师点睛】如果函数 ( )f x ， x D ，满足 x D ，恒有 ( ) ( )f a x f b x ，那么函数的图
象有对称轴
2
a bx
；如果函数 ( )f x ， x D ，满足 x D ，恒有 ( ) ( )f a x f b x ，那
么函数的图象有对称中心.
12. 【2014 山东.文 3】 函数
1log
1)(
2
x
xf 的定义域为（ ）
A. (0,2) B. (0,2] C. ),2( D. [2, )
【答案】C
考点：函数的定义域，对数函数的性质.
【名师点睛】本题考查函数的概念、函数的定义域.解答本题关键是利用求函数定义域的基本
方法，建立不等式组求解.本题属于基础题，注意基本概念的正确理解以及计算的准确性.
13. 【2014 山东.文 6】已知函数 log ( )( ,ay x c a c 为常数，其中 0, 1)a a 的图象如右图，
则下列结论成立的是（ ）
A. 1, 1a c B. 1,0 1a c
C.0 1, 1a c D.0 1,0 1a c
【答案】D
由图可知， log ( )ay x c 的图象是由 logay x 的图象向左平移个单位而得到的，其中
0 1c ，再根据单调性易知0 1a ，故选D .
考点：对数函数的图象和性质.
【名师点睛】本题考查对数函数的图象. 由于 y＝loga(x＋c)的图象是由 y＝logax 的图象向
左平移 c个单位得到的，知 0＜c＜1，根据图象从左向右是下降的，知 0＜a＜1.
本题属于基础题，注意牢记常见初等函数的图象和性质并灵活运用.
14. 2016 高考新课标Ⅲ文数]已知
4 2 1
3 3 32 , 3 , 25a b c ，则（ ）
(A) b a c (B) a b c (C) b c a (D) c a b
【答案】A
考点：幂函数的单调性．
【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函
数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不
同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．
15. 【2016 高考浙江文数】函数 y=sinx2的图象是（ ）
【答案】D
试题分析：因为 2siny x 为偶函数，所以它的图象关于 y轴对称，排除 A、C选项；当 2
2
x
，
即
2
x
时， 1maxy ，排除 B选项，故选 D.
考点：三角函数图象.
【方法点睛】给定函数的解+析式识别图象，一般从五个方面排除、筛选错误或正确的选项：
（1）从函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从
函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函
数的周期性，判断函数的循环往复；（5）从特殊点出发，排除不符合要求的选项.
16. 【2015 高考山东，文 2】设 0.6 1.5 0.60.6 0.6 1.5a b c ， ， ，则a b c， ， 的大小关系是( )
（A） a b c＜ ＜ （B） a c b＜ ＜ （C）b a c＜ ＜ （D）b c a＜ ＜
【答案】C
由 0.6xy 在区间 (0, ) 是单调减函数可知， 1.5 0.60 0.6 0.6 1 ，又 0.61.5 1 ，故选C .
【考点定位】1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.
【名师点睛】本题考查指数函数的性质，主要利用函数的单调性求解，题目看上去简单，但
对指数函数底数的两种不同取值情况均做了考查.
本题属于基础题，是教科书例题的简单改造，关键是要熟练掌握指数函数的性质.
17. 【2014 山东.文 5】 已知实数 ,x y满足 (0 1)x ya a a ，则下列关系式恒成立的是
（ ）
A. 3 3x y B.sin sinx y
C. 2 2ln( 1) ln( 1)x y D. 2 2
1 1
1 1x y
【答案】 A
对于C，取 1, 2, ,x y x y 此时 ln 2 ln5 ， 2 2ln( 1) ln( 1)x y 不成立；
对于D，取 2, 1, ,x y x y 此时
1 1
5 2
， 2 2
1 1
1 1x y
不成立；
故选 A
考点：指数函数的性质，不等式的性质.
【名师点睛】本题考查指数函数、对数函数、正弦函数及幂函数的单调性.比较函数值大小问
题，往往结合函数的单调性，有时通过引入“-1，0，1”等作为“媒介”.本题属于基础题，
注意牢记常见初等函数的性质并灵活运用.
18. 【2016 高考浙江文数】已知 a，b>0，且 a≠1，b≠1，若 log >1a b ，则（ ）
A. ( 1)( 1) 0a b B. ( 1)( ) 0a a b
C. ( 1)( ) 0b b a D. ( 1)( ) 0b b a
【答案】D
试题分析： log log 1 a ab a ，
当 1a 时， 1 b a ， 1 0, 0 a b a ， ( 1)( ) 0 a b a ；
当0 1 a 时， 0 1 b a ， 1 0, 0 a b a ， ( 1)( ) 0 a b a ．故选 D．
考点：对数函数的性质.
【易错点睛】在解不等式 log 1a b 时，一定要注意对分为 1a 和0 1a 两种情况进行讨论，
否则很容易出现错误．
19. 【2015 高考山东，文 8】若函数
2 1( )
2
x
xf x
a
是奇函数，则使 3f x （ ） 成立的的取值范围
为( )
（A）( ) (B)( ) （C） 0,1（ ）（D） 1,（ ）
【答案】C
【考点定位】1.函数的奇偶性；2.指数运算.
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性及指数函数的性质，解答本题的关键，是利用函数的奇
偶性，确定得到的取值，并进一步利用指数函数的单调性，求得的取值范围.
本题属于小综合题，在考查函数的奇偶性、指数函数的性质等基础知识的同时，较好地考查
了考生的运算能力.
20. 【2015 高考山东，文 10】设函数
3 , 1
( )
2 , 1x
x b x
f x
x
，若
5( ( )) 4
6
f f ，则b ( )
（A） （B）
7
8
（C）
3
4
(D)
1
2
【答案】D
由题意，
5 5 5( ) 3 ,
6 6 2
f b b 由
5( ( )) 4
6
f f 得，
5 1
2
53( ) 4
2
b
b b
或
5
2
5 1
2
2 4
b
b
，解得
1
2
b ，
故选D .
【考点定位】1.分段函数；2.函数与方程.
【名师点睛】本题考查了分段函数及函数方程思想，解答本题的关键，是理解分段函数的概
念，明确函数值计算层次，准确地加以计算.
本题属于小综合题，在考查分段函数及函数方程思想的同时，较好地考查了考生的运算能力
及分类讨论思想.
21. 【2016 高考浙江文数】已知函数 f（x）=x2
+bx，则“b<0”是“f（f（x））的最小值与 f
（x）的最小值相等”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
当 0b 时， ( ( ))f f x 的最小值为
2
4
b
，所以“ 0b ”能推出“ ( ( ))f f x 的最小值与 ( )f x 的最
小值相等”；
当 0b 时， 4( ( )) f f x x 的最小值为 0， ( )f x 的最小值也为 0，所以“ ( ( ))f f x 的最小值与
( )f x 的最小值相等”不能推出“ 0b ”．故选 A．
考点：充分必要条件.
【方法点睛】解题时一定要注意 p q 时， p是的充分条件，是 p的必要条件，否则很容易
出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命
题进行等价转化．
22. 【2015 高考陕西，文 4】设
1 , 0( )
2 , 0x
x xf x
x
，则 ( ( 2))f f （ ）
A． 1 B．
1
4
C．
1
2
D．
3
2
【答案】C
因为 2 1( 2) 2
4
f ，所以
1 1 1 1( ( 2)) ( ) 1 1
4 4 2 2
f f f ，故答案选C
【考点定位】1.分段函数；2.复合函数求值.
【名师点睛】1.本题考查分段函数和复合函数求值，此题需要先求 ( 2)f 的值，继而去求
( ( 2))f f 的值；2.若求函数 [ ( )]f f a 的值，需要先求 ( )f a 的值，再去求 [ ( )]f f a 的值；若
是解方程 [ ( )]f f x a 的根，则需先令 ( )f x t ，即 ( )f t a ，再解方程 ( )f t a 求出的值，
最后在解方程 ( )f x t ；3.本题属于基础题，注意运算的准确性.
23. 【2016 高考浙江文数】已知函数 ( )f x 满足： ( )f x x 且 ( ) 2 ,xf x x R .（ ）
A.若 ( )f a b ，则a b B.若 ( ) 2bf a ，则a b
C.若 ( )f a b ，则a b D.若 ( ) 2bf a ，则a b
【答案】B
考点：函数的奇偶性.
【思路点睛】先由已知条件可得 f x 的解+析式，再由 f x 的解+析式判断 f x 的奇偶
性，进而对选项逐个进行排除．
24. 【2014 高考陕西版文第 7题】下了函数中，满足“ f x y f x f y ”的单调递增函
数是（ ）
（A） 3f x x （B） 3xf x （C）
2
3f x x （D） 1
2
x
f x
【答案】 B
试题分析：A选项：由 3f x y x y ， 3 3 3( )f x f y x y xy ，得 f x y f x f y ，
所以 A错误；B选项：由 3x yf x y ， 3 3 3x y x yf x f y ，得 f x y f x f y ；
又函数 3xf x 是定义在R上增函数，所以B正确；C选项：由
2
3f x y x y ，
f x f y
2 2
3 3x y
2
3( )xy ，得 f x y f x f y ，所以C错误；D选项：函数 1
2
x
f x
是定义在 R上减函数，所以D错误；故选 B .
考点：函数求值；函数的单调性.
【名师点晴】本题主要考查的是函数求值；函数的单调性等知识，属于容易题；在解本题时
可以首先由单调性排除 D选项， 再验证 A，,C 选项是否满足“ f x y f x f y ”即可.
在解答时对于正确选项要说明理由，对于错误选项则只要举出反例即可，
25. 【2015 高考陕西，文 9】 设 ( ) sinf x x x ，则 ( )f x （ ）
A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数
【答案】 B
【考点定位】函数的性质.
【名师点睛】1.本题考查函数的性质，判断函数的奇偶性时，应先判断函数定义域是否关于
原点对称，然后再判断 ( )f x 和 ( )f x 的关系，函数的单调性可以通过导函数判断.2.本题
属于基础题，注意运算的准确性.
26. 【2015 高考陕西，文 10】设 ( ) ln ,0f x x a b ，若 ( )p f ab ， ( )
2
a bq f
，
1 ( ( ) ( ))
2
r f a f b ，则下列关系式中正确的是（ ）
A． q r p B． q r p C． p r q D． p r q
【答案】C
1( ) ln ln
2
p f ab ab ab ； ( ) ln
2 2
a b a bq f
；
1 1( ( ) ( )) ln
2 2
r f a f b ab
因为
2
a b ab
，由 ( ) lnf x x 是个递增函数， ( ) ( )
2
a bf f ab
所以 q p r ，故答案选C
【考点定位】函数单调性的应用.
【名师点睛】1.本题考查函数单调性，因为函数 ( ) lnf x x 是个递增函数，所以只需判断
2
a b
和 ab的大小关系即可；2.本题属于中档题，注意运算的准确性.
27. 【2016 高考北京文数】已知 (2,5)A ， (4,1)B ，若点 ( , )P x y 在线段 AB上，则 2x y 的最
大值为（ ）
A.−1 B.3 C.7 D.8
【答案】C
考点： 函数最值
【名师点睛】求函数值域的常用方法：①单调性法，如(5)；②配方法，如(2)；③分离常数
法，如(1)；④数形结合法；⑤换元法(包括代数换元与三角换元)，如(2)，(3)；⑥判别式法，
如(4)；⑦不等式法，如(4)，(5)；⑧导数法，主要是针对在某区间内连续可导的函数；⑨图
象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，如(6)；
对于二元函数的值域问题，如(5)，其解法要针对具体题目的条件而定，有些题目可以将二元
函数化为一元函数求值域，有些题目也可用不等式法求值域．求函数的值域是个较复杂的问
题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的
值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．
28. 【2016 高考北京文数】下列函数中，在区间 ( 1,1) 上为减函数的是（ ）
A.
1
1
y
x
B. cosy x C. ln( 1)y x D. 2 xy
【答案】D
试题分析：由
12 ( )
2
x xy 在R上单调递减可知 D符合题意，故选 D.
考点：函数单调性
【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法．
(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)
函数；
(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间
上有相反的单调性.
29. 【2014 四川，文 7】已知 0b ， 5log b a ， lgb c ，5 10d ，则下列等式一定成立的
是（ ）
A、 d ac B、a cd C、c ad D、d a c
【答案】B
试题分析： 5log , lgb a b c 相除得 5
5
log , log 10
lg
b a a
b c c
，又 55 10, log 10d d ，所以
ad cd a
c
.选 B.
【考点定位】指数运算与对数运算.
【名师点睛】解题的关键是求得已知
0
0
1
x
y
x y
，求 2S x y 的最大值，接下来就线性规划问
题了，利用线性规划求线性目标函数的最值，属于容易题，在画可行域时，首先必须找准可
行域的范围，其次要注意目标函数对应的直线斜率的大小，从而确定目标函数取到最优解时
所经过的点，切忌随手一画导致错解.
30. 【2015 高考四川，文 5】下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )
(A)y＝sin(2x＋
2
) (B)y＝cos(2x＋
2
)
(C)y＝sin2x＋cos2x (D)y＝sinx＋cosx
【答案】B
【考点定位】本题考查三角函数的基本概念和性质，考查函数的周期性和奇偶性，考查简单
的三角函数恒等变形能力.
【名师点睛】讨论函数性质时，应该先注意定义域，在不改变定义域的前提下，将函数化简
整理为标准形式，然后结合图象进行判断.本题中，C、D 两个选项需要先利用辅助角公式整
理，再结合三角函数的周期性和奇偶性(对称性)进行判断即可.属于中档题.
31. 【2016 高考上海文科】设 ( )f x 、 ( )g x 、 ( )h x 是定义域为 R的三个函数，对于命题：①
若 ( ) ( )f x g x 、 ( ) ( )f x h x 、 ( ) ( )g x h x 均为增函数，则 ( )f x 、 ( )g x 、 ( )h x 中至少有一个增
函数；②若 ( ) ( )f x g x 、 ( ) ( )f x h x 、 ( ) ( )g x h x 均是以T为周期的函数，则 ( )f x 、 ( )g x 、 ( )h x
均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（ ）
A、①和②均为真命题 B、①和②均为假命题
C、①为真命题，②为假命题 D、①为假命题，②为真命题
【答案】D
② ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x T g x T
( ) ( ) ( ) ( )f x h x f x T h x T
( ) ( ) ( ) ( )g x h x g x T h x T
前两式作差，可得 ( ) ( ) ( ) ( )g x h x g x T h x T
结合第三式，可得 ( ) ( )g x g x T , ( ) ( )h x h x T
也有 ( ) ( )f x f x T
∴②正确
故选 D.
考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.
【名师点睛】本题主要考查抽象函数下函数的单调性与周期性，是高考常考知识内容.本题具
备一定难度.解答此类问题，关键在于灵活选择方法，如结合选项应用“排除法”，通过举反
例应用“排除法”等.
本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.
32. 【2015 高考四川，文 8】某食品的保鲜时间 y (单位：小时)与储藏温度 (单位：℃)满足
函数关系 kx by e ( 2.718...e 为自然对数的底数， ,k b为常数).若该食品在℃的保鲜时间是
192小时，在22℃的保鲜时间是 48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( )
(A)16 小时 (B)20 小时 (C)24 小时 (D)21 小时
【答案】C
由题意，
22
192
48
b
k b
e
e
得
11
192
1
2
b
k
e
e
，于是当 x＝33 时，y＝e33k＋b
＝(e11k
)
3
·eb
＝ 31( )
2
×192＝24(小
时)
【考点定位】本题考查指数函数的概念及其性质，考查函数模型在现实生活中的应用，考查
整体思想，考查学生应用函数思想解决实际问题的能力.
【名师点睛】指数函数是现实生活中最常容易遇到的一种函数模型，如人口增长率、银行储
蓄等等，与人们生活密切相关.本题已经建立好了函数模型，只需要考生将已知的两组数据代
入，即可求出其中的待定常数.但本题需要注意的是：并不需要得到 k和 b的准确值，而只需
求出 eb
和 e11k
，然后整体代入后面的算式，即可得到结论，否则将增加运算量.属于中档题.
33. 【2014 全国 1，文 5】设函数 )(),( xgxf 的定义域为 R，且 )(xf 是奇函数， )(xg 是偶函数，
则下列结论中正确的是( )
A. )()( xgxf 是偶函数 B. )(|)(| xgxf 是奇函数
C. |)(|)( xgxf 是奇函数 D. |)()(| xgxf 是奇函数
【答案】C
考点：函数的奇偶性
【名师点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，在研究函数 | ( ) |f x 的奇偶性时，一定要注意 )(xf
的奇偶性，只有 )(xf 具备奇偶性，函数 | ( ) |f x 才是偶函数，否者不成立.
34．【2015 高考新课标 1，文 10】已知函数
1
2
2 2, 1
( )
log ( 1), 1
x x
f x
x x
，且 ( ) 3f a ，则 (6 )f a
（ ）
（A）
7
4
（B）
5
4
（C）
3
4
（D）
1
4
【答案】A
∵ ( ) 3f a ，∴当 1a 时， 1( ) 2 2 3af a ，则 12 1a ，此等式显然不成立，
当 1a 时， 2log ( 1) 3a ，解得 7a ，∴ (6 )f a ( 1)f = 1 1 72 2
4
，故选 A.
考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质
【名师点睛】对分段函数求值问题，先根据题中条件确定自变量的范围，确定代入得函数解+
析式，再代入求解，若不能确定，则需要分类讨论；若是已知函数值求自变量，先根据函数
值确定自变量所在的区间，若不能确定，则分类讨论，化为混合组求解.
35. 【2016 高考山东文数】若函数 ( )y f x 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处
的切线互相垂直，则称 ( )y f x 具有 T性质.下列函数中具有 T性质的是（ ）
（A） siny x （B） lny x （C） exy （D） 3y x
【答案】A
试题分析：由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导
函数值的乘积为负一.
当 siny x 时， cosy x ，有cos0 cos 1 ，所以在函数 siny x 图象存在两点 0,x x
使条件成立，故 A正确；函数 3ln , ,xy x y e y x 的导数值均非负，不符合题意，故选 A.
考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.
【名师点睛】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常
见的三角函数、指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，
关键在于将直线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用
特殊化思想解题，降低难度.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力
及转化与化归思想的应用等.
36. 【2015 高考新课标 1，文 12】设函数 ( )y f x 的图像与 2x ay 的图像关于直线 y x 对
称，且 ( 2) ( 4) 1f f ，则a ( )
（A） 1 （B） （C） （D）
【答案】C
考点：函数对称；对数的定义与运算
【名师点睛】对已知两个函数的关系及其中一个函数关系式解另一个函数问题，常用相关点
转移法求解，即再所求函数上任取一点，根据题中条件找出该点的相关点，代入已知函数解+
析式，即可得出所求函数的解+析式.
37.【2014 年.浙江卷.文 7】已知函数 cbxaxxxf 23)( ，且 3)3()2()1(0 fff ，
则（ ）
A. 3c B. 63 c C. 96 c D. 9c
【答案】C
试题分析：设 kfff )3()2()1( ，则一元二次方程 0)( kxf 有三个根 1 、 2 、 3 ，
所以 0)3)(2(1()( xxxakxf ，由于 )(xf 的最高次项的系数为1，所以 1a ，
所以 kxxxxf 6116)( 23 ，因为 30 k ，
所以 966 kc .
考点：考查函数与方程的关系，中等题.
【名师点睛】不同主要考查了待定系数法求函数解+析式，解决问题的关键是根据所给条件联
立得到方程组求解参数，根据函数值的范围求解参数范围；求函数解+析式常用的方法：(1)
配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，
便得 f(x)的表达式；(2)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解+析式，可用换元法，此时要注
意新元的取值范围；(3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系
数法；(4)消去法：已知关于 f(x)与 f（
1
x
）或 f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出
另外一个等式组成方程组，通过解方程求出 f(x)．
38. 【2016 高考山东文数】已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x＜0 时，f(x)=x3
-1；当-1≤x≤1
时，f(-x)= —f(x)；当 x＞
1
2
时，f(x+
1
2
)=f(x—
1
2
).则 f(6)= （ ）
（A）-2 （B）-1
（C）0 （D）2
【答案】D
考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.
【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.
本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行
函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.
39.【2015 高考浙江，文 5】函数 1 cosf x x x
x
（ x 且 0x ）的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点定位】1.函数的基本性质；2.函数的图象.
【名师点睛】本题主要考查函数的基本性质以及函数的图象.解答本题时要根据给定函数的解
+析式并根据给出的图象选项情况确定函数的基本性质，利用排除法确定正确的图象.本题属
于容易题.
40. 【2014 年.浙江卷.文 8】在同一坐标系中，函数 )0()( xxxf a ， xxg alog)( 的图象可
能是（ ）
【答案】D
试题分析：对 A，没有幂函数的图象，不符合题目要求；对 B, )0()( xxxf a 中 1a ，
xxg alog)( 中 10 a ，不符合题意；对 C， )0()( xxxf a 中 10 a ， xxg alog)( 中 1a ，
不符合题意；对 D， )0()( xxxf a 中 10 a ， xxg alog)( 中 10 a ，符合题意；故选 D.
考点：幂函数与对数函数的图象判断，容易题.
【名师点睛】本题主要考查了函数的指数与对数函数图像和性质，属于常见题目，难度不大；
识图常用的方法：(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下
降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问
题．
41. 【2016 高考四川文科】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司 2015
年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12％，则该
公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是( )
(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)
(A)2018 年 (B) 2019 年 (C)2020 年 (D)2021 年
【答案】B
考点：1.增长率问题；2.常用对数的应用.
【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作是等比
数列的应用，解题时要注意把哪个作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，
列出不等式或方程就可解得结论．
42. 【2014 高考重庆文第 4题】下列函数为偶函数的是（ ）
. ( ) 1A f x x 2. ( )B f x x x . ( ) 2 2x xC f x . ( ) 2 2x xD f x
【答案】D
试题分析：因为 1f x x 不是奇函数也不是偶函数，所以选项 A不正确；因为 2f x x x
不 是 奇 函 数 也 不 是 偶 函 数 ， 所 以 选 项 B 不 正 确 ； 由 2 2x xf x ，
2 2 2 2x x x xf x f x ，所以 f x 是奇函数，选项 C不正确.由 2 2x xf x ，
2 2 2 2x x x xf x f x ，所以 f x 是偶函数，选项 D正确.故选 D.
考点：函数奇偶性的判断.
【名师点睛】本题考查了函数奇偶性的概念及判断方法，本题属于基础题，注意函数的定义
关系于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.
43. 【 2014 重 庆 文 第 10 题 】 已 知 函 数
1 3, ( 1,0]
( ) , ( ) ( ) 1,1]1
, (0,1]
x
f x g x f x mx mx
x x
且 在（ 内有且仅有两个不同的零点，则
实数m的取值范围是( )
A.
9 1( , 2] (0, ]
4 2
B.
11 1( , 2] (0, ]
4 2
C.
9 2( , 2] (0, ]
4 3
D.
11 2( , 2] (0, ]
4 3
【答案】A
试题分析：
考点：1、分段函数；2、函数的零点；3、数形结合的思想.
【名师点睛】本题考查了分段函数的图象，函数的零点，数形结合的思想，本题属于中档题，
注意转化思想的应用.
44. 【2015 高考重庆，文 3】函数 2
2(x) log (x 2x 3)f = + - 的定义域是（ ）
(A) [ 3,1]- (B) ( 3,1)-
(C) ( , 3] [1, ) (D) ( , 3) (1, )
【答案】D
由 0)1)(3(0322 xxxx 解得 3x 或 1x ，故选 D.
【考点定位】函数的定义域与二次不等式.
【名师点睛】本题考查对数函数的定义域与一元二次不等式式的解法，由对数的真数大于零
得不等式求解.
本题属于基础题，注意不等式只能是大于零不能等于零.
45. 【2014，安徽文 5】设 1.1 3.1
3log 7, 2 , 0.8a b c 则（ ）
A． cab B． bac C． abc D． bca
【答案】B．
考点：1．指数、对数的运算性质．
【名师点睛】指对数比较大小也是高考中常见的考题，常见的方法有：①比较同底数对数的
大小利用函数单调性；②底数不同的对数比较，利用函数图像及相互位置关系比较大小；③
既有指数又有对数，或对数底数与真数都不同时，常采用放缩法或找中间值法，多选 0 和 1
等.
46. 【2015 高考安徽，文 4】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
（A）y=lnx （B） 2 1y x （C）y=sinx （D）y=cosx
【答案】D
选项 A： xy ln 的定义域为（0,+∞），故 xy ln 不具备奇偶性，故 A错误；
选项 B： 12 xy 是偶函数，但 012 xy 无解，即不存在零点，故 B错误；
选项 C： xy sin 是奇函数，故 C错；
选项 D： xy cos 是偶函数，
且 0cos xy kx
2
， zk ，故 D项正确.
【考点定位】本题主要考查函数的奇偶性和零点的概念.
【名师点睛】在判断函数的奇偶性时，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称，然后再
判断 )(xf 与 )( xf 的关系；在判断函数零点时，可分两种情况：①函数图象与 x轴是否有交
点；②令 0)( xf 是否有解；本题考查考生的综合分析能力.
47. 【2015 高考安徽，文 10】函数 3 2f x ax bx cx d 的图像如图所示，则下列结论成
立的是（ ）
（A）a>0，b<0，c>0，d>0
（B）a>0，b<0，c<0，d>0
（C）a<0，b<0，c<0，d>0
（D）a>0，b>0，c>0，d<0
【答案】A
∴
0
3
0
3
2
21
21
a
cxx
a
bxx
0
0
c
b
；故 A正确.
【考点定位】本题主要考查函数的图象和利用函数图象研究函数的性质.
【名师点睛】本题主要是考查考生利用函数图象研究函数的性质，在研究函数的性质时要结
合函数的单调性、奇偶性、零点、以及极值等函数的特征去研究，本题考查了考生的数形结
合能力.
48.【2014，安徽文 9】若函数 ( ) 1 2f x x x a 的最小值 3，则实数的值为 （ ）
A．5或 8 B． 1 或 5 C． 1 或 4 D． 4 或
【答案】D．
试题分析：由题意，①当 1
2
a
时，即 2a ，
3 (1 ),
2
( ) 1, 1
2
3 ( 1), 1
ax a x
af x x a x
x a x
，则当
2
ax
时， min ( ) ( ) | 1 | | | 3
2 2
a af x f a a ，解得 8a 或 4a （舍）；②当 1
2
a
时，
即 2a ，
3 (1 ), 1
( ) 1 , 1
2
3 ( 1),
2
x a x
af x x a x
ax a x
， 则 当
2
ax 时 ，
min ( ) ( ) | 1 | | | 3
2 2
a af x f a a ，解得 8a （舍）或 4a ；③当 1
2
a
时，即
2a ， ( ) 3 | 1|f x x ，此时 min ( ) 0f x ，不满足题意，所以 8a 或 4a ，故选 D．
考点：1．绝对值函数的最值；2．分类讨论思想应用．
【名师点睛】对于含绝对值的不等式或函数问题，首先要考虑的是根据绝对值的意义去绝对
值.常用的去绝对值方法是零点分段法，特别是用于多个绝对值的和或差的问题，另外，利用
绝对值的几何意义解题会加快做题速度.本题还可以利用绝对值的几何意义进行求解.
49. 【2014 天津，文 4】设 ,,log,log 2
2
12
cba 则（ ）
A. cba B. cab C. bca D. abc
【答案】C.
考点：比较大小
【名师点睛】本题考查指数、对数值的比较大小，属于基础题，要求熟练利用指数函数图像、
对数函数图像，借助中间量 0，1进行比较大小.
50. 【2015 高考天津，文 8】已知函数 2
2 | |, 2
( )
( 2) , 2
x x
f x
x x
ì - £ï
= í
- >ïî
,函数 ( ) 3 (2 )g x f x= - - ,则函数
y ( ) ( )f x g x= - 的零点的个数为（ ）
(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5
【答案】A
当 0x 时 2 2x , 所 以 2 2f x x x , 22f x x , 此 时 函 数
22 3 1f x g x f x f x x x 的小于零的零点为
1 5
2
x
;当 0 2x 时
2 2f x x x , 2 2 2f x x x ,函数 2 3 1f x g x x x 无零点;当
2x 时 , 22f x x , 2 2 2 4f x x x , 函 数
2 22 4 3 5 5f x g x x x x x 大于 2 的零点为
5 5
2
x
, 综上可得函数
y ( ) ( )f x g x= - 的零点的个数为 2.故选 A.
【考点定位】本题主要考查分段函数、函数零点及学生分析问题解决问题的能力.
【名师点睛】本题解法采用了直接解方程求零点的方法,这种方法对运算能力要求较高.含有
绝对值的分段函数问题,一直是天津高考数学试卷中的热点,这类问题大多要用到数形结合思
想与分类讨论思想,注意在分类时要做到:互斥、无漏、最简.
51. 【2015 高考天津，文 7】 已知定义在 R 上的函数 | |( ) 2 1( )x mf x m-= - 为实数 为偶函数,记
0.5(log 3),a f= 2b (log 5),c (2 )f f m= = ,则 , ,a b c ,的大小关系为（ ）
(A) b ca < < (B) bc a< < (C) ba c< < (D) bc a< <
【答案】B
【考点定位】本题主要考查函数奇偶性及对数运算.
【名师点睛】函数是高考中的重点与热点,客观题中也会出现较难的题,解决此类问题要充分
利用相关结论.函数 0, 1x my a b a a 的图像关于直线 x m 对称,本题中求 m 的值,用
到了这一结论,本题中用到的另一个结论是对数恒等式: log 0, 1, 0a Na N a a N .
52.【2014 年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷 9】已知 )(xf 是定义在R上的奇函数，
当 0x 时， xxxf 3)( 2 ，则函数 3)()( xxfxg 的零点的集合为（ ）
A.{1,3} B.{ 3, 1,1,3} C.{2 7,1,3} D.{ 2 7,1,3}
【答案】D
试题分析：因为 )(xf 是定义在R上的奇函数，当 0x 时， xxxf 3)( 2 ，
所以当 0x 时， 2( ) = 3f x x x ，所以
0,3
0,3
)(
2
2
xxx
xxx
xf ，
所以
0,34
0,34
)(
2
2
xxx
xxx
xg ，
由
034
0
2 xx
x
解得 1x 或；由
034
0
2 xx
x
解得 72x ，
所以函数 3)()( xxfxg 的零点的集合为{ 2 7,1,3} ，故选 D.
考点：函数的奇偶性的运用，分段函数，函数的零点，一元二次方程的解法，难度中等.
【名师点睛】将函数的奇偶性、分段函数和函数与方程等内容融合在一起，渗透着分类讨论
思想和方程思想，能较好的考查学生知识间的综合能力、知识迁移能力和科学计算能力，其
易错点有二：其一是不能根据函数的奇偶性正确的求出函数 )(xf 的解+析式；其二是合理地
进行分类讨论并验证其合理性.
53. 【2015 高考湖北，文 6】函数
2 5 6( ) 4 | | lg
3
x xf x x
x
的定义域为（ ）
A． (2, 3) B． (2, 4]
C． (2, 3) (3, 4] D． ( 1, 3) (3, 6]
【答案】C .
【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容.
【名师点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等
知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综
合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性.
54. 【2015 高考湖北，文 7】设 xR，定义符号函数
1, 0,
sgn 0, 0,
1, 0.
x
x x
x
则（ ）
A． | | | sgn |x x x B． | | sgn | |x x x
C． | | | | sgnx x x D． | | sgnx x x
【答案】D .
对于选项 A，右边
, 0
| sgn |
0, 0
x x
x x
x
，而左边
, 0
| |
, 0
x x
x
x x
，显然不正确；对于选项 B，右
边
, 0
sgn
0, 0
x x
x x
x
，而左边
, 0
| |
, 0
x x
x
x x
，显然不正确；对于选项C，右边
, 0
sgn 0, 0
, 0
x x
x x x
x x
，
而左边
, 0
| |
, 0
x x
x
x x
，显然不正确；对于选项D，右边
, 0
sgn 0, 0
, 0
x x
x x x
x x
，而左边
, 0
| |
, 0
x x
x
x x
，显然正确；故应选D .
【考点定位】本题考查分段函数及其表示法，涉及新定义，属能力题.
【名师点睛】以新定义为背景，重点考查分段函数及其表示，其解题的关键是准确理解题意
所给的新定义，并结合分段函数的表示准确表达所给的函数.不仅新颖别致，而且能综合考察
学生信息获取能力以及知识运用能力.
55. 【2014 福建,文 8】若函数 log 0, 1ay x a a 且 的图象如右图所示，则下列函数正确
的是 （ ）
【答案】 B
考点：幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质.
【名师点睛】本题主要考查函数图像的识别问题，及分析问题解决问题的能力，求解此题首
先要根据图像经过的特殊点，确定参数的值，然后利用函数的单调性确定正确选项，解决此
类问题要重视特殊点及单调性的应用.
56. 【2014 福建,文 9】要制作一个容积为 34m ，高为 1m 的无盖长方体容器，已知该溶器的
底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是
（ ）
.80 .120 .160 .240A B C D元 元 元 元
【答案】C
试 题 分 析 ： 设 长 方 体 底 面 边 长 分 别 为 ,x y ， 则
4y
x
， 所 以 容 器 总 造 价 为
42( ) 10 20 20( ) 80z x y xy x
x
，由基本不等式得，
420( ) 80 160z x
x
，当且仅当
底面为边长为的正方形时，总造价最低，选C .
考点：函数的应用，基本不等式的应用.
【名师点睛】本题主要考查函数的应用及基本不等式，解决此题的关键是先求出函数解+析式，
再利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正、二定、三相等”
这三个条件,注意创造“定”这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理,
使之可用基本不等式来解决,若多次使用基本不等式,必须保持每次取等的一致性.
57.【2015 高考福建，文 3】下列函数为奇函数的是( )
A． y x B． xy e C． cosy x D． x xy e e
【答案】D
【考点定位】函数的奇偶性．
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，除了要掌握奇偶性定义外，还要深刻理解其定义域特
征即定义域关于原点对称，否则即使满足定义，但是不具有奇偶性，属于基础题．
58. 【2014 辽宁文 3】已知
1
32a
， 2 1
2
1 1log , log
3 3
b c ，则（ ）
A． a b c B．a c b C． c a b D．c b a
【答案】C
试题分析：因为
1
32 (0,1)a
， 2 2
1log log 1 0
3
b ， 1 1
2 2
1 1log log 1
3 2
c ，故c a b .
【考点定位】指数函数和对数函数的图象和性质．
【名师点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质，比较函数值大小问题，往往结合函数的
单调性，通过引入“-1，0，1”等作为“媒介”.本题属于基础题，注意牢记常见初等函数的
性质并灵活运用.
59. (2014 课标全国Ⅰ，文 5)设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是
偶函数，则下列结论中正确的是( )．
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
答案：C
详细分析：由于 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，于是 f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．f(－
x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－f(x)g(x)]，因此 f(x)g(x)是奇函数，故 A错；|f(－x)|g(－x)
＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，因此|f(x)|g(x)是偶函数，故 B错；f(－x)|g(－x)|＝－
f(x)|g(x)|＝－f(x)|g(x)|]，因此 f(x)|g(x)|是奇函数，故 C正确；|f(－x)g(－x)|＝|－
f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，因此|f(x)g(x)|是偶函数，故 D错．
名师点睛：本题考查函数的奇偶性，考查转化能力，中等题. 设 f(x)，g(x)的定义域分别是
D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，
奇×偶＝奇．判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图像法；(3)性质法．
60. 【2015 新课标 2 文 11】如图,长方形的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD
与 DA 运动,记 BOP x ,将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x的函数 f x ,则的图像大
致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
可知
π0,
4
x
时图像不是线段,可排除 A,故选 B.
【考点定位】本题主要考查函数的识图问题及分析问题解决问题的能力.
【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目
一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用
间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项.
61. 【2015 新课标 2文 12】设函数 2
1( ) ln(1 | |)
1
f x x
x
,则使得 ( ) (2 1)f x f x 成立的的
取值范围是（ ）
A．
1 ,1
3
B． 1, 1,
3
C．
1 1,
3 3
D．
1 1, ,
3 3
【答案】A
【考点定位】本题主要考查函数的奇偶性、单调性及不等式的解法.
【名师点睛】本题综合性较强,考查的知识点包括函数的奇偶性及单调性和不等式的解法,本
题解法中用到了偶函数的一个性质,即：
f x f x
,巧妙利用此结论可避免讨论,请同学们
认真体会；另外关于绝对值不等式
2 1x x
的解法,通过平方去绝对值,也是为了避免讨论.
62. 【2014 辽宁文 10】已知 ( )f x 为偶函数，当 0x 时，
1cos , [0, ]
2( )
12 1, ( , )
2
x x
f x
x x
，则不等
式
1( 1)
2
f x 的解集为（ ）
A．
1 2 4 7[ , ] [ , ]
4 3 3 4
B．
3 1 1 2[ , ] [ , ]
4 3 4 3
C．
1 3 4 7[ , ] [ , ]
3 4 3 4
D．
3 1 1 3[ , ] [ , ]
4 3 3 4
【答案】Ａ
试题分析：先画出当 0x 时，函数 ( )f x 的图象，又 ( )f x 为偶函数，故将 y轴右侧的函数图
象关于 y轴对称，得 y轴左侧的图象，如下图所示，直线
1y
2
与函数 ( )f x 的四个交点横坐标
从左到右依次为
3 1 1 3, , ,
4 3 3 4
，由图象可知，
1 31
3 4
x 或
3 11
4 3
x ，解得
x 1 2 4 7[ , ] [ , ]
4 3 3 4
，选 A．
【考点定位】１、分段函数；2、函数的图象和性质；3、不等式的解集．
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性、分段函数、函数的图象和性质、不等式的解集.解答本
题的关键，是利用数形结合思想、转化与化归思想，通过研究函数的图象，得出结论.
本题属于能力题，中等难度.在考查函数的基础知识、不等式的解法等基本内容的同时，考查
了考生的运算能力、数形结合思想及转化与化归思想.
63. 【2014 辽宁文 11】 将函数 3sin(2 )
3
y x
的图象向右平移
2
个单位长度，所得图象对
应的函数（ ）
A．在区间
7[ , ]
12 12
上单调递减
B．在区间
7[ , ]
12 12
上单调递增
C．在区间[ , ]
6 3
上单调递减
D．在区间[ , ]
6 3
上单调递增
【答案】B
【考点定位】1、三角函数图象变换；2、三角函数的单调性．
【名师点睛】本题考查三角函数图象的变换、三角函数图象和性质、复合函数的单调性.其易
错点是平移方向与“+、-”混淆.
本题是一道基础题，重点考查三角函数图象的变换、三角函数图象和性质等基础知识，同时
考查考生的计算能力. 本题是教科书及教辅材料常见题型，能使考生心理更稳定，利于正常
发挥.
二、填空题
1. 【2016 高考四川文科】已知函数 ( )f x 是定义在 R上的周期为 2的奇函数，当 0＜x＜1时，
( ) 4xf x ，则
5( ) (1)
2
f f = .
【答案】-2
考点：1.函数的奇偶性；2.函数的周期性.
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性．属于基础题，在涉及函数求值问题中，可利
用周期性 ( ) ( )f x f x T ，化函数值的自变量到已知区间或相邻区间，如果是相邻区间再利
用奇偶性转化到已知区间上，再由函数式求值即可．
2. 【2015 高考北京，文 10】 32 ，
1
23 ， 2log 5三个数中最大数的是 ．
【答案】 2log 5
3 12 1
8
，
1
23 3 1 ， 2 2log 5 log 4 2 3 ，所以 2log 5最大.
【考点定位】比较大小.
【名师点晴】本题主要考查的是比较大小，属于容易题．解题时一定要注意重要字眼“最大
数”，否则很容易出现错误．函数值的比较大小，通过与 1 ，，的比较大小，利用基本初等函
数的单调性即可比较大小．
3.【2015 高考湖南，文 14】若函数 ( ) | 2 2 |xf x b 有两个零点，则实数的取值范围是_____.
【答案】0 2b
由函数 ( ) | 2 2 |xf x b 有两个零点，可得 | 2 2 |x b 有两个不等的根，从而可得函数
| 2 2 |xy 函数 y b 的图象有两个交点，结合函数的图象可得，0 2b ，故答案为：0 2b .
【考点定位】函数零点
【名师点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解+析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后
数形结合求解．
4. 【 2014 湖南文 15】若 axexf x 1ln 3 是偶函数，则 a ____________.
【答案】
3
2
【考点定位】奇偶性 对数运算
【名师点睛】本题主要考查了函数的奇偶性即对数的有关运算性质，解决问题的关键是根据
偶函数定义得到关于 a的方程，然后运用待定系数法得到对应 a 的方程，计算即可，体现可
转化数学思想的运用，有一定的灵活性.
5. 【2014 高考陕西版文第 12 题】已知 4 2a ， lg x a ，则 x ________.
【答案】 10
试题分析：由 4 2a 得
1
2
a ，所以
1lg
2
x ，解得 10x ，故答案为 10 .
考点：指数方程；对数方程.
【名师点晴】本题主要考查的是指数方程和对数方程，属于容易题；在解答时正确理解指数
式和对数式的意义有助于正确完成此题.
6. 【 2014 高 考 陕 西 版 文 第 14 题 】 已 知 0,
1
)(
x
x
xxf ， 若
Nnxffxfxfxf nn )),(()(),()( 11 ，则 )(2014 xf 的表达式为________.
【答案】
1 2014
x
x
1( )f x 为首项，以 1为公差的等差数列
1
1 1 1 1( 1) 1 ( 1) 1
( ) ( )
1
n
nxn nxf x f x x
x
( ) ( 0)
1n
xf x x
nx
，当 0x 时，
0(0) 0
1 0nf
， ( ) ( 0)
1n
xf x x
nx
，
2014 ( )
1 2014
xf x
x
考点：数列的通项公式；数列与函数之间的关系.
【名师点晴】本题主要考查的是数列的通项公式；数列与函数之间的关系，属于难题．解题
时要紧紧抓住已知条件，得到 1
( )( )
1 ( )
n
n
n
f xf x
f x
，这是解题的关键，而后得到数列
1{ }
( )nf x
是
以 1( )f x 为首项，以 1为公差的等差数列，进而 ( ) ( 0)
1n
xf x x
nx
，则问题可解，解题要有
敏锐的观察力和严密的推理能力
7. 【2014 全国 2，文 15】偶函数 )(xfy 的图像关于直线 2x 对称， 3)3( f ，则
)1(f =________．
【答案】3
因为 )(xfy 的图像关于直线 2x 对称，故 (3) (1) 3f f ，又因为 )(xfy 是偶函数，故
( 1) (1) 3f f ．
【考点定位】函数的奇偶性及对称性.
【名师点睛】本题考查了函数的奇偶性，函数图象的对称性，属于中档题目，根据函数图象
的对称性及奇偶性，找到未知与已知之间的关系，从而由已知即可求得未知.
8. 【2016 高考上海文科】已知点 (3,9)在函数 xaxf 1)( 的图像上，则
________)()( 1 xfxf 的反函数 .
【答案】 2log (x 1)
考点：1.反函数的概念；2.指数函数的图象和性质.
【名师点睛】指数函数与对数函数互为反函数，求反函数的基本步骤是：一解、二换、三注..
本题较为容易.
9. 【2014 四川，文 13】设 ( )f x 是定义在 R上的周期为 2的函数，当 [ 1,1)x 时，
24 2, 1 0,
( )
, 0 1,
x x
f x
x x
，则
3( )
2
f .
【答案】1
试题分析：
3 1 1( ) ( ) 4 2 1
2 2 4
f f .
【考点定位】周期函数及分段函数.
【名师点睛】本题考查函数的周期性和分段函数求值，首先利用周期性把横坐标转化到分段
函数的定义域范围，即可求值
10. 【2015 高考四川，文 12】lg0.01＋log216＝_____________.
【答案】2
lg0.01＋log216＝－2＋4＝2
【考点定位】本题考查对数的概念、对数运算的基础知识，考查基本运算能力.
【名师点睛】对数的运算通常与指数运算相对应，即“若 ab＝N，则 logaN＝b”，因此，
要求 logaN 的值，只需看 a的多少次方等于 N即可，由此可得结论.当然本题中还要注意的是：
两个对数的底数是不相同的，对数符号的写法也有差异，要细心观察，避免过失性失误.属于
简单题.
11. 【2015 高考四川，文 15】已知函数 f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中 a∈R).对于不相等的
实数 x1，x2，设 m＝ 1 2
1 2
( ) ( )f x f x
x x
，n＝ 1 2
1 2
( ) ( )g x g x
x x
，现有如下命题：
①对于任意不相等的实数 x1，x2，都有 m＞0；
②对于任意的 a及任意不相等的实数 x1，x2，都有 n＞0；
③对于任意的 a，存在不相等的实数 x1，x2，使得 m＝n；
④对于任意的 a，存在不相等的实数 x1，x2，使得 m＝－n.
其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).
【答案】①④
存在 x0∈(0，1)，使得 h(x0)＝0，可知函数 h(x)先减后增，有最小值.
因此，对任意的 a，m＝n不一定成立.③错误
对于④，由 f '(x)＝－g'(x)，即 2
xln2＝－2x－a
令 h(x)＝2
xln2＋2x，则 h'(x)＝2
x
(ln2)2
＋2＞0恒成立，
即 h(x)是单调递增函数，
当 x→＋∞时，h(x)→＋∞
当 x→－∞时，h(x)→－∞
因此对任意的 a，存在 y＝a与函数 h(x)有交点.④正确
【考点定位】本题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等基础知识，考查函数
与方程的思想和数形结合的思想，考查分析问题和解决能提的能力.
【名师点睛】本题首先要正确认识 m，n的几何意义，它们分别是两个函数图象的某条弦
的斜率，因此，借助导数研究两个函数的切线变化规律是本题的常规方法，解+析中要注意“任
意不相等的实数 x1，x2”与切线斜率的关系与差别，以及“都有”与“存在”的区别，避免
过失性失误.属于较难题.
12. 【 2014 年 .浙江卷.文 15】设函数
0,
0,22
)(
2
2
xx
xxx
xf ，若 2))(( aff ，则
a .
【答案】 2
试题分析：若 0a ，则 01)1(22)( 22 aaaaf ，
所以 2]22[ 22 aa ，无解；
若 0a ，则 0)( 2 aaf ，所以 22)(2)( 222 aa ，解得 2a .
故 2a .
考点：分段函数，复合函数，容易题.
【名师点睛】本题主要考查了分段函数的图像与性质，解决问题的关键是根据所给条件建立
方程求解即可；分段函数“两种”题型的求解策略：(1)根据分段函数解+析式求函数值，首
先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解+析式代入求解．(2)已知函数值或函数
值范围求自变量的值或范围，应根据每一段的解+析式分别求解，但要注意检验所求自变量的
值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．当分段函数的自变量范围不确定时，应分类
讨论．
13.【2016 高考浙江文数】设函数 f(x)=x3
+3x2
+1．已知 a≠0，且 f(x)–f(a)=(x–b)(x–a)2
，
x∈R，则实数 a=_____，b=______．
【答案】－2；1．
所以 2
2 3 2
2 3
2 0
3
a b
a ab
a b a a
，解得
2
1
a
b
．
考点：函数解+析式.
【思路点睛】先计算 f x f a ，再将 2x b x a 展开，进而对照系数可得含有，的方程
组，解方程组可得和的值．
14. 【2015 高考浙江，文 9】计算： 2
2log
2
， 2 4log 3 log 32 ．
【答案】
1 ,3 3
2
1
2
2 2
2 1log log 2
2 2
； 2 4 2 4log 3 log 3 log 3 log 32 2 2 3 3 3 3 .
【考点定位】对数运算
【名师点睛】本题主要考查对数的运算.主要考查学生利用对数的基本运算法则，正确计算的
对数值.本题属于容易题，重点考查学生正确运算的能力.
15. 【2015 高考浙江，文 12】已知函数
2 , 1
6 6, 1
x x
f x
x x
x
，则 2f f ，
f x 的最小值是 ．
【答案】
1 ;2 6 6
2
【考点定位】1.分段函数求值；2.分段函数求最值.
【名师点睛】本题主要考查分段函数以及函数求最值能力.通过分布计算的方法，求得复合函
数值，根据分段函数的性质，分别求最值.本题属于容易题，主要考查学生基本的运算能力.
16. 【2014，安徽文 11】
3
4
3 3
16 5 4+log log
81 4 5
________．
【答案】
27
8
试题分析：原式=
3
4 4
3 3
2 5 4 27 27log log 1
3 4 5 8 8
考点：1．指对数运算性质．
【名师点睛】对数运算的一般思路：(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数
指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数
对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的
运算．
17. 【2016 高考山东文数】已知函数
2
| |,
( )
2 4 ,
x x m
f x
x mx m x m
其中 0m ，若存在实数 b，使
得关于 x的方程 f（x）=b 有三个不同的根，则 m的取值范围是________________.
【答案】 3,
试题分析：
画出函数图象如下图所示：
由图所示，要 f x b 有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即
2 22 4 , 3 0m m m m m m m ，解得 3m
考点：1.函数的图象与性质；2.函数与方程；3.分段函数
【名师点睛】本题主要考查二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答
本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能
较好的考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.
18. 【2014，安徽文 14】若函数 Rxxf 是周期为 4 的奇函数，且在 2,0 上的解+析式为
21,sin
10),1(
xx
xxx
xf
，则 _______
6
41
4
29
ff ．
【答案】
5
16
考点：1．函数的奇偶性与周期性；2．分段函数求值．
【名师点睛】对于函数求值类问题，需要判断所需求的某个量的函数值是否能满足给定解+
析式，若不能满足，需要通过一定的化简代入进去，这类问题通常喜欢考周期类、分段函数
类和类似数列类，像此题就是周期性类，并且融合了周期性与奇偶性.
19. 【2016 高考北京文数】函数 ( ) ( 2)
1
xf x x
x
的最大值为_________.
【答案】2
考点：函数最值,数形结合
【名师点睛】求函数值域的常用方法：①单调性法，如(5)；②配方法，如(2)；③分离常数
法，如(1)；④数形结合法；⑤换元法(包括代数换元与三角换元)，如(2)，(3)；⑥判别式法，
如(4)；⑦不等式法，如(4)，(5)；⑧导数法，主要是针对在某区间内连续可导的函数；⑨图
象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，如(6)；
对于二元函数的值域问题，如(5)，其解法要针对具体题目的条件而定，有些题目可以将二元
函数化为一元函数求值域，有些题目也可用不等式法求值域．求函数的值域是个较复杂的问
题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的
值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．
20. 【2015 高考安徽，文 14】在平面直角坐标系 xOy中，若直线 ay 2 与函数 1|| axy 的
图像只有一个交点，则的值为 .
【答案】
1
2
在同一直角坐标系内，作出 12 axyay 与 的大致图像，如下图：
由题意，可知
2
112 aa
【考点定位】本题主要靠数形结合思想，函数与方程、零点等基础知识.
【名师点睛】本题根据题意作出函数 1 axy 的大致图象是解决本题的关键，本题主要考
查学生的数形结合的能力.
21. 【2015 高考安徽，文 11】 1)
2
1(2lg2
2
5lg .
【答案】-1
原式＝ 12122lg5lg2lg22lg5lg
【考点定位】本题主要考查对数运算公式和指数幂运算公式.
【名师点睛】本题主要考查考生的基本运算能力，熟练掌握对数运算公式和指数幂运算公式
是解决本题的关键.
22. 【2014 天津，文 12】函数 2( ) lgf x x 的单调递减区间是________.
【答案】 ( ,0).
考点：复合函数单调区间
【名师点睛】本题考查复合函数的单调性有关知识，本题属于基础题，复合函数单调性问题
遵循“同增异减”法则，函数 lgy t 在 (0, ) 上为增函数，函数
2t x 在 ( ,0) 上为减函数，
因此函数 2( ) lgf x x 的单调递减区间是 ( ,0). 值得注意的是，研究函数的单调性问题，务必注
意函数的定义域.
23. 【2014 天津，文 14】已知函数
0,22
0,452
xx
xxx
xf 若函数 xaxfy )( 恰有 4个零
点，则实数的取值范围为_______
【答案】 (1,2)
试题分析：
分别作出函数 ( )y f x 与 | |y a x 的图像，由图知， 0a 时，函数 ( )y f x 与 | |y a x 无交点， 0a
时，函数 ( )y f x 与 | |y a x 有三个交点，故 0.a 当 0x ， 2a 时，函数 ( )y f x 与 | |y a x 有o x
一个交点，当 0x ，0 2a 时，函数 ( )y f x 与 | |y a x 有两个交点，当 0x 时，若 y ax 与
2 5 4,( 4 1)y x x x 相切，则由 0 得： 1a 或 9a （舍），因此当 0x ， 1a 时，函数
( )y f x 与 | |y a x 有两个交点，当 0x ， 1a 时，函数 ( )y f x 与 | |y a x 有三个交点，当 0x ，
0 1a 时，函数 ( )y f x 与 | |y a x 有四个交点，所以当且仅当1 2a 时，函数 ( )y f x 与
| |y a x 恰有 4个交点.
考点：函数图像
【名师点睛】本题考查函数图象与函数零点的有关知识，本题属于中等题，第一步正确画出
图象，利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，第二步涉计参数问题，针对参数
进行分类讨论，按照题目所给零点的条件，找出符合零点要求的参数，讨论要全面，注意数
形结合.．
24. 【2014 年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷 15】如图所示，函数 )(xfy 的图象由
两条射线和三条线段组成.若 Rx ， )1()( xfxf ，则正实数的取值范围是 .
【答案】 )
6
1,0(
考点：函数的奇函数图象的的性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等.
【名师点睛】将含绝对值的函数、函数的奇偶性、分段函数和不等式等内容联系在一起，凸
显了知识之间的联系性、综合性，体现了函数思想、转化与化归的数学思想在函数问题中的
应用，能较好的考查学生的作图能力和综合能力.其解题的关键是正确地画出分段函数的图像
并通过函数图像建立不等关系.
25. 【2015 高考湖北，文 13】函数 2π( ) 2sin sin( )
2
f x x x x 的零点个数为_________.
【答案】.
函数 2π( ) 2sin sin( )
2
f x x x x 的零点个数等价于方程 2π2sin sin( ) 0
2
x x x 的根的个数，即函数
π( ) 2sin sin( ) 2sinxcosx sin 2x
2
g x x x 与 2h(x) x 的图像交点个数.于是，分别画出其函数图像
如下图所示，由图可知，函数 ( )g x 与 h(x)的图像有 2个交点.
【考点定位】本题考查函数与方程，涉及常见函数图像绘画问题，属中档题.
【名师点睛】将函数的零点问题和方程根的问题、函数的交点问题联系在一起，凸显了数学
内知识间的内在联系，充分体现了转化化归的数学思想在实际问题中的应用，能较好的考查
学生准确绘制函数图像的能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.
26. 【2014 上海,文 3】设常数 a R ，函数 2( ) 1f x x x a ，若 (2) 1f ，则
(1)f .
【答案】3
【考点】函数的定义.
【名师点睛】求函数解+析式的四种常用方法
(1)配凑法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x替
代 g(x)，便得 f(x)的表达式；
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
(3)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解+析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(4)解方程组法：已知关于 f(x)与 f
1
x 或 f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一
个等式组成方程组，通过解方程求出 f(x)
27. 【2014 上海,文 9】设
, 0,
( ) 1 , 0,
x a x
f x
x x
x
若 (0)f 是 ( )f x 的最小值，则的取值范围
是 .
【答案】 ( , 2]
由题意，当 0x 时， ( )f x 的极小值为 (1) 2f ，当 0x 时， ( )f x 极小值为 (0)f a ， (0)f 是
( )f x 的最小值，则 2a .
【考点】函数的最值问题..
【名师点睛】求函数最值的五个常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
(4)基本不等式法：先对解+析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不
等式求出最值．
(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．
提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域．
28. 【2014 上海,文 11】若 2
1
3
2
)( xxxf ，则满足 0)( xf 的取值范围是 .
【答案】 (0,1)
【考点】幂函数的性质.
【名师点睛】
1．幂函数 y＝xα的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：
(1)α的正负：α>0 时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；α<0 时，图像不
过原点，在第一象限的图像下降．
(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1 时，曲线下凸；0<α<1 时，曲线上凸；α<0 时，曲
线下凸．
2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，
准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键．
29. 【2016 高考天津文数】已知函数
2 (4 3) 3 , 0
( ) ( 0 1)
log ( 1) 1, 0a
x a x a x
f x a a
x x
且 在 R 上单调递
减，且关于 x的方程 | ( ) | 2
3
xf x 恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是_________.
【答案】
1 2[ , )
3 3
试题分析：由函数 ( )f x 在 R上单调递减得
4 3 1 30,0 1,3 1
2 3 4
a a a a
，又方程
| ( ) | 2
3
xf x 恰有两个不相等的实数解，所以
1 2 13 2, 1 6
3 7
a a
a
，因此的取值范围是
1 2[ , )
3 3
考点：函数综合
【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解+析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形
结合求解．
30. 【2014 福建,文 15】（函数
0,ln62
0,22
xxx
xx
xf 的零点个数是__________.
【答案】
考点：分段函数，函数的零点，函数的图象和性质.
【名师点睛】本题求函数零点，同时使用直接求解与数形结合的方法,这种方法对学生的能力
要求较高.由于分段函数问题,大多要用到分类讨论思想，是考查学生能力的好载体，故一直
是高考数学试卷中的热点,请同学们重视这类题型.
31.【2015 高考福建，文 15】若函数 ( ) 2 ( )x af x a R 满足 (1 ) (1 )f x f x ，且 ( )f x 在[ , )m
单调递增，则实数m的最小值等于_______．
【答案】
由 (1 ) (1 )f x f x 得函数 ( )f x 关于 1x 对称，故 1a ，则 1( ) 2 xf x ，由复合函数单调性
得 ( )f x 在[1, ) 递增，故 1m ，所以实数m的最小值等于．
【考点定位】函数的图象与性质．
【名师点睛】本题考查函数的图象和性质，由已知条件确定 ( )f x 的解+析式，确定递增区间，
进而确定参数取值范围，注意函数的单调递增区间是D和函数在区间D上递增是不同的概念，
其中“单调递增区间是 D”反映了函数本身的属性，而“函数在区间 D上递增”反映函数的
局部性质．
32. 【2015 新课标 2文 13】已知函数 3 2f x ax x 的图像过点（-1,4）,则 a= ．
【答案】-2
【考点定位】本题主要考查利用函数解+析式求值.
【名师点睛】本题考查内容单一，由
1 4f
可直接求得 a 的值,因此可以说本题是一道基
础题,但要注意运算的准确性,由于填空题没有中间分,一步出错,就得零分,故运算要特别细
心.
33. (2014 课标全国Ⅰ，文 15)设函数
1
1
3
e , 1,
, 1,
x x
f x
x x
则使得 f(x)≤2 成立的 x的取值范围
是__________．
答案：(－∞，8]
详细分析：当 x＜1时，由 f(x)＝ex－1≤2，解得 x≤1＋ln 2，又 x＜1，所以 x的取值范围是
x＜1；当 x≥1时，由
1
3 2f x x ，解得 x≤8，又 x≥1，所以 x的取值范围是 1≤x≤8.综
上，x的取值范围是 x≤8，即(－∞，8]．
名师点睛：本题考查分段函数，指数函数、幂函数的性质，简单不等式的解法，考查转化能
力，容易题，注意区别指数函数、幂函数.
34. 【2014 辽宁文 16】对于 0c ，当非零实数 a，b满足 2 24 2 0a ab b c ，且使 | 2 |a b
最大时，
1 2 4
a b c
的最小值为 .
【答案】 1
试 题 分 析 ： 设 2a b t ， 则 2b t a ， 代 入 到 2 24 2 0a ab b c 中 ， 得
224 2 2 2 0a a t a t a c ，即 2 212 6 0a ta t c ……①
因为关于的二次方程①有实根，所以 2 236 4 12 0t t c ，可得 2 4t c ，
2a b 取最大值时，
1
2
a c
b c
或
1
2
3
a c
b c
，
当
1
2
a c
b c
时， 21 2 4 2 2 4 4 4 1 14( ) 1 0
2a b c c cc c c c
，
当
1
2
a c
b c
时， 21 2 4 2 2 4 4 4 1 14( ) 1 1
2a b c c cc c c c
，
综上可知当 4, 1, 2c a b 时，
1 2 4
a b c
的最小值为 1 ．
【考点定位】1、一元二次方程根的判别式；2、二次函数求值域．
【名师点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、二次函数性质等.解答本题的关键，是利用
转化与化归思想，通过构造二次三项式，逐步转化成可用一元二次方程根的判别式、二次函
数的图象和性质等有关结论解答的情形.
本题属于能力题，是一道难题.在考查一元二次方程根的判别式、二次函数性质、绝对值的概
念等基础知识的同时，考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、转化与化归思想.
三、解答题
1.【2015 高考湖北，文 17】a 为实数，函数 2( ) | |f x x ax 在区间[0, 1]上的最大值记为 ( )g a . 当
a _________时， ( )g a 的值最小.
【答案】 2 2 2 .
2 2 2 1a 时， 2 2( ) | |f x x ax x ax 在区间 (0, )
2
a
上递增，在 ( ,1)
2
a
上递减.当
2
ax 时， ( )f x
取得最
大值
2
( )
2 4
a af ；④当 2a 时， 2 2( ) | |f x x ax x ax 在区间 [0, 1]上递增，当 1x 时， ( )f x 取得
最
大值 (1) 1f a ，则
2
1 , 2 2 2
( ) ,2 2 2 2
4
1, 2
a a
ag a a
a a
在 ( ,2 2 2) 上递减， (2 2 2, ) 上递增，即当
2 2 2a 时， ( )g a 的值最小.故应填 2 2 2 .
【考点定位】本题考查分段函数的最值问题和函数在区间上的最值问题，属高档题.
【名师点睛】将含绝对值的二次函数在区间上的最值问题和分段函数的最值问题融合在一起，
运用分类讨论的思想将含绝对值问题转化为分段函数的问题，充分体现了分类讨论和化归转
化的数学思想，能较好的考查知识综合能力.其解题的关键是运用分类讨论求出 ( )g a 的表达式
和分段函数在区间上的最值求法.
2. 【2014 上海,文 20】（本题满分 14 分）本题有 2个小题，第一小题满分 6分，第二小题满
分 1分.
设常数 0a ，函数
a
axf x
x
2
2)(
（1）若=4，求函数 )(xfy 的反函数 )(1 xfy ；
（2）根据的不同取值，讨论函数 )(xfy 的奇偶性，并说明理由.
【答案】（1） 1
2
1( ) 2 log
1
xf x
x
， ( , 1) (1, )x ；（2） 1a 时 ( )y f x 为奇函数，
当 0a 时 ( )y f x 为偶函数，当 0a 且 1a 时 ( )y f x 为非奇非偶函数．
知函数 ( )f x 具有奇偶性，在 0 1a a 且 时，函数的定义域是 2logx a ，不关于原点对称，因
此函数既不是奇函数也不是偶函数．
试题详细分析：（1）由
2 4
2 4
x
xy
，解得
4( 1)2
1
x y
y
，从而 1 1y y 或 ， 2
4( 1)log
1
yx
y
∴ 1
2
4( 1)( ) log
1
xf x
x
， ( , 1) (1, )x
（2）∵
2( )
2
x
x
af x
a
且 0a
∴①当 0a 时， ( ) 1,f x x R ，
∴对任意的 x R 都有 ( ) ( )f x f x ，∴ ( )y f x 为偶函数
②当 1a 时，
2 1( ) , 0
2 1
x
xf x x
，
2 1 1 2( )
2 1 1 2
x x
x xf x
，
∴对任意的 0x 且 x R 都有 ( ) ( )f x f x ，∴ ( )y f x 为奇函数
③当 0a 且 1a 时，定义域为 2log , }x x a x R ，
∴定义域不关于原定对称，∴ ( )y f x 为非奇非偶函数
【考点】反函数，函数奇偶性．
【名师点睛】1.求反函数，就是把函数式中的 ,x y互换，即得反函数的解+析式，还要注
意的是一般要求出原函数的值域，即为反函数的定义域；.
2.判断函数奇偶性的两个方法
(1)定义法：
(2)图像法：
3. 【2016 高考上海文科】（本题满分 16 分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2
小题满分 6分，第 3小题满分 6分.
已知 aR，函数 ( )f x = 2
1log ( )a
x
.
（1）当 1a 时，解不等式 ( )f x >1；
（2）若关于 x的方程 ( )f x + 2
2log ( )x =0 的解集中恰有一个元素，求 a的值；
（3）设 a >0，若对任意 t 1[ ,1]
2
，函数 ( )f x 在区间[ , 1]t t 上的最大值与最小值的差不超
过 1，求 a的取值范围.
【答案】（1） | 0 1x x ．（2） 0a 或
1
4
．（3）
2 ,
3
．
确定函数 f x 在区间 , 1t t 上的最大值与最小值之差.得到 2 1 1 0at a t ，对任意
1 ,1
2
t
成立．
试题详细分析： （1）由 2
1log 1 1
x
，得
1 1 2
x
，解得 | 0 1x x ．
（2） 22 2
1log log 0a x
x
有且仅有一解，
等价于 21 1a x
x
有且仅有一解，等价于 2 1 0ax x 有且仅有一解．
当 0a 时， 1x ，符合题意；
当 0a 时， 1 4 0a ，
1
4
a ．
综上， 0a 或
1
4
．
（3）当 1 20 x x 时，
1 2
1 1a a
x x
， 2 2
1 2
1 1log loga a
x x
，
所以 f x 在 0, 上单调递减．
函数 f x 在区间 , 1t t 上的最大值与最小值分别为 f t ， 1f t ．
2 2
1 11 log log 1
1
f t f t a a
t t
即 2 1 1 0at a t ，对任意
1 ,1
2
t
成立．
因为 0a ，所以函数 2 1 1y at a t 在区间
1 ,1
2
上单调递增，
所以
1
2
t 时， y有最小值
3 1
4 2
a ，由
3 1 0
4 2
a ，得
2
3
a ．
故的取值范围为
2 ,
3
．
考点：1.对数函数的性质；2.函数与方程；3.二次函数的性质.
【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题关键是利用转化与化归思
想、应用函数的性质，将问题转化成二次函数问题，应用确定函数最值的方法---如二次函数
的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..
本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.学￥科
1.【2015 高考北京，文 8】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油
时的情况．
加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）
2015年月日 12 35000
2015年月15日 48 35600
注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗
油量为（ ）
A．升 B．升 C．10升 D．12升
【答案】B
【考点定位】平均变化率.
【名师点晴】本题主要考查的是平均变化率，属于中档题．解题时一定要抓住重要字眼“每100
千米”和“平均”，否则很容易出现错误．解此类应用题时一定要万分小心，除了提取必要的
信息外，还要运用所学的数学知识进行分析和解决问题．
2.【2014高考陕西版文第 10题】如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑
连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解+析式为（ ）
（A） 3 21 1
2 2
y x x x （B） 3 21 1 3
2 2
y x x x
（C） 31
4
y x x （D） 3 21 1 2
4 2
y x x x
【答案】 A
试题分析：由题目图像可知：该三次函数过原点，故可设该三次函数为
3 2( )y f x ax bx cx ，则 2( ) 3 2y f x ax bx c ，由题得： (0) 1f ， (2) 0f ， (2) 3f
即
1
8 4 2 0
12 4 3
c
a b c
a b c
，解得
1
2
1
2
1
a
b
c
，所以 3 21 1
2 2
y x x x ，故选 A .
考点：函数的解+析式.
【名师点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的性质，函数的解+析式等知识，属于难题.
解题时要认真理解题意，“一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲
路段为某三次函数图像的一部分”，确定函数为三次函数，然后由已知函数图像，将图像语
言转化为数学语言， (0) 1f ， (2) 0f ， (2) 3f ，从而确定出参数 , ,a b c 学#
3.【2016 高考四川文科】设直线 l1，l2分别是函数 f(x)=
ln ,0 1,
ln , 1,
x x
x x
图象上点 P1，P2处的
切线，l1与 l2垂直相交于点 P，且 l1，l2分别与 y轴相交于点 A，B，则△PAB的面积的取值范
围是( )
(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)
【答案】A
1 1
1
1lny x x x
x
，切线 2l 的方程为 2 2
2
1lny x x x
x
，即 1 1
1
1lny x x x
x
.分别
令 0x 得 1 10 , 1 ln , 0 ,1 ln .A x B x 又 与 2l 的 交 点 为
2 2
1 1 1 1
1 12 2 2 2
1 1 1 1
2 1 1 2 1, ln . 1 , 1 , 0 1
1 1 2 1 1PAB A B P PAB
x x x xP x x S y y x S
x x x x
， 故 选
A.
考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.
【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，
利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点 ,A B坐标，由两直线相交得
出 P点坐标，从而求得面积，题中把面积用 1x 表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是
根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，
简单而实用．
4.【2017 课标 1，文 14】曲线
2 1y x
x
在点（1，2）处的切线方程为______________．
【答案】 1y x
【考点】导数几何意义
【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出
切点 ),( 00 yxP 及斜率，其求法为：设 ),( 00 yxP 是曲线 )(xfy 上的一点，则以 P的切点的切
线方程为： ))((' 000 xxxfyy ．若曲线 )(xfy 在点 ))(,( 00 xfxP 的切线平行于 y轴（即导
数不存在）时，由切线定义知，切线方程为 0xx ．
5.【2017 天津，文 10】已知 aR ，设函数 ( ) lnf x ax x 的图象在点（1， (1)f ）处的切线为 l，
则 l在 y轴上的截距为 .
【答案】
试题分析： (1)f a ，切点为 (1, )a ，
1( )f x a
x
，则切线的斜率为 (1) 1f a ，切线方程为：
( 1)( 1)y a a x ，令 0x 得出 1y ，在 y轴的截距为.
【考点】导数的几何意义
【名师点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题型，函数 f x 在点 0x 处的导数 0f x
的几何意义是曲线 y f x 在点 0 0,P x y 处的切线的斜率．相应地，切线方程为
0 0 0y y f x x x ．注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同,
谨记，有切点直接带入切点，没切点设切点，建立方程组求切点.
6.【2014 高考广东卷.文.11】曲线 5 3xy e 在点 0, 2 处的切线方程为________.
【答案】 5 2y x 或5 2 0x y .
5 3xy e , 5 xy e ,故所求的切线的斜率为 05 5k e ,
故所求的切线的方程为 2 5y x ,即 5 2y x 或5 2 0x y .
【考点定位】本题考查利用导数求函数图象的切线问题,属于中等题.
【名师点晴】本题主要考查的是导数的几何意义和直线的方程，属于容易题．解题时一定要
抓住重要字眼“在点 0, 2 处”，否则很容易出现错误．解导数的几何意义问题时一定要抓住
切点的三重作用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切点处的导数值等于切线的斜率．
7. 2016高考新课标Ⅲ文数]已知 f x 为偶函数，当 0x 时， 1( ) xf x e x ，则曲线 y f x
在 (1, 2)处的切线方程式_____________________________.
【答案】 2y x
考点：1、函数的奇偶性；2、解+析式；3、导数的几何意义．
【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当 0x 时，函数 ( )y f x ，则当 0x 时，求函数的解
+析式”．有如下结论：若函数 ( )f x 为偶函数，则当 0x 时，函数的解+析式为 ( )y f x ；若
( )f x 为奇函数，则函数的解+析式为 ( )y f x ．
8. 【2015 高考陕西，文 15】函数 xy xe 在其极值点处的切线方程为____________.
【答案】
1y
e
( ) ( ) (1 )x xy f x xe f x x e ，令 ( ) 0 1f x x ，此时
1( 1)f
e
函数 xy xe 在其极值点处的切线方程为
1y
e
【考点定位】：导数的几何意义.
【名师点睛】1.本题考查导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点处切线方程等基础知识，
考查运算求解能力.2.解决导数几何意义的问题时要注意抓住切点的三重作用：○1切点在
曲线上；○2切点在切线上；○3切点处导函数值等于切线斜率.
9.【2015高考新课标 1，文 14】已知函数 3 1f x ax x 的图像在点 1, 1f 的处的切线过
点 2,7 ，则 a .
【答案】1
考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；
【名师点睛】对求过某点的切线问题，常设出切点，利用导数求出切线方程，将已知点代入
切线方程得到关于切点横坐标的方程，解出切点的横坐标，即可求出切线方程，思路明确，
关键是运算要细心.
10. 【2014，安徽文 15】若直线与曲线C满足下列两个条件：
)(i 直线在点 00 , yxP 处与曲线C相切； )(ii 曲线C在 P附近位于直线的两侧，则称直线在点P
处“切过”曲线C，
下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)
①直线 0: yl 在点 0,0P 处“切过”曲线C： 3y x
②直线 1: xl 在点 0,1P 处“切过”曲线C： 2)1( xy
③直线 xyl : 在点 0,0P 处“切过”曲线C： xy sin
④直线 xyl : 在点 0,0P 处“切过”曲线C： xy tan
⑤直线 1: xyl 在点 0,1P 处“切过”曲线C： xy ln
【答案】①③④，
试题分析：由题意，① 3y x 上在 0,0P 处的切线方程为 0x ，曲线C在P附近位于切线的
两侧，满足条件；② 2)1( xy 上在 1,0P 处的切线方程为 0x ，曲线C在 P附近位于切
线的同侧，不满足条件；③ xy sin 上在 0,0P 处的切线方程为 y x ，曲线C在 P附近位于
切线的两侧，满足条件；④ xy tan 上在 0,0P 处的切线方程为 y x ，曲线C在P附近位于
切线的两侧，满足条件；⑤ xy ln 上在 1,0P 处的切线方程为 1y x ，曲线C在P附近位
于切线的同侧，不满足条件，故选①③④，如下图：
考点：1，函数的切线方程；2，对定义的理解，
【名师点睛】对于函数新定义的创新题，要紧扣题目中所给的信息和对已知条件的解读理解，
将其转化为已有的认知结构，然后利用函数性质解题.已知 ( )f x 在点 0 0( , ( ))x f x 处的切线方程
为 0 0 0'( )( )y y f x x x .
11.【2015高考天津，文 11】已知函数 ln , 0,f x ax x x ,其中 a为实数, f x 为 f x
的导函数,若 1 3f ,则 a的值为 ．
【答案】3
【考点定位】本题主要考查导数的运算法则.
【名师点睛】本题考查内容单一,求出 1 lnf x a x 由,再由 1 3f 可直接求得 a的值,因
此可以说本题是一道基础题,但要注意运算的准确性,由于填空题没有中间分,一步出错,就得零
分,故运算要特别细心.
12.【2015新课标 2文 16】已知曲线 lny x x 在点 1,1 处的切线与曲线 2 2 1y ax a x
相切,则 a= ．
【答案】8
【考点定位】本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题.
【名师点睛】求曲线在某点处的切线方程的方法是：求出函数在该点处的导数值即为切线斜
率,然后用点斜式就可写出切线方程.而直线与抛物线相切则可以通过判别式来解决,本题将导
数的几何意义与二次函数交汇在一起进行考查,具有小题综合化的特点.
13.【2017 山东，文 20】（本小题满分 13分）已知函数 3 21 1 ,
3 2
f x x ax a R .,
(I)当 a=2时,求曲线 y f x 在点 3, 3f 处的切线方程；
(II)设函数 cos sing x f x x a x x ,讨论 g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出
极值.
【答案】(I)3 9 0x y ,（2）(II)⑴ 0a 无极值；⑵ 0a 极大值为 31 sin
6
a a ,极小值为 a ；
⑶ 0a 极大值为 a ,极小值为 31 sin
6
a a .
试题分析：(I)根据求出切线斜率,再用点斜式写出切线方程；(II)由 ( )( sin )g x x a x x ,通
过讨论确定 g x 单调性,再由单调性确定极值.
试题详细分析：（I）由题意 ' 2( )f x x ax ，
所以，当 2a 时， (3) 0f ， ' 2( ) 2f x x x ，
所以 '(3) 3f ，
因此，曲线 ( )y f x 在点 (3, (3))f 处的切线方程是 3( 3)y x ，
即3 9 0x y .
（II）因为 ( ) ( ) ( ) cos sing x f x x a x x ，
所以 ' '( ) ( ) cos ( )sin cosg x f x x x a x x ，
( ) ( ) sinx x a x a x
( )( sin )x a x x
令 ( ) sinh x x x ，
则 ' ( ) 1 cos 0h x x ，
所以 ( )h x 在 R上单调递增，
因为 (0) 0h ，
所以，当 0x 时， ( ) 0h x ；当 0x 时， ( ) 0h x .
所以，当 x a 时， ( )g x 取到极大值，极大值是 31( ) sin
6
g a a a ，
当 0x 时， ( )g x 取到极小值，极小值是 (0)g a .
（2）当 0a 时， ' ( ) ( sin )g x x x x ，
当 ( , )x 时， '( ) 0g x ， ( )g x 单调递增；
所以， ( )g x 在 ( , ) 上单调递增， ( )g x 无极大值也无极小值.
（3）当 0a 时， ' ( ) ( )( sin )g x x a x x ，
当 ( ,0)x 时， 0x a ， '( ) 0g x ， ( )g x 单调递增；
当 (0, )x a 时， 0x a ， '( ) 0g x ， ( )g x 单调递减；
当 ( , )x a 时， 0x a ， '( ) 0g x ， ( )g x 单调递增.
所以，当 0x 时， ( )g x 取到极大值，极大值是 (0)g a ；
当 x a 时， ( )g x 取到极小值，极小值是 31( ) sin
6
g a a a .
综上所述：
当 0a 时，函数 ( )g x 在 ( , )a 和 (0, ) 上单调递增，在 ( ,0)a 上单调递减，函数既有极大值，
又有极小值，极大值是 31( ) sin
6
g a a a ，极小值是 (0)g a .
当 0a 时，函数 ( )g x 在 ( , ) 上单调递增，无极值；
当 0a 时，函数 ( )g x 在 ( ,0) 和 ( , )a 上单调递增，在 (0, )a 上单调递减，函数既有极大值，
又有极小值，极大值是 (0)g a ，极小值是 31( ) sin
6
g a a a .
【考点】导数的几何意义及导数的应用
【名师点睛】(1)求函数 f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数 f′(x)；③解方程 f′(x)
＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验 f′(x)在 f′(x)＝0的根 x0左右两侧值的符号,如果左正右
负,那么 f(x)在 x0处取极大值,如果左负右正,那么 f(x)在 x0处取极小值．(2)若函数 y＝f(x)在区间
(a,b)内有极值,那么 y＝f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．
14.【2017 北京，文 20】已知函数 ( ) e cosxf x x x ．
（Ⅰ）求曲线 ( )y f x 在点 (0, (0))f 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 ( )f x 在区间
π[0, ]
2
上的最大值和最小值．
【答案】(Ⅰ) 1y ；（Ⅱ）最大值 1；最小值
2
.
试题详细分析：（Ⅰ）因为 ( ) e cosxf x x x ，所以 ( ) e (cos sin ) 1, (0) 0xf x x x f .
又因为 (0) 1f ，所以曲线 ( )y f x 在点 (0, (0))f 处的切线方程为 1y .
（Ⅱ）设 ( ) e (cos sin ) 1xh x x x ，则 ( ) e (cos sin sin cos ) 2e sinx xh x x x x x x .
当
π(0, )
2
x 时， ( ) 0h x ，
所以 ( )h x 在区间
π[0, ]
2
上单调递减.
所以对任意
π(0, ]
2
x 有 ( ) (0) 0h x h ，即 ( ) 0f x .
所以函数 ( )f x 在区间
π[0, ]
2
上单调递减.
因此 ( )f x 在区间
π[0, ]
2
上的最大值为 (0) 1f ，最小值为
π π( )
2 2
f .
【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求函数的最值.
【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是
需要求二阶导数，因为 f x 不能判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设
h x f x ，再求 h x ，一般这时就可求得函数 h x 的零点，或是 h x 恒成立，这样就
能知道函数 h x 的单调性，根据单调性求最值，从而判断 y f x 的单调性，求得最值.
15.【2016高考新课标 2文数】已知函数 ( ) ( 1) ln ( 1)f x x x a x .
（I）当 4a 时，求曲线 ( )y f x 在 1, (1)f 处的切线方程；
（Ⅱ）若当 1,x 时， ( ) 0f x＞ ，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ） 2 2 0x y ；（Ⅱ） , 2 .
试题详细分析：（I） ( )f x 的定义域为 (0, ) .当 4a 时，
1( ) ( 1) ln 4( 1), ( ) ln 3 f x x x x f x x
x ， (1) 2, (1) 0. f f
所以曲线 ( )y f x 在 (1, (1))f 处的切线方程为2 2 0.x y
（II）当 (1, ) x 时， ( ) 0f x 等价于
( 1)ln 0.
1
a xx
x
令
( 1)( ) ln
1
a xg x x
x
，
则
2
2 2
1 2 2(1 ) 1( ) , (1) 0
( 1) ( 1)
a x a xg x g
x x x x ，
（i）当 2a ， (1, ) x 时， 2 22(1 ) 1 2 1 0 x a x x x ，
故 ( ) 0, ( ) g x g x 在 (1, ) x 上单调递增，因此 ( ) 0g x ；
（ii）当 2a 时，令 ( ) 0 g x 得 2 2
1 21 ( 1) 1, 1 ( 1) 1 x a a x a a ，
由 2 1x 和 1 2 1x x 得 1 1x ，
故当 2(1, )x x 时， ( ) 0 g x ， ( )g x 在 2(1, )x x 单调递减，因此 ( ) 0g x .
综上，的取值范围是 , 2 .
考点： 导数的几何意义，函数的单调性.
【名师点睛】求函数的单调区间的方法：
(1)确定函数 y＝f(x)的定义域；
(2)求导数 y′＝f′(x)；
(3)解不等式 f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式 f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
16.【2015高考山东，文 20】设函数 . 已知曲线 在点
(1, (1))f 处的切线与直线 平行.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）是否存在自然数，使得方程 ( ) ( )f x g x 在 ( , 1)k k 内存在唯一的根？如果存在，求出；
如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数 ( ) min{ ( ), ( )}m x f x g x （ { },min p q 表示， ,p q中的较小值），求 m x 的最大值.
【答案】（I） 1a ；(II) 1k ；(III) 2
4
e
.
设
2
( ) ( ) ( ) ( 1) ln ,x
xh x f x g x x x
e
当 (0,1]x 时， ( ) 0h x .
又 2 2
4 4(2) 3ln 2 ln8 1 1 0,h
e e
所以存在 0 (1, 2)x ，使 0( ) 0h x .
因为
1 ( 2)'( ) ln 1 ,x
x xh x x
x e
所以当 (1, 2)x 时，
1'( ) 1 0h x
e
，当 (2, )x 时，
'( ) 0h x ，
所以当 (1, )x 时， ( )h x 单调递增.
所以 1k 时，方程 ( ) ( )f x g x 在 ( , 1)k k 内存在唯一的根.
（III）由（II）知，方程 ( ) ( )f x g x 在 (1, 2)内存在唯一的根 0x ，且 0(0, )x x 时， ( ) ( )f x g x ，
0( , )x x 时， ( ) ( )f x g x ，所以
0
2
0
( 1) ln , (0, ]
( )
, ( , )x
x x x x
m x x x x
e
.
当 0(0, )x x 时，若 (0,1], ( ) 0;x m x
若 0(1, ),x x 由
1'( ) ln 1 0,m x x
x
可知 00 ( ) ( );m x m x 故 0( ) ( ).m x m x
当 0( , )x x 时，由
(2 )'( ) ,x
x xm x
e
可得 0( , 2)x x 时， '( ) 0, ( )m x m x 单调递增； (2, )x 时，
'( ) 0, ( )m x m x 单调递减；
可知 2
4( ) (2) ,m x m
e
且 0( ) (2)m x m .
综上可得函数 ( )m x 的最大值为 2
4
e
.
【考点定位】1.导数的几何意义；2.应用导数研究函数的单调性、最值；3.函数零点存在性定
理.
【名师点睛】本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的性质、函数零点存在性定理
等，解答本题的主要困难是（II）(III)两小题，首先是通过构造函数，利用函数零点存在性
定理，作出判断，并进一步证明函数在给定区间的单调性，明确方程 ( ) ( )f x g x 在 ( , 1)k k 内
存在唯一的根.其次是根据（II）的结论，确定得到 ( )m x 的表达式，并进一步利用分类讨论
思想，应用导数研究函数的单调性、最值.
本题是一道能力题，属于难题.在考查导数的几何意义、应用导数研究函数的性质、函数零点
存在性定理等基础知识的同时，考查考生的计算能力、应用数学知识分析问题解决问题的能
力及分类讨论思想.本题是教辅材料的常见题型，有利于优生正常发挥.
17.【2014 全国 2，文 21】（本小题满分 12分）
已知函数 3 2( ) 3 2f x x x ax ，曲线 ( )y f x 在点 (0,2)处的切线与轴交点的横坐标为
2 .
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）证明：当 1k 时，曲线 ( )y f x 与直线 2y kx 只有一个交点.
：（Ⅰ） 2'(x) 3x 6x af ， '(0)f a ．曲线 ( )y f x 在点 (0,2)处的切线方程为 y 2ax ．由
题设得，
2 2
a
，所以 1a ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得， 3 2( ) 3 2f x x x x ．设 3 2( ) ( ) kx 2 3 (1 k) 4g x f x x x x ．由
题设得1 k 0 ．当 0x 时， 2'( ) 3 6 1 0g x x x k ， g( )x 单调递增， g( 1) k 1 0 ，
g(0) 4 ，所以 g( ) 0x 在 ( ,0) 有唯一实根．当 0x 时，令 3 2( ) 3 4h x x x ，则
( ) ( ) (1 k) x ( )g x h x h x ． 2'( ) 3xh x 6 3 (x 2)x x ， ( )h x 在 (0,2)单调递减；在 (2, ) 单
调递增.所以 ( ) ( ) (2) 0g x h x h ．所以 ( )=0g x 在 (0, ) 没有实根，综上， ( )=0g x 在R上有
唯一实根，即曲线 ( )y f x 与直线 2y kx 只有一个交点.
【考点定位】1. 利用导数研究曲线上某点切线方程；2. 利用导数研究函数图象的交点．
【名师点睛】本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的
值域，综合性强，属于难题，第二问，需将两个函数交点个数的问题转化为一个函数的零的
个数问题来加以研究．要求学生有较强的推理能力和计算能力．
18.【2016高考北京文数】（本小题 13分）
设函数 3 2 .f x x ax bx c
（I）求曲线 .y f x 在点 0, 0f 处的切线方程；
（II）设 4a b ，若函数 f x 有三个不同零点，求 c的取值范围；
（III）求证： 2 3 0a b ＞ 是 .f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.
【答案】（Ⅰ） y bx c ;（Ⅱ）
320,
27
c
;（III）见解+析.
试题详细分析：（I）由 3 2f x x ax bx c ，得 23 2f x x ax b ．
因为 0f c ， 0f b ，
所以曲线 y f x 在点 0, 0f 处的切线方程为 y bx c ．
（II）当 4a b 时， 3 24 4f x x x x c ，
所以 23 8 4f x x x ．
令 0f x ，得 23 8 4 0x x ，解得 2x 或
2
3
x ．
f x 与 f x 在区间 , 上的情况如下：
, 2 2
22,
3
2
3
2 ,
3
f x
f x
32
27
c
所以，当 0c 且
32 0
27
c 时，存在 1 4, 2x ， 2
22,
3
x
，
3
2 ,0
3
x
，使得 1 2 3 0f x f x f x ．
由 f x 的单调性知，当且仅当
320,
27
c
时，函数 3 24 4f x x x x c 有三个不同零点．
（III）当 24 12 0a b 时， 23 2 0f x x ax b ， ,x ，
此时函数 f x 在区间 , 上单调递增，所以 f x 不可能有三个不同零点．
当 24 12 0a b 时， 23 2f x x ax b 只有一个零点，记作 0x ．
当 0,x x 时， 0f x ， f x 在区间 0, x 上单调递增；
当 0 ,x x 时， 0f x ， f x 在区间 0 ,x 上单调递增．
所以 f x 不可能有三个不同零点．
综上所述，若函数 f x 有三个不同零点，则必有 24 12 0a b ．
故 2 3 0a b 是 f x 有三个不同零点的必要条件．
当 4a b ， 0c 时， 2 3 0a b ， 23 24 4 2f x x x x x x 只有两个不同
零点，所以 2 3 0a b 不是 f x 有三个不同零点的充分条件．
因此 2 3 0a b 是 f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．
考点：利用导数研究曲线的切线；函数的零点
【名师点睛】
1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明．
2．求参数范围问题的常用方法：(1)分离变量；(2)运用最值．
3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论．
4．高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，
从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关
键
19.【2014 高考重庆文第 19 题】（本小题满分 12 分，（Ⅰ）小问 5分，（Ⅱ）小问 7分）
已知函数
2
3ln
4
)( x
x
axxf ，其中 Ra ，且曲线 )(xfy 在点 ))1(,1( f 处的切线垂直于
xy
2
1
.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数 )(xf 的单调区间与极值.
【答案】（Ⅰ）
5
4
a ；（Ⅱ）单调递增区间 5, ，单调递减区间 0,5 ， =f x
极小
5 ln5f
试题详细分析：
解：（Ⅰ）对 f x 求导得 2
1 1
4
af x
x x
，由 f x 在点 1, 1f 处切线垂直于直线
1
2
y x 知
3 2,
4
f x a 解得
5
4
a ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
5 3( ) ln
4 4 2
xf x x
x
，则
2
2 2
1 5 1 4 5 ,
4 4 4
x xf x
x x x
令 0f x ，解得 1x 或 5x .因 1x 不在 f x 的定义域 0, 内，故舍去.
当 0,5x 时， 0,f x 故 f x 在 0,5 内为减函数；
当 5,x 时， 0,f x 故 f x 在 5, 内为增函数；
由此知函数 f x 在 5x 时取得极小值 5 ln5f .
考点：1、导数的求法；2、导数的几何意义；3、导数在研究函数性质中的应用.
【名师点睛】本题考查了导数的求法，导数的几何意义，导数在研究函数性质中的应用，属
于中档题，准确应用导数公式及导数的运算法则是关键．
20.【2015高考天津，文 20】（本小题满分 14分）已知函数 4( ) 4 , ,f x x x x R= - Î
（I）求 ( )f x 的单调区间;
（II）设曲线 ( )y f x= 与轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P处的切线方程为 ( )y g x= ,求证:对于
任意的正实数,都有 ( ) ( )f x g x£ ;
（III）若方程 ( )= ( )f x a a为实数 有两个正实数根 1 2x x， ，且 1 2x x< ,求证:
1
3
2 1- 4
3
ax x < - + .
【答案】（I） f x 的单调递增区间是 ,1 ,单调递减区间是 1, ;（II）见试题解+析;
（III）见试题解+析.
根为 2x ,可得
1
3
2 4
12
ax ,由 g x 在 , 单调递减,得 2 2 2g x f x a g x ,所
以 2 2x x .设曲线 y f x 在原点处的切线为 ,y h x 方程 h x a 的根为 1x ,可得
1 4
ax ,由 4h x x 在在 , 单调递增,且 1 1 1h x a f x h x ,可得 1 1,x x 所
以
1
3
2 1 2 1 4
3
ax x x x .
试题详细分析:（I）由 4( ) 4f x x x= - ,可得 3( ) 4 4f x x¢ = - ,当 0f x ,即 1x 时,函数 f x 单
调递增;当 0f x ,即 1x 时,函数 f x 单调递减.所以函数 f x 的单调递增区间是
,1 ,单调递减区间是 1, .
（ II）设 0 ,0P x ,则
1
3
0 4x , 0 12,f x 曲线 y f x 在点 P 处的切线方程为
0 0y f x x x , 即 0 0g x f x x x , 令 F x f x g x 即
0F x f x f x x x 则 0F x f x f x .
由于 3( ) 4 4f x x¢ = - 在 , 单调递减,故 F x 在 , 单调递减,又因为 0 0F x ,所
以当 0,x x 时, 0F x ,所以当 0 ,x x 时, 0F x ,所以 F x 在 0, x 单调递增,
在 0 ,x 单调递减 ,所以对任意的实数 x, 0 0F x F x ,对于任意的正实数 ,都有
( ) ( )f x g x£ .
（III）由（II）知
1
312 4g x x
,设方程 g x a 的根为 2x ,可得
1
3
2 4
12
ax ,因为 g x
在 , 单调递减,又由（II）知 2 2 2g x f x a g x ,所以 2 2x x .类似的,设曲线
y f x 在原点处的切线为 ,y h x 可得 4h x x ,对任意的 ,x ,有
4 0f x h x x 即 f x h x .设方程 h x a 的根为 1x ,可得 1 4
ax ,因为
4h x x 在 , 单 调 递 增 ,且 1 1 1h x a f x h x ,因 此 , 1 1,x x 所 以
1
3
2 1 2 1 4
3
ax x x x .
【考点定位】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用.考查函数思想、化归思想及综合分
析问题解决问题的能力
【名师点睛】给出可导函数求单调区间,实质是解关于导函数的不等式,若函数解+析式中不含
参数,一般比较容易.不过要注意求单调区间,要注意定义域优先原则,且结果必须写成区间形式,
不能写成不等式形式;利用导数证明不等式是近几年高考的一个热点,解决此类问题的基本思
路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性和极值破解.
1.【2017 浙江，7】函数 y=f(x)的导函数 ( )y f x 的图像如图所示，则函数 y=f(x)的图像可
能是
【答案】D
【考点】 导函数的图象
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为 0x ，
且图象在 0x 两侧附近连续分布于轴上下方，则 0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨
论函数单调性时，由导函数 )(' xf 的正负，得出原函数 )(xf 的单调区间．
2【2015 高考湖南，文 8】设函数 ( ) ln(1 ) ln(1 )f x x x ，则 ( )f x 是( )
A、奇函数，且在（0,1）上是增函数 B、奇函数，且在（0,1）上是减函数
C、偶函数，且在（0,1）上是增函数 D、偶函数，且在（0,1）上是减函数
【答案】A
函数 ( ) ln(1 ) ln(1 )f x x x ，函数的定义域为（-1，1），函数 ( ) ln(1 ) ln(1 ) ( )f x x x f x
所以函数是奇函数． 2
1 1 1'
1 1 1
f x
x x x
，在（0,1）上 ' 0f x ，所以 ( )f x 在(0,1)
上单调递增，故选 A.
【考点定位】利用导数研究函数的性质
【名师点睛】利用导数研究函数 ( )f x 在(a，b)内的单调性的步骤：(1)求 'f x ；(2)确认 'f x
在(a，b)内的符号；(3)作出结论： ' 0f x 时为增函数； ' 0f x 时为减函数．研究函数
性质时，首先要明确函数定义域.
3.【2014 全国 2，文 11】若函数 f x kx Inx 在区间 1, 单调递增，则的取值范围是（ ）
（A） , 2 （B） , 1 （C） 2, （D） 1,
【答案】D
【考点定位】函数的单调性.
【名师点睛】本题考查了利用函数的导数研究函数的单调性，不等式的恒成立，属于中档题，
深入理解函数的单调性与函数导数之间的关系是解题的关键，注意不等式的恒成立的处理时
端点值能否取到认真判断．
4. 【2016 高考新课标 1 文数】若函数
1( ) sin 2 sin
3
f x x - x a x 在 , 单调递增,则 a的
取值范围是（ ）
（A） 1,1 （B）
11,
3
（C）
1 1,
3 3
（D）
11,
3
【答案】C
试题分析： 21 cos2 cos 0
3
f x x a x
对 xR 恒成立,
故 221 2cos 1 cos 0
3
x a x
,即 24 5cos cos 0
3 3
a x x
恒成立,
即 24 5 0
3 3
t at
对 1,1t 恒成立,构造 24 5
3 3
f t t at ,开口向下的二次函数 f t 的
最小值的可能值为端点值,故只需保证
11 0
3
11 0
3
f t
f t
,解得
1 1
3 3
a ．故选 C．
考点：三角变换及导数的应用
【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解关键是把函数单调
性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值
域或最值有关的问题,要注意弦函数的有界性.学！
5.【 2014 湖南文 9】若 1 20 1x x ，则（ ）
A. 2 1
2 1ln lnx xe e x x B. 2 1
2 1ln lnx xe e x x
C. 1 2
2 1
x xx e x e D. 1 2
2 1
x xx e x e
【答案】C
【考点定位】导数 单调性
【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的性质，解决问题的关键是根据所给选项构
造对应的函数，利用函数的性质分析其单调性，对选项作出判断.
6.【2017 课标 1，文 21】已知函数 ( )f x =e
x
(e
x
﹣a)﹣a2x．
（1）讨论 ( )f x 的单调性；
（2）若 ( ) 0f x ，求 a的取值范围．
【答案】（1）当 0a ， )(xf 在 ( , ) 单调递增；当 0a ， ( )f x 在 ( , ln )a 单调递减，在
(ln , )a 单调递增；当 0a ， ( )f x 在 ( , ln( ))
2
a
单调递减，在 (ln( ), )
2
a
单调递增；（2）
3
4[ 2e ,1] ．
试题分析：（1）分 0a ， 0a ， 0a 分别讨论函数 )(xf 的单调性；（2）分 0a ， 0a ，
0a 分别解 0)( xf ，从而确定 a的取值范围．
试题详细分析：（1）函数 ( )f x 的定义域为 ( , ) ， 2 2( ) 2 (2 )( )x x x xf x e ae a e a e a ，
①若 0a ，则 2( ) xf x e ，在 ( , ) 单调递增．
②若 0a ，则由 ( ) 0f x 得 lnx a ．
当 ( , ln )x a 时， ( ) 0f x ；当 (ln , )x a 时， ( ) 0f x ，所以 ( )f x 在 ( , ln )a 单调递减，
在 (ln , )a 单调递增．
③若 0a ，则由 ( ) 0f x 得 ln( )
2
ax ．
当 ( , ln( ))
2
ax 时， ( ) 0f x ；当 (ln( ), )
2
ax 时， ( ) 0f x ，故 ( )f x 在 ( , ln( ))
2
a
单
调递减，在 (ln( ), )
2
a
单调递增．
（2）①若 0a ，则 2( ) xf x e ，所以 ( ) 0f x ．
②若 0a ，则由（1）得，当 lnx a 时， ( )f x 取得最小值，最小值为 2(ln ) lnf a a a ．从而
当且仅当 2 ln 0a a ，即 1a 时， ( ) 0f x ．
③ 若 0a ， 则 由 （ 1 ） 得 ， 当 ln( )
2
ax 时 ， ( )f x 取 得 最 小 值 ， 最 小 值 为
2 3(ln( )) [ ln( )]
2 4 2
a af a ．从而当且仅当 2 3[ ln( )] 0
4 2
aa ，即
3
42ea 时 ( ) 0f x ．
综上，的取值范围为
3
4[ 2e ,1] ．
【考点】导数应用
【名师点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识
来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出 )(' xf ，有 )(' xf 的正负，得出函数 )(xf
的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自
变量的取值范围，得出函数 )(xf 极值或最值．
7.【2017 课标 II，文 21】设函数 2( ) (1 ) xf x x e .
（1）讨论 ( )f x 的单调性；
（2）当 0x 时， ( ) 1f x ax ，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）在 ( , 1 2) 和 ( 1 2, ) 单调递减，在 ( 1 2, 1 2) 单调递增（Ⅱ）
[1, )
2
0 0 0 0( ) (1 )(1 ) 1f x x x ax .
试题详细分析：（1） 2( ) (1 2 ) xf x x x e
令 ( ) 0f x 得 1 2x
当 ( , 1 2)x 时， ( ) 0f x ；当 ( 1 2, 1 2)x 时， ( ) 0f x ；当 ( 1 2, )x
时， ( ) 0f x
所以 ( )f x 在 ( , 1 2) 和 ( 1 2, ) 单调递减，在 ( 1 2, 1 2) 单调递增
(2) ( ) (1 )(1 ) xf x x x e
当 a≥1时，设函数 h(x)=（1-x）ex
，h’(x)= -xex
＜0（x＞0），因此 h(x)在 0，+∞)单调递
减，而 h(0)=1，
故 h(x)≤1，所以
f(x)=（x+1）h(x)≤x+1≤ax+1
当 0＜a＜1 时，设函数 g（x）=ex
-x-1，g’（x）=ex
-1＞0（x＞0），所以 g（x）在在 0，+∞)
单调递增，而 g(0)=0，故 ex
≥x+1
当 0＜x＜1， 2( ) (1 )(1 )f x x x ， 2 2(1 )(1 ) 1 (1 )x x ax x a x x ，取 0
5 4 1
2
ax
则
2
0 0 0 0 0 0(0,1), (1 )(1 ) 0, ( ) 1x x x ax f x ax 故
当 0a 时，取 2
0 0 0 0 0
5 1, ( ) (1 )(1 ) 1 1
2
x f x x x ax
综上，a的取值范围 1，+∞）
【考点】利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立
【名师点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函
数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离
变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
8.【2017 课标 3，文 21】已知函数 ( )f x =lnx+ax2
+(2a+1)x．
（1）讨论 ( )f x 的单调性；
（2）当 a﹤0时，证明
3( ) 2
4
f x
a
．
【答案】（1）当 0a 时， )(xf 在 ),0( 单调递增；当 0a 时，则 )(xf 在 )
2
1,0(
a
单调递增，
在 ),
2
1(
a
单调递减；（2）详见解+析
试题详细分析：（1） )0()1)(12(1)12(2)('
2
x
x
xax
x
xaaxxf ，
当 0a 时， 0)(' xf ，则 )(xf 在 ),0( 单调递增，
当 0a 时，则 )(xf 在 )
2
1,0(
a
单调递增，在 ),
2
1(
a
单调递减.
（2）由（1）知，当 0a 时， )
2
1()( max a
fxf ，
1
2
1)
2
1ln()2
4
3()
2
1(
aaaa
f ，令 tty 1ln （ 0
2
1
a
t ），
则 011'
t
y ，解得 1t ，
∴ y在 )1,0( 单调递增，在 ),1( 单调递减，
∴ 0)1(max yy ，∴ 0y ，即 )2
4
3()( max
a
xf ，∴ 2
4
3)(
a
xf .
【考点】利用导数求单调性，利用导数证不等式
【名师点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略
(1) 构造差函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x .根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性
得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和
问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
9.【2017 天津，文 19】设 ,a bR，| | 1a .已知函数 3 2( ) 6 3 ( 4)f x x x a a x b ， ( ) e ( )xg x f x .
（Ⅰ）求 ( )f x 的单调区间；
（Ⅱ）已知函数 ( )y g x 和 exy 的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，
（i）求证： ( )f x 在 0x x 处的导数等于 0；
（ii）若关于 x的不等式 ( ) exg x 在区间 0 0[ 1, 1]x x 上恒成立，求 b的取值范围.
【答案】（Ⅰ）递增区间为 ( , )a ，(4 , )a ，递减区间为 ( ), 4a a .（2）（ⅰ） ( )f x 在 0x x
处的导数等于 0.（ⅱ）的取值范围是[ 7 ],1 .
1f x f a 在[ 1, 1]a a 上恒成立，得 3 22 6 1b a a ， 1 1a ，再根据导数求函数的
取值范围.
试题详细分析：（I）由 3 2 4( ) 6 3 ( )f x x a xx a b ，可得
2( ) 3 12 3 ( ) 3( )( (4 4 ))f ' x x a x aa xx a ，
令 ( ) 0f ' x ，解得 x a ，或 4x a .由 | | 1a ，得 4a a .
当变化时， ( )f ' x ， ( )f x 的变化情况如下表：
( , )a ( ), 4a a (4 , )a
( )f ' x
( )f x
所以， ( )f x 的单调递增区间为 ( , )a ， (4 , )a ，单调递减区间为 ( ), 4a a .
（II）（i）因为 ( ) e ( ( ) ( ))xx xg' f f ' x ，由题意知
0
0
0
0
( ) e
( ) e
x
x
x
x
g
g'
，
所以
0
00
0
0
0 0
( )e e
e ( ( ) ( )) ex
x x
x
f
f f
x
'x x
，解得
0
0
( ) 1
( ) 0
f
'
x
xf
.
所以， ( )f x 在 0x x 处的导数等于 0.
（ii）因为 ( ) exg x ， 0 0[ 1 1],x x x ，由 e 0x ，可得 ( ) 1f x .
又因为 0( ) 1f x ， 0( ) 0f ' x ，故 0x 为 ( )f x 的极大值点，由（I）知 0x a .
另一方面，由于 | | 1a ，故 1 4a a ，
由（I）知 ( )f x 在 ( , )1a a 内单调递增，在 ( ), 1a a 内单调递减，
故当 0x a 时， ( ) ( ) 1f fx a 在[ 1, 1]a a 上恒成立，从而 ( ) exg x 在 0 0,[ 1 1]x x 上恒成立.
由 3 2( ) 6 3 ( ) 14a af a a a a b ，得 3 22 6 1b a a ， 1 1a .
令 3 2( ) 2 6 1t x x x ， [ 1,1]x ，所以 2( ) 6 12t' x x x ，
令 ( ) 0t' x ，解得 2x （舍去），或 0x .
因为 ( 1) 7t ， (1) 3t ， (0) 1t ，故 ( )t x 的值域为[ 7 ],1 .
所以，的取值范围是[ 7 ],1 .
【考点】1.导数的几何意义；2.导数求函数的单调区间；3.导数的综合应用.
【名师点睛】本题本题考点为导数的应用，本题属于中等问题，第一问求导后要会分解因式，
并且根据条件能判断两个极值点的大小关系，避免讨论，第二问导数的几何意义，要注意切
点是公共点，切点处的导数相等的条件，前两问比较容易入手，但第三问，需分析出 0x a ，
同时根据单调性判断函数的最值，涉及造函数解题较难，这一问思维巧妙，有选拔优秀学生
的功能.学￥
10.【2014 山东.文 20】（本题满分 13 分)
设函数 .,
1
1ln)( 为常数其中a
x
xxaxf
（1）若 0a ，求曲线 ))1(,1()( fxfy 在点 处的切线方程；
（2）讨论函数 )(xf 的单调性.
【答案】（1） 2 1 0x y .
（2）当 0a 时，函数 ( )f x 在 (0, ) 上单调递增；
当
1
2
a 时，函数 ( )f x 在 (0, ) 上单调递减；
当
1 0
2
a 时， ( )f x 在
( 1) 2 1(0, )a a
a
，
( 1) 2 1( , )a a
a
上单调递减，
在
( 1) 2 1 ( 1) 2 1( , )a a a a
a a
上单调递增.
性.其中 0a 时，情况较为单一， ' ( ) 0f x ，函数 ( )f x 在 (0, ) 上单调递增，
当 0a 时，令 2( ) (2 2)g x ax a x a ，
由于 2 2(2 2) 4 4(2 1)a a a ，再分
1
2
a ，
1
2
a ，
1 0
2
a 等情况加以讨论.
试题详细分析：（1）由题意知 0a 时，
1( ) , (0, )
1
xf x x
x
，
此时 '
2
2( )
( 1)
f x
x
，
可得 ' 1(1)
2
f ，又 (1) 0f ，
所以曲线 ( )y f x 在 (1, (1))f 处的切线方程为 2 1 0x y .
（2）函数 ( )f x 的定义域为 (0, ) ，
2
'
2 2
2 (2 2)( )
( 1) ( 1)
a ax a x af x
x x x x
，
当 0a 时， ' ( ) 0f x ，函数 ( )f x 在 (0, ) 上单调递增，
当 0a 时，令 2( ) (2 2)g x ax a x a ，
由于 2 2(2 2) 4 4(2 1)a a a ，
1 当
1
2
a 时， 0 ，
2
'
2
1 ( 1)
2( ) 0
( 1)
x
f x
x x
，函数 ( )f x 在 (0, ) 上单调递减，
2 当
1
2
a 时， 0, ( ) 0g x ，
' ( ) 0f x ，函数 ( )f x 在 (0, ) 上单调递减，
3 当
1 0
2
a 时， 0 ，
设 1 2 1 2, ( )x x x x 是函数 ( )g x 的两个零点，
则 1
( 1) 2 1a ax
a
， 2
( 1) 2 1a ax
a
，
由 1
1 2 1a ax
a
2 2 1 2 1 0a a a
a
，
所以 1(0, )x x 时， '( ) 0, ( ) 0g x f x ，函数 ( )f x 单调递减，
1 2( , )x x x 时， '( ) 0, ( ) 0g x f x ，函数 ( )f x 单调递增，
2( , )x x 时， '( ) 0, ( ) 0g x f x ，函数 ( )f x 单调递减，
综上可知，当 0a 时，函数 ( )f x 在 (0, ) 上单调递增；
当
1
2
a 时，函数 ( )f x 在 (0, ) 上单调递减；
当
1 0
2
a 时， ( )f x 在
( 1) 2 1(0, )a a
a
，
( 1) 2 1( , )a a
a
上单调递减，
在
( 1) 2 1 ( 1) 2 1( , )a a a a
a a
上单调递增.
考点：导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性，分类讨论思想.
【名师点睛】本题考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性等.解答本题的主要困难
是（II）利用分类讨论思想，结合函数零点，确定函数的单调性.
本题是一道能力题，属于难题.在考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性等基础知
识、基本方法的同时，考查考生的计算能力、应用数学知识分析问题解决问题的能力，考查
转化与化归思想及分类讨论思想.
11.2016 高考新课标Ⅲ文数]设函数 ( ) ln 1f x x x ．
（I）讨论 ( )f x 的单调性；
（II）证明当 (1, )x 时，
11
ln
x x
x
；
（III）设 1c ，证明当 (0,1)x 时，1 ( 1) xc x c .
【答案】（Ⅰ）当0 1x 时， ( )f x 单调递增；当 1x 时， ( )f x 单调递减；（Ⅱ）见解+析；（Ⅲ）
见解+析．
试题详细分析：（Ⅰ）由题设， ( )f x 的定义域为 (0, ) ， ' 1( ) 1f x
x
，令 ' ( ) 0f x ，解得 1x .
当 0 1x 时， ' ( ) 0f x ， ( )f x 单调递增；当 1x 时， ' ( ) 0f x ， ( )f x 单调递减. ………4
分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ( )f x 在 1x 处取得最大值，最大值为 (1) 0f ，
所以当 1x 时， ln 1x x ，
故当 (1, )x 时， ln 1x x ，
1 1ln 1
x x
，即
11
ln
x x
x
. ………………7分
（Ⅲ）由题设 1c ，设 ( ) 1 ( 1) xg x c x c ，则 ' ( ) 1 lnxg x c c c ．
令 '( ) 0g x ，解得 0
1ln
ln
ln
c
cx
c
.
当 0x x 时， '( ) 0g x ， ( )g x 单调递增；当 0x x 时， '( ) 0g x ， ( )g x 单调递减. ……………9
分
由（Ⅱ）知，
11
ln
c c
c
，故 00 1x ．又 (0) (1) 0g g ，故当0 1x 时， ( ) 0g x ，
所以当 (0,1)x 时，1 ( 1) xc x c . ………………12 分
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式的证明与解法．
【思路点拨】求解导数中的不等式证明问题可考虑：（1）首先通过利用研究函数的单调性，
再利用单调性进行证明；（2）根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或
最值来证明．
12.【2016 高考天津文数】（（本小题满分 14 分）
设函数 baxxxf 3)( ， Rx ，其中 Rba ,
（Ⅰ）求 )(xf 的单调区间；
（Ⅱ）若 )(xf 存在极值点 0x ，且 )()( 01 xfxf ，其中 01 xx ，求证： 02 01 xx ；
（Ⅲ）设 0a ，函数 |)(|)( xfxg ，求证： )(xg 在区间 ]1,1[ 上的最大值不小于．．．4
1
.
【答案】（Ⅰ）递减区间为
3 3( , )
3 3
a a
，递增区间为
3( , )
3
a
，
3( , )
3
a
.（Ⅱ）详见
解+析（Ⅲ）详见解+析
3 31 1
3 3
a a
，②当
3 3
4
a 时，
2 3 3 3 2 31 1
3 3 3 3
a a a a
，③当
30
4
a
时，
2 3 2 31 1
3 3
a a
.
试题详细分析：（1）解：由 3( )f x x ax b ，可得 2( ) 3f x x a ，下面分两种情况讨论：
①当 0a 时，有 2( ) 3 0f x x a 恒成立，所以 ( )f x 的单调增区间为 ( , ) .
②当 0a 时，令 ( ) 0f x ，解得
3
3
ax 或
3
3
ax .
当变化时， ( )f x 、 ( )f x 的变化情况如下表：
3( , )
3
a
3
3
a
3 3( , )
3 3
a a
3
3
a 3( , )
3
a
( )f x 0
( )f x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以 ( )f x 的单调递减区间为
3 3( , )
3 3
a a
，单调递增区间为
3( , )
3
a
，
3( , )
3
a
.
（2）证明：因为 ( )f x 存在极值点，所以由（1）知 0a 且 0 0x .
由题意得 2
0 0( ) 3 0f x x a ，即 2
0 3
ax ，
进而 3
0 0 0 0
2( )
3
af x x ax b x b ，
又 3
0 0 0 0 0 0 0
8 2( 2 ) 8 2 2 ( )
3 3
a af x x ax b x ax b x b f x ，且 0 02x x ，
由题意及（1）知，存在唯一实数 1x 满足 1 0( ) ( )f x f x ，且 1 0x x ，因此 1 02x x ，
所以 1 0+2 =0x x .
（3）证明：设 ( )g x 在区间[ 1,1] 上的最大值为M ，max{ , }x y 表示， y两数的最大值，下面
分三种情况讨论：
①当 3a 时，
3 31 1
3 3
a a
，由（1） 知 ( )f x 在区间[ 1,1] 上单调递减，
所以 ( )f x 在区间[ 1,1] 上的取值范围为[ (1), ( 1)]f f ，因此，
max{[ (1), ( 1)]} max{|1 |,| 1 |}M f f a b a b max{| 1 |,| 1 |}a b a b
1 , 0,
1 , 0,
a b b
a b b
所以 1 | | 2M a b .
②当
3 3
4
a 时，
2 3 3 3 2 31 1
3 3 3 3
a a a a
，
由（1）和（2） 知
2 3 3( 1) ( ) ( )
3 3
a af f f ，
2 3 3(1) ( ) ( )
3 3
a af f f ，
所以 ( )f x 在区间[ 1,1] 上的取值范围为
3 3[ ( ), ( )]
3 3
a af f ，
所以
3 3 2 2max{| ( |,| ( ) |} max{| 3 |,| 3 |}
3 3 9 9
a a a af f a b a b
2 2 2 2 3 3 1max{| 3 |,| 3 |} 3 | | 3
9 9 9 9 4 4 4
a a aa b a b a b .
③当
30
4
a 时，
2 3 2 31 1
3 3
a a
，由（1）和（2）知，
2 3 3( 1) ( ) ( )
3 3
a af f f ，
2 3 3(1) ( ) ( )
3 3
a af f f ，
所以 ( )f x 在区间[ 1,1] 上的取值范围为[ (1), ( 1)]f f ，因此，
max{[ (1), ( 1)]} max{| 1 |,|1 |}M f f a b a b max{|1 |,|1 |}a b a b
11 | |
4
a b .
综上所述，当 0a 时， ( )g x 在区间[ 1,1] 上的最大值不小于
1
4
.
考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式
【名师点睛】
1.求可导函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数 f(x)的定义域(定义域优先)；
(2)求导函数 f′(x)；
(3)在函数 f(x)的定义域内求不等式 f′(x)＞0 或 f′(x)＜0 的解集．
(4)由 f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集确定函数 f(x)的单调增(减)区间．若遇不等式中带
有参数时，可分类讨论求得单调区间．
2．由函数 f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)
恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．
13.【2016 高考四川文科】（本小题满分 14 分）
设函数 2( ) lnf x ax a x ，
1( ) x
eg x
x e
，其中 q R ，e=2.718…为自然对数的底数.
（Ⅰ）讨论 f(x)的单调性；
（Ⅱ）证明：当 x＞1时，g(x)＞0；
（Ⅲ）确定的所有可能取值，使得 ( ) ( )f x g x 在区间（1，+∞）内恒成立.
【答案】（1）当 x 10, )
2a
（ 时， '( )f x <0， ( )f x 单调递减；当 x 1 + )
2a
（ ， 时， '( )f x >0， ( )f x
单调递增；（2）证明详见解+析；（3） a 1 + )
2
[ ， .
（Ⅰ）的结论，缩小的范围，设 ( )g x = 1
1 1
exx
1
1
x
x
e x
xe
，并设 ( )s x = 1ex x ，通过研究 ( )s x 的
单调性得 1x 时， ( ) 0g x ，从而 ( ) 0f x ，这样得出 0a 不合题意，又
10
2
a 时， ( )f x 的
极小值点
1 1
2
x
a
，且
1( ) (1) 0
2
f f
a
，也不合题意，从而
1
2
a ，此时考虑
1
2
1 1( ) 2 e xh x ax
x x
-¢ = - + - 得 '( )h x 2
1 1 1x
x x x
> - + - 0 ， 得 此 时 ( )h x 单 调 递 增 ， 从 而 有
( ) (1) 0h x h ，得出结论．
试题详细分析：（I）
21 2 1'( ) 2 0).axf x ax x
x x
(
0a 当 时， '( )f x <0， ( )f x 在 0 +（ ， ）内单调递减.
0a 当 时，由 '( )f x =0，有
1
2
x
a
.
当 x 10, )
2a
（ 时， '( )f x <0， ( )f x 单调递减；
当 x 1 + )
2a
（ ， 时， '( )f x >0， ( )f x 单调递增.
（II）令 ( )s x = 1ex x ，则 '( )s x = 1e 1x .
当 1x 时， '( )s x >0，所以 1ex x ，从而 ( )g x = 1
1 1
exx >0.
（iii）由（II），当 1x 时， ( )g x >0.
当 0a ， 1x 时， ( )f x = 2( 1) ln 0a x x .
故当 ( )f x > ( )g x 在区间 1 + )（， 内恒成立时，必有 0a .
当
10
2
a 时，
1
2a
>1.
由（I）有
1( ) (1) 0
2
f f
a
,从而
1( ) 0
2
g
a
，
所以此时 ( )f x > ( )g x 在区间 1 + )（， 内不恒成立.
当
1
2
a 时，令 ( )h x = ( )f x ( )g x ( 1x ).
当 1x 时， '( )h x = 1
2 2
1 1 1 1 12 e xax x
x x x x x
3 2
2 2
2 1 2 1 0x x x x
x x
.
因此 ( )h x 在区间 1 + )（， 单调递增.
又因为 (1)h =0，所以当 1x 时， ( )h x = ( )f x ( )g x >0，即 ( )f x > ( )g x 恒成立.
综上， a 1 + )
2
[ ， .
考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题．
【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考
查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求 '( )f x ，解方
程 '( ) 0f x ，再通过 '( )f x 的正负确定 ( )f x 的单调性；要证明函数不等式 ( ) ( )f x g x ，一般
证明 ( ) ( )f x g x 的最小值大于 0，为此要研究函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x 的单调性．本题中注意由
于函数 ( )h x 有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，
学生不易想到．有一定的难度．
14.【2015 高考福建，文 22】已知函数
2( 1)( ) ln
2
xf x x
．
(Ⅰ)求函数 f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）证明：当 1x 时， 1f x x ；
（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在 0 1x ，当 0(1, )x x 时，恒有 1f x k x ．
【答案】(Ⅰ)
1 50,
2
；（Ⅱ）详见解+析；（Ⅲ） ,1 ．
（II）令 F 1x f x x ， 0,x ．
则有
21F xx
x
．
当 1,x 时， F 0x ，
所以 F x 在 1, 上单调递减，
故当 1x 时， F F 1 0x ，即当 1x 时， 1f x x ．
（III）由（II）知，当 1k 时，不存在 0 1x 满足题意．
当 1k 时，对于 1x ，有 1 1f x x k x ，则 1f x k x ，从而不存在 0 1x 满足题
意．
当 1k 时，令 G 1x f x k x ， 0,x ，
则有 2 1 11G 1
x k x
x x k
x x
．
由 G 0x 得， 2 1 1 0x k x ．
解得
2
1
1 1 4
0
2
k k
x
，
2
2
1 1 4
1
2
k k
x
．
当 21,x x 时， G 0x ，故 G x 在 21, x 内单调递增．
从而当 21,x x 时， G G 1 0x ，即 1f x k x ，
综上，的取值范围是 ,1 ．
【考点定位】导数的综合应用．
【名师点睛】利用导数判断或求函数的单调区间，通过不等式 ' ( ) 0f x 或 ' ( ) 0f x 求解，但
是要兼顾定义域；利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不
等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函
数的单调性或最值，从而证得不等式，注意 ( ) ( )f x g x 与 min max( ) ( )f x g x 不等价，
min max( ) ( )f x g x 只是 ( ) ( )f x g x 的特例，但是也可以利用它来证明，在 2014 年全国Ⅰ卷理
科高考 21 题中，就是使用该种方法证明不等式；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最
值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延
续．
1.【2016 高考四川文科】已知函数 3( ) 12f x x x 的极小值点，则=( )
(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2
【答案】D
考点：函数导数与极值.
【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点 0x 是方程 '( ) 0f x 的解，但 0x
是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在 0x 附近，如果 0x x
时， '( ) 0f x ， 0x x 时 '( ) 0f x ，则 0x 是极小值点，如果 0x x 时， '( ) 0f x ， 0x x 时，
'( ) 0f x ，则 0x 是极大值点，
2.【2015 高考福建，文 12】“对任意 (0, )
2
x
， sin cosk x x x ”是“ 1k ”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必
要条件
【答案】B
当 1k 时， sin cos sin 2
2
kk x x x ，构造函数 ( ) sin 2
2
kf x x x ，则 ' ( ) cos 2 1 0f x k x ．故
( )f x 在 (0, )
2
x
单调递增，故 ( ) ( ) 0
2 2
f x f
，则 sin cosk x x x ；当 1k 时，不等
式 sin cosk x x x 等价于
1 sin 2
2
x x ，构造函数
1( ) sin 2
2
g x x x ，则 ' ( ) cos 2 1 0g x x ，
故 ( )g x 在 (0, )
2
x
递增，故 ( ) ( ) 0
2 2
g x g
，则 sin cosx x x ．综上所述，“对任意
(0, )
2
x
， sin cosk x x x ”是“ 1k ”的必要不充分条件，选 B．
【考点定位】导数的应用．
【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用，根
据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题．
3. (2014 课标全国Ⅰ，文 12)已知函数 f(x)＝ax3
－3x2
＋1，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且
x0＞0，则 a的取值范围是( )．
A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－∞，－1)
答案：C
详细分析：当 a＝0时，f(x)＝－3x2＋1存在两个零点，不合题意；
当 a＞0时，f′(x)＝3ax2－6x＝
23ax x
a
，
令 f′(x)＝0，得 x1＝0， 2
2x
a
，
所以 f(x)在 x＝0 处取得极大值 f(0)＝1，在
2x
a
处取得极小值 2
2 41f
a a
，
要使 f(x)有唯一的零点，需
2 0f
a
，但这时零点 x0一定小于 0，不合题意；
当 a＜0时，f′(x)＝3ax2－6x＝
23ax x
a
，
令 f′(x)＝0，得 x1＝0， 2
2x
a
，这时 f(x)在 x＝0 处取得极大值 f(0)＝1，在
2x
a
处
取得极小值 2
2 41f
a a
，
要使 f(x)有唯一零点，应满足 2
2 41 0f
a a
，解得 a＜－2(a＞2 舍去)，且这时零点
x0一定大于 0，满足题意，故 a的取值范围是(－∞，－2)．
名师点睛：本题考查导数法求函数的单调性与极值，函数的零点，考查分析转化能力，
分类讨论思想，
较难题. 注意区别函数的零点与极值点.
4.【2014 辽宁文 12】当 [ 2,1]x 时，不等式 3 2 4 3 0ax x x 恒成立，则实数 a 的取值范
围是（）
A．[ 5, 3] B．
9[ 6, ]
8
C．[ 6, 2] D．[ 4, 3]
【答案】C
2
'
4 4
8 9 (x 9)(x 1)( ) 0x xf x
x x
，故函数 ( )f x 递增，则 max( ) (1) 6f x f ，故 6a ；
当 [ 2,0)x 时，
2
3
4 3x x xa
x
，记
2
3
4 3( ) x x xf x
x
，令 ' ( ) 0f x ，得 x 1 或 x 9 （舍
去），当 ( 2, 1)x 时， ' ( ) 0f x ；当 ( 1,0)x 时， ' ( ) 0f x ，故 min( ) ( 1) 2f x f ，则
a 2 ．综上所述，实数 a的取值范围是[ 6, 2] ．
【考点定位】利用导数求函数的极值和最值．
【名师点睛】本题考查应用导数研究函数的单调性、极值，不等式恒成立问题.解答本题的关
键，是利用分类讨论思想、转化与化归思想，通过构造函数研究其单调性、最值，得出结论.
本题属于能力题，中等难度.在考查应用导数研究函数的单调性、极值、不等式恒成立问题等
基本方法的同时，考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、分类讨论思想及转化与化归思想.
5.【2017 江苏，20】已知函数 3 2( ) 1( 0, )f x x ax bx a b R 有极值,且导函数 ( )f x 的极值点
是 ( )f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明： 2 3b a ;
（3）若 ( )f x , ( )f x 这两个函数的所有极值之和不小于
7
2
，求的取值范围.
【答案】（1） 3a （2）见解+析（3） 3 6a
所以
3 3
( ) 1 0
3 27 9 3
a a a abf ，又 0a ，故
22 3
9
ab
a
.
因为 ( )f x 有极值，故 ( )=0f x 有实根，从而
2
31 (27 a ) 0
3 9
ab
a
，即 3a .
3a 时， ( )>0( 1)f x x ，故 ( )f x 在 R上是增函数， ( )f x 没有极值；
3a 时， ( )=0f x 有两个相异的实根
2
1
3=
3
a a bx
，
2
2
3=
3
a a bx
.
列表如下
x 1( , )x 1x 1 2( , )x x 2x 2( , )x
( )f x + 0 – 0 +
( )f x 极大值 极小值
故 ( )f x 的极值点是 1 2,x x .
从而 3a ，
因此
22 3
9
ab
a
，定义域为 (3, ) .
（2）由（1）知，
2 3=
9
b a a
a a a
.
设
2 3( )=
9
tg t
t
，则
2
2 2
2 3 2 27( )=
9 9
tg t
t t
.
当
3 6( , )
2
t 时， ( ) 0g t ，从而 ( )g t 在
3 6( , )
2
上单调递增.
因为 3a ，所以 3 3a a ，故 ( )> (3 3)= 3g a a g ，即 > 3b
a
.
因此 2>3b a .
（3）由（1）知， ( )f x 的极值点是 1 2,x x ，且 1 2
2
3
x x a ，
2
2 2
1 2
4 6
9
a bx x
.
从而 3 2 3 2
1 2 1 1 1 2 2 2( ) ( ) 1 1f x f x x ax bx x ax bx
2 2 2 21 2
1 1 2 2 1 2 1 2
1 2(3 2 ) (3 2 ) ( ) ( ) 2
3 3 3 3
x xx ax b x ax b a x x b x x
34 6 4 2 0
27 9
a ab ab
记 ( )f x ， ( )f x 所有极值之和为 ( )h a ，
因为 ( )f x 的极值为
2
21 3
3 9
ab a
a
，所以 21 3( )=
9
h a a
a
， 3a .
因为 2
2 3( )= 0
9
h a a
a
，于是 ( )h a 在 (3, ) 上单调递减.
因为
7(6)=
2
h ，于是 ( ) (6)h a h ，故 6a .
因此 a的取值范围为 (3 6]， .
【考点】利用导数研究函数单调性、极值及零点
【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通
过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、
方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合
的思想找到解题的思路.
6.【2014 高考北京文第 20 题】（本小题满分 13 分）
已知函数 3( ) 2 3f x x x .
（1）求 ( )f x 在区间[ 2,1] 上的最大值；
（2）若过点 (1, )P t 存在 3条直线与曲线 ( )y f x 相切，求 t的取值范围；
（3）问过点 ( 1, 2), (2,10), (0, 2)A B C 分别存在几条直线与曲线 ( )y f x 相切？（只需写出结论）
【答案】(1) 2 ;(2) ( 3, 1) ;(3)详见解+析.
因为 ( 2) 10f ，
2( ) 2
2
f ，
2( ) 2
2
f ， (1) 1f ，
所以 ( )f x 在区间[ 2,1] 上的最大值为
2( ) 2
2
f .
（2）设过点 P（1，t）的直线与曲线 ( )y f x 相切于点 0 0( , )x y ，则
3
0 0 02 3y x x ，且切线斜率为 2
06 3k x ，所以切线方程为 2
0 0 0(6 3)( )y y x x x ，
因此 2
0 0 0(6 3)(1 )t y x x ，整理得： 3 2
0 04 6 3 0x x t ，
设 ( )g x 3 24 6 3x x t ，则“过点 (1, )P t 存在 3条直线与曲线 ( )y f x 相切”等价于“ ( )g x
有 3个不同零点”， ' ( )g x 212 12x x =12 ( 1)x x ，
( )g x 与 '( )g x 的情况如下：
( ,0) 0 (0,1) 1 (1, )
'( )g x + 0 0 +
( )g x t+3 1t
所以， (0) 3g t 是 ( )g x 的极大值， (1) 1g t 是 ( )g x 的极小值，
当 (0) 3 0g t ，即 3t 时，此时 ( )g x 在区间 ( ,1] 和 (1, ) 上分别至多有 1个零点，所
以
( )g x 至多有 2个零点，
当 (1) 1 0g t ， 1t 时，此时 ( )g x 在区间 ( ,0) 和[0, ) 上分别至多有 1个零点，所以
( )g x 至多有 2个零点.
当 (0) 0g 且 (1) 0g ，即 3 1t 时，因为 ( 1) 7 0g t ， (2) 11 0g t ，
所以 ( )g x 分别为区间[ 1,0),[0,1) 和[1, 2)上恰有 1个零点，由于 ( )g x 在区间 ( ,0) 和 (1, ) 上
单调，所以 ( )g x 分别在区间 ( ,0) 和[1, ) 上恰有 1个零点.
综上可知，当过点 (1, )P t 存在 3条直线与曲线 ( )y f x 相切时，t的取值范围是 ( 3, 1) .
（3）过点 A（-1，2）存在 3条直线与曲线 ( )y f x 相切；
过点 B（2，10）存在 2条直线与曲线 ( )y f x 相切；
过点 C（0，2）存在 1条直线与曲线 ( )y f x 相切.
考点：本小题主要考查导数的几何意义、导数在函数中的应用等基础知识的同时，考查分类
讨论、函数与方程、转化与化归等数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力.利用导
数研究函数问题是高考的热点，在每年的高考试卷中占分比重较大，熟练这部分的基础知识、
基本题型与基本技能是解决这类问题的关键.
7.【2015 高考北京，文 19】（本小题满分 13 分）设函数
2
ln
2
xf x k x ， 0k ．
（I）求 f x 的单调区间和极值；
（II）证明：若 f x 存在零点，则 f x 在区间 1, e 上仅有一个零点．
【答案】（I）单调递减区间是 (0, )k ，单调递增区间是 ( , )k ；极小值
(1 ln )( )
2
k kf k
；
（II）证明详见解+析.
取得极小值，同时也是最小值；（II）利用第一问的表，知 ( )f k 为函数的最小值，如果函数
有零点，只需最小值
(1 ln ) 0
2
k k
，从而解出 k e ，下面再分情况分析函数有几个零点.
试题详细分析：（Ⅰ）由
2
ln
2
xf x k x ，（ 0k ）得
2
' ( ) k x kf x x
x x
.
由 ' ( ) 0f x 解得 x k .
( )f x 与 ' ( )f x 在区间 (0, ) 上的情况如下：
所以， ( )f x 的单调递减区间是 (0, )k ，单调递增区间是 ( , )k ；
( )f x 在 x k 处取得极小值
(1 ln )( )
2
k kf k
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ( )f x 在区间 (0, ) 上的最小值为
(1 ln )( )
2
k kf k
.
因为 ( )f x 存在零点，所以
(1 ln ) 0
2
k k
，从而 k e .
当 k e 时， ( )f x 在区间 (1, )e 上单调递减，且 ( ) 0f e ，
所以 x e 是 ( )f x 在区间 (1, ]e 上的唯一零点.
当 k e 时， ( )f x 在区间 (0, )e 上单调递减，且
1(1) 0
2
f ， ( ) 0
2
e kf e
，
所以 ( )f x 在区间 (1, ]e 上仅有一个零点.
综上可知，若 ( )f x 存在零点，则 ( )f x 在区间 (1, ]e 上仅有一个零点.
考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题.
【名师点晴】本题主要考查的是导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数
的极值和函数的零点，属于难题．利用导数求函数 f x 的单调性与极值的步骤：①确定函数
f x 的定义域；②对 f x 求导；③求方程 0f x 的所有实数根；④列表格．证明函数仅
有一个零点的步骤：①用零点存在性定理证明函数零点的存在性；②用函数的单调性证明函
数零点的唯一性．
8.【2014 高考陕西版文第 21 题】设函数 ( ) ln ,mf x x m R
x
.
（1）当m e （为自然对数的底数）时，求 ( )f x 的最小值；
（2）讨论函数 ( ) '( )
3
xg x f x 零点的个数；
（3）若对任意
( ) ( )0, 1f b f ab a
b a
恒成立，求m的取值范围.
【答案】（1）2；（2）当
2
3
m 时，函数 ( )g x 无零点；当
2
3
m 或 0m 时，函数 ( )g x 有且仅
有一个零点；当
20
3
m 时，函数 ( )g x 有两个零点；（3）
1[ , )
4
.
设 31( ) ( 0)
3
h x x x x ，由 2( ) 1 ( 1)( 1)h x x x x 求出函数 ( )h x 的单调性以及极值，
并且求出函数 ( )h x 在 0x 的零点，画出 ( )h x 的大致图像，并从图像中，可以得知，当m在不
同范围的时候，函数 y m 和函数 ( )y h x 的交点个数
（3）对任意
( ) ( )0, 1f b f ab a
b a
恒成立，等价于 ( ) ( )f b b f a a 恒成立，则
( ) ( ) ln ( 0)mh x f x x x x x
x
在 (0, ) 上单调递减，即 2
1( ) 1 0mh x
x x
在 (0, ) 恒成
立，
求出m的取值范围.
试题详细分析：（1）当m e 时， ( ) ln ef x x
x
易得函数 ( )f x 的定义域为 (0, )
2 2
1( ) e x ef x
x x x
当 (0, )x e 时， ( ) 0f x ，此时 ( )f x 在 (0, )e 上是减函数；
当 ( , )x e 时， ( ) 0f x ，此时 ( )f x 在 (0, )e 上是增函数；
当 x e 时， ( )f x 取得极小值 ( ) ln 2ef e e
e
(2)函数 2
1( ) ( ) ( 0)
3 3
x m xg x f x x
x x
令 ( ) 0g x ，得 31 ( 0)
3
m x x x
设 31( ) ( 0)
3
h x x x x
2( ) 1 ( 1)( 1)h x x x x
当 (0,1)x 时， ( ) 0h x ，此时 ( )h x 在 (0,1)上式增函数；
当 (1, )x 时， ( ) 0h x ，此时 ( )h x 在 (1, ) 上式增函数；
当 1x 时， ( )h x 取极大值
1 2(1) 1
3 3
h
令 ( ) 0h x ，即 31 0
3
x x ，解得 0x ，或 3x
函数 ( )h x 的图像如图所示：
由图知：
1 当
2
3
m 时，函数 y m 和函数 ( )y h x 无交点；
②当
2
3
m 时，函数 y m 和函数 ( )y h x 有且仅有一个交点；
③当
20
3
m 时，函数 y m 和函数 ( )y h x 有两个交点；
④ 0m 时，函数 y m 和函数 ( )y h x 有且仅有一个交点；
综上所述，当
2
3
m 时，函数 ( )g x 无零点；当
2
3
m 或 0m 时，函数 ( )g x 有且仅有一个零点；
当
20
3
m 时，函数 ( )g x 有两个零点.
（3）对任意
( ) ( )0, 1f b f ab a
b a
恒成立
等价于 ( ) ( )f b b f a a 恒成立
设 ( ) ( ) ln ( 0)mh x f x x x x x
x
( )h x 在 (0, ) 上单调递减
2
1( ) 1 0mh x
x x
在 (0, ) 恒成立
2 21 1 1( ) ( 0)
2 4 4
m x x x x
1
4
m
当且仅当当
1
2
x 时，
1
4
m
m 的取值范围是
1[ , )
4
考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点.
【名师点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点，
属于难题．解第（1）问时一定要注意函数的定义域，在此前提下利用导数研究函数的单调性
即可得到函数的最小值，对于第（2）问可构造新函数 31( ) ( 0)
3
h x x x x ，，讨论该函数单
调性即可得到所要求的零点个数，当人这里中点考察的是分类讨论思想的运用；第（3）问仍
然是构造新函数 ( ) ln ( 0)mh x x x x
x
，讨论其导函数 2
1( ) 1 0mh x
x x
在 (0, ) 恒成立
问题 学…
9.【2016 高考山东文数】(本小题满分 13 分)
设 f(x)=xlnx–ax2
+(2a–1)x，a∈R.
(Ⅰ)令 g(x)=f'(x)，求 g(x)的单调区间；
(Ⅱ)已知 f(x)在 x=1 处取得极大值.求实数 a的取值范围.
【答案】(Ⅰ)当 0a 时，函数 g x 单调递增区间为 0, ；
当 0a 时，函数 g x 单调递增区间为
10,
2a
，单调递减区间为
1 ,
2a
.
(Ⅱ)
1
2
a .
讨论当 0a 时，当 0a 时的两种情况下导函数正负号，确定得到函数的单调区间.
(Ⅱ)分以下情况讨论：①当 0a 时，②当
10
2
a 时，③当
1
2
a 时，④当
1
2
a 时，综合即
得.
试题详细分析：(Ⅰ)由 ' ln 2 2 ,f x x ax a
可得 ln 2 2 , 0,g x x ax a x ，
则 1 1 2' 2 axg x a
x x
，
当 0a 时， 0,x 时， ' 0g x ，函数 g x 单调递增；
当 0a 时，
10,
2
x
a
时， ' 0g x ，函数 g x 单调递增，
1 ,
2
x
a
时， ' 0g x ，函数 g x 单调递减.
所以当 0a 时，函数 g x 单调递增区间为 0, ；
当 0a 时，函数 g x 单调递增区间为
10,
2a
，单调递减区间为
1 ,
2a
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知， ' 1 0f .
①当 0a 时， ' 0f x ， f x 单调递减.
所以当 0,1x 时， ' 0f x ， f x 单调递减.
当 1,x 时， ' 0f x ， f x 单调递增.
所以 f x 在 1x 处取得极小值，不合题意.
②当
10
2
a 时，
1 1
2a
，由(Ⅰ)知 'f x 在
10,
2a
内单调递增，
可得当当 0,1x 时， ' 0f x ，
11,
2
x
a
时， ' 0f x ，
所以 f x 在(0,1)内单调递减，在
11,
2a
内单调递增，
所以 f x 在 1x 处取得极小值，不合题意.
③当
1
2
a 时，即
1 1
2a
时， 'f x 在(0,1)内单调递增，在 1, 内单调递减，
所以当 0,x 时， ' 0f x ， f x 单调递减，不合题意.
④当
1
2
a 时，即
10 1
2a
，当
1 ,1
2
x
a
时， ' 0f x ， f x 单调递增,
当 1,x 时， ' 0f x ， f x 单调递减，
所以 f x 在 1x 处取得极大值，合题意.
综上可知，实数 a的取值范围为
1
2
a .
考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.
【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.
本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当
分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好的考查考生的逻辑
思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.
10.【2016 高考浙江文数】（本题满分 15 分）设函数 ( )f x = 3 1
1
x
x
， [0,1]x .证明：
（I） ( )f x 21 x x ；
（II）
3
4
( )f x 3
2
.
【答案】（Ⅰ）证明见解+析；（Ⅱ）证明见解+析.
试题分析：本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能
力、分析问题和解决问题的能力.第一问，利用放缩法，得到
41 1
1 1
x
x x
，从而得到结论；
第二问，由0 1x 得 3x x ，进行放缩，得到 3
2
f x ，再结合第一问的结论，得到 3
4
f x ，
从而得到结论.
(Ⅱ)由0 1x 得 3x x ，
故
3 1 2 11 1 3 3 3 3
1 1 2 2 2 1 2 2
x x
f x x x
x x x
，
所以 3
2
f x .
由(Ⅰ)得
2
2 1 3 31
2 4 4
f x x x x
，
又因为
1 19 3
2 24 4
f
，所以 3
4
f x ，
综上， 3 3 .
4 2
f x
考点：函数的单调性与最值、分段函数.
【思路点睛】（I）先用等比数列前项和公式计算 2 31 x x x ，再用放缩法可得
2 31 1
1
x x x
x
，进而可证 21f x x x ；（II）由（I）的结论及放缩法可证 3 3
4 2
f x ．
11.【2014 年.浙江卷.文 21】（本小题满分 15 分）
已知函数 3 3 | | ( 0)f x x x a a ，若 ( )f x 在[ 1,1] 上的最小值记为 ( )g a .
（1）求 ( )g a ；
（2）证明：当 [ 1,1]x 时，恒有 ( ) ( ) 4f x g a .
【答案】（1）
1,32
10,
)(
3
aa
aa
ag ；（2）详见解+析.
试题详细分析：（1）因为 11 x ，
①当 10 a 时，
若 ],1[ ax ，则 axxxf 33)( 3 ， 033)( 2 xxf ，故 )(xf 在 ),1( a 上是减函数；
若 ]1,[ax ，则 axxxf 33)( 3 ， 033)( 2 xxf ，故 )(xf 在 )1,(a 上是增函数；
所以， 3)()( aafag .
②当 1a ，则 ax ， axxxf 33)( 3 ， 033)( 2 xxf ，故 )(xf 在 )1,1( 上是减函数，
所以 afag 32)1()( ，
综上所述，
1,32
10,
)(
3
aa
aa
ag .
（2）令 )()()( xgxfxh ，
①当 10 a 时， 3)( aag ，
若 ]1,[ax ， 33)( 3 xxxh 得 33)( 2 xxh ，所以 )(xh 在 )1,(a 上是增函数，所以 )(xh 在 ]1,[a
上的最大值是 334)1( aah ，且 10 a ，所以 4)( xh ，
故 4)()( agxf .
若 ],1[ ax ， 33 33)( aaxxxh ，则 33)( 2 xxh ，所以 )(xh 在 ),1( a 上是减函数，
所以 )(xh 在 ],1[ a 上的最大值是 332)1( aah ，
令 332)( aaat ，则 033)( 2 aat ，
所以 )(at 在 )1,0( 上是增函数，所以 4)1()( tat 即 4)1( h ，
故 4)()( agxf ，
②当 1a 时， aag 32)( ，所以 23)( 3 xxxh ，得 33)( 2 xxh ，
此时 )(xh 在 )1,1( 上是减函数，因此 )(xh 在 ]1,1[ 上的最大值是 4)1( h ，
故 4)()( agxf ，
综上所述，当 ]1,1[x 时恒有 4)()( agxf .
考点：函数最大（最小）值的概念，利用导数研究函数的单调性.
【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的最值问题，正确求导，确定函数的单
调性是解决问题的关键；求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，
方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究
其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的
最值．导数在不等式问题中的应用问题解题策略：(1)利用导数证明不等式，若证明 f(x)＜
g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数 F(x)＝f(x)－g(x)，如果 F′(x)＜0，则 F(x)在(a，b)上
是减函数，同时若 F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有 F(x)＜0，即证明了 f(x)
＜g(x)．
(2)利用导数解决不等式的恒成立问题，利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，
利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值
范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
12.【2015 高考重庆，文 19】已知函数 3 2( )f x ax x （a R ）在 x=
4
3
处取得极值.
(Ⅰ)确定的值，
(Ⅱ)若 ( ) ( ) xg x f x e ，讨论的单调性.
【答案】（Ⅰ）
1
2
a = ，（Ⅱ）g( )x 在 ( , 4) ( 1,0)-¥ - -和 内为减函数， ( 4, 1) (0, )- - +¥和 内为增函
数..
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果可得函数 3 21g( )
2
xx x x e
骣
琪= +
桫
，利用积的求导法则可求出
g ( )x¢ =
1 ( 1)( 4)
2
xx x x e+ + ，令g ( ) 0x¢ = ，解得 0, 1 =-4x x x= = - 或 .从而分别讨论 -4x < ，
4 1x- < < - ， -1 0x< < 及 0x > 时g ( )x¢ 的符号即可得到函数g( )x 的单调性．
试题详细分析： (1)对 ( )f x 求导得 2( ) 3 2f x ax x¢ = +
因为 ( )f x 在
4
3
x = - 处取得极值，所以
4( ) 0
3
f ¢- = ，
即
16 4 16 83 2 ( ) 0
9 3 3 3
aa´ + ´ - = - = ,解得
1
2
a = .
(2)由(1)得， 3 21g( )
2
xx x x e
骣
琪= +
桫
,
故 2 3 2 3 23 1 1 5g ( ) 2 2
2 2 2 2
x x xx x x e x x e x x x e
骣 骣 骣
¢ 琪 琪 琪= + + + = + +
桫 桫 桫
1 ( 1)( 4)
2
xx x x e= + +
令g ( ) 0x¢ = ，解得 0, 1 =-4x x x= = - 或 .
当 -4x < 时，g ( ) 0x¢ < ,故g( )x 为减函数，
当 4 1x- < < - 时，g ( ) 0x¢ > ,故g( )x 为增函数，
当 -1 0x< < 时，g ( ) 0x¢ < ,故g( )x 为减函数，
当 0x > 时，g ( ) 0x¢ > ,故g( )x 为增函数，
综上知g( )x 在 ( , 4) ( 1,0)-¥ - -和 内为减函数， ( 4, 1) (0, )- - +¥和 内为增函数.
【考点定位】1. 导数与极值，2. 导数与单调性.
【名师点睛】本题考查函数导数的概念和运算，运用导数研究函数的单调性及导数与函数极
值之间的关系，利用函数的极值点必是导数为零的点，使导函数大于零的 x的区间函数必增，
小于零的区间函数必减进行求解，本题属于中档题，注意求导的准确性及使导函数大于零或
小于零的 x的区间的确定.
13.【2014，安徽文 20】（本小题满分 13 分）
设函数 2 3( ) 1 (1 )f x a x x x ，其中 0a
（I）讨论 ( )f x 在其定义域上的单调性；
（II）当 [0,1]x 时，求 ( )f x 取得最大值和最小值时的的值，
【答案】（I） ( )f x 在 1( , )x 和 2( , )x 内单调递减，在 1 2( , )x x 内单调递增；（II）所以当
0 1a 时， ( )f x 在 1x 处取得最小值；当 1a 时， ( )f x 在 0x 和 1x 处同时取得最小
只；当1 4a 时， ( )f x 在 0x 处取得最小值，
试题分析：（I）对原函数进行求导， 2'( ) 1 2 3f x a x x ，令 '( ) 0f x ，解得
1 2 1 2
1 4 3 1 4 3, ,
3 3
a ax x x x
，当 1x x 或 2x x 时 '( ) 0f x ；从而得出，当
1 2x x x 时， '( ) 0f x ，故 ( )f x 在 1( , )x 和 2( , )x 内单调递减，在 1 2( , )x x 内单调递增，
（II）依据第（I）题，对a进行讨论，①当 4a 时， 2 1x ，由（I）知， ( )f x 在[0,1]上
单调递增，所以 ( )f x 在 0x 和 1x 处分别取得最小值和最大值，②当0 4a 时， 2 1x ，
由（I）知， ( )f x 在 2[0, ]x 上单调递增，在 2[ ,1]x 上单调递减，因此 ( )f x 在 2
1 4 3
3
ax x
处取得最大值，又 (0) 1, (1)f f a ，所以当0 1a 时， ( )f x 在 1x 处取得最小值；当 1a
时， ( )f x 在 0x 和 1x 处同时取得最小只；当1 4a 时， ( )f x 在 0x 处取得最小值，
试题详细分析：（I） ( )f x 的定义域为 R ， 2'( ) 1 2 3f x a x x ，令 '( ) 0f x ，得
1 2 1 2
1 4 3 1 4 3, ,
3 3
a ax x x x
，所以 1 2'( ) 3( )( )f x x x x x ，当 1x x 或
2x x 时 '( ) 0f x ；当 1 2x x x 时， '( ) 0f x ，故 ( )f x 在 1( , )x 和 2( , )x 内单调递减，
在 1 2( , )x x 内单调递增，
递减，因此 ( )f x 在 2
1 4 3
3
ax x
处取得最大值，又 (0) 1, (1)f f a ，所以当
0 1a 时， ( )f x 在 1x 处取得最小值；当 1a 时， ( )f x 在 0x 和 1x 处同时取得最小
只；当1 4a 时， ( )f x 在 0x 处取得最小值，
考点：1，含参函数的单调性；2，含参函数的最值求解，
【名师点睛】含参函数的单调性求解步骤如下：第一步，求函数的定义域；第二步，求导函
数；第三步，以导函数的零点存在性进行讨论；第四步，当导函数存在多个零点时，讨论它
们的大小关系及区间位置关系；第五步，画出导函数的同号函数草图，从而判断其导函数的
符号；第六步，根据第五步的草图列出 '( )f x ， ( )f x 随变化的情况表，写出函数的单调区间；
第七步，综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间.
14.【2015 高考安徽，文 21】已知函数 )0,0(
)(
)( 2
ra
rx
axxf
（Ⅰ）求 )(xf 的定义域，并讨论 )(xf 的单调性；
（Ⅱ）若 400
r
a
，求 )(xf 在 ),0( 内的极值.
【答案】（Ⅰ）递增区间是（-r,r）;递减区间为（-∞，-r）和（r，+∞）；（Ⅱ）极大值为
100；无极小值.
所以当 rx 或 rx 时， 0)( xf ，当 rxr 时， 0)( xf
因此， )(xf 单调递减区间为 ),(),,( rr ； )(xf 的单调递增区间为 ,r r .
（Ⅱ）由（Ⅰ）的解答可知 0)(' rf )(xf 在 r,0 上单调递增，在 ,r 上单调递减.
因 此 rx 是 )(xf 的 极 大 值 点 ， 所 以 )(xf 在 ),0( 内 的 极 大 值 为
100
4
400
42
)( 2
r
a
r
arrf ， ）在（ ,0)(xf 内无极小值；
综上， ）在（ ,0)(xf 内极大值为 100，无极小值.
【考点定位】本题主要考查了函数的定义域、利用导数求函数的单调性，以及求函数的极值
等基础知识.
【名师点睛】本题在利用导数求函数的单调性时要注意，求导后的分子是一个二次项系数为
负数的一元二次式，在求 0)( xf 和 0)( xf 时要注意，本题主要考查考生对基本概念的掌
握情况和基本运算能力.
15. 【2014 天津，文 19】已知函数 2 32( ) ( 0),
3
f x x ax a x R
（1） 求 ( )f x 的单调区间和极值；
（2）若对于任意的 1 (2, )x ，都存在 2 (1, )x ，使得 1 2( ) ( ) 1f x f x ，求的取值范围
【答案】(1) ( )f x 的单调增区间是
1(0, )
a ，单调减区间是 ( ,0) 和
1( , )
a
，当 0x 时， ( )f x 取
极小值，当
1x
a
时， ( )f x 取极大值 2
1
3a ， (2)
3 3[ , ].
4 2
极大值 2
1
3a ， (2)本题首先要正确转化：“对于任意的 1 (2, )x ，都存在 2 (1, )x ，使得
1 2( ) ( ) 1f x f x ”等价于两个函数值域的包含关系. 设集合 { ( ) | (2, )},A f x x ，集合
1{ | (1, ), ( ) 0},
( )
B x f x
f x
则 A B ，其次挖掘隐含条件，简化讨论情况，明确讨论方向. 由
于 0 B ，所以 0 A ,因此
3 2
2a
，又 A B ，所以 (1) 0f ，即
3 3 .
4 2
a
试题详细分析：
解(1)由已知有 2( ) 2 2 ( 0).f x x ax a 令 ( ) 0f x ，解得 0x 或
1x
a
，列表如下：
( ,0) 1(0, )
a
1
a
1( , )
a
( )f x
( )f x
2
1
3a
所以 ( )f x 的单调增区间是
1(0, )
a ，单调减区间是 ( ,0) 和
1( , )
a
，当 0x 时， ( )f x 取极小值，
当
1x
a
时， ( )f x 取极大值 2
1
3a ，(2)由
3(0) ( ) 0
2
f f
a
及（1）知，当
3(0, )
2
x
a
时， ( ) 0f x ，
当
3( , )
2
x
a
时， ( ) 0.f x 设集合 { ( ) | (2, )},A f x x ，集合
1{ | (1, ), ( ) 0},
( )
B x f x
f x
则“对
于任意的 1 (2, )x ，都存在 2 (1, )x ，使得 1 2( ) ( ) 1f x f x ”等价于 A B .显然 0 B .
下面分三种情况讨论：
当
3 2
2a
即
30
4
a 时，由
3( ) 0
2
f
a
可知 0 A 而 0 B ，所以 A不是 B的子集
当
31 2
2a
即
3 3
4 2
a 时，有 (2) 0f 且此时 ( )f x 在 (2, ) 上单调递减，故 ( , (2))A f ，因而
( ,0)A 由 (1) 0f 有 ( )f x 在 (1, ) 上的取值范围包含 ( ,0) ，所以 A B
当
3 1
2a
即
3
2
a 时，有 (1) 0f 且此时 ( )f x 在 (1, ) 上单调递减，故
1( ,0)
(1)
B
f
, ( , (2))A f ,
所以 A不是 B的子集
综上，的取值范围为
3 3[ , ].
4 2
考点：利用导数求单调区间及极值，利用导数求函数值域
【名师点睛】本题考查利用导数工具研究函数，涉及导数与函数的单调性，证明不等式等，
导数是研究函数的锐利工具，借助导数可以研究函数的单调性，研究函数的极值和最值，研
究函数的零点，研究函数图像的位置，最重要的是利用导数研究函数单调性，借助函数的单
调性比较大小、解不等式、证明不等式.由于导数是高等数学的基础知识，所以成为高考命题
的热点，每年必考，花样繁新.
16.【2014 年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷 21】 为圆周率， 71828.2e 为自然
对数的底数.
（1）求函数
x
xxf ln)( 的单调区间；
（2）求 3e ， e3 ， e ， e ， 3 ， 3 这 6个数中的最大数与最小数；
（3）将 3e ， e3 ， e ， e ， 3 ， 3 这 6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.
（2）因为 3e ，所以 ln3ln ee ， 3lnln e ，即 ee ln3ln ， 3lnln e ，
于是根据函数 xy ln 、 xey 、 xy 在定义域上单调递增，
所以 33 ee ， 33 ee ，
故这 6个数的最大数在 3 与 3 之中，最小数在 e3 与 3e 之中，
由 3e 及（1）的结论得 )()3()( efff ，即
e
eln
3
3lnln
，
由
3
3lnln
得 3lnln 3 ，所以 33 ，
由
e
eln
3
3ln
得 3ln3ln ee ，所以 33 ee ，
综上，6个数中的最大数为 3 ，最小数为 e3 .
考点：导数法求函数的单调性、单调区间，对数函数的性质，比较大小.
【名师点睛】作为一道函数压轴题，以函数作为主线，重点考查导数在研究函数的单调性与
极值中的应用，其解题思路为：第一问直接对函数进行求导并分别令导数大于 0、小于 0 即
可求出相应的单调区间；第二问
运用函数 xy ln 、 xey 、 xy 在定义域上单调性及（1）的结论构造不等式逐个进行比较，
确定出其最大的数和最小的数即可.
17.【2015 新课标 2文 21】（本小题满分 12 分）已知 ln 1f x x a x .
（I）讨论 f x 的单调性；
（II）当 f x 有最大值,且最大值大于2 2a 时,求 a的取值范围.
【答案】（I） 0a , f x 在 0, 是单调递增； 0a , f x 在
10,
a
单调递增,在
1 ,
a
单调递减；（II） 0,1 .
时, 0g a ,当 1a 时 0g a ,因此 a的取值范围是 0,1 .
试题详细分析：
（I） f x 的定义域为 0, , 1f x a
x
,若 0a ,则 0f x , f x 在 0, 是单调递
增；若 0a ,则当
10,x
a
时 0f x ,当
1 ,x
a
时 0f x ,所以 f x 在
10,
a
单调递
增,在
1 ,
a
单调递减.
（II）由（I）知当 0a 时 f x 在 0, 无最大值,当 0a 时 f x 在
1x
a
取得最大值,最大
值 为
1 1 1ln 1 ln 1.f a a a
a a a
因 此
1 2 2 ln 1 0f a a a
a
. 令
ln 1g a a a ,则 g a 在 0, 是增函数, 1 0g ,于是,当0 1a 时, 0g a ,当 1a
时 0g a ,因此 a的取值范围是 0,1 .
【考点定位】本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.
【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要
根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范
围,由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此
类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.
1.【2014 全国 1，文 12】已知函数 3 2( ) 3 1f x ax x ，若 ( )f x 存在唯一的零点 0x ，且 0 0x ，
则的取值范围是( )
2, （B） 1, （C） , 2 （D） , 1
【答案】C
2'( ) 3 6 3 ( 2)f x ax x x ax ，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：
2( , )x
a
和
(0, )x 时函数单调递减;
2( 0)x
a
， 时函数单调递增，欲要使得函数有唯一的零点且为正，
则满足：
2( ) 0
(0) 0
f
a
f
，即得：
3 22 2( ) 3( ) 1 0a
a a
，可解得： 2 4a ，则 2( , 2a a 舍去） ．
考点：1.函数的零点;2.导数在函数性质中的运用;3.分类讨论的运用
【名师点睛】本题主要是考查函数的零点、导数在函数性质中的运用和分类讨论思想的运用，
在研究函数的性质时要结合函数的单调性、奇偶性、零点、以及极值等函数的特征去研究，
本题考查了考生的数形结合能力.
2.【2014 高考广东卷.文 21】(本小题满分 14分)已知函数 3 21 1
3
f x x x ax a R .
(1)求函数 f x 的单调区间；
(2)当 0a 时,试讨论是否存在 0
1 10, ,1
2 2
x
,使得 0
1
2
f x f
.
【答案】(1)详见解+析；(2)详见解+析.
(1) 2 2f x x x a ,方程 2 2 0x x a 的判别式为 4 4a ,
①当 1a 时, 0 ,则 0f x ,此时 f x 在 R上是增函数；
②当 1a 时,方程 2 2 0x x a 的两根分别为 1 1 1x a , 2 1 1x a ,
解不等式 2 2 0x x a ,解得 1 1x a 或 1 1x a ,
解不等式 2 2 0x x a ,解得 1 1 1 1a x a ,
此时,函数 f x 的单调递增区间为 , 1 1 a 和 1 1 ,a ,
单调递减区间为 1 1 , 1 1a a ；
综上所述,当 1a 时,函数 f x 的单调递增区间为 , ,
当 1a 时,函数 f x 的单调递增区间为 , 1 1 a 和 1 1 ,a ,
单调递减区间为 1 1 , 1 1a a ；
(2)
3 2
3 2
0 0 0 0
1 1 1 1 1 11 1
2 3 3 2 2 2
f x f x x ax a
3 2
3 2
0 0 0
1 1 1 1
3 2 2 2
x x a x
2 0
0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1
3 2 2 4 2 2 2
xx x x x a x
2
0 0
0 0
1 1 1
2 3 6 12 2
x xx x a
2
0 0 0
1 1 4 14 7 12
12 2
x x x a
,
若存在 0
1 10, ,1
2 2
x
,使得 0
1
2
f x f
,
必须 2
0 04 14 7 12 0x x a 在
1 10, ,1
2 2
上有解,
0a , 214 16 7 12 4 42 48 0a a ,
方程的两根为 1
14 2 21 48 7 21 48
8 4
a ax , 2
14 2 21 48 7 21 48
8 4
a ax ,
0 0x , 0 2
7 21 48
4
ax x ,
依题意,
7 21 480 1
4
a
,即7 21 48 11a ,
49 21 48 121a ,即
25 7
12 12
a ,
又由
7 21 48 1
4 2
a
得
5
4
a ,
故欲使满足题意的 0x 存在,则
5
4
a ,
所以,当
25 5 5 7, ,
12 4 4 12
a
时,存在唯一 0
1 10, ,1
2 2
x
满足 0
1
2
f x f
,
当
25 5 7, ,0
12 4 12
a
时,不存在 0
1 10, ,1
2 2
x
满足 0
1
2
f x f
.
【考点定位】本题以三次函数为考查形式,考查利用导数求函数的单调区间,从中渗透了利用
分类讨论的思想处理含参函数的单调区间问题,并考查了利用作差法求解不等式的问题,综合
性强,属于难题.
【名师点晴】本题主要考查的是函数的单调区间和函数与方程，属于难题．解题时一定要抓
住重要字眼“单调区间”，否则很容易出现错误．利用导数求函数 f x 的单调区间的步骤：
①确定函数 f x 的定义域；②对 f x 求导；③令 0f x ，解不等式得的范围就是递增区
间，令 0f x ，解不等式得的范围就是递减区间．
3.【2016高考新课标 1文数】（本小题满分 12分）已知函数 22 e 1xf x x a x ．
(I)讨论 f x 的单调性；
(II)若 f x 有两个零点,求 a的取值范围.
【答案】见解+析(II) 0,
试题分析：(I)先求得 ' 1 2 .xf x x e a 再根据 1,0,2a的大小进行分类确定 f x 的单调
性；(II)借助第一问的结论,通过分类讨论函数单调性,确定零点个数,从而可得 a的取值范围为
0, .
试题详细分析： (I) ' 1 2 1 1 2 .x xf x x e a x x e a
(i)设 0a ,则当 ,1x 时, ' 0f x ；当 1,x 时, ' 0f x .
所以在 ,1 单调递减,在 1, 单调递增.
当 ln 2 ,1x a 时, ' 0f x ,所以 f x 在 , ln 2 , 1,a 单调递增,在 ln 2 ,1a 单
调递减.
③若
2
ea ,则 2 1ln a ,故当 ,1 ln 2 ,x a 时 , ' 0f x ,当 1, ln 2x a
时, ' 0f x ,所以 f x 在 ,1 , ln 2 ,a 单调递增,在 1, ln 2a 单调递减.
(II)(i)设 0a ,则由(I)知, f x 在 ,1 单调递减,在 1, 单调递增.
又 1 2f e f a ， ,取 b满足 b<0且 ln
2 2
b a
,
则 2 3 32 1 0
2 2
af b b a b a b b
,所以 f x 有两个零点.
(ii)设 a=0,则 2 xf x x e 所以 f x 有一个零点.
(iii)设 a<0,若
2
ea ,则由(I)知, f x 在 1, 单调递增.
又当 1x 时, f x <0,故 f x 不存在两个零点；若
2
ea ,则由(I)知, f x 在 1, ln 2a 单调递
减,在 ln 2 ,a 单调递增.又当 1x 时 f x <0,故 f x 不存在两个零点.
综上,a的取值范围为 0, .
考点：函数单调性,导数应用
【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根
据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围,
由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问
题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.
4.【2015 高考广东，文 21】（本小题满分 14分）设为实数，函数 2 1f x x a x a a a ．
（1）若 0 1f ，求的取值范围；
（2）讨论 f x 的单调性；
（3）当 2a 时，讨论 4f x
x
在区间 0, 内的零点个数．
【答案】（1）
1,
2
；（2） )(xf 在 ),( a 上单调递增，在 ),( a 上单调递减；（3）当 2a
时， 4f x
x
有一个零点 2x ；当 2a 时， 4f x
x
有两个零点．
由（2）得函数 f x 的最小值，再对的取值范围进行讨论确定 4f x
x
在区间 0, 内的零
点个数．
试题详细分析：（1） 2 2(0)f a a a a a a ，因为 0 1f ，所以 1 aa ，
当 0a 时， 10 ，显然成立；当 0a ，则有 12 a ，所以
2
1
a .所以
2
10 a .
综上所述，的取值范围是
1,
2
.
（2）
axaxax
axxax
xf
,2)12(
,12
)(
2
2
对于 xaxu 122
1 ，其对称轴为 aaax
2
1
2
12
，开口向上，
所以 )(xf 在 ),( a 上单调递增；
对于 axaxu 2122
1 ，其对称轴为 aaax
2
1
2
12
，开口向上，
所以 )(xf 在 ),( a 上单调递减.
综上所述， )(xf 在 ),( a 上单调递增，在 ),( a 上单调递减.
（3）由（2）得 )(xf 在 ),( a 上单调递增，在 ),0( a 上单调递减，所以 2
min )()( aaafxf .
(i)当 2a 时， 2)2()( min fxf ，
2,45
2,3
)(
2
2
xxx
xxx
xf
令 4 0f x
x
，即
x
xf 4)( （ 0x ）.
因为 )(xf 在 )2,0( 上单调递减，所以 2)2()( fxf
而
x
y 4
在 )2,0( 上单调递增， 2)2( fy ，所以 )(xfy 与
x
y 4
在 )2,0( 无交点.
当 2x 时，
x
xxxf 43)( 2 ，即 043 23 xx ，所以 042 223 xxx ，所以
0)1(2 2 xx ，因为 2x ，所以 2x ，即当 2a 时， 4f x
x
有一个零点 2x .
(ii)当 2a 时， 2
min )()( aaafxf ，
当 ),0( ax 时， 42)0( af ， 2)( aaaf ，而
x
y 4
在 ),0( ax 上单调递增，
当 ax 时，
a
y 4
.下面比较 2)( aaaf 与
a
4
的大小
因为 0)2)(2()4()4(
223
2
a
aaa
a
aa
a
aa
所以
a
aaaf 4)( 2
结合图象不难得当 2a 时， )(xfy 与
x
y 4
有两个交点.
综上所述，当 2a 时， 4f x
x
有一个零点 2x ；当 2a 时， 4f x
x
有两个零点.
考点：1、绝对值不等式；2、函数的单调性；3、函数的最值；4、函数的零点.
【名师点晴】本题主要考查的是绝对值不等式、函数的单调性、函数的最值和函数的零点，
属于难题．零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间，去绝对值号；③分别
解去掉绝对值的不等式；④取每段结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．判断
函数的单调性的方法：①基本初等函数的单调性；②导数法．判断函数零点的个数的方法：
①解方程法；②图象法．
5. 【 2014 湖南文 21】已知函数 ( ) cos sin 1( 0)f x x x x x .
（1）求 ( )f x 的单调区间；
（2）记 ix 为 ( )f x 的从小到大的第 ( *)i i N 个零点，证明：对一切 *n N ，有
2 2 2
1 2
1 1 1 2
3nx x x
.
【答案】(1) 单调递减区间为 2 , 2 1 *k k k N ,
单调递增区间为 2 1 , 2 2 *k k k N .(2)详见解+析
(2)利用(1)问的结果可知函数 f x 在区间 0, 上是单调递减的,即 f x 在区间 0, 上至
多一个零点,根据正余弦的函数值可得 10
2 2
f x
,再根据 f x 在区间上
, 1n n 单调性和函数 f x 在区间 , 1n n 端点处函数值异号可得函数 f x 在区
间 , 1n n 上有且只有一个零点,即
1 2 2 2 22
1
1 1 11
1n
n
n x n
x nn
,则依
次讨论 1, 2, 3n n n 利用放缩法即可证明 2 2 2
1 2
1 1 1 2
3nx x x
.
试题详细分析:数 f x 求导可得 ' cos sin cos sin 0f x x x x x x x x ,令 ' 0f x 可
得
*x k k N ,当 2 , 2 1 *x k k k N 时, sin 0x .此时 ' 0f x ;
当 2 1 , 2 2 *x k k k N 时,sin 0x ,此时 ' 0f x ,
故函数 f x 的单调递减区间为 2 , 2 1 *k k k N ,
单调递增区间为 2 1 , 2 2 *k k k N .
(2)由(1)可知函数 f x 在区间 0, 上单调递减,又 0
2
f
,所以 1 2
x
,
当 *n N 时,因为 11 1 1 1 1 1 0n nf n f n n n ,且函数 f x 的图
像是连续不断的,所以 f x 在区间 , 1n n 内至少存在一个零点,又 f x 在区间
, 1n n 上是单调的,故 1 1nn x n ,因此,
当 1n 时, 2 2
1
1 4 2
3x
;
当 2n 时, 2 2 2
1 2
1 1 1 24 1
3x x
;
当 3n 时,
22 2 2 2 2 2
1 2 3
1 1 1 1 1 1 1+ 4 1
2 1nx x x x n
2 2 2 2 2
1 2 3
1 1 1 1 1 1 1+ 5
1 2 2 1nx x x x n n
2 2 2 2 2
1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1+ 5 1
2 2 1nx x x x n n
2 2
1 1 6 26
1 3n
,
综上所述,对一切的 *n N , 2 2 2
1 2
1 1 1 2
3nx x x
.
【考点定位】导数 单调性 放缩法 裂项求和
【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的性质，解决问题的关键是求导要精确；利
用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数 f′(x)；(3)①若求单调
区间(或证明单调性)，只需在函数 f(x)的定义域内解(或证明)不等式 f′(x)>0或 f′(x)<0.②若
已知 f(x)的单调性，则转化为不等式 f′(x)≥0或 f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．利
用导数证明不等式，就是把不等式恒成立的问题，通过构造函数，转化为利用导数求函数最
值的问题．应用这种方法的难点是如何根据不等式的结构特点或者根据题目证明目标的要求，
构造出相应的函数关系式．失误与防范 1．研究函数的有关性质，首先要求出函数的定义
域．2．利用单调性求最值时不要忽视 f′(x)＝0的情况．3．“f′(x0)＝0”是“函数 f(x)在 x0取到极
值”的必要条件．学！
6.【2014 四川，文 21】已知函数 2( ) 1xf x e ax bx ，其中 ,a b R ， 2.71828e 为自然
对数的底数。
（Ⅰ）设 ( )g x 是函数 ( )f x 的导函数，求函数 ( )g x 在区间[0,1]上的最小值；
（Ⅱ）若 (1) 0f ，函数 ( )f x 在区间 (0,1)内有零点，证明： 2 1e a .
【答案】（Ⅰ）当
1
2
a 时， ( ) (0) 1g x g b ；当
1
2 2
ea 时， ( ) 2 2 ln(2 )g x a a a b ；
当
2
ea 时， ( ) 2g x e a b .（Ⅱ）的范围为 (0,1) .
内存在零点 2x ，即 ( )g x 在区间 (0,1)内至少有两个零点. 由（Ⅰ）可知，当
1
2
a 及
2
ea 时，
( )g x 在 (0,1)内都不可能有两个零点.所以
1
2 2
ea .此时， ( )g x 在 [0, ln 2 ]a 上单调递减，在
[ln 2 ,1]a 上 单 调 递 增 ， 因 此 1 2(0, ln(2 )], (ln(2 ),1)x a x a ， 且 必 有
(0) 1 0, (1) 2 0g b g e a b .由 (1) 1 0f e a b 得： 1b e a ，代入这两个不等式
即可得的取值范围.
试题详细分析：（Ⅰ） ( ) 2 , ( ) 2x xg x e ax b g x e a
①当 0a 时， ( ) 2 0xg x e a ，所以 ( ) (0) 1g x g b .
②当 0a 时，由 ( ) 2 0xg x e a 得 2 , ln(2 )xe a x a .
若
1
2
a ，则 ln(2 ) 0a ；若
2
ea ，则 ln(2 ) 1a .
所以当
10
2
a 时， ( )g x 在[0,1]上单调递增，所以 ( ) (0) 1g x g b .
当
1
2 2
ea 时 ， ( )g x 在 [0, ln 2 ]a 上 单 调 递 减 ， 在 [ln 2 ,1]a 上 单 调 递 增 ， 所 以
( ) (ln 2 ) 2 2 ln 2g x g a a a a b .
当
2
ea 时， ( )g x 在[0,1]上单调递减，所以 ( ) (1) 2g x g e a b .
（Ⅱ）设 0x 为 ( )f x 在区间 (0,1)内的一个零点，则由 0(0) ( ) 0f f x 可知，
( )f x 在区间 0(0, )x 上不可能单调递增，也不可能单调递减.
则 ( )g x 不可能恒为正，也不可能恒为负.
故 ( )g x 在区间 0(0, )x 内存在零点 1x .
同理 ( )g x 在区间 0( ,1)x 内存在零点 2x .
所以 ( )g x 在区间 (0,1)内至少有两个零点.
由（Ⅰ）知，当
1
2
a 时， ( )g x 在[0,1]上单调递增，故 ( )g x 在 (0,1)内至多有一个零点.
当
2
ea 时， ( )g x 在[0,1]上单调递减，故 ( )g x 在 (0,1)内至多有一个零点.
所以
1
2 2
ea .
此时， ( )g x 在[0, ln 2 ]a 上单调递减，在[ln 2 ,1]a 上单调递增，
因此 1 2(0, ln(2 )], (ln(2 ),1)x a x a ，必有
(0) 1 0, (1) 2 0g b g e a b .
由 (1) 1 0f e a b 得： 1 2a b e ，有
(0) 1 2 0, (1) 2 1 0g b a e g e a b a .
解得 2 1e a .
所以，函数 ( )f x 在区间 (0,1)内有零点时， 2 1e a .
【考点定位】导数的应用及函数的零点.考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查
函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想，并考查思维的严谨性.
【名师点睛】本题在利用导数求函数的单调性时要注意，求导后，在区间[0,1]中分类讨论解
不等式 0)( xf ，求得函数 ( )g x 在区间[0,1]的单调区间，继而求得最小值；导数的强大功能
就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究基本初等函数
方法所不具备的，而是其延续．
7.【2015高考四川，文 21】已知函数 f(x)＝－2lnx＋x2－2ax＋a2，其中 a>0.
(Ⅰ)设 g(x)为 f(x)的导函数，讨论 g(x)的单调性；
(Ⅱ)证明：存在 a∈(0，1)，使得 f(x)≥0恒成立，且 f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.
当 x∈(1，＋∞)时，g'(x)＞0，g(x)单调递增
(Ⅱ)由 f '(x)＝2(x－1－lnx－a)＝0，解得 a＝x－1－lnx
令Φ(x)＝－2xlnx＋x2－2x(x－1－lnx)＋(x－1－lnx)2＝(1＋lnx)2－2xlnx
则Φ(1)＝1＞0，Φ(e)＝2(2－e)＜0
于是存在 x0∈(1，e)，使得Φ(x0)＝0
令 a0＝x0－1－lnx0＝u(x0)，其中 u(x)＝x－1－lnx(x≥1)
由 u'(x)＝1－ 1
x
≥0知，函数 u(x)在区间(1，＋∞)上单调递增
故 0＝u(1)＜a0＝u(x0)＜u(e)＝e－2＜1
即 a0∈(0，1)
当 a＝a0时，有 f '(x0)＝0，f(x0)＝Φ(x0)＝0
再由(Ⅰ)知，f '(x)在区间(1，＋∞)上单调递增
当 x∈(1，x0)时，f '(x)＜0，从而 f(x)＞f(x0)＝0
当 x∈(x0，＋∞)时，f '(x)＞0，从而 f(x)＞f(x0)＝0
又当 x∈(0，1]时，f(x)＝(x－a0)2－2xlnx＞0
故 x∈(0，＋∞)时，f(x)≥0
综上所述，存在 a∈(0，1)，使得 f(x)≥0恒成立，且 f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.
【考点定位】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，
考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等
数学思想.
【名师点睛】本题第(Ⅰ)问隐藏二阶导数知识点，由于连续两次求导后，参数 a消失，故函
数的单调性是确定的，讨论也相对简单.第(Ⅱ)问需要证明的是：对于某个 a∈(0，1)，f(x)的
最小值恰好是 0，而且在(1，＋∞)上只有一个最小值.因此，本题仍然要先讨论 f(x)的单调性，
进一步说明对于找到的 a，f(x)在(1，＋∞)上有且只有一个等于 0 的点，也就是在(1，＋∞)
上有且只有一个最小值点.属于难题.
8.【2014 全国 1，文 21】设函数 21ln 1
2
af x a x x bx a
，曲线 1 1y f x f 在点 ，
处的切线斜率为 0
（1）求 b;
（2）若存在 0 1,x 使得 0 1
af x
a
，求 a的取值范围。
' 1( ) (1 ) 1 ( )( 1)
1
a a af x a x x x
x x a
（ⅰ）若
1
2
a ，则 1
1
a
a
，故当 (1, )x 时， ' ( ) 0f x ， ( )f x 在 (1, ) 单调递增，
所以，存在 0 1x ，使得 0( )
1
af x
a
的充要条件为 (1)
1
af
a
，即
1 1
2 1
a a
a
，
所以 2 1 2 1a .
（ⅱ）若
1 1
2
a ，则 1
1
a
a
，故当 (1, )
1
ax
a
时， ' ( ) 0f x ；
当 ( , )
1
ax
a
时， ' ( ) 0f x ， ( )f x 在 (1, )
1
a
a
单调递减，在 ( , )
1
a
a
单调递增.
所以，存在 0 1x ，使得 0( )
1
af x
a
的充要条件为 ( )
1 1
a af
a a
，
而
2
( ) ln
1 1 2(1 ) 1 1
a a a a af a
a a a a a
，所以不合题意.
（ⅲ）若 1a ，则
1 1(1) 1
2 2 1
a a af
a
.
综上，a的取值范围是 ( 2 1, 2 1) (1, ) .
考点：1.曲线的切线方程;2.导数在研究函数性质中的运用;3.分类讨论的应用
【名师点睛】本题考查了导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识
与基本技能方法,考查了分类讨论的思想方法，本题发现讨论点即
1
2
a 、
1 1
2
a 和 1a 是
解决本题的关键，本题考查了考生的推理能力和计算能力,属于难题.
9.【2015高考新课标 1，文 21】（本小题满分 12分）设函数 2 lnxf x e a x .
（I）讨论 f x 的导函数 f x 的零点的个数；
（II）证明：当 0a 时 22 lnf x a a
a
.
【答案】（I）当 0a £ 时， ( )f x¢ 没有零点；当 0a > 时， ( )f x¢ 存在唯一零点.（II）见解+析
试题详细分析：（I） ( )f x 的定义域为( )0 +¥， ， ( )2( )=2 0x af x e x
x
¢ - > .
当 0a £ 时, ( ) 0f x¢ > ， ( )f x¢ 没有零点；
当 0a > 时，因为 2xe 单调递增，
a
x
- 单调递增，所以 ( )f x¢ 在( )0 +¥， 单调递增.又 ( ) 0f a¢ > ,
当 b满足0
4
ab< < 且
1
4
b < 时， (b) 0f ¢ < ,故当 0a > 时， ( )f x¢ 存在唯一零点.
（II）由（I），可设 ( )f x¢ 在( )0 +¥， 的唯一零点为 0x ，当 ( )00x xÎ ， 时， ( ) 0f x¢ < ;
当 ( )0 +x x违 ， 时， ( ) 0f x¢ > .
故 ( )f x 在( )00 x， 单调递减，在( )0 +x ¥， 单调递增，所以当 0x x= 时， ( )f x 取得最小值，
最小值为 0( )f x .
由于 02
0
2 =0x ae
x
- ，所以 0 0
0
2 2( )= 2 ln 2 ln
2
af x ax a a a
x a a
+ + ³ + .
故当 0a > 时，
2( ) 2 lnf x a a
a
³ + .
考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导
数证明不等式；运算求解能力.
【名师点睛】导数的综合应用是高考考查的重点和热点，解决此类问题，要熟练掌握常见函
数的导数和导数的运算法则、掌握通过利用导数研究函数的单调性、极值研究函数的图像与
性质.对函数的零点问题，利用导数研究函数的图像与性质，画出函数图像草图，结合图像处
理；对恒成立或能处理成立问题，常用参变分离或分类讨论来处理.
10.【2015 高考浙江，文 20】（本题满分 15 分）设函数 2( ) , ( , )f x x ax b a b R .
（1）当
2
1
4
ab = + 时，求函数 ( )f x 在[ 1,1]- 上的最小值 ( )g a 的表达式；
（2）已知函数 ( )f x 在[ 1,1]- 上存在零点，0 2 1b a ，求的取值范围.
【答案】(1)
2
2
2, 2,
4
( ) 1, 2 2,
2, 2
4
a a a
g a a
a a a
；(2)[ 3,9 4 5]
分别确定参数的取值情况，利用并集原理得到参数的取值范围.
试题详细分析：(1)当
2
1
4
ab 时， 2( ) ( ) 1
2
af x x ，故其对称轴为
2
ax .
当 2a 时，
2
( ) (1) 2
4
ag a f a .
当 2 2a 时， ( ) ( ) 1
2
ag a f .
当 2a 时，
2
( ) ( 1) 2
4
ag a f a .
综上，
2
2
2, 2,
4
( ) 1, 2 2,
2, 2
4
a a a
g a a
a a a
由于
22 2 0
3 2
t
t
和
21 2 9 4 5
3 2
t t
t
，
所以
2 9 4 5
3
b .
当 1 0t 时，
2 22 2
2 2
t t tb
t t
，
由于
222 0
2
t
t
和
2
3 0
2
t t
t
，所以 3 0b .
综上可知，b的取值范围是[ 3,9 4 5] .
【考点定位】1.函数的单调性与最值；2.分段函数；3.不等式性质；4.分类讨论思想.
【名师点睛】本题主要考查函数的单调性与最值，函数零点问题.利用函数的单调性以及二次
函数的对称轴与给定区间的位置关系，利用分类讨论思想确定在各种情况下函数的最小值情
况，最后用分段函数的形式进行表示；利用函数与方程思想，确定零点与系数之间的关系，
利用其范围，通过分类讨论确定参数 b 的取值范围.本题属于中等题，主要考查学生应用函数
性质解决有关函数应用的能力，考查学生对数形结合数学、分类讨论思想以及函数与方程思
想的应用能力，考查学生基本的运算能力.
11.【2015高考湖北，文 21】设函数 ( )f x ， ( )g x 的定义域均为R ，且 ( )f x 是奇函数， ( )g x 是
偶函数，
( ) ( ) exf x g x ，其中 e为自然对数的底数.
（Ⅰ）求 ( )f x ， ( )g x 的解+析式，并证明：当 0x 时， ( ) 0f x ， ( ) 1g x ；
（Ⅱ）设 0a ， 1b ，证明：当 0x 时，
( )( ) (1 ) ( ) (1 )f xag x a bg x b
x
.
【答案】（Ⅰ）
1( ) (e e )
2
x xf x ，
1( ) (e e )
2
x xg x .证明：当 0x 时，e 1x ，0 e 1x ，故 ( ) 0.f x
又由 基本 不等 式， 有
1( ) (e e ) e e 1
2
x x x xg x ，即 ( ) 1.g x （Ⅱ ）由 （ Ⅰ）得
2
1 1 1 e 1( ) (e ) (e ) (e e ) ( )
2 e 2 e 2
x
x x x x
x xf x g x ⑤ 2
1 1 1 e 1( ) (e ) (e ) (e e ) ( )
2 e 2 e 2
x
x x x x
x xg x f x ⑥
当 0x 时 ，
( ) ( ) (1 )f x ag x a
x
等 价 于 ( ) ( ) (1 )f x axg x a x ⑦
( ) ( ) (1 )f x bg x b
x
等 价 于
( ) ( ) (1 ) .f x bxg x b x ⑧ 于 是 设 函 数 ( ) ( ) ( ) (1 )h x f x cxg x c x ， 由 ⑤ ⑥ ， 有
( ) ( ) ( ) ( ) (1 )h x g x cg x cxf x c (1 )[ ( ) 1] ( ).c g x cxf x 当 0x 时，（1）若 0c ，由③④，得 ( ) 0h x ，
故 ( )h x 在 [0, ) 上为增函数，从而 ( ) (0) 0h x h ，即 ( ) ( ) (1 )f x cxg x c x ，故⑦成立.（2）若 1c ，
由③④，得 ( ) 0h x ，故 ( )h x 在[0, ) 上为减函数，从而 ( ) (0) 0h x h ，即 ( ) ( ) (1 )f x cxg x c x ，
故⑧成立.综合⑦⑧，得
( )( ) (1 ) ( ) (1 )f xag x a bg x b
x
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 2
1 1 1 e 1( ) (e ) (e ) (e e ) ( )
2 e 2 e 2
x
x x x x
x xf x g x ，⑤
2
1 1 1 e 1( ) (e ) (e ) (e e ) ( )
2 e 2 e 2
x
x x x x
x xg x f x ，⑥
当 0x 时，
( ) ( ) (1 )f x ag x a
x
等价于 ( ) ( ) (1 )f x axg x a x ，⑦
( ) ( ) (1 )f x bg x b
x
等价于 ( ) ( ) (1 ) .f x bxg x b x ⑧
设 函 数 ( ) ( ) ( ) (1 )h x f x cxg x c x ， 由 ⑤ ⑥ ， 有
( ) ( ) ( ) ( ) (1 )h x g x cg x cxf x c (1 )[ ( ) 1] ( ).c g x cxf x
当 0x 时，（1）若 0c ，由③④，得 ( ) 0h x ，故 ( )h x 在[0, ) 上为增函数，从而 ( ) (0) 0h x h ，
即 ( ) ( ) (1 )f x cxg x c x ，故⑦成立.（2）若 1c ，由③④，得 ( ) 0h x ，故 ( )h x 在[0, ) 上为减
函 数 ， 从 而 ( ) (0) 0h x h ， 即 ( ) ( ) (1 )f x cxg x c x ， 故 ⑧ 成 立 . 综 合 ⑦ ⑧ ， 得
( )( ) (1 ) ( ) (1 )f xag x a bg x b
x
.
【考点定位】本题考查函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用，属高档题.
【名师点睛】将函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用联系在一起，重点
考查函数的综合性，体现了函数在高中数学的重要地位，其解题的关键是第一问需运用奇函
数与偶函数的定义及性质建立方程组进行求解；第二问属于函数的恒成立问题，需借助导数
求解函数最值来解决.
12. 【2014福建,文 22】（本小题满分 14分）
已知函数 ( ) xf x e ax （a为常数）的图像与 y轴交于点 A，曲线 ( )y f x 在点 A处的切线
斜率为 1 .
（1）求a的值及函数 ( )f x 的极值；
（2）证明：当 0x 时， 2 xx e
（3）证明：对任意给定的正数，总存在 0x ，使得当 0( , )x x 时，恒有 xx ce
【答案】（1）当 ln 2x 时， ( )f x 有极小值 (ln 2) 2 ln 4f ， ( )f x 无极大值.
（2）见解+析.（3）见解+析.
当 ln 2x 时， ' ( ) 0f x ， ( )f x 单调递减；
当 ln 2x 时， ' ( ) 0f x ， ( )f x 单调递增.
当 ln 2x 时， ( )f x 有极小值 (ln 2) 2 ln 4f ， ( )f x 无极大值.
（2）令 2( ) xg x e x ，则 ' ( ) 2xg x e x .
根据 ' ( ) ( ) (ln 2) 2 ln 4 0g x f x f ，知 ( )g x 在 R上单调递增，又 (0) 1 0g ，
当 0x 时，由 ( ) (0) 0g x g ，即得.
（3）思路一：对任意给定的正数 c，取 0
1x
c
，
根据 2 xx e .得到当 0x x 时， 2 1xe x x
c
.
思路二：令
1 ( 0)k k
c
，转化得到只需 ln lnx x k 成立.
分0 1k ， 1k ，应用导数研究 ( ) ln lnh x x x k 的单调性.
思路三：就① 1c ，②0 1c ，加以讨论.
试题详细分析：解法一：
（1）由 ( ) xf x e ax ，得 ' ( ) xf x e a .
又 ' (0) 1 1f a ，得 2a .
所以 ( ) 2xf x e x ， ' ( ) 2xf x e .
令 ' ( ) 0f x ，得 ln 2x .
当 ln 2x 时， ' ( ) 0f x ， ( )f x 单调递减；
当 ln 2x 时， ' ( ) 0f x ， ( )f x 单调递增.
所以当 ln 2x 时， ( )f x 有极小值，
且极小值为 ln 2(ln 2) 2 ln 2 2 ln 4f e ，
( )f x 无极大值.
（2）令 2( ) xg x e x ，则 ' ( ) 2xg x e x .
由（1）得， ' ( ) ( ) (ln 2) 2 ln 4 0g x f x f ，即 '( ) 0g x .
所以 ( )g x 在 R上单调递增，又 (0) 1 0g ，
所以当 0x 时， ( ) (0) 0g x g ，即 2 xx e .
（3）对任意给定的正数 c，取 0
1x
c
，
由（2）知，当 0x 时， 2 xx e .
所以当 0x x 时， 2 1xe x x
c
，即 xx ce .
因此，对任意给定的正数 c，总存在 0x ，当 0( , )x x 时，恒有 xx ce .
解法二：（1）同解法一.
（2）同解法一.
（3）令
1 ( 0)k k
c
，要使不等式 xx ce 成立，只要 xe kx 成立.
而要使 xe kx 成立，则只需 ln( )x kx ，即 ln lnx x k 成立.
①若0 1k ，则 ln 0k ，易知当 0x 时， ln ln lnx x x k 成立.
即对任意 [1, )c ，取 0 0x ，当 0( , )x x 时，恒有 xx ce .
②若 1k ，令 ( ) ln lnh x x x k ，则 ' 1 1( ) 1 xh x
x x
，
所以当 1x 时， ' ( ) 0h x ， ( )h x 在 (1, ) 内单调递增.
取 0 4x k ，
0( ) 4 ln(4 ) ln 2( ln ) 2( ln 2)h x k k k k k k ，
易知 lnk k ， ln 2k ，所以 0( ) 0h x .
因此对任意 (0,1)c ，取 0
4x
c
，当 0( , )x x 时，恒有 xx ce .
综上，对任意给定的正数 c，总存在 0x ，当 0( , )x x 时，恒有 xx ce .
解法三：（1）同解法一.
（2）同解法一.
（3）①若 1c ，取 0 0x ，
由（2）的证明过程知， 2xe x ，
所以当 0( , )x x 时，有 2x xce e x x ，即 xx ce .
②若0 1c ，
令 ( ) xh x ce x ，则 ' ( ) 1xh x ce ，
令 ' ( ) 0h x 得
1lnx
c
.
当
1lnx
c
时， ' ( ) 0h x ， ( )h x 单调递增.
取 0
22 lnx
c
，
22ln
0
2 2 2( ) 2 ln 2( ln )ch x ce
c c c
，
易知
2 2ln 0
c c
，又 ( )h x 在 0( , )x 内单调递增，
所以当 0( , )x x 时，恒有 0( ) ( ) 0h x h x ，即 xx ce .
综上，对任意给定的正数 c，总存在 0x ，当 0( , )x x 时，恒有 xx ce .
考点：导数的计算及导数的应用，全称量词与存在量词，转化与化归思想，分类讨论思想.
【名师点睛】本题第一问是先利用导数的几何意义求值，然后再用单调性探讨极值,第二问、
第三问是不等式证明问题，利用导数证明不等式是近几年高考的一个热点,解决此类问题的基
本思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性和极值破解.
13. (2014 课标全国Ⅰ，文 21)设函数 f(x)＝aln x＋
1
2
a
x2－bx(a≠1)，曲线 y＝f(x)在点(1，
f(1))处的切线斜率为 0.
(1)求 b；
(2)若存在 x0≥1，使得 0 1
af x
a
，求 a的取值范围．
分析：在第(1)问中，根据导数的几何意义将问题转化为 f′(1)＝0，即可求出 b的值；
在第(2)问中，将条件“存在x0≥1，使得 0 1
af x
a
”转化为“在1，＋∞)上， min 1
af x
a
恒成立”，因此关键是求出 f(x)在 1，＋∞)上的最小值．而 f(x)解+析式中含有参数 a，故
在求出 f′(x)后，应对 a的取值进行分类讨论，分别针对每一种情况求出 f(x)的最小值，从
而建立关于 a的不等式，求出 a的取值范围．
由(1)知，f(x)＝aln x＋
1
2
a
x2－x，
f′(x)＝
a
x
＋(1－a)x－1＝
1 a
x
1
ax
a
(x－1)．
①若
1
2
a ，则 1
1
a
a
，故当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(1，＋∞)单调递增．
所以，存在 x0≥1，使得 0 1
af x
a
的充要条件为 1
1
af
a
，即
1 1
2 1
a a
a
，解得
2 1 2 1a .
②若
1 1
2
a ，则 1
1
a
a
，故当 1,
1
ax
a
时，f′(x)＜0；当 ,
1
ax
a
时，f′(x)
＞0.f(x)在 1,
1
a
a
单调递减，在 ,
1
a
a
单调递增．
所以，存在 x0≥1，使得 0 1
af x
a
的充要条件为
1 1
a af
a a
.
而
2
ln
1 1 2 1 1 1
a a a a af a
a a a a a
，所以不合题意．
③若 a＞1，则 1 11 1
2 2 1
a a af
a
.
综上，a的取值范围是 2 1, 2 1 1, ．
名师点睛：本题考查导数法求函数的单调性、极值与最值，考查分析转化能力，分类讨论思
想，较难题. 注意选准分类的对象，分类不重不漏.
14.【2014辽宁文 21】（本小题满分 12分）
已知函数 ( ) ( cos ) 2sin 2f x x x x ，
1 sin 2( ) ( ) 1
1 sin
x xg x x
x
.
证明：（Ⅰ）存在唯一 0 (0, )
2
x
，使 0( ) 0f x ；
（Ⅱ）存在唯一 1 ( , )
2
x ，使 1( ) 0g x ，且对（1）中的 0 1x x .
【答案】（Ⅰ）详见解+析；（Ⅱ）详见解+析
故 ( )f x 在 (0, )
2
上为增函数，再说明端点函数值异号；（Ⅱ）与（Ⅰ）类似，只需证明函数 ( )g x
在区间 ( , )
2
上存在唯一零点．但是不易利用导数判断函数
cos 2( ) ( ) 1
1 sin
x xg x x
x
大致
图象，考虑到结论中 0 1x x ，故需考虑第二问与第一问的关系，利用（Ⅰ）的结论，设
t x ，则 (0, )
2
t
， ' ( )( )
(1 sin )
f tu t
t
，根据第一问中 ( )f t 的符号，从而可判断函数 ( )u t 的
单调性，进而判断函数 ( )u t 大致图象，确定函数 ( )u t 的零点，寻求函数 ( )g x 的零点与 ( )u t 零点
的关系，从而证明不等式．
试题详细分析：证明：（Ⅰ）当 (0, )
2
x
时， ' ( ) sin 2cos 0f x x x ，所以 ( )f x 在 (0, )
2
上为增函数．又 (0) 2 0f ．
2
( ) 4 0
2 2
f
．所以存在唯一 0 (0, )
2
x
，使 0( ) 0f x ．
（Ⅱ）当 1 ( , )
2
x 时，化简得
cos 2( ) ( ) 1
1 sin
x xg x x
x
．令 t x ．记 ( ) ( )u t g t
t cos 2 1
1 sin
t t
t
． (0, )
2
t
．则 ' ( )( )
(1 sin )
f tu t
t
．由（Ⅰ）得，当 0(0, x )t 时， ' ( ) 0u t ；当
0( , )
2
t x
时， '( ) 0u t ．从而在 0( , )
2
x
上 ( )u t 为增函数，由 ( ) 0
2
u
知，当 0[ , )
2
t x
时， ( ) 0u t ，
所以 ( )u t 在 0[ , )
2
x
上无零点．在 0(0, x )上 ( )u t 为减函数，由 (0) 1u 及 0( ) 0u x 知存在唯一
0 0(0, x )t ， 使 得 0( ) 0u x ． 于 是 存 在 唯 一 0 (0, )
2
t
， 使 得 0( ) 0u t ． 设
1 0 ( , )
2
x t ． 1 0 0( ) ( ) ( ) 0g x g t u t
．因此存在唯一的 1 ( , )
2
x ，使得 1( ) 0g x ．由于 1 0x t ， 0 0xt ，所以 0 1x x ．
【考点定位】１、函数的零点；2、利用导数判断函数单调性；3、利用导数求函数的最值．
【名师点睛】本题考查应用导数研究函数的性质、零点唯一性的判断、不等式的证明等.解答
本题的主要困难是构造函数
3 cos 2( ) ( ) 4 ln(1 )
1 sin
t tu t h t t
t
，并进一步应用导数研究函数
的单调性等.
本题是一道能力题，属于难题.在考查应用导数研究函数的性质、零点唯一性的判断、不等式
的证明等基础知识、基本方法的同时，考查考生的计算能力、应用数学知识分析问题解决问
题的能力，考查转化与化归思想想.
1.【2017 课标 3，文 6】函数
1 π π( ) sin( ) cos( )
5 3 6
f x x x 的最大值为（）
A．
6
5
B．1 C． D．
【答案】A
由诱导公式可得： cos cos sin
6 2 3 3
x x x
，
则： 1 6sin sin sin
5 3 3 5 3
f x x x x
,
函数的最大值为
6
5
.
所以选 A.
【考点】三角函数性质
【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变
换把函数化为 sin( )y A x B 的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、
函数名、结构等特征．
2.【2017 课标 II，文 3】函数
π( ) sin(2 )
3
f x x 的最小正周期为
A. 4π B.2π C. D.
π
2
【答案】C
【考点】正弦函数周期
【名师点睛】函数 sin( ) (A 0, 0)y A x B 的性质
(1) max min= +y A B y A B ， .
(2)周期 2 .T
(3)由
π π( )
2
x k k Z 求对称轴
(4)由
π π2 π 2 π( )
2 2
k x k k Z 求增区间; 由
π 3π2 π 2 π( )
2 2
k x k k Z 求减
区间;
3.【2017 课标 3，文 4】已知
4sin cos
3
，则 sin 2 =（）
A．
7
9
B．
2
9
C．
2
9
D．
7
9
【答案】A
2sin cos 1 7sin 2 2sin cos
1 9
.
所以选 A.
【考点】二倍角正弦公式
【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降
幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通
常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”
等.
4.【2017 山东，文 4】已知
3cos
4
x ,则 cos2x
A.
1
4
B.
1
4
C.
1
8
D.
1
8
【答案】D
【考点】二倍角公式
【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结
构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、
互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．
5. 【 2017 天 津 ， 文 7 】 设 函 数 ( ) 2sin( ),f x x x R ， 其 中 0,| | π . 若
5π 11π( ) 2, ( ) 0,
8 8
f f 且 ( )f x 的最小正周期大于 2π，则
（A）
2 π,
3 12
（B）
2 11π,
3 12
（C）
1 11π,
3 24
（D）
1 7π,
3 24
【答案】 A
试题分析：因为条件给出周期大于2 ，
11 5 6 3
8 8 8 4 4
T ，
2 23
3
T
，再
根据
2 5 2 2
3 8 2 12
k k ，因为 ，所以当 0k 时，
12
成立，故选
A.
【考点】三角函数的性质
【名师点睛】本题考查了 siny A x 的解+析式，和三角函数的图象和性质，本题叙述
方式新颖,是一道考查能力的好题，本题可以直接求解，也可代入选项，逐一考查所给选项：
当
5
8
x
时，
2 5
3 8 12 2
，满足题意，
2 5 11
3 8 12 2
，不合题意，B选项错误；
1 5 11
3 8 24 4
，不合题意，C选项错误；
1 5 7
3 8 24 2
，满足题意；当
11
8
x
时，
2 11
3 8 12
，满足题意；
1 11 7 18
3 8 24 24
，
不合题意，D选项错误.本题选择 A选项.学！
6.【2017 山东，文 7】函数 3 sin 2 cos 2y x x 最小正周期为
A.
π
2
B.
2π
3
C. D. 2π
【答案】C
【考点】三角变换及三角函数的性质
【名师点睛】求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义．②利用公式：y＝Asin(ωx
＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为
2π
|ω|
,y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为
π
|ω|
.③对
于形如 sin cosy a x b x 的函数,一般先把其化为 2 2 siny a b x 的形式再求周
期.
7.【2014 福建,文 7】将函数 siny x 的图象向左平移
2
个单位，得到函数 y f x 的函数图
象，则下列说法正确的是（）
.
.
.3
2
. - 0
2
A y f x
B y f x
C y f x x
D y f x
是奇函数
的周期是
的图象关于直线 对称
的图象关于点 ， 对称
【答案】D
试题分析：将函数 siny x 的图象向左平移
2
个单位，得到函数 sin( ) cos
2
y x x
，
因为 cos( ) 0
2
y
，所以 - 0
2
y f x
的图象关于点 ， 对称，选D .
考点：三角函数图象的变换，三角函数诱导公式，三角函数的图象和性质.
【名师点睛】本题主要考查函数图像的平移及三角函数的性质，关于三角函数图像对称的结
论是：已知
sin 0f x A x A
，则
f x
图像关于直线 0x x
对称的充要条件是
0f x A
，
f x
图像关于点
0,0x
对称的充要条件是
0 0f x
.
8.【2015 高考福建，文 6】若
5sin
13
，且 为第四象限角，则 tan 的值等于（ ）
A．
12
5
B．
12
5
C．
5
12
D．
5
12
【答案】D
【考点定位】同角三角函数基本关系式．
【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，在sin 、 cos、 tan 三个值之间，知
其中的一个可以求剩余两个，但是要注意判断角 的象限，从而决定正负符号的取舍，属
于基础题．
9.(2014 课标全国Ⅰ，文 7)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③
πcos 2
6
y x
，④
πtan 2
4
y x
中，最小正周期为π的所有函数为( )．
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
答案：A
详细分析：由于 y＝cos|2x|＝cos 2x，所以该函数的周期为
2π π
2
；由函数 y＝|cos x|
的图象易知其周期为π；函数
πcos 2
6
y x
的周期为
2π π
2
；函数
πtan 2
4
y x
的周期
为
π
2
，故最小正周期为π的函数是①②③，故选 A.
名师点睛：本题考查余弦函数、正切函数的性质，函数的周期，注意区别函数 ||cos xy 与
|cos| xy 的图象与性质，容易题.
10.【2014 天津，文 8】已知函数 ( ) 3 sin cos ( 0), .f x x x x R 在曲线 ( )y f x 与直
线 1y 的交点中，若相邻交点距离的最小值为
3
，则 ( )f x 的最小正周期为（）
A.
2
B.
2
3
C. D.2
【答案】C
考点：三角函数性质
【名师点睛】本题考查三角函数图象与性质，本题属于基础题，研究三角函数图象与性质，
要把函数的解+析式化为标准形式，如： sin( )y A x k ，这个过程经常使用降幂公式和
辅助角公式，然后借助正弦函数的图像与性质去解决问题，本题需要借助已知条件求出，
然后计算周期.
11.【2015 高考新课标 1，文 8】函数 ( ) cos( )f x x 的部分图像如图所示，则 ( )f x 的单调
递减区间为（）
（A）
1 3( , ),
4 4
k k k Z
（B）
1 3(2 , 2 ),
4 4
k k k Z
（C）
1 3( , ),
4 4
k k k Z
（D）
1 3(2 , 2 ),
4 4
k k k Z
【答案】D
由 五 点 作 图 知 ，
1 +
4 2
5 3+
4 2
， 解 得 = ， =
4
， 所 以 ( ) cos( )
4
f x x ， 令
2 2 ,
4
k x k k Z ，解得
12
4
k ＜＜
32
4
k ， k Z ，故单调减区间为（
12
4
k ，
32
4
k ）， k Z ，故选 D.
【考点定位】三角函数图像与性质
【名师点睛】本题考查函数 cos( )y A x 的图像与性质，先利用五点作图法列出关于 ，
方程，求出 ， ，或利用利用图像先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出 ，再
利用复合函数单调性求其单调递减区间，是中档题，正确求 ， 使解题的关键.学#
12.【2016 高考新课标 2文数】函数 = sin( )y A x 的部分图像如图所示，则（）
（A） 2sin(2 )
6
y x
（B） 2sin(2 )
3
y x
（C） 2sin(2 + )
6
y x
（D） 2sin(2 + )
3
y x
【答案】A
考点：三角函数图像的性质
【名师点睛】根据图像求解+析式问题的一般方法是：先根据函数图像的最高点、最低点确定
A，h的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．
13.【2014 年.浙江卷.文 4】为了得到函数 xxy 3cos3sin 的图象，可以将函数 xy 3cos2
的图象（ ）
A.向右平移
12
个单位长 B.向右平移
4
个单位长
C.向左平移
12
个单位长 D.向左平移
4
个单位长
【答案】A
试题分析：因为 )
4
3sin(23cos3sin
xxxy ，所以将函数 xy 3cos2 的图象向右平移
12
个单位长得函数 )
4
3sin(2)
4
3
2
sin(2)
4
3cos(2)
12
(3cos2
xxxxy ，
即得函数 xxy 3cos3sin 的图象，选 A.
考点：三角函数的图象的平移变换，公式 )
4
sin(2cossin
xxx 的运用，容易题.
【名师点睛】三角函数图象变换法：由函数 y＝sin x 的图象通过变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)
的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”平移变换和伸缩变换都是针
对 x而言，即 x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
14.【2016 高考新课标 2文数】函数
π( ) cos 2 6cos( )
2
f x x x 的最大值为（）
（A）4（B）5 （C）6 （D）7
【答案】B
考点：正弦函数的性质、二次函数的性质.
【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当
3sin
2
x 时，函数 23 112(sin )
2 2
y x 取得最
大值.
2016 高考新课标Ⅲ文数]若 tan 1
3
，则 cos2 （ ）
（A）
4
5
（B）
1
5
（C）
1
5（D）
4
5
【答案】D
试题分析：
2
2 2 2
2 2 2
2
11 ( )cos sin 1 tan 43cos 2 1cos sin 1 tan 51 ( )
3
．
考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、二倍角．
【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消
去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间
的联系．
15. 【2014 四川，文 3】为了得到函数 sin( 1)y x 的图象，只需把函数 siny x 的图象上所
有的点（）
A．向左平行移动 1个单位长度 B．向右平行移动 1个单位长度
C．向左平行移动 个单位长度 D．向右平行移动 个单位长度
【答案】A
试题分析：只需把 siny x 的图象上所有的点向左平移 1个单位，便得函数 sin( 1)y x 的图
象.选 A.
【考点定位】三角函数图象的变换.
【名师点睛】本题考查三角函数图象的变换，解答本题的关键，是明确平移的方向和单位数，
这取决于加或减的数据.本题属于基础题，是教科书例题的简单改造，易错点在于平移的方向
记混.
16.【2015 高考山东，文 4】要得到函数 4y sin x （
3
的图象，只需要将函数 4y sin x 的图
象（）
（A）向左平移
12
个单位 （B）向右平移
12
个单位
（C）向左平移
3
个单位 （D）向右平移
3
个单位
【答案】 B
【考点定位】三角函数图象的变换.
【名师点睛】本题考查三角函数图象的变换，解答本题的关键，是明确平移的方向和单位数，
这取决于加或减的数据.
本题属于基础题，是教科书例题的简单改造，易错点在于平移的方向记混.
17.【2016 高考天津文数】已知函数 )0(
2
1sin
2
1
2
sin)( 2 xxxf ， Rx .若 )(xf 在区
间 )2,( 内没有零点，则的取值范围是（）
（A） ]
8
1,0( （B） )1,
8
5[]
4
1,0( （C） ]
8
5,0( （D） ]
8
5,
4
1[]
8
1,0(
【答案】D
试题分析：
1 cos sin 1 2( ) sin( x )
2 2 2 2 4
x xf x
， ( ) 0 sin( x ) 0
4
f x ，所以
4 ( ,2 ),(k z)
k
x
，因此
1 1 5 5 9 9 1 1 5 1 1 5( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (0, ] [ , ]
8 4 8 4 8 4 8 4 8 8 4 8
，
选 D.
考点：解简单三角方程
【名师点睛】对于三角函数来说，常常是先化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再利用三角
函数的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、
同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运
用降次公式．
18.【2014 高考陕西版文第 2题】函数 ( ) cos(2 )
4
f x x
的最小正周期是（）
.
2
A .B .2C .4D
【答案】 B
考点：同角的三角函数关系式，容易题.
【名师点晴】本题主要考查的是余弦函数的最小正周期，属于容易题.解题时只要正确记忆正
弦函数、预先函数的最小正周期周期公式
2T
w
，就不会出现错误
19. 【2015 高考陕西，文 6】“ sin cos ”是“cos2 0 ”的（）
A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要
【答案】 A
2 2cos 2 0 cos sin 0 (cos sin )(cos sin ) 0 ，
所以 sin cos 或sin cos ，故答案选 A .
【考点定位】1.恒等变换；2.命题的充分必要性.
【名师点睛】1.本题考查三角恒等变换和命题的充分必要性，采用二倍角公式展开 cos2 0 ，
求出 sin cos 或sin cos .2.本题属于基础题，高考常考题型.
20.【2016 高考新课标 1文数】若将函数 y=2sin (2x+
π
6
)的图像向右平移
1
4
个周期后,所得图
像对应的函数为（）
（A）y=2sin(2x+
π
4
) （B）y=2sin(2x+
π
3
) （C）y=2sin(2x–
π
4
) （D）y=2sin(2x–
π
3
)
【答案】D
试题分析：函数 y 2sin(2x )
6
的周期为 ,将函数 y 2sin(2x )
6
的图像向右平移
1
4
个周期
即
4
个单位,所得函数为 y 2sin[2(x ) )] 2sin(2x )
4 6 3
,故选 D.
考点：三角函数图像的平移
【名师点睛】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减“,二是平移
多少个单位是对 x而言的,不用忘记乘以系数.
21.【2017 课标 II，文 13】函数 ( ) 2cos sinf x x x 的最大值为 .
【答案】 5
【考点】三角函数有界性
【名师点睛】通过配角公式把三角函数化为 sin( )y A x B 的形式再借助三角函数图象
研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用 2 2| sin cos |a x b x a b
求最值.
22.【2017 江苏，5】若
π 1tan( ) ,
4 6
则 tan ▲ .
【答案】
7
5
1 1tan( ) tan 764 4tan tan[( ) ] 14 4 51 tan( ) tan 1
4 4 6
．故答案为
7
5
．
【考点】两角和正切公式
【名师点睛】三角函数求值的三种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.
23.【2017 课标 1，文 15】已知
π(0 )
2
a ， ，tan α=2，则
πcos ( )
4
=__________．
【答案】
3 10
10
试题分析：由 tan 2 得sin 2cos
又 2 2sin cos 1
所以 2 1cos
5
因为 (0, )
2
所以
5 2 5cos ,sin
5 5
因为 cos( ) cos cos sin sin
4 4 4
所以
5 2 2 5 2 3 10cos( )
4 5 2 5 2 10
【考点】三角函数求值
【名师点睛】三角函数求值的三种类型
（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．
（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．
（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
24. 【2016 高考四川文科】 0750sin =.
【答案】
1
2
考点：三角函数诱导公式
【名师点睛】本题也可以看作是一个来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们
一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题一般都是通过三角函数的公式把函数化为特
殊角的三角函数值而求解．
25.【2016 高考浙江文数】已知 22cos sin 2 sin( ) ( 0)x x A x b A ，则 A ______，
b ______．
【答案】 2 ；1．
试题分析： 22cos sin2 1 cos2 sin2 2 sin(2 ) 1
4
x x x x x
，所以 2, 1.A b
考点：三角恒等变换.
【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简 2cos x，再用辅助角公式化简cos2 sin 2 1x x ，
进而对照 sin x b 可得和．
26.2016 高考新课标Ⅲ文数]函数 sin 3 cosy x x 的图像可由函数 2siny x 的图像至少向
右平移_____________个单位长度得到．
【答案】
3
考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角差的正弦函数．
【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”
也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母
而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．
27.【2015 高考浙江，文 11】函数 2sin sin cos 1f x x x x 的最小正周期是，最小值是．
【答案】
3 2,
2
2 1 1 cos2 1 1 3sin sin cos 1 sin 2 1 sin 2 cos2
2 2 2 2 2
xf x x x x x x x
2 3sin(2 )
2 4 2
x
，所以
2
2
T ； min
3 2( )
2 2
f x .
【考点定位】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变换.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质以及三角恒等变换.主要考查学生利用恒等
变换化简三角函数，利用整体代换判断周期与最值的能力.本题属于容易题，主要考查学生的
基本运算能力以及整体代换的运用.
28.【2016 高考新课标 1文数】已知θ是第四象限角,且 sin(θ+
π
4
)=
3
5
,则 tan(θ–
π
4
)=.
【答案】
4
3
试题分析：由题意 sin sin
4 4 2
3cos
4 5
,
因为2 2 2
2
k k
k Z ,所以
72 2
4 4 4
k k
k Z ,
从而
4sin
4 5
,因此
4tan
4 3
．故填
4
3
．
考点：三角变换
29.【2015 湖南文 15】已知 >0,在函数 y=2sin x 与 y=2cos x 的图像的交点中，距离最短
的两个交点的距离为 2 3，则 =_____.
【答案】
2
【考点定位】三角函数图像与性质
【名师点睛】正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形. 应把三角函数的对
称性与奇偶性结合，体会二者的统一.这样就能理解条件“距离最短的两个交点”一定在同一
个周期内，本题也可从五点作图法上理解.
30.【2015 高考天津，文 14】已知函数 sin cos 0f x x x , xR ,若函数 f x 在区
间 , 内单调递增,且函数 f x 的图像关于直线 x 对称,则的值为．
【答案】
π
2
由 f x 在区间 , 内单调递增,且 f x 的图像关于直线 x 对称,可得
π2
,且
2 2 2 πsin cos 2 sin 1
4
f
,所以 2 π π π .
4 2 2
【考点定位】本题主要考查三角函数的性质.
【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考
查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:① sin 0, 0f x A x A 的单调
区间长度是半个周期;②若 sin 0, 0f x A x A 的图像关于直线 0x x 对称,则
0f x A 或 0f x A .
31. 【2014 高考重庆文第 13 题】将函数
22
0sin ，xxf 图像上每一点
的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移
6
个单位长度得到 xy sin 的图像，
则
6
f ______.
【答案】
2
2
所以
1 2sin sin
6 2 6 6 4 2
f
,所以答案应填：
2
2
.
考点：1、三角函数的图象变换；2、特殊角的三角函数值.
【名师点睛】本题考查了三角函数的图象变换，特殊角的三角函数值，本题属于基础题，注
意图象的平移方向与正负符之间的关系不要弄错了.
32.【2015 高考四川，文 13】已知 sinα＋2cosα＝0，则 2sinαcosα－cos2α的值是
______________.
【答案】－1
由已知可得，sinα＝－2cosα，即 tanα＝－2
2sinαcosα－cos2α＝
2
2 2 2
2sin cos cos 2 tan 1 4 1 1
sin cos tan 1 4 1
【考点定位】本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识，考查综合处理
问题的能力.
【名师点睛】同角三角函数(特别是正余弦函数)求值问题的通常解法是：结合 sin2α＋cos2α
＝1，解出 sinα与 cosα的值，然后代入计算，但这种方法往往比较麻烦，而且涉及符号的
讨论.利用整体代换思想，先求出 tanα的值，对所求式除以 sin2α＋cos2α(＝1)是此类题的
常见变换技巧，通常称为“齐次式方法”，转化为 tanα的一元表达式，可以避免诸多繁琐的
运算.属于中档题.
33.【2017 北京，文 16】已知函数 ( ) 3 cos(2 ) 2sin cos
3
f x x - x x
.
（I）f(x)的最小正周期；
（II）求证：当 [ , ]
4 4
x
时， 1
2
f x ．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）详见解+析.
试题详细分析：
（Ⅰ）
3 3 1 3 π( ) cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 cos 2 sin(2 )
2 2 2 2 3
f x x x x x x x .
所以 ( )f x 的最小正周期
2π π
2
T .
（Ⅱ）因为
π π
4 4
x ，
所以
π π 5π2
6 3 6
x .
所以
π π 1sin(2 ) sin( )
3 6 2
x .
所以当
π π[ , ]
4 4
x 时，
1( )
2
f x .
【考点】1.三角函数的性质；2.三角恒等变换.
【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，本题属于基础题，
要求准确应用降幂公式和辅助角公式进行变形，化为标准的 siny A x 的形式，借助正
弦函数的性质去求函数的周期、最值等，但要注意函数的定义域，求最值要给出自变量的取
值.
34.【2017 浙江，18】（本题满分 14 分）已知函数 f（x）=sin2x–cos2x–2 3 sin x cos x
（xR）．
（Ⅰ）求 )
3
2( f 的值．
（Ⅱ）求 )(xf 的最小正周期及单调递增区间．
【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为 ，单调递增区间为 Zkkk ]
3
2,
6
[
．
试题分析：（Ⅰ）由函数概念
3
2cos
3
2sin32
3
2cos
3
2sin)
3
2( 22
f ，分别计算可得；
（Ⅱ）化简函数关系式得 )sin( xAy ，结合
2
T 可得周期，利用正弦函数的性质求函
数的单调递增区间．
（Ⅱ）由 xxx 22 sincos2cos 与 xxx cossin22sin 得
)
6
2sin(22sin32cos)(
xxxxf
所以 )(xf 的最小正周期是
由正弦函数的性质得 Zkkxk ,2
2
3
6
22
2
解得 Zkkxk ,
3
2
6
所以 )(xf 的单调递增区间是 Zkkk ]
3
2,
6
[
．
【考点】三角函数求值、三角函数的性质
【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数 xAy sin 的性质，属于基础
题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，
单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形
式即 xAy sin ，然后利用三角函数 uAy sin 的性质求解．
35.【2015 高考重庆，文 18】已知函数 f(x)=
1
2
sin2x- 3 2cos x .
(Ⅰ)求 f（x）的最小周期和最小值，
(Ⅱ)将函数 f（x）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数 g（x）
的图像.当 x ,
2
时，求 g(x)的值域.
【答案】（Ⅰ） ( )f x 的最小正周期为p ，最小值为
2+ 3
2
- ，（Ⅱ）
1 3 2 3[ , ]
2 2
- -
.
试题详细分析： (1) 21 1 3( ) sin 2 3 cos sin 2 (1 cos 2 )
2 2 2
f x x x x x= - = - +
1 3 3 3sin 2 cos 2 sin(2 )
2 2 2 3 2
x x x p
= - - = - - ,
因此 ( )f x 的最小正周期为p ，最小值为
2+ 3
2
- .
(2)由条件可知：
3g( ) sin( )
3 2
x x p
= - - .
当 [ , ]
2
x p
pÎ 时，有
2[ , ]
3 6 3
x p p p
- Î ，
从而 sin( )
3
x p
- 的值域为
1[ ,1]
2
，
那么
3sin( )
3 2
x p
- - 的值域为
1 3 2 3[ , ]
2 2
- -
.
故g( )x 在区间[ , ]
2
p
p 上的值域是
1 3 2 3[ , ]
2 2
- -
.
【考点定位】1. 三角恒等变换，2.正弦函数的图象及性质，3.三角函数图象变换.
【名师点睛】本题考查三角恒等变形公式及正弦函数的图象及性质，第一问采用先降幂再用
辅助角公式将已知函数化为 ( ) sin( )f x A x B 的形式求解，第二小问在第一问的基础上
应用三角函数图象变换知识首先求出函数 ( )g x 的解+析式，再结合正弦函数的图象求其值域.
本题属于中档题，注意公式的准确性及变换时的符号.
36.【2015 高考安徽，文 16】已知函数 2( ) (sin cos ) cos 2f x x x x
（Ⅰ）求 ( )f x 最小正周期；
（Ⅱ）求 ( )f x 在区间[0, ]
2
上的最大值和最小值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）最大值为1 2 ，最小值为 0
（Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果， 1)
4
2sin(2)(
xxf
当 ]
2
,0[
x 时， ]
4
5,
4
[
4
2
x
由正弦函数 xy sin 在 ]
4
5,
4
[
上的图象知，
当
24
2
x ，即
8
x 时， )(xf 取最大值 12 ；
当
4
5
4
2
x ，即
4
x 时， )(xf 取最小值.
综上， )(xf 在[0, ]
2
上的最大值为 12 ，最小值为.
【考点定位】本题主要考查同角的基本关系、三角恒等变换、三角函数 BxAy )sin( 的
性质，以及正弦函数的性质.
【名师点睛】熟练掌握三角函数的同角的基本关系和恒等变换公式以及三角函数
BxAy )sin( 的性质是解决本题的关键，考查了考生的基本运算能力.
37.【2015 高考福建，文 21】已知函数 210 3 sin cos 10cos
2 2 2
x x xf x ．
（Ⅰ）求函数 f x 的最小正周期；
（Ⅱ）将函数 f x 的图象向右平移
6
个单位长度，再向下平移（ 0a ）个单位长度后得到
函数 g x 的图象，且函数 g x 的最大值为 2．
（ⅰ）求函数 g x 的解+析式；
（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数 0x ，使得 0 0g x ．
【答案】（Ⅰ） 2 ；（Ⅱ）（ⅰ） 10sin 8g x x ；（ⅱ）详见解+析．
（I）因为 210 3 sin cos 10cos
2 2 2
x x xf x
5 3 sin 5cos 5x x
10sin 5
6
x
．
所以函数 f x 的最小正周期 2 ．
（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数 0x ，使得 0 0g x ，就是要证明存在无穷多个
互不相同的正整数 0x ，使得 010sin 8 0x ，即 0
4sin
5
x ．
由
4 3
5 2
知，存在 00
3
，使得 0
4sin
5
．
由正弦函数的性质可知，当 0 0,x 时，均有
4sin
5
x ．
因为 siny x 的周期为2 ，
所以当 0 02 ,2x k k （ k）时，均有
4sin
5
x ．
因为对任意的整数， 0 0 02 2 2 1
3
k k ，
所以对任意的正整数，都存在正整数 0 02 ,2kx k k ，使得
4sin
5kx ．
亦即存在无穷多个互不相同的正整数 0x ，使得 0 0g x ．
【考点定位】1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式．
【名师点睛】三角函数的定义域、值域、单调性、周期、奇偶性、对称性都是通过将解+析式
变形为 ( ) sin( )f x A x 进行；若三角函数图象变换是纵向伸缩和纵向平移，都是相对于
( )f x 而言，即 ( ) ( )f x Af x 和 ( ) ( )f x f x k ，若三角函数图象变换是横向伸缩和横向平移，
都是相对于自变量而言，即 ( ) ( )f x f x 和 ( ) ( )f x f x a ；本题第（ⅱ）问是解三角不等
式问题，由函数周期性的性质，先在一个周期内求解，然后再加周期，将存在无穷多个互不
相同的正整数 0x ，使得 0 0g x ，转化为解集长度大于 1，是本题的核心．
38.【2015 高考湖北，文 18】某同学用“五点法”画函数
π( ) sin( ) ( 0, | | )
2
f x A x 在某
一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
x 0
π
2
3π
2 2π
π
3
5π
6
sin( )A x 0 5 5 0
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数 ( )f x 的解
析式；
（Ⅱ）将 ( )y f x 图象上所有点向左平行移动
π
6
个单位长度，得到 ( )y g x 图象，求
( )y g x 的图象离原点O最近的对称中心.
【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得
π5, 2,
6
A .数据补全如下表：
x π
2
3π
2 2π
π
12
π
3
7π
12
5π
6
13 π
12
sin( )A x 5
且函数表达式为
π( ) 5sin(2 )
6
f x x ；（Ⅱ）离原点O最近的对称中心为
π( , 0)
12
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
π( ) 5sin(2 )
6
f x x ，因此
π π π( ) 5sin[2( ) ] 5sin(2 )
6 6 6
g x x x .因为 siny x
的对称中心为 ( π, 0)k ，kZ . 令
π2 π
6
x k ，解得
π π
2 12
kx ，kZ .即 ( )y g x 图象的对称中心
为
π π 0
2 12
k
（ ，）， kZ ，其中离原点O最近的对称中心为
π( , 0)
12
.
【考点定位】本题考查五点作图法和三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质，属基
础题.
【名师点睛】将五点作图法、三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质联系在一起，
正确运用方程组的思想，合理的解三角函数值，准确使用三角函数图像的平移和三角函数的
图像及其性质是解题的关键，能较好的考查学生基础知识的实际应用能力、准确计算能力和
规范解答能力.
39.【2016 高考北京文数】（本小题 13 分）
已知函数 )0(2coscossin2)( xxxxf 的最小正周期为 .
（1）求的值；
（2）求 )(xf 的单调递增区间.
【答案】（Ⅰ） 1 （Ⅱ）
3 ,
8 8
k k
（ k）．
sin 2 cos2x x 2 sin 2
4
x
，
所以 f x 的最小正周期
2
2
．
依题意，
，解得 1 ．
（II）由（I）知 2 sin 2
4
f x x
．
函数 siny x 的单调递增区间为 2 ,2
2 2
k k
（ k）．
由 2 2 2
2 4 2
k x k ，
得
3
8 8
k x k ．
所以 f x 的单调递增区间为
3 ,
8 8
k k
（ k）．
考点：两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性.
【名师点睛】三角函数的单调性：1.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三
角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．关于复合函数的单调性的求法；
2 利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函
数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数，则应考
虑化为同名三角函数或用差值法(例如与 0比较，与 1比较等)求解．
40.【2014 高考北京文第 16 题】（本小题满分 13 分）函数 3sin 2
6
f x x
的部分图象如
图所示.
（1）写出 f x 的最小正周期及图中 0x 、 0y 的值；
（2）求 f x 在区间 ,
2 12
上的最大值和最小值.
【答案】（1） ， 0
7
6
x
， 0 3y ；（2）最大值 0，最小值 3 .
（2）因为 [ , ]
2 12
x
，所以
52 [ ,0]
6 6
x
，于是
当 2 0
6
x
，即
12
x
时， f x 取得最大值 0；
当 2
6 2
x
，即
3
x
时， f x 取得最小值 3 .
考点：本小题主要考查三角函数的图象与性质，求三角函数的最值等基础知识，考查同学们
数形结合、转化与化归的数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力.
41.【2016 高考山东文数】（本小题满分 12 分）
设 2( ) 2 3 sin(π )sin (sin cos )f x x x x x .
（I）求 ( )f x 得单调递增区间；
（II）把 ( )y f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），再把得到的图
象向左平移
π
3
个单位，得到函数 ( )y g x 的图象，求
π( )
6
g 的值.
【答案】（） f x 的单调递增区间是 5, ,
12 12
k k k Z
（或 5( , )
12 12
k k k Z ）
（） 3.
由 2 2 2 ,
2 3 2
k x k k Z 即得 5 ,
12 12
k x k k Z
写出 f x 的单调递增区间
（）由 f x 2sin 2 3 1,
3
x
平移后得 2sin 3 1.g x x 进一步可得 .
6
g
试题详细分析：（）由 22 3 sin sin sin cosf x x x x x
22 3 sin 1 2sin cosx x x
3 1 cos 2 sin 2 1x x
sin 2 3 cos 2 3 1x x
2sin 2 3 1,
3
x
由 2 2 2 ,
2 3 2
k x k k Z 得 5 ,
12 12
k x k k Z
所以， f x 的单调递增区间是 5, ,
12 12
k k k Z
（或 5( , )
12 12
k k k Z ）
（）由（）知 f x 2sin 2 3 1,
3
x
把 y f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），
得到 y 2sin 3 1
3
x
的图象，
再把得到的图象向左平移
3
个单位，得到 y 2sin 3 1x 的图象，
即 2sin 3 1.g x x
所以 2sin 3 1 3.
6 6
g
考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质；3.三角函数图象的变换.
【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质、三角函数图象的
变换.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三
角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，利用“左加右减、上加下减”变换原则，得出新
的函数解+析式并求值.本题较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形
能力等.
42.【2015 高考北京，文 15】（本小题满分 13 分）已知函数 2sin 2 3 sin
2
xf x x ．
（I）求 f x 的最小正周期；
（II）求 f x 在区间
20,
3
上的最小值．
【答案】（I） 2 ；（II） 3 .
数的最小正周期；（II）将的取值范围代入，先求出
3
x
的范围，再数形结合得到三角函数
的最小值.
试题详细分析：（Ⅰ）∵ ( ) sin 3 cos 3 2sin( ) 3
3
f x x x x
，
∴ ( )f x 的最小正周期为 2 .
（Ⅱ）∵
20
3
x
，∴
3 3
x .
当
3
x ，即
2
3
x
时， ( )f x 取得最小值.
∴ ( )f x 在区间
2[0, ]
3
上的最小值为
2( ) 3
3
f
.
考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值.
【名师点晴】本题主要考查的是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周期和三角函数
的最值，属于中档题．解题时要注意重要条件“
20,
3
”，否则很容易出现错误．解本题需
要掌握的知识点是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周期和三角函数的图象，即
2 1 1sin cos 2
2 2
， 2 2sin cos sina x b x a b x ，函数 sinf x x （ 0 ，
0 ）的最小正周期是
2
．
43.【2015 高考广东，文 16】（本小题满分 12 分）已知 tan 2 ．
（1）求 tan
4
的值；
（2）求 2
sin 2
sin sin cos cos 2 1
的值．
【答案】（1） 3 ；（2）．
试题分析：（1）由两角和的正切公式展开，代入数值，即可得 tan
4
的值；（2）先利用
二倍角的正、余弦公式可得 2 2 2
sin 2 2sin cos
sin sin cos cos 2 1 sin sin cos 2cos
，再分
子、分母都除以 2cos 可得 2 2
sin 2 2 tan
sin sin cos cos 2 1 tan tan 2
，代入数值，即可
得 2
sin 2
sin sin cos cos 2 1
的值．
试题详细分析：（1）
tan tan tan 1 2 14tan 3
4 1 tan 1 21 tan tan
4
（2） 2
sin 2
sin sin cos cos 2 1
2 2
2sin cos
sin sin cos 2cos 1 1
2 2
2sin cos
sin sin cos 2cos
2
2 tan
tan tan 2
2
2 2
2 2 2
1
考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同
角三角函数的基本关系.
【名师点晴】本题主要考查的是两角和的正切公式、特殊角的三角函数值、二倍角的正、余
弦公式和同角三角函数的基本关系，属于中档题．解本题需要掌握的知识点是两角和的正切
公式、二倍角的正、余弦公式和同角三角函数的基本关系，即 tan tantan
1 tan tan
，
sin 2 2sin cos ， 2cos 2 2cos 1 ，
sintan
cos
．
44. 【2014 高考广东卷.文.16】(本小题满分 12 分)已知函数 sin
3
f x A x
, x R ,且
5 3 2
12 2
f
.
(1)求 A的值；
(2)若 3f f , 0,
2
,求
6
f
.
【答案】(1)；(2) 6 .
(2) 3sin
3
f x x
,且 3f f ,
3sin 3sin
3 3
f f
3 sin cos cos sin sin cos cos sin
3 3 3 3
3 2sin cos 3sin 3
3
,
3sin
3
,且 0,
2
,
2 6cos 1 sin
3
,
3sin 3sin 3cos 6
6 6 3 2
f
.
【考点定位】本题考查诱导公式.同角三角函数的基本关系以及两角和的三角函数,综合考查
三角函数的求值问题,属于中等题.
【名师点晴】本题主要考查的是特殊角的三角函数值、两角和与差的正弦公式、同角三角函
数的基本关系和三角函数的诱导公式，属于中等题．解本题需要掌握的知识点是两角和与差
的正弦公式、同角三角函数的基本关系和三角函数的诱导公式，即
sin sin cos cos sin ， 2 2sin cos 1 ， sin cos
2
．
1.【2017 课标 1，文 11】△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、 b、 c．已知
sin sin (sin cos ) 0B A C C ，a=2，c= 2，则 C=
A．
π
12
B．
π
6
C．
π
4
D．
π
3
【答案】B
【考点】解三角形
【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理
都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式
时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以
上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
2.【2016 高考新课标 1 文数】△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知
5a , 2c , 2cos
3
A ,则 b=（）
（A） 2（B） 3（C）2 （D）3
【答案】D
试题分析：由余弦定理得
3
22245 2 bb ,解得 3b （
3
1
b 舍去）,故选 D.
考点：余弦定理
【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于 b的一元二次方程,再
通过解方程求 b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！
3.【2015 高考广东，文 5】设 C 的内角，，C的对边分别为，，．若 2a ， 2 3c ，
3cos
2
，且b c ，则b （）
A． 3 B． C．2 2 D．
【答案】B
【考点定位】余弦定理．
【名师点晴】本题主要考查的是余弦定理，属于容易题．解题时要抓住关键条件“b c ”， 否
则很容易出现错误．本题也可以用正弦定理解，但用正弦定理求角时要注意检验有两角的情
况，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是余弦定理，即 2 2 2 2 cosa b c bc ．
4． 2016 高考新课标Ⅲ文数]在 ABC△ 中，
π
4
B= ，BC边上的高等于
1
3
BC ,则 sin A=（ ）
（A）
3
10
（B）
10
10
（C）
5
5
（D）
3 10
10
【答案】D
试 题 分 析 ： 设 BC 边 上 的 高 线 为 AD ， 则 3 , 2BC AD DC AD ， 所 以
2 2 5AC AD DC AD ．由正弦定理，知
sin sin
AC BC
B A
，即
5 3
sin2
2
AD AD
A
，解得
3 10sin
10
A ，故选 D．
考点：正弦定理．
【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使
用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定
理与余弦定理求解．
5.【2016高考山东文数】 ABC△ 中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，已知 2 2, 2 (1 sin )b c a b A= = - ,
则 A=（）
（A） 3π
4
（B） π
3
（C） π
4
（D） π
6
【答案】C
试题分析：
因为 ,b c= 所以由余弦定理得： 2 2 2 2 2 22 cos 2 2 cos 2 1 cosa b c bc b b b ，
又因为 2 22 1 sina b ，所以 cos sin ，因为cos 0 ，所以 tan 1 ，
因为 0, ，所以
4
，故选 C.
考点：余弦定理
【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、三角函数的同角公式及诱导公式，是高考常考
知识内容.本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好的考查考
生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.
6.【2014 年.浙江卷.文 10】如图，某人在垂直于水平地面 ABC的墙面前的点 A处进行射击
训练，已知点 A到墙面的距离为 AB，某目标点 P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄
准目标点 P，需计算由点 A观察点P的仰角的大小（仰角 为直线 AP与平面 ABC所成的角），
若 mAB 15 ， mAC 25 ， 30BCM ，则 tan 的最大值是（ ）
A.
5
30
B.
10
30
C.
9
34
D.
9
35
【答案】D
在 PAPRt 中，
tan
xAP ，
在 PABRt 中由勾股定理得 222 )203(15)
tan
( xx
，
整理得
3340625
1
)203(225
tan
2
2
2
2
xx
x
x ，
令 )0(3340625)( 2 x
xx
xf
25
27)
125
341(625 2
x
，当
125
341
x
时
25
27)( min xf ，
所以 2tan 的最大值为
27
25
，即 tan 的最大值是
9
35
考点：三角函数的定义，函数的最值，难度中等.
【名师点睛】本题主要考查了解直角三角形的有关问题，根据所给条件构造直角三角形，运
用勾股定理求解直角边长，然后运用导数有关性质解决所求角正切的最值问题.
7. 【2014 四川，文 8】如图，从气球 A上测得正前方的河流的两岸 B，C的俯角分别为75，
30，此时气球的高是60m，则河流的宽度 BC等于（）
A． 240( 3 1)m B．180( 2 1)m C．120( 3 1)m D．30( 3 1)m
【答案】 C.
【考点定位】解三角形.
【名师点睛】在三角形中，已知两角一边时可以使用正弦定理解三角形.
8【2017 浙江，11】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值
计算到任意
精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多
年，“割圆术”
的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 6S ， 6S ．
【答案】
3 3
2
【考点】数学文化
【名师点睛】本题粗略看起来文字量大，其本质为将正六边形分割为 6个等边三角形，确定
6个等边三角形的面积，其中对文字信息的读取及提取有用信息方面至关重要，考生面对这
方面题目时应多加耐心，仔细分析题目中所描述问题的本质，结合所学进行有目的的求解．
9.【2017课标 II，文16】 ABC 的内角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c ,若2 cos cos cosbc B a C c A ,
则 B
【答案】
3
由正弦定理可得
1 π2sin cos sin cos sin cos sin( ) sin cos
2 3
B B A C C A A C B B B
【考点】正弦定理
【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知
条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
10.【2017 浙江，13】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点 D为 AB延长线上一点，BD=2，连
结 CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．
【答案】
15 10,
2 4
试题分析：取 BC中点 E，DC中点 F，由题意： ,AE BC BF CD ，
△ABE中，
1cos
4
BEABC
AB
，
1 1 15cos ,sin 1
4 16 4
DBC DBC ，
BC
1 15sin
2 2DS BD BC DBC △ ．
又 2 1 10cos 1 2sin , sin
4 4
DBC DBF DBF ，
10cos sin
4
BDC DBF ，
综上可得，△BCD面积为
15
2
，
10cos
4
BDC ．
【考点】解三角形
【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已
知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题
经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解
够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），
解方程（组）得出所要的解．
11.【2017 课标 3，文 15】△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.已知 C=60°，b= 6，
c=3，则 A=_________.
【答案】75°
【考点】正弦定理
【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知
条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
12.【2015 高考北京，文 11】在 C 中， 3a ， 6b ，
2
3
，则 ．
【答案】
4
由正弦定理，得
sin sin
a b
A B
，即
3 6
sin3
2
B
，所以
2sin
2
B ，所以
4
B
.
【考点定位】正弦定理.
【名师点晴】本题主要考查的是正弦定理，属于容易题．解题时一定要注意检验有两解的情
况，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是正弦定理，即
sin sin
a b
．
13.【2014 全国 1，文 16】如图，为测量山高MN，选择 A和另一座山的山顶C为测量观测
点.从 A点测得 M 点的仰角 60MAN ，C点的仰角 45CAB 以及 75MAC ；从C
点测得 60MCA .已知山高 100BC m ，则山高MN ________m .
【答案】150
考点：1.空间几何体;2.仰角的理解;3.解三角形的运用
【名师点睛】本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系,同时还考查了考生的空间想
象力，和学生的计算能力.
14.【 2015 高考重庆，文 13】设 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 , ,a b c ,且
12,cos ,
4
a C= = - 3sin 2sinA B= ,则 c=________.
【答案】4
由3sin 2sinA B= 及正弦定理知：3 2a b ,又因为 2a ,所以 2b ，
由余弦定理得： 2 2 2 12 cos 4 9 2 2 3 ( ) 16
4
c a b ab C ，所以 4c ;故填：4.
【考点定位】正弦定理与余弦定理.
【名师点睛】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，先由正弦定理将3sin 2sinA B= 转化为
3a=2b结合已知即可求得 b的值，再用余弦定理即可求解.本题属于基础题，注意运算的准确
性及最后结果还需开方.
15.【2015高考安徽，文 12】在 ABC 中， 6AB ， 75A ， 45B ，则 AC .
【答案】2
【考点定位】本题主要考查正弦定理的应用.
【名师点睛】熟练掌握正弦定理的适用条件是解决本题的关键，本题考查了考生的运算能力.
16.【2015高考湖北，文 15】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A处时测
得公路北侧一山顶 D在西偏北30的方向上，行驶 600m后到达 B处，测得此山顶在西偏北 75
的方向上，仰角为 30，则此山的高度CD _________m.
【答案】100 6 .
在 ABC 中， 030CAB ， 0 0 075 30 45ACB ，根据正弦定理知，
sin sin
BC AB
BAC ACB
，
即
600 1sin 300 2
sin 22
2
ABBC BAC
ACB
，所以
3tan 300 2 100 6
3
CD BC DBC ，故应
填
100 6 .
【考点定位】本题考查解三角形的实际应用举例，属中档题.
【名师点睛】以实际问题为背景，将抽象的数学知识回归生活实际，凸显了数学的实用性和
重要性，体现了“数学源自生活，生活中处处有数学”的数学特点，能较好的考查学生识记
和理解数学基本概念的能力和基础知识在实际问题中的运用能力。
17.【2015高考福建，文 14】若 ABC 中， 3AC ， 045A ， 075C ，则BC _______．
【答案】 2
由题意得 0 0180 60B A C ．由正弦定理得
sin sin
AC BC
B A
，则
sin
sin
AC ABC
B
，
所以
23
2 2
3
2
BC
．
【考点定位】正弦定理．
【名师点睛】本题考查正弦定理，利用正弦定理可以求解一下两类问题：（1）已知三角形的
两角和任意一边，求三角形其他两边与角；（2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求三
角形其他边与角．关键是计算准确细心，属于基础题．
18. 【2016 高考上海文科】已知 ABC 的三边长分别为 3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于
_________.
【答案】
7 3
3
考点：1.正弦定理；2.余弦定理.
【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目.解答本题，往往要利用三角公式化简三
角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到解题目的；三角形中的求角问题，往往要利用
余弦定理用边表示角的函数.本题较易，主要考查考生的基本运算求解能力等.
19.【2016高考新课标 2文数】△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若
4cos
5
A ，
5cos
13
C ，a=1，则 b=____________.
【答案】
21
13
试题分析：因为 4 5cos ,cos
5 13
A C ，且 ,A C 为三角形内角，所以 3 12sin ,sin
5 13
A C ，
13sin sin[ ( )] sin( ) sin cos cos sin
65
B A C A B A C A C ，
又因为
sin sin
a b
A B
，所以 sin 21
sin 13
a Bb
A
.
考点：正弦定理，三角函数和差公式.
【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理
都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，
要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征
都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
20.【2016高考北京文数】在△ABC中，
2
3
A
， 3a c ，则
b
c
=_________.
【答案】1
考点：解三角形
【名师点睛】①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的
关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运
用．
21.【2017 山东，文 17】（本小题满分 12分）在△ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知
b=3, 6AB AC
,S△ABC=3,求 A和 a.
【答案】
3= π, = 29.
4
A a
试题分析：先由数量积公式及三角形面积公式得,
3 cos 6
1 3 sin 3
2
c A
c A
,由此求 A,再利用余弦定理求
a.
试题详细分析：因为 6AB AC
，
所以 cos 6bc A ，
又 3ABCS ，
所以 sin 6bc A ，
因此 tan 1A ，又0 A ，
所以
3
4
A
，
又 3b ，所以 2 2c ，
由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A ，
得 2 29 8 2 3 2 2 ( ) 29
2
a ，
所以 29a .
【考点】解三角形
【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,
从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)
提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：
化角法,化边法,面积法,运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思
想及分类讨论思想．
22.【2017 天津，文 15】在 ABC△ 中，内角 , ,A B C所对的边分别为 , ,a b c .已知 sin 4 sina A b B ，
2 2 25( )ac a b c .
（I）求 cos A的值；
（II）求 sin(2 )B A 的值.
【答案】(Ⅰ)
5
5
；(Ⅱ)
2 5
5
.
试题详细分析：（Ⅰ）解：由 sin 4 sina A b B ，及
sin sin
a b
A B
，得 2a b .
由 2 2 25( )ac a b c ，及余弦定理，得
2 2 2
5
55cos
2 5
acb c aA
bc ac
.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得
2 5sin
5
A ，代入 sin 4 sina A b B ，得
sin 5sin
4 5
a AB
b
.
由（Ⅰ）知，A为钝角，所以 2 2 5cos 1 sin
5
B B .于是
4sin 2 2sin cos
5
B B B ，
2 3cos 2 1 2sin
5
B B ，故
4 5 3 2 5 2 5sin(2 ) sin 2 cos cos 2 sin ( )
5 5 5 5 5
B A B A B A .
【考点】1.正余弦定理；2.三角恒等变换.
【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余
弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则
考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而
三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间
的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式
23.【2016 高考四川文科】（本题满分 12 分）
在△ABC中，角 A,B,C所对的边分别是 a,b,c,且 cos cos sinA B C
a b c
.
（I）证明：sin sin sinA B C ；
（II）若 2 2 2 6
5
b c a bc ，求 tan B .
【答案】（Ⅰ）证明详见解+析；（Ⅱ）4.
试题详细分析：（Ⅰ）根据正弦定理，可设
sin
a
A
=
sin
b
B
=
sin
c
C
=k(k>0)．
则 a=ksin A，b=ksin B，c=ksin C．
代入
cos A
a
+ cosB
b
= sinC
c
中，有
cos
sin
A
k A
+ cos
sin
B
k B
= sin
sin
C
k C
，变形可得
sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)．
在△ABC中，由 A+B+C=π，有 sin(A+B)=sin(π–C)=sin C，
所以 sin Asin B=sin C．
（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2= 6
5
bc，根据余弦定理，有
cos A=
2 2 2
2
b c a
bc
= 3
5
．
所以 sin A= 21 cos A = 4
5
．
由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B，
所以
4
5
sin B= 4
5
cos B+ 3
5
sin B，
故
sintan 4
cos
BB
B
．
考点：正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.
【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的
能力和计算能力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边
角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题．在角的变化过程中注意三
角形的内角和为180这个结论，否则难以得出结论．
24. 【2016 高考天津文数】（本小题满分 13分）
在 ABC 中，内角 CBA ,, 所对应的边分别为 a,b,c，已知 sin 2 3 sina B b A .
(Ⅰ)求 B；
(Ⅱ)若 1cosA
3
，求 sinC的值.
【答案】（Ⅰ）
6
B （Ⅱ）
2 6 1
6
两已知角的和 )sin()](sin[sin BABAC ，再根据两角和的正弦公式求解
试题详细分析：（Ⅰ）解：在 ABC 中，由
B
b
A
a
sinsin
，可得 AbBa sinsin ，又由
AbBa sin32sin 得 BaAbBBa sin3sin3cossin2 ，所以
2
3cos B ，得
6
B ；
（Ⅱ）解：由
3
1cos A 得
3
22sin A ，则 )sin()](sin[sin BABAC ，所以
)
6
sin(sin
AC
6
162cos
2
1sin
2
3
AA
考点：同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理
【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善
于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角
和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角
的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.
25.【2015 高考陕西，文 17】 ABC 的内角 , ,A B C所对的边分别为 , ,a b c，向量 ( , 3 )m a b
与
(cos ,sin )n A B
平行.
(I)求 A；
(II)若 7, 2a b 求 ABC 的面积.
【答案】(I)
3
A
；(II) 3 3
2
.
(II)解法一：由余弦定理，得 2 2 2 2 cosa b c bc A ，代入数值求得 3c ，由面积公式得
ABC 面积为
1 3 3sin
2 2
bc A .解法二：由正弦定理，得
7 2
sinsin
3
B ，从而
21sin
7
B ，
又由 a b 知 A B ，所以
2 7cos
7
B ，由 sin sin( ) sin( )
3
C A B B
，计算得
3 21sin
14
C ，所以 ABC 面积为
1 3 3sin
2 2
ab C .
试题详细分析：(I)因为 //m n
，所以 sin 3 cos 0a B b A
由正弦定理，得 sin sin 3sin cos 0A B B A ，
又 sin 0B ，从而 tan 3A ，
由于0 A
所以
3
A
(II)解法一：由余弦定理，得
2 2 2 2 cosa b c bc A ，而 7, 2a b ，
3
A
，
得 27 4 2c c ，即 2 2 3 0c c
因为 0c ，所以 3c ，
故 ABC 面积为
1 3 3sin
2 2
bc A .
解法二：由正弦定理，得
7 2
sinsin
3
B
从而
21sin
7
B
又由a b 知 A B ，所以
2 7cos
7
B
故 sin sin( ) sin( )
3
C A B B
3 21sin cos cos sin
3 3 14
B B
，
所以 ABC 面积为
1 3 3sin
2 2
ab C .
【考点定位】1.正弦定理和余弦定理；2.三角形的面积.
【名师点睛】1.本题考查解三角形和三角形的面积，利用正弦定理进行边角互化，继而求出 A
的值；可利用余弦定理求出的值，代入到三角形面积公式求解计算.2.高考中经常将三角
变换与解三角形知识综合起来命题，其中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、
变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种
结构差异的依据就是三角公式.
26.【2015高考四川，文 19】已知 A、B、C为△ABC的内角，tanA、tanB是关于方程 x2＋ 3 px
－p＋1＝0(p∈R)两个实根.
(Ⅰ)求 C的大小
(Ⅱ)若 AB＝1，AC＝ 6 ，求 p的值
由韦达定理，有 tanA＋tanB＝－ 3 p，tanAtanB＝1－p
于是 1－tanAtanB＝1－(1－p)＝p≠0
从而 tan(A＋B)＝ tan tan 3 3
1 tan tan
A B p
A B p
所以 tanC＝－tan(A＋B)＝ 3
所以 C＝60°
(Ⅱ)由正弦定理，得
sinB＝
0sin 6 sin 60 2
3 2
AC C
AB
解得 B＝45°或 B＝135°(舍去)
于是 A＝180°－B－C＝75°
则 tanA＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝
0 0
0 0
31tan 45 tan30 3 2 3
1 tan 45 tan30 31
3
所以 p＝－
1
3
(tanA＋tanB)＝－
1
3
(2＋ 3＋1)＝－1－ 3
【考点定位】本题主要考查和角公式、诱导公式、正弦定理、一元二次方程根与系数关系等
基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.
【名师点睛】本题利用一元二次方程的韦达定理，给出三角形两个内角正切值的关系式，求
解过程中要注意对判别式的判定，表面上看，判别式对结论没有什么影响，但这对考查学生
思维习惯及其严谨性是很有必要的.第(Ⅰ)问得到 C＝60°后，第(Ⅱ)问中要注意舍去 B＝135°，
否则造成失误.属于中档题.
27.【2015高考新课标 1，文 17】（本小题满分 12分）已知 , ,a b c分别是 ABC 内角 , ,A B C的
对边， 2sin 2sin sinB A C .
（I）若a b ，求 cos ;B
（II）若 90B ，且 2,a 求 ABC 的面积.
【答案】（I） 1
4
（II）1
试题详细分析：（I）由题设及正弦定理可得 2 2b ac= .
又 a b= ，可得 2b c= , 2a c= ,
由余弦定理可得
2 2 2 1cos
2 4
a c bB
ac
+ -
= = .
（II）由(1)知 2 2b ac= .
因为 B = 90°，由勾股定理得 2 2 2a c b+ = .
故 2 2 2a c ac+ = ，得 2c a= = .
所以 ABC的面积为 1.
考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力
【名师点睛】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角
关系的转化，根据题目需要合理选择合理的变形复方向，本题考查利用正余弦定理解三角形
和计算三角形面积，是基础题.
28.【2015高考浙江，文 16】（本题满分 14分）在 ABC 中，内角 A，B，C所对的边分别为
, ,a b c .已知 tan( A) 2
4
.
（1）求 2
sin 2
sin 2 cos
A
A A+
的值；
（2）若B , 3
4
a
，求 ABC 的面积.
【答案】(1) 2
5
；(2)
(2)由 1tan
3
A 可得，
10 3 10sin ,cos
10 10
A A .
3,
4
a B
，由正弦定理知： 3 5b .
又
2 5sin sin( ) sin cos cos sin
5
C A B A B A B ，
所以
1 1 2 5sin 3 3 5 9
2 2 5ABCS ab C .
【考点定位】1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的基本计算以及解三角形应用.根据两角和的正切公式，
计算角的正切值，利用同角三角函数基本关系式计算得到第一题的结论；根据角的正切
值计算得到其正弦值，利用正弦定理计算得到边的值，根据三角形内角和为180及两角和的
正弦公式计算得到角C的正弦值，有两边一夹角的面积公式计算得到面积.本题属于中等题，
主要考查学生三角函数有关公式的正确应用以及正弦定理、余弦定理、面积公式的灵活应用，
考查学生基本的计算能力.
29.【2016高考浙江文数】（本题满分 14分）在△ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，
b，c．已知 b+c=2acos B．
（Ⅰ）证明：A=2B；
（Ⅱ）若 cos B=
2
3
，求 cos C的值．
【答案】（I）证明见解+析；（II） 22cos
27
C .
试题详细分析：（I）由正弦定理得sin sin 2sin cosB C A B ，
故 2sin cos sin sin( ) sin sin cos cos sinA B B A B B A B A B ，
于是， sin sin( )B A B ，
又 , (0, )A B ，故0 A B ，所以 ( )B A B 或 B A B ，
因此， A （舍去）或 2A B ，
所以， 2A B .
（II）由
2cos
3
B ，得
5sin
3
B ， 2 1cos 2 2cos 1
9
B B ，
故
1cos
9
A ，
4 5sin
9
A ，
22cos cos( ) cos cos sin sin
27
C A B A B A B .
考点：三角函数及其变换、正弦和余弦定理.
【思路点睛】（I）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有，的
式子，根据角的范围可证 2 ；（II）先用同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得
cos2，进而可得cos和sin，再用两角和的余弦公式可得 cosC．
30.【2015高考天津，文 16】（本小题满分 13分）△ABC中,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,
已知△ABC的面积为3 15 , 12,cos ,
4
b c A
（I）求 a和 sinC的值;
（II）求
πcos 2
6
A
的值.
【答案】（I）a=8, 15sin
8
C ;（II） 15 7 3
16
.
得 6, 4.b c 由 2 2 2 2 cosa b c bc A ,可得 a=8.由
sin sin
a c
A C
,得 15sin
8
C .
（II） 2π π π 3cos 2 cos 2 cos sin 2 sin 2cos 1 sin cos
6 6 6 2
A A A A A A
, 15 7 3
16
【考点定位】本题主要考查三角变换及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查基本运算求解能
力.
【名师点睛】解三角形问题实质是附加条件的三角变换,因此在解三角形问题的处理中,正弦定
理、余弦定理就起到了适时、适度转化边角的作用,分析近几年的高考试卷,有关的三角题,大
部分以三角形为载体考查三角变换.
31.【2015高考山东，文 17】 ABC 中，角 A B C， ， 所对的边分别为 , ,a b c .已知
3 6cos ,sin ( ) , 2 3
3 9
B A B ac 求sin A和的值.
【答案】
2 2 ,1.
3
在 ABC 中，由
3cos
3
B ，得
6sin
3
B .
因为 A B C ，所以
6sin sin( )
9
C A B ，
因为 sin sinC B ，所以C B ，C为锐角，
5 3cos
9
C ，
因此 sin sin( ) sin cos cos sinA B C B C B C
6 5 3 3 6 2 2
3 9 3 9 3
.
由 ,
sin sin
a c
A C
可得
2 2
sin 3 2 3
sin 6
9
cc Aa c
C
，又 2 3ac ，所以 1c .
【考点定位】1.两角和差的三角函数；2.正弦定理.
【名师点睛】本题考查了两角和差的三角函数、正弦定理及函数方程思想，在正确理解题意
的情况下，准确计算是关键.解答本题的一个易错点是忽视对角的范围的讨论，使解答陷入误
区.
本题是一道能力题，属于中等题，重点考查两角和差的三角函数、解三角形等基础知识，同
时考查考生的计算能力、思维的严密性、函数方程思想及应用数学知识解决问题的能力.
32.【 2015 湖南文 17】（本小题满分 12 分）设 ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为
, , , tana b c a b A .
（I）证明： sin cosB A ；
(II) 若
3sin sin cos
4
C A B ，且 B为钝角，求 , ,A B C .
【答案】（I）略；(II) 30 , 120 , 30 .A B C
试题详细分析：（I）由 tana b A 及正弦定理，得
sin sin
cos sin
A a A
A b B
，所以 sin cosB A 。
（II）因为 sin sin cos sin[180 ( )] sin cosC A B A B A B
sin( ) sin cos sin cos cos sin sin cos cos sinA B A B A B A B A B A B
3cos sin
4
A B
有（Ｉ）知 sin cosB A ，因此 2 3sin
4
B ，又Ｂ为钝角，所以
3sin
2
B ，
故 120B ，由
3cos sin
2
A B 知 30A ，从而 180 ( ) 30C A B ，
综上所述， 30 , 120 , 30 ,A B C
【考点定位】正弦定理及其运用
【名师点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理
更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式
子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两
个定理都有可能用到．
33.【2015新课标 2文 17】（本小题满分 12分）△ABC中 D是 BC上的点,AD平分
BAC,BD=2DC.
（I）求
sin
sin
B
C
；
（II）若 60BAC ,求 B .
【答案】（I） 1
2
；30 .
试题详细分析：（ I）由正弦定理得 , ,
sin sin sin sin
AD BD AD DC
B BAD C CAD
因为 AD 平分
BAC,BD=2DC,所以
sin 1 .
sin 2
B DC
C BD
.
（II）因为 180 , 60 ,C BAC B BAC
所以 3 1sin sin cos sin .
2 2
C BAC B B B 由（I）知2sin sinB C ,
所以
3tan , 30 .
3
B B
【考点定位】本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用,意在考查考生的三角变换能力及运算
能力.
【 名 师 点 睛 】 三 角 形 中 的 三 角 变 换 常 用 到 诱 导 公
式, sin sin ,cos cos ,A B C A B C tan tanA B C
，就是常用的结论,另外利用正弦
定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”
【2017 年高考题】
1.【2017 北京，文 7】设 m, n 为非零向量，则“存在负数，使得 m=λn”是“m·n<0”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【考点】1.向量；2.充分必要条件.
【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：1.根据定义，若 ,p q q p ，那么 p是的充
分不必要 ，同时是 p的必要不充分条件，若 p q ，那互为充要条件，若 p q ，那
就是既不充分也不必要条件，2.当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若
: , :p x A q x B ,若 A B
，那么 p是的充分必要条件，同时是 p的必要不充分条件，若
A B ，互为充要条件，若没有包含关系，就是既不充分也不必要条件，3.命题的等价性，
根据互为逆否命题的两个命题等价，将 p是条件的判断，转化为 q 是 p 条件的判断.
2.【2017 课标 II，文 4】设非零向量a ，b满足 + = -b ba a 则
A.a ⊥b B. = ba C. a ∥b D. ba
【答案】A
由 | | | |a b a b
平方得 2 2 2 2( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )a ab b a ab b
，即 0ab
，则a b
，故选 A.
【考点】向量数量积
【名师点睛】
(1)向量平行： 1 2 2 1/ /a b x y x y
，
/ / , 0 ,a b b a b R
,
1
1 1
BA AC OA OB OC
(2)向量垂直： 1 2 1 20 0a b a b x x y y
，
(3)向量加减乘：
2 2
1 2 1 2( , ), | | , | | | | cos ,a b x x y y a a a b a b a b
3.【2017 浙江，10】如图，已知平面四边形 ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，
AC与 BD交于点 O，记 1 ·I OAOB
＝ ， 2 ·I OBOC
＝ ， 3 ·I OC OD
＝ ，则
A． 321 III B． 231 III C． 213 III D． 312 III
【答案】C
【考点】 平面向量数量积运算
【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用
数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁
为简的妙用． 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段
长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件
结合数量积运算，易得 90AOB COD ，由 AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，可求 OCOA ，
ODOB ，进而解得 213 III ．
4.【2017 山东，文 11】已知向量 a=（2,6）,b= ( 1, ) ,若 a||b,则 .
【答案】 3
试题分析：由 a||b 可得 1 6 2 3.
【考点】向量共线与向量的坐标运算
【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略
(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若 a＝(x1,y1),b＝
(x2,y2),则 a∥b 的充要条件是 x1y2＝x2y1”解题比较方便．
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量 a 共线的向量时,可设所
求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的
向量．
(3)三点共线问题．A,B,C三点共线等价于AB→与AC→共线.
5.【2017 北京，文 12】已知点 P在圆 2 2=1x y 上，点 A的坐标为(-2,0)，O为原点，则 AO AP
的最大值为_________．
【答案】6
【考点】1.向量数量积；2.向量与平面几何
【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，因为
AO
是确定的，所以根据向量数量积的几何
意义若 AO AP
最大，即向量 AP
在 AO
方向上的投影 最大，根据数形结合分析可得当点P在
圆与轴的右侧交点处时最大，根据几何意义直接得到运算结果 2 3 6 .
6.【2017 课标 3，文 13】已知向量 ( 2,3), (3, )a b m
，且a b
，则 m= .
【答案】2
由题意可得： 2 3 3 0, 2m m .
【考点】向量数量积
【名师点睛】(1)向量平行： 1 2 2 1/ /a b x y x y
，
/ / , 0 ,a b b a b R
,
1
1 1
BA AC OA OB OC
(2)向量垂直： 1 2 1 20 0a b a b x x y y
，
(3)向量加减乘：
2 2
1 2 1 2( , ), | | , | | | | cos ,a b x x y y a a a b a b a b
7.【2017 浙江，14】已知向量 a，b 满足 1, 2, a b 则 a b a b 的最小值是________，
最大值是_______．
【答案】4， 2 5
试题分析：设向量 ,a b
的夹角为，由余弦定理有： 2 21 2 2 1 2 cos 5 4cosa b
，
2 21 2 2 1 2 cos 5 4cosa b
，则：
5 4cos 5 4cosa b a b
，
令 cos45cos45 y ，则 2 210 2 25 16cos 16,20y ，
据此可得：
max min
20 2 5, 16 4a b a b a b a b
，
即 a b a b
的最小值是 4，最大值是 2 5．
【考点】平面向量模长运算
【 名 师 点 睛 】 本 题 通 过 设 入 向 量 ,a b
的 夹 角 ， 结 合 模 长 公 式 ， 解 得
5 4cos 5 4cosa b a b
，再利用三角有界性求出最大、最小值，属中档题，
对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求。
8.【2017 天津，文 14】在△ABC中， 60A ，AB=3，AC=2.若 2BD DC
，AE AC AB
（R ），
且 4AD AE
，则的值为 .
【答案】
3
11
【考点】1.平面向量基本定理；2.向量数量积.
【名师点睛】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题
时，向要选好基底向量，如本题就要灵活使用向量 ,AB AC
，要注意结合图形的性质，灵活运
用向量的运算解决问题，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几
何意义等.
9.【2017 课标 1，文 13】已知向量 a=（–1，2），b=（m，1）．若向量 a+b 与 a 垂直，则
m=________．
【答案】7
试题分析：由题得 ( 1,3)a b m
，因为 ( ) 0a b a
，所以 ( 1) 2 3 0m ，解得 7m
【考点】平面向量的坐标运算 ，垂直向量
【名师点睛】如果 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则 a b 的充要条件是 x1x2+y1y2＝0．
10.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量OA
,OB
,OC
的模分别为 1,1, 2 ,OA
与OC
的
夹角为 ,且 tan =7, OB
与 OC
的夹角为 45°.若 OC mOA nOB
( , )m nR , 则 m n
▲ .
A
C
B
O
(第 12题)
【答案】3
【考点】向量表示
【名师点睛】(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不
等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.
(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类
综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一
般方法.
(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为
我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
11.【2017江苏，16】 已知向量 (cos , sin ), (3, 3), [0, π].x x x a b
（1）若 a∥b,求 x的值；
（2）记 ( )f x a b ,求 ( )f x 的最大值和最小值以及对应的的值.
【答案】（1） 5π
6
x （2） 0x 时， 取得最大值，为 3； 5π
6
x 时， 取得最小值，为
2 3 .
解：（1）因为 co( )s ,sinx xa ， (3, 3) b ，a∥b，
所以 3 cos 3sinx x .
若 cos 0x ，则 sin 0x ，与 2 2sin cos 1x x 矛盾，故 cos 0x .
于是
3tan
3
x .
又 ，所以
5π
6
x .
（2）
π(cos ,sin ) (3, 3) 3cos 3 sin 2 3 cos(( ) )
6
f x x x x x x a b .
因为 ，所以
π π 7π[ , ]
6 6 6
x ，
从而
π 31 cos( )
6 2
x .
于是，当
π π
6 6
x ，即 0x 时， 取到最大值 3；
当
π
6
x ，即
5π
6
x 时， 取到最小值 2 3 .
【考点】向量共线，数量积
【名师点睛】(1)向量平行： 1 2 2 1/ /a b x y x y
，
/ / , 0 ,a b b a b R
,
1
1 1
BA AC OA OB OC
(2)向量垂直： 1 2 1 20 0a b a b x x y y
，
(3)向量加减乘：
2 2
1 2 1 2( , ), | | , | | | | cos ,a b x x y y a a a b a b a b
【2016，2015，2014】
1. 【2014 高考北京文第 3题】已知向量 2,4a
， 1,1b
，则2a b
（ ）
A. 5,7 B. 5,9 C. 3,7 D. 3,9
【答案】A
考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.
2. 【2015 高考北京，文 6】设，b
是非零向量，“a b a b
”是“ //a b
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【考点定位】充分必要条件、向量共线.
【名师点晴】本题主要考查的是充分必要条件和向量共线，属于容易题．解题时一定要注意
p q 时， p是的充分条件，是 p的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判
断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．
3. 【2014 高考广东卷.文.3】已知向量 1,2a
, 3,1b
,则b a
( )
A. 2,1 B. 2, 1 C. 2,0
D. 4,3
【答案】B
由题意得 3,1 1,2 2, 1b a
,故选 B.
【考点定位】本题考查平面向量的坐标运算,属于容易题.
【名师点晴】本题主要考查的是平面向量减法的坐标运算，属于容易题．解题时要注意对应
坐标分别相减，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是平面向量减法的坐标运算，
即若 1 1,a x y
， 2 2,b x y
，则 1 2 1 2,a b x x y y
．
4. 【2015 高考广东，文 9】在平面直角坐标系 x y 中，已知四边形 CD 是平行四边形，
1, 2
， D 2,1
，则 D C
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为四边形 CD 是平行四边形，所以 C D 1, 2 2,1 3, 1
，所以
D C 2 3 1 1 5
，故选 D．
【考点定位】1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算．
【名师点晴】本题主要考查的是平面向量的加法运算和数量积的坐标运算，属于较难题．解
题时要注意运行平行四边形法则的特点，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是
平面向量加法的坐标运算和数量积的坐标运算，即若 1 1,a x y
， 2 2,b x y
，则
1 2 1 2,a b x x y y
， 1 2 1 2a b x x y y
．
5. 【2014 山东.文 7】已知向量 1, 3a ， 3,b m
.若向量 ,a b
的夹角为
π
6
，则实数m =
（ ）
（A） 2 3 （B） 3 （C）0 （D） 3
【答案】 B
考点：平面向量的数量积、模与夹角.
【名师点睛】本题考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.利用夹角公式，建立 m的
方程即得.
本题属于基础题，注意牢记夹角公式并细心计算.
6. 【2015 高考陕西，文 8】对任意向量 ,a b
，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A． | | | || |a b a b
B． | | || | | ||a b a b
C． 2 2( ) | |a b a b
D．
2 2
( )( )a b a b a b
【答案】 B
因为 | | || || | cos , | | || |a b a b a b a b
，所以 A选项正确；当与方向相反时， B选项不成立，所
以 B选项错误；向量平方等于向量模的平方，所以C选项正确；
2 2
( )( )a b a b a b
，
所以D选项正确，故答案选 B .
【考点定位】1.向量的模；2.数量积.
【名师点睛】1.本题考查向量模的运算，采用向量数量积公式.2.向量的平方就是模的平方进
行化解求解.
本题属于基础题，注意运算的准确性.
7. 【2014 全国 2，文 4】设向量 ba
, 满足 10|| ba
， 6|| ba
，则 ba
（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
【答案】A
由已知得，
2 2
2 10a a b b
，
2 2
2 6a a b b
，两式相减得，4 4a b
，故 1a b
．
【考点定位】向量的数量积.
【名师点睛】本题主要考查了向量数量积运算，本题属于基础题，解决本题的关健在于掌握
向量的模与向量数量积之间的关系，还有就是熟练掌握数量积的运算性质与运算律.
8.【2015高考新课标 1，文 2】已知点 (0,1), (3, 2)A B ，向量 ( 4, 3)AC
，则向量BC
( )
（A） ( 7, 4) （B） (7,4) （C） ( 1,4) （D） (1, 4)
【答案】A
【考点定位】向量运算
【名师点睛】对向量的坐标运算问题，先将未知向量用已知向量表示出来，再代入已知向量
的坐标，即可求出未知向量的坐标，是基础题.
9. 【2014 全国 1，文 6】设 FED ,, 分别为 ABC 的三边 ABCABC ,, 的中点，则 FCEB
A. AD B. AD
2
1
C. BC
2
1
D. BC
【答案】A
根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在 BEF 中，
1
2
EB EF FB EF AB
，同
理
1
2
FC FE EC FE AC
， 则
1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
EB FC EF AB FE AC AB AC AB AC AD
．
考点：向量的运算
【名师点睛】熟练掌握平面向量的共线（平行）、垂直、平面向量的加法等基本概念和基本性
质是解决本题的关键之所在，同时本题考查了考生的综合分析问题的能力以及数形结合的能
力.学-
10. 【2014 年.浙江卷.文 9】设为两个非零向量、的夹角，已知对任意实数， | |tb a 的最小
值为 1（ ）
A.若确定，则||唯一确定 B.若确定，则||唯一确定
C.若||确定，则唯一确定 D.若||确定，则唯一确定
【答案】B
试题分析：依题意，对任意实数， 1|| tab 恒成立，
所以 1cos||||2)( baba 22 tt 恒成立，
令 xt || a ，所以 222 ||cos||||2|| bbaab txt ，
若为定值，则当 ||b 为定值时二次函数才有最小值.
故选 B.
考点：平面向量的夹角、模，二次函数的最值，难度中等.
【名师点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算及二次函数的最值的有关性质问题，属
于中档题目；
11. 【2015高考重庆，文 7】已知非零向量 ,a b
满足 | |=4| | ( + )b a a a b
，且 2 则 a b
与 的夹角为
（ ）
(A)
3
(B)
2
(C)
3
2 (D)
6
5
【答案】C
【考点定位】向量的数量积运算及向量的夹角.
【名师点睛】本题考查向量的数量积运算与向量夹角之间的关系，采用两向量垂直时其数量
积为零来进行转化.本题属于基础题，注意运算的准确性.
12. 【2014，安徽文 10】设 ,a b
为非零向量， 2b a
，两组向量 1 2 3 4, , ,x x x x
和 1 2 3 4, , ,y y y y
均
由 2个和 2个排列而成，若 1 1 2 2 3 3 4 4x y x y x y x y
所有可能取值中的最小值为
2
4 a
，则
与的夹角为
（
）
A．
2
3
B．
3
C．
6
D．0
【答案】B．
试题分析：由题意 1 1 2 2 3 3 4 4x y x y x y x y
有以下三种可能：①a a a a b b b b
2 2 22 | | 2 | | 10 | |a b a
； ②
4 4 | | | | 4 | | 2 | | cos ,a b a b b a b a a b a b a a a b
28 | | cos ,a a b
；③ 2 | | | | | | | |a a a b b b b a a b a a b b
2 25 | | 4 | | cos ,a a a b
，已知第②种情况原式的值最小，即 2 28 | | cos , 4 | |a a b a
，解
得
1cos ,
2
a b
，即 ,
3
a b
，故选 B．
考点：1．向量的数量积运算；2．分类讨论思想的应用．
【名师点睛】本题先要了解相关的排列知识，2个和 3个排列所得的 S结果有几种，需要进
行讨论，要注意重复的情况删除.比较两数的大小常用作差法，根据平面向量的平行、垂直的
坐标运算性质，表示出需要研究的量的关系.
13.【2014上海,文 17】如图，四个边长为 1的正方形排成一个大正方形，AB是在正方形的
一条边， ( 1, 2, ,7)iP i 是小正方形的其余各个顶点，则 ( 1,2, ,7)iAB AP i
的不同值的个数
为（ ）
（A）7 （B）5 （C）3 （D）1
【答案】C
【考点】向量的数量积及其几何意义．
【名师点睛】向量数量积的两种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 a·b＝|a||b|cos ．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2
＋y1y2.
运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．
14.【2014福建,文 10】设M为平行四边形 ABCD对角线的交点，O为平行四边形 ABCD所
在平面内任意一点，则OA OB OC OD
等于 （ ）
. .2 .3 .4AOM B OM C OM D OM
【答案】D
试题分析：由已知得，
1 1 1 1, , , ,
2 2 2 2
OA OM CA OB OM DB OC OM AC OD OM BD
而 , ,CA AC DB BD
所以 4OA OB OC OD OM
，选D .
考点：平面向量的线性运算，相反向量.
【名师点睛】本题主要考查向量的加法法则与减法法则及几何意义.解决此类问题时经常出现
的错误有：忽视向量的起点与终点，导致加法与减法混淆，对此，要注意三角形法则与平行
四边形法则适用的条件.
15. 【2015 高考福建，文 7】设 (1, 2)a
， (1,1)b
， c a kb
．若b c
，则实数的值等于
（ ）
A． 3
2
B． 5
3
C． 5
3
D． 3
2
【答案】A
【考点定位】平面向量数量积．
【名师点睛】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算以及平面向量基本定理，由已知
,a b
的坐标计算的坐标，再利用已知条件列方程求参数的值；本题还可以先利用向量运算，
即 0b c
，
2
0a b kb
，再引入坐标运算，属于中档题．
16.【2014湖南文 10】在平面直角坐标系中，O为原点， 1,0A ， 0 3B ， , 3 0C ， ，动点D
满足 1CD
,
则 OA OB OD
的取值范围是（ ）
A. 4 6， B. 19-1 19+1
， C. 2 3 2 7
，
D. 7-1 7+1
，
【答案】D
因为C坐标为 3,0 且 1CD ,所以动点D的轨迹为以C为圆心的单位圆,则D满足参数方程
3 cos
sin
D
D
x
y
(为参数且 0,2 ),所以设D的坐标为为 3 cos ,sin 0, 2 ,
则 223 cos 1 sin 3OA OB OD
8 2 2cos 3 sin ,
因为 2cos 3 sin 的取值范围为 2 2
2 22 3 , 2 3 7, 7
且 28 2 7 1 7 1 7 , 28 2 7 1 7 7 1 ,所以 OA OB OD
的取值范
围为 8 2 7 , 8 2 7 7 1, 7 1
,故选 D.
【考点定位】参数方程；圆；三角函数
【名师点睛】本题主要考查了圆的参数方程，解决问题的关键是根据所给条件 CD
得到对应
点 C的轨迹，然后得到其参数方程，根据向量的和的坐标运算得到其和的模满足的三角函数
式，运用三角函数知识不难得到其最大值.主要运用了转化的思想方法.
17. 【2015四川文 2】设向量 a＝(2，4)与向量 b＝(x，6)共线，则实数 x＝( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6
【答案】B
由向量平行的性质，有 2∶4＝x∶6，解得 x＝3，选 B
【考点定位】本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.
【名师点睛】平面向量的共线、垂直以及夹角问题，我们通常有两条解决通道：一是几何法，
可以结合正余弦定理来处理.二是代数法，特别是非零向量的平行与垂直，一般都直接根据坐
标之间的关系，两个非零向量平行时，对应坐标成比例(坐标中有 0时单独讨论)；两个向量
垂直时，对应坐标乘积之和等于 0，即通常所采用的“数量积”等于 0.属于简单题.
18. (2014 课标全国Ⅰ，文 6)设 D，E，F分别为△ABC的三边 BC，CA，AB的中点，则
EB FC
( )．
A． AD
B． 1
2
AD
C．BC
D． 1
2
BC
答案：A
详细分析：由于 D，E，F分别是 BC，CA，AB的中点，所以
1 1
2 2
EB FC BA BC CA CB
1 1 1 2
2 2 2
BA CA AB AC AD AD
，故选 A.
名师点睛：本题考查平面向量的加法、减法法则，线段中点的性质，考查转化能力，容易题.
19. 【2015新课标 2文 4】已知 1, 1 a , 1, 2 b ,则 (2 ) a b a （ ）
A． 1 B． C． D．
【答案】C
【考点定位】本题主要考查向量数量积的坐标运算.
【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公
式 ,又要注意运算的准确性 .本题所用到的主要公式是：若
1 1 2 2, , ,x y x y a b ,则
2 2 2
1 1 ,x y a 1 1 2 2x y x y a b .
20. 【2014辽宁文 5】设 , ,a b c
是非零向量，已知命题 P：若 0a b
， 0b c
，则 0a c
；
命题 q：若 / / , / /a b b c
，则 / /a c
，则下列命题中真命题是（ ）
A． p q B． p q C． ( ) ( )p q D． ( )p q
【答案】A
【考点定位】1、平面向量的数量积运算；2、向量共线．
【名师点睛】本题考查平面向量的数量积、共线向量及复合命题的真假. 本题将平面向量、
简易逻辑联结词结合在一起综合考查考生的基本数学素养，体现了高考命题“小题综合化”
的原则.本题属于基础题，难度不大，关键是要熟练掌握平面向量的基础知识，熟记“真值表”.
二、填空题
1.【2015高考山东，文 13】 过点 1 3P（， ）作圆 2 2 1x y 的两条切线，切点分别为 ,A B，则
PA PB = .
【答案】
3
2
如图，连接 PO，在直角三角形PAO中， 1, 3,OA PA 所以，
3tan
3
APO ，
2
2
2
2
31 ( )1 tan 13cos
1 tan 231 ( )
3
APOAPB
APO
，故
1 3| | | | cos 3 3
2 2
PA PB PA PB APB .
【考点定位】1.直线与圆的位置关系；2.平面向量的数量积.
【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、平面向量的数量积及数形结合思想，解答本
题的关键，是结合图形特征，灵活地运用“几何方法”得到计算平面向量数量积的“要件”.
本题属于小综合题，以突出考查圆、直线与圆的位置关系为主，考查平面向量的数量积的定
义、计算方法，同时也考查了数形结合思想，本题的“几何味”较浓.
2.【2014高考陕西版文第 13题】设
2
0 ，向量 )cos,1(),cos,2(sin ba ，若 0ba ，
则 tan ______.
【答案】
1
2
考点：共线定理；三角恒等变换.
【名师点晴】本题主要考查的是平行向量的坐标运算、向量共线定理，三角恒等变换，属于
容易题．解题时一定要注意角的范围，否则很容易失分．解决此题的关键是三角变换，而三
角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的
结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式．
3.【2014 四川，文 14】平面向量 (1, 2)a
， (4, 2)b
，c ma b
（m R ），且与的夹角等于
与的夹角，则m .
【答案】 2.
试题分析：由题意得：
5 8 8 20 2
5 2 5
c a c b c a c b m m m
c a c b a b
，选 D.
法二、由于 OA，OB关于直线 y x 对称，故点 C必在直线 y x 上，由此可得 2m
【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算.
【名师点睛】本题考查两向量的夹角，涉及到向量的模，向量的数量积等知识，体现了数学
问题的综合性，考查学生运算求解能力，综合运用能力.
4. 【2015 高考浙江，文 13】已知 1e
， 2e
是平面单位向量，且 1 2
1
2
e e
．若平面向量b
满足
1 2 1b e b e
，则 b
．
【答案】
2 3
3
由题可知，不妨 1 (1,0)e
， 2
1 3( , )
2 2
e
，设 ( , )b x y
，则 1 1b e x
， 2
1 3 1
2 2
b e x y
，
所以
3(1, )
3
b
，所以
1 2 31
3 3
b
.
【考点定位】1.平面向量数量积运算；2.向量的模.
【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及向量的模的计算.根据条件，设定 1 2,e e
的坐标形式，利用向量的数量积的坐标表示得到的坐标，进而确定其模.本题属于容易题，主
要考查学生基本的运算能力.
5. 【2014 高考重庆文第 12 题】
已知向量 bababa
则，且的夹角为与 ,10||),6,2(60 _________.
【答案】10
考点：1、平面向量的坐标运算；2、向量的模；3、向量的数量积.
【名师点睛】本题考查了平面向量的坐标运算，向量的模，向量的数量积，本题属于基础题，
注意计算的准确性.
6. 【2015 高考安徽，文 15】 ABC 是边长为 2的等边三角形，已知向量 ba
、 满足 aAB 2
，
baAC
2 ，则下列结论中正确的是 .（写出所有正确结论得序号）
①为单位向量；②b
为单位向量；③ ba
；④
BCb //
；⑤
BCba )4(
。
【答案】①④⑤
∵等边三角形 ABC的边长为 2, aAB 2 ∴ AB ＝2 a ＝2 1 a ,故①正确；
∵ BCaBCABAC 2 ∴ 2 bbBC ， 故 ② 错 误 ， ④ 正 确 ； 由 于
babBCaAB 与 ,2 夹 角 为 120 ， 故 ③ 错 误 ； 又
∵ 04)
2
1(2144)4()4(
2
bbabbaBCba
∴ BCba )4( ，故⑤正确 因此，正确的编号是①④⑤
【考点定位】本题主要考查平面向量的基本概念和基本性质的应用.
【名师点睛】熟练掌握平面向量的单位向量、共线（平行）、垂直、平面向量的加法等基本概
念和基本性质是解决本题的关键之所在，同时本题考查了考生的综合分析问题的能力以及数
形结合的能力.
7. 【2014 天津，文 13】已知菱形 ABCD的边长为， 120BAD ，点 E，F分别在边BC、
DC上， 3BC BE ，DC DF .若 1,AE AF
，则的值为________.
【答案】2
试题分析：
xo
考点：向量坐标表示
【名师点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算，利用向量坐标运算解题，本题属
于基础题.利用坐标运算要建立适当的之间坐标系，准确写出相关点的坐标、向量的坐标，利
用向量相等关系，列方程组，解出未知数的值.向量问题考查有两种，一是借助向量的加法、
减法、数乘、数量积运算，多考查向量的夹角、向量的模、数量积，另一种是考查向量的坐
标运算.
8. 【2015高考天津，文 13】在等腰梯形 ABCD中,已知 AB DC , 2, 1, 60 ,AB BC ABC
点 E和点 F分别在线段 BC和 CD上,且 2 1, ,
3 6
BE BC DF DC
则 AE AF
的值为 ．
【答案】
29
18
在 等 腰 梯 形 ABCD 中 , 由 AB DC , 2, 1, 60 ,AB BC ABC 得
1
2
AD BC
, 1AB AD
, 1
2
DC AB
,所以 AE AF AB BE AD DF
22 1 2 1 1 1 1 1 291
3 12 3 12 18 3 3 18 18
AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB
.
【考点定位】平面向量的数量积.
【名师点睛】高考对平面向量数量积的考查主要是向量的模,夹角的运算及平行与垂直的判断
与应用,在利用数量积的定义进行计算时,要善于将相关向量分解为图形中模与夹角已知的向
量进行运算,运算时一定要注意向量的方向,搞清两向量的夹角.
9. 【2014 年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷 12】若向量 )3,1( OA ， |||| OBOA ，
0OBOA ，则 || AB ________.
【答案】 52
考点：平面向量的数量积，向量的模的求法，容易题.
【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算和两点距离公式，扎根基础知识，强调教材的重
要性，充分体现了教材在高考中的地位和重要性，考查了基本概念、基本规律和基本操作的
识记能力.其解题的关键是正确的计算平面向量的数量积和向量的模.
10. 【2015高考湖北，文 11】.已知向量OA AB
， | | 3OA
，则OA OB
_________．
【答案】.
因为向量OA AB
，所以 0OA AB
uur uuur
，即 ( ) 0OA OB OA
uur uuur uur
，所以
2
0OA OB OA
uur uuur uur
，即
2
9OA OB OA
uur uuur uur
，故应填.
【考点定位】本题考查向量的数量积的基本运算，属基础题.
【名师点睛】将向量的加法运算法则（平行四边形法则和三角形法则）和向量的数量积的定
义运算联系在一起，体现数学知识间的内在联系，渗透方程思想在解题中的应用，能较好的
考查学生基础知识的识记能力和灵活运用能力.
11. 【2014上海,文 14】已知曲线 C： 24x y ，直线 l：x=6.若对于点 A（m，0）,存在
C上的点 P和 l上的点 Q使得 0AP AQ
，则 m的取值范围为 .
【答案】[2,3]
【考点】向量的坐标运算．
【名师点睛】向量数量积的两种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 a·b＝|a||b|cos ．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2
＋y1y2.
运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解
三、解答题
1. 【2014高考陕西版文第 18 题】在直角坐标系 xOy中，已知点 (1,1), (2,3), (3,2)A B C ，点
( , )P x y 在 ABC 三边围成的区域（含边界）上，且 ( , )OP mAB nAC m n R
.
（1）若
2
3
m n ，求 | |OP
；
（2）用 ,x y表示m n ，并求m n 的最大值.
【答案】（1） 2 2；（2）m n y x ，1.
试题分析：（1）由 ( , )OP mAB nAC m n R
，且
2
3
m n ，即可求出 P点的坐标，继而
求出 | |OP
的值；
（2）因为OP mAB nAC
，所以 ( , ) ( 2 , 2 )x y m n m n ，即
2
2
x m n
y m n
，两式相减得：
m n y x
令 y x t ，点 ),( yxP 在 ABC 三边围成的区域（含边界）上，当直线 y x t 过点 (2,3)B 时，
取得最大值 1，故m n 的最大值为 1.
试题详细分析：（1） (1,1), (2,3), (3,2)A B C
(1, 2)AB
， (2,1)AC
OP mAB nAC
又
2
3
m n
2 2 (2, 2)
3 3
OP AB AC
| |=2 2OP
（2） OP mAB nAC
( , ) ( 2 , 2 )x y m n m n
即
2
2
x m n
y m n
两式相减得：m n y x
令 y x t ，由图可知，当直线 y x t 过点 (2,3)B 时，取得最大值 1，故m n 的最大值为 1.
考点：平面向量的线性运算；线性规划.
【名师点晴】本题主要考查的是平面向量的线性运算；线性规划.简单的应用，属于中档题；
向量问题与线性规划问题的结合不是太常见，特别是在大题中，解题是要充分理解题意，将
向量问题转化为线性规划问题是解题的关键。
1.【2017 浙江，6】已知等差数列{an}的公差为 d，前 n项和为 Sn，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【考点】 等差数列、充分必要性
【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过公式的套入与简单运算，可知
4 6 52S S S d ， 结合充分必要性的判断，若 qp ，则 p是的充分条件，若 qp ，则 p
是的必要条件，该题“ 0d ” “ 02 564 SSS ”，故为充要条件．
2.【2015高考新课标 1，文 7】已知{ }na 是公差为 1的等差数列， nS 为{ }na 的前项和，若 8 44S S ，
则 10a （ ）
（A）17
2
（B）19
2
（C）10 （D）12
【答案】B
∵ 公 差 1d ， 8 44S S ， ∴ 1 1
1 18 8 7 4(4 4 3)
2 2
a a ， 解 得 1a = 1
2
， ∴
10 1
1 199 9
2 2
a a d ，故选 B.
【考点定位】等差数列通项公式及前 n项和公式
【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前 n项和公式，
利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以
简化计算.学！
3.【2014 高考重庆文第 2题】在等差数列{ }na 中, 1 3 52, 10a a a ，则 7a （ ）
.5A .8B .10C .14D
【答案】B
试题分析：设等差数列 na 的公差为 d，由题设知， 12 6 10a d ，所以， 110 2 1
6
ad
所以， 7 1 6 2 6 8a a d .故选 B.
考点：等差数列通项公式.
【名师点睛】本题考查了等差数列的概念与通项公式，本题属于基础题，利用下标和相等的
两项的和相等更能快速作答.
4. 【2014 天津，文 5】设 na 是首项为 1a ，公差为 1 的等差数列， nS 为其前 n 项和，若
，，， 421 SSS 成等比数列，则 1a =（ ）
A.2 B.-2 C.
2
1 D . 1
2
【答案】D
考点：等比数列
【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，本题属于基础题，利用等差数列
的前项和公式表示出 ，，， 421 SSS 然后依据 ，，， 421 SSS 成等比数列，列出方程求出首项.这类问
题考查等差数列和等比数列的基本知识，大多利用通项公式和前项和公式通过列方程或方程
组就可以解出.
5. 【2014辽宁文 9】设等差数列{ }na 的公差为 d，若数列 1{2 }na a 为递减数列，则（ ）
A． 0d B． 0d C． 1 0a d D． 1 0a d
【答案】C
试题分析：由已知得， 1 1 12 2n na a a a ，即
1
1 1
2 1
2
n
n
a a
a a
， 1 n 1(a )2 1na a ，又 n 1a na d ，故 12 1a d ，
从而 1 0a d ，选 C．
【考点定位】1、等差数列的定义；2、数列的单调性．
【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式、数列的性质等，解答本题的关键，是写出等差
数列的通项，利用 1{2 }na a 是递减数列，确定得到
1
1 1
2 1
2
n
n
a a
a a
，得到结论.
本题是一道基础题.在考查等差数列等基础知识的同时，考查考生的计算能力.
6. 【2015新课标 2文 5】设 nS 是等差数列{ }na 的前项和,若 1 3 5 3a a a ,则 5S （ ）
A． B． C． D．11
【答案】A
【考点定位】本题主要考查等差数列的性质及前 n项和公式的应用.
【名师点睛】本题解答过程中用到了的等差数列的一个基本性质即等差中项的性质,利用此性
质可得 1 5 32 .a a a
高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意数列相关
性质的应用,尽量避免小题大做.
7. 【2015新课标 2文 9】已知等比数列{ }na 满足 1
1
4
a , 3 5 44 1a a a ,则 2a （ ）
A.2 B.1 1C.
2
1D.
8
【答案】C
试题分析：由题意可得 2
3 5 4 4 44 1 2a a a a a ,所以
3 4
1
8 2aq q
a
,故 2 1
1
2
a a q ,
选 C.
【考点定位】本题主要考查等比数列性质及基本运算.
【名师点睛】解决本题的关键是利用等比数列性质
2
1 1n n na a a 得到一个关于 4a 的一元二次
方程,再通过解方程求 4a 的值,我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两
组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的
方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列
问题是一种行之有效的方法.学#
8.【2014 全国 2，文 5】等差数列{ }na 的公差是 2，若 2 4 8, ,a a a 成等比数列，则{ }na 的前项和 nS
（ ）
A. ( 1)n n B. ( 1)n n C. ( 1)
2
n n D. ( 1)
2
n n
【答案】A
由已知得， 2
4 2 8a a a ，又因为{ }na 是公差为 2 的等差数列，故 2
2 2 2( 2 ) ( 6 )a d a a d ，
2
2( 4)a 2 2( 12)a a ，解得 2 4a ，所以 2 ( 2)na a n d 2n ，故 1( ) (n 1)
2
n
n
n a aS n
．
【考点定位】1.等差数列；2.等比数列.
【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比中项的概念，等差数列的前 n项和
公式，本题属于基础题，解决本题的关健在于熟练掌握相应的公式.
9.【2015高考广东，文 13】若三个正数，，成等比数列，其中 5 2 6a ， 5 2 6c ，则
b ．
【答案】
【考点定位】等比中项．
【名师点晴】本题主要考查的是等比中项，属于容易题．解题时要抓住关键字眼“正数”，否
则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等比中项的概念，即若，G，成等比数列，
则G称为与的等比中项，即 2G ab ．
10. 【2014 高考广东卷.文.13】等比数列 na 的各项均为正数,且 1 5 4a a ,
则 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5log log log log loga a a a a .
【答案】.
由题意知 2
1 5 3 4a a a ,且数列 na 的各项均为正数,所以 3 2a ,
22 3 5
1 2 3 4 5 1 5 2 4 3 3 3 5 2a a a a a a a a a a a a a ,
5
2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 1 2 3 4 5 2log log log log log log log 2 5a a a a a a a a a a .
【考点定位】本题考查等比数列的基本性质与对数的基本运算,属于中等偏难题.
【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的性质和对数的基本运算，属于中等偏难题．解题
时要抓住关键字眼“正数”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等比数列的性
质和对数的基本运算，即等比数列 na 中，若m n p q （m、、p、q ），则 m n p qa a a a ，
log log loga a a （ 0a ， 1a ， 0 ， 0 ）．
11.【2015高考新课标 1，文 13】数列 na 中 1 12, 2 ,n n na a a S 为 na 的前 n项和，若 126nS ，
则 n .
【答案】6
考点：等比数列定义与前 n项和公式
【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等比数列定义、性质、通项公式、前 n项和公式，
利用方程思想和公式列出关于首项与公比的方程，解出首项与公比，利用等比数列性质可以
简化计算.
12.【2015高考浙江，文 10】已知 na 是等差数列，公差 d不为零．若 2a ， 3a ， 7a 成等比数
列，且 1 22 1a a ，则 1a ， d ．
【答案】
2 , 1
3
由题可得， 2
1 1 1( 2 ) ( )( 6 )a d a d a d ，故有 13 2 0a d ，又因为 1 22 1a a ，即 13 1a d ，
所以 1
21,
3
d a .
【考点定位】1.等差数列的定义和通项公式；2.等比中项.
【名师点睛】本题主要考查等差数列的定义和通项公式.主要考查学生利用等差数列的定义以
及等比中项的性质，建立方程组求解数列的首项与公差.本题属于容易题，主要考查学生正确
运算的能力.
13. 【2015 高考陕西，文 13】中位数为 1010的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该
数列的首项为________
【答案】5
若这组数有 2 1n 个，则 1 1010na ， 2 1 2015na ，又 1 2 1 12n na a a ，所以 1 5a ；
若这组数有 2n个，则 1 1010 2 2020n na a ， 2 2015na ，又 1 2 1n n na a a a ，所以
1 5a ；
故答案为 5
【考点定位】等差数列的性质.
【名师点睛】1.本题考查等差数列的性质，这组数字有可能是偶数个，也有可能是奇数个.然
后利用等差数列性质 m n p qm n p q a a a a .2.本题属于基础题，注意运算的准确
性.
14.【2017 江苏，9】等比数列{ }na 的各项均为实数,其前项的和为 nS ,已知 3 6
7 63
4 4
S S , ,则 8a =
▲ .
【答案】32
【考点】等比数列通项
【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多
元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列
的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工
具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在
解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
15.【2017 课标 1，文 17】记 Sn为等比数列 na 的前 n项和，已知 S2=2，S3=-6．
（1）求 na 的通项公式；
（2）求 Sn，并判断 Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．
【答案】（1） ( 2)nna ；（2）
3
2)1(
3
2 1
n
n
nS ，证明见解+析．
试题分析：（1）由等比数列通项公式解得 2q ， 1 2a ；（2）利用等差中项证明 Sn+1，Sn，
Sn+2成等差数列．
试题详细分析：（1）设{ }na 的公比为．由题设可得
1
2
1
(1 ) 2
(1 ) 6
a q
a q q
，解得 2q ， 1 2a ．
故{ }na 的通项公式为 ( 2)nna ．
（2）由（1）可得
1
1(1 ) 2 2( )
1 3 3
1
n n
n
n
a qS
q
．
由于
3 2 1
2 1
4 2 2 2 2( ) 2[ ( ) ] 2
3
1
3 3
1
3
n n n
n n
n n nS S S
，
故 1nS ， nS ， 2nS 成等差数列．
【考点】等比数列
【名师点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数
列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，
有时需要进行适当变形． 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体
考虑、减少运算量”的方法．
16.【2017 课标 II，文 17】已知等差数列{ }na 的前项和为 nS ，等比数列{ }nb 的前项和为 nT ，
1 1 2 21, 1, 2a b a b
(1)若 3 3 5a b ，求{ }nb 的通项公式；
（2）若 3 21T ，求 3S .
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）当 时， .当 时， .
试题详细分析：（1）设 的公差为 d， 的公比为 q，则 , .由
得
d+q=3. ①
（1） 由 得 ②
联立①和②解得 （舍去），
因此 的通项公式
（2） 由 得 .
解得
当 时，由①得 ，则 .
当 时，由①得 ，则 .
【考点】等差、等比数列通项与求和
【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元
问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性
质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，
应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决
等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
17.【2015 高考北京，文 16】（本小题满分 13 分）已知等差数列 na 满足 1 2 10a a ， 4 3 2a a ．
（I）求 na 的通项公式；
（II）设等比数列 nb 满足 2 3b a ， 3 7b a ，问： 6b 与数列 na 的第几项相等？
【答案】（I） 2 2na n ；（II） 6b 与数列 na 的第63项相等.
试题详细分析：（Ⅰ）设等差数列 na 的公差为 d .
因为 4 3 2a a ，所以 2d .
又因为 1 2 10a a ，所以 12 10a d ，故 1 4a .
所以 4 2( 1) 2 2na n n ( 1, 2, )n .
（Ⅱ）设等比数列 nb 的公比为.
因为 2 3 8b a ， 3 7 16b a ，
所以 2q ， 1 4b .
所以 6 1
6 4 2 128b .
由128 2 2n ，得 63n .
所以 6b 与数列 na 的第63项相等.
考点：等差数列、等比数列的通项公式.
【名师点晴】本题主要考查的是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，属于中档题．本
题通过求等差数列和等比数列的基本量，利用通项公式求解．解本题需要掌握的知识点是等
差数列的通项公式和等比数列的通项公式，即等差数列的通项公式： 1 1na a n d ，等比
数列的通项公式： 1
1
n
na a q ．
18. 【2015 高考广东，文 19】（本小题满分 14分）设数列 na 的前项和为 nS ，n ．已知
1 1a ， 2
3
2
a ， 3
5
4
a ，且当 2n
时， 2 1 14 5 8n n n nS S S S ．
（1）求 4a 的值；
（2）证明： 1
1
2n na a
为等比数列；
（3）求数列 na 的通项公式．
【答案】（1）
7
8
；（2）证明见解+析；（3）
112 1
2
n
na n
．
再将数列 1
1
2n na a
的通项公式转化为数列
1
2
n
n
a
是等差数列，进而可得数列 na 的通项
公式．
试 题 详 细 分 析 ： （ 1 ） 当 2n 时 ， 4 2 3 14 5 8S S S S ， 即
4
3 5 3 3 54 1 5 1 8 1 1
2 4 2 2 4
a
，解得： 4
7
8
a
（2）因为 2 1 14 5 8n n n nS S S S （ 2n ），所以 2 1 1 14 4 4 4n n n n n nS S S S S S （ 2n ），
即 2 14 4n n na a a （ 2n ），因为 3 1 2
54 4 1 6 4
4
a a a ，所以 2 14 4n n na a a ，因为
2 1
2 1 1 1 1
1 1 1
1
1
4 2 4 2 2 12
1 4 2 4 2 2 2 2
2
n n
n n n n n n n
n n n n n n
n n
a a a a a a a a a
a a a a a aa a
，所以数列 1
1
2n na a
是以
2 1
1 1
2
a a 为首项，公比为
1
2
的等比数列
（3）由（2）知：数列 1
1
2n na a
是以 2 1
1 1
2
a a 为首项，公比为
1
2
的等比数列，所以
1
1
1 1
2 2
n
n na a
即 1
1 4
1 1
2 2
n n
n n
a a
，所以数列
1
2
n
n
a
是以 1 21
2
a
为首项，公差为的等差数列，所以
2 1 4 4 2
1
2
n
n
a n n
，即
11 14 2 2 1
2 2
n n
na n n
，所以数列 na 的通项公
式是
112 1
2
n
na n
考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.
【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的定义、等比数列的通项公式和等差数列的通项公
式，属于难题．
本题通过将 nS 的递推关系式转化为 na 的递推关系式，利用等比数列的定义进行证明，进而可
得通项公式，根据通项公式的特点构造成等差数列进行求解．解题时一定要注意关键条件
“ 2n ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等比数列的定义、等比数列的
通项公式和等差数列的通项公式，即等比数列的定义： 1n
n
a q
a
（常数），等比数列的通项公
式： 1
1
n
na a q ，等差数列的通项公式： 1 1na a n d ．
19.【2016高考新课标 2文数】等差数列{ na }中， 3 4 5 74, 6a a a a .
（Ⅰ）求{ na }的通项公式；
（Ⅱ） 设 [ ]n nb a ，求数列{ }nb 的前 10 项和，其中 [ ]x 表示不超过 x 的最大整数，如
0.9]=0,2.6]=2.
【答案】（Ⅰ）
2 3
5n
na
；（Ⅱ）24.
试题分析：(Ⅰ) 题目已知数列{ na }是等差数列，根据通项公式列出关于 1a ，d的方程，解方
程求得 1a ，d，从而求得 na ；（Ⅱ）根据条件[ ]x 表示不超过 x的最大整数，求 nb ，需要对 n
分类讨论，再求数列 nb 的前 10 项和.
当 n 1,2,3时，
2 31 2, 1
5 n
n b
；
当 n 4,5时，
2 32 3, 2
5 n
n b
；
当 n 6,7,8时，
2 33 4, 3
5 n
n b
；
当 n 9,10时，
2 34 5, 4
5 n
n b
，
所以数列 nb 的前 10 项和为1 3 2 2 3 3 4 2 24 .
考点：等差数列的性质 ，数列的求和.
【名师点睛】求解本题会出现以下错误：①对“ x 表示不超过 x的最大整数”理解出错；
20.【2016高考北京文数】（本小题 13分）
已知 }{ na 是等差数列， }{ nb 是等差数列，且 32 b ， 93 b ， 11 ba ， 414 ba .
（1）求 }{ na 的通项公式；
（2）设 nnn bac ，求数列 }{ nc 的前 n 项和.
【答案】（1） 2 1na n （ 1n ，，， ）；（2） 2 3 1
2
n
n
试题分析：（Ⅰ）求出等比数列 nb 的公比，求出 11 ba ， 414 ba 的值，根据等差数列的通项
公式求解；
（Ⅱ）根据等差数列和等比数列的前项和公式求数列 }{ nc 的前项和.
试题详细分析：（I）等比数列 nb 的公比 3
2
9 3
3
bq
b
，
所以 2
1 1bb
q
， 4 3 27b b q ．
设等差数列 na 的公差为 d．
因为 1 1 1a b ， 14 4 27a b ，
所以1 13 27d ，即 2d ．
所以 2 1na n （ 1n ，，， ）．
11 3 2 1 1 3 3nnS n
1 2 1 1 3
2 1 3
nn n
2 3 1
2
n
n
．
考点：等差、等比数列的通项公式和前 n项和公式，考查运算能力.
【名师点睛】1.数列的通项公式及前 n项和公式都可以看作项数 n的函数，是函数思想在数
列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前 n项
和 Sn可视为数列{Sn}的通项.通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一；2.数列的综
合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求
和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和， 1q 或 1q )
等.
21.【2015 高考四川，文 16】设数列{an}(n＝1，2，3…)的前 n项和 Sn满足 Sn＝2an－a3，且
a1，a2＋1，a3成等差数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设数列
1{ }
na
的前 n项和为 Tn，求 Tn.
(Ⅰ) 由已知 Sn＝2an－a1，有
an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 1 1
2nna
所以 Tn＝ 2
1 1[1 ( ) ]1 1 1 12 2...... 112 2 2 21
2
n
n n
【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前 n项和等基础知
识，考查运算求解能力.
【名师点睛】数列问题放在解答题第一题，通常就考查基本概念和基本运算，对于已知条件
是 Sn与 an关系式的问题，基本处理方法是“变更序号作差”，这种方法中一定要注意首项 a1
是否满足一般规律(代入检验即可，或者根据变换过程中 n的范围和递推关系中的表达式判断).
数列求和时，一定要注意首项、公比和项数都不能出错.同时注意，对于较为简单的试题，解
+析步骤一定要详细具体，不可随意跳步.属于简单题.
22.【2016 高考四川文科】（本小题满分 12 分）
已知数列{ na }的首项为 1， nS 为数列{ }na 的前 n项和， 1 1n nS qS ，其中 q>0， *n N .
（Ⅰ）若 2 3 2 3, ,a a a a 成等差数列，求{ }na 的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线
2
2
2 1
n
yx
a
的离心率为 ne ，且 2 2e ，求 2 2 2
1 2 ne e e
.
【答案】（Ⅰ） 1= n
na q - ；（Ⅱ）
1 (3 1)
2
nn .
试题分析：（Ⅰ）已知 nS 的递推式 1 1n nS qS ，一般是写出当 2n 时， 1 1n nS qS ，两式
相减，利用 1n n na S S ，得出数列{ }na 的递推式，从而证明{ }na 为等比数列，利用等比数列
的通项公式得到结论；（Ⅱ）先利用双曲线的离心率定义得到 ne 的表达式，再由 2 2e 解出的
值，最后利用等比数列的求和公式求解计算.
由 2 3 2 3+a a a a， ， 成等差数列，可得 3 2 2 32 =a a a a+ + ，所以 3 2=2 ,a a ，故 =2q .
所以 1 *2 ( )n
na n-= Î N .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 1n
na q -= .
所以双曲线
2
2
2 1
n
yx
a
- = 的离心率 2 2( 1)1 1 n
n ne a q -= + = + .
由 2
2 1 2e q= + = 解得 3q= .所以，
2 2 2 2 2( 1)
1 2
2
2 2( 1)
2
(1 1) (1+ ) [1 ]
1[1 ]
1
1 (3 1).
2
n
n
n
n
n
e e e q q
qn q q n
q
n
-
-
+ + = + + + +
-= + + + = +
-
= + -
，
考点：数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式
23.【2015高考重庆，文 16】已知等差数列 na 满足 3a =2，前 3项和 3S = 9
2
.
(Ⅰ)求 na 的通项公式，
(Ⅱ)设等比数列 nb 满足 1b = 1a ， 4b = 15a ，求 nb 前 n项和 nT .
【答案】（Ⅰ）
+1=
2n
na ，（Ⅱ） 2 1n
nT = - .
试题分析：（Ⅰ）由已知及等差数列的通项公式和前 n项和公式可得关于数列的首项 a1和公
式 d的二元一次方程组，解此方程组可求得首项及公差的值，从而可写出此数列的通项公式，
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果可求出 b1和 b4的值，进而就可求出等比数列的公比，再由等比数列的
前 n项和公式 1(1 )
1
n
n
b qT
q
-
=
-
即可求得数列 nb 前 n项和 nT ．
试题详细分析： （1）设{ }na 的公差为d，则由已知条件得
(2)由（1）得 1 4 15
15+1=1 = = 8
2
b b a =， .
设{ }nb 的公比为 q,则 3 4
1
q 8b
b
= = ,从而 2q = .
故{ }nb 的前 n项和
1(1 ) 1 (1 2 ) 2 1
1 1 2
n n
n
n
b qT
q
- ´ -
= = = -
- -
.
【考点定位】1. 等差数列，2. 等比数列.
【名师点睛】本题考查等差数列及等比数列的概念、通项公式及前 n项的求和公式，利用方
程组思想求解.
本题属于基础题，注意运算的准确性.
1.【2016高考浙江文数】如图，点列 ,n nA B 分别在某锐角的两边上，且
*
1 1 2 2, ,n n n n n nA A A A A A n N ， *
1 1 2 2, ,n n n n n nB B B B B B n N .(P≠Q表示点 P与 Q不
重合)若 n n nd A B ， nS 为 1n n nA B B △ 的面积，则（ ）
A. nS 是等差数列 B. 2nS 是等差数列 C. nd 是等差数列 D. 2nd
是等差数列
【答案】A
1 1 1
1 ( tan )
2n n n n n nS S A A B B ，都为定值，所以 1n nS S 为定值．故选 A．
考点：新定义题、三角形面积公式.
【思路点睛】先求出 1n n n 的高，再求出 1n n n 和 1 1 2n n n 的面积 nS 和 1nS ，进
而根据等差数列的定义可得 1n nS S 为定值，即可得 nS 是等差数列．
2.【2016 高考上海文科】无穷数列 na 由 k个不同的数组成， nS 为 na 的前 n项和.若对任意
Nn ， 3,2nS ，则 k的最大值为________.
【答案】4
试题分析：当 1n 时， 1 2a 或 1 3a ；当 2n
时，若 2nS ，则 1 2nS ，于是 0na ，若 3nS ，
则 1 3nS
，于是
0na .从而存在 Nk ，当 n k
时，
0ka .其中数列
na ：2,1, 1,0,0,0, 满
足条件，所以 max 4k .
考点：数列的求和.
【名师点睛】从研究 nS 与 na 的关系入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列 na
由 k个不同的数组成”的不同和“k的最大值”.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运
算求解能力等.
3.【2014 全国 2，文 16】数列 }{ na 满足 2,
1
1
81
a
a
a
n
n ，则 1a ________．
【答案】
1
2
．
【考点定位】数列的概念.
【名师点睛】本题考查了数列的概念，递推数列，属于中档题目，根据已知条件，逐步试算
即可求出结果，注意计算的准确性即可.
4. 【2014，安徽文 12】如图，在等腰直角三角形 ABC中，斜边 2 2BC ，过点 A作BC的
垂线，垂足为 1A；过点 1A作 AC的垂线，垂足为 2A ；过点 2A 作 1AC的垂线，垂足为 3A ；…，
以此类推，设 1BA a ， 1 2AA a ， 1 2 3A A a ，…， 5 6 7A A a ，则 7a ________．
【答案】
1
4
．
试题分析：由题意， 1 2BA a ， 32
1 2 1
2tan
4 2
n
n
a aa
a a a
，所以{ }na 是以首项
1 2a ，公比
2
2
q 的等比数列，则 6 6
7 1
2 12 ( )
2 4
a a q ．
考点：1．等比数列通项公式．
【名师点睛】此题是以平面几何为依托，考查数列通项公式和性质的知识交汇性问题，是高
考今后的方向，主体知识是等差数列及其性质，都是基本点，因而提醒考生在今后复习中基
础知识一定要狠抓不放.要求等比数列通项，必须求出首项和公比.
5. 【2015高考安徽，文 13】已知数列 }{ na 中， 11 a ，
2
1
1 nn aa （ 2n ），则数列 }{ na 的
前 9项和等于 .
【答案】27
【考点定位】本题主要考查等差数列的定义、通项公式和前 n项和公式的应用.
【名师点睛】能够从递推公式判断数列的类型或采用和种方法是解决本题的关键，这需要考
生平时多加积累，同时本题还考查了等差数列的基本公式的应用，考查了考生的基本运算能
力.
6. 【2015 高考福建，文 16】若 ,a b 是函数 2 0, 0f x x px q p q 的两个不同的零
点，且 , , 2a b 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p q 的
值等于________．
【答案】9
由韦达定理得 a b p ，a b q ，则 0, 0a b ，当 , , 2a b 适当排序后成等比数列时， 2 必
为等比中项，故 4a b q ，
4b
a
．当适当排序后成等差数列时， 2 必不是等差中项，当是
等差中项时，
42 2a
a
，解得 1a ， 4b ；当
4
a
是等差中项时，
8 2a
a
，解得 4a ， 1b ，
综上所述， 5a b p ，所以 p q 9 ．
【考点定位】等差中项和等比中项．
【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题
核心．三个数成等差数列或等比数列，项与项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是
唯一的，故可以利用中项进行讨论，属于难题．
7.【2017 课标 3，文 17】设数列 na 满足 1 23 (2 1) 2na a n a n .
（1）求 na 的通项公式；
（2）求数列
2 1
na
n
的前项和.
【答案】（1）
12
2
n
an ；（2）
12
2
n
n
∴ 2n 时， )1(2)32(3 121 nanaa n ②
①-②得， 2)12( nan ，
12
2
n
an ，
又 1n 时， 21 a 适合上式，
∴
12
2
n
an .
（2）由（1）
12
1
12
1
)12)(12(
2
12
nnnnn
an ，
∴
12
2
12
11)
12
1
12
1()
5
1
3
1()
3
11(
1253
21
n
n
nnnn
aaa
S n
n .
【考点】数列通项公式，裂项法求和
【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵
消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如
1n n
c
a a
(其中 na 是各项均不为零的等差数
列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔
一项的裂项求和，如
1
( 1)( 3)n n
或
1
( 2)n n .
8.【2017 山东，文 19】（本小题满分 12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列,且
1 2 1 2 36,a a a a a .
(I)求数列{an}通项公式；
(II){bn}为各项非零的等差数列,其前 n项和 Sn,已知 2 1 1n n nS b b ,求数列 n
n
b
a
的前 n项和 nT .
【答案】(I) 2nna ；(II) 2 55
2n n
nT
解得 1 ,2 2a q ，
所以 2nna .
(II)由题意知 1 2 1
2 1 1
(2 1)( ) (2 1)
2
n
n n
n b bS n b
2 1 1 1, 0,n n n nS b b b ,
所以 2 1nb n ,
令 .nn
n
bc
a
,
则
2 1
2n n
nc
因此
1 2
2 3 1
......
3 5 7 2 1 2 1
2 2 2 2 2
n n
n n
T c c c
n n
,
又 2 3 5 1
1 3 5 7 2 1 2 1
2 2 2 2 2 2n n n
n nT
,
两式相减得 2 1 1
1 3 1 1 1 2 1
2 2 2 2 2 2n n n
nT
所以
2 55
2n n
nT
.
【考点】等差数列的通项,错位相减法求和.
【名师点睛】(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a1和公差 d,然后由通项公式或前 n
项和公式转化为方程(组)求解．等差数列的通项公式及前 n项和公式,共涉及五个量 a1,an,d,n,Sn,
知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“Sn”
与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；若
等比数列的公比为参数,应分公比等于 1和不等于 1两种情况求解．
9.【2017 天津，文 18】已知{ }na 为等差数列，前 n项和为 *( )nS nN ，{ }nb 是首项为 2的等
比数列，且公比大于 0，
2 3 3 4 1 11 412, 2 , 11b b b a a S b .
（Ⅰ）求{ }na 和{ }nb 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 2{ }n na b 的前 n项和 *( )nN .
【答案】（Ⅰ） 3 2na n . 2nnb .（Ⅱ） 2(3 4)2 16n
nT n .
试题详细分析：（Ⅰ）解：设等差数列{ }na 的公差为 d ，等比数列{ }nb 的公比为.由已知
2 3 12b b ，得 2
1( ) 12b q q ，而 1 2b ，所以 2 6 0q q .又因为 0q ，解得 2q .所以，
2nnb .
由 3 4 12b a a ，可得 13 8d a ① .由 11 411S b ，可得 1 5 16a d ② ，联立①②，解得
1 1, 3a d ，由此可得 3 2na n .
所以，{ }na 的通项公式为 3 2na n ，{ }nb 的通项公式为 2nnb .
（Ⅱ）解：设数列 2{ }n na b 的前项和为 nT ，由 2 6 2na n ，有
2 34 2 10 2 16 2 (6 2) 2nnT n ，
2 3 4 12 4 2 10 2 16 2 (6 8) 2 (6 2) 2n n
nT n n ，
上述两式相减，得 2 3 14 2 6 2 6 2 6 2 (6 2) 2n n
nT n
1 212 (1 2 ) 4 (6 2) 2 (3 4)2 16
1 2
n
n nn n
.
得 2(3 4)2 16n
nT n .
所以，数列 2{ }n na b 的前项和为 2(3 4)2 16nn .
【考点】1.等差，等比数列；2.错位相减法求和.
【名师点睛】重点说说数列求和的一些方法：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）
分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，
1
nn
n aa
cc ，
!!1! nnnncn ,
nn
ccn
1
等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列
乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和
和倒着写和，两式两式相加除以 2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和.
10.【2017 北京，文 15】已知等差数列 na 和等比数列 nb 满足 a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．
（Ⅰ）求 na 的通项公式；
（Ⅱ）求和： 1 3 5 2 1nb b b b ．
【答案】（Ⅰ） 2 1na n ；（Ⅱ）
3 1
2
n .
（Ⅱ）设 nb 的公比为， 2b . 4b = 5a 93 qq ，所以 32 q
所以 2 -1nb 是以 11 b 为首项， ' 2 3q q 为公比的等比数列，
所以 1-2531 nbbbb ＋＋＋＋
2
13
31
)31(1
nn
.
【考点】1.等比，等差数列；2.等比数列的前项和.
【名师点睛】重点说说数列求和的一些方法：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）
分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，
1
nn
n aa
cc ，
!!1! nnnncn ,
nn
ccn
1
等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列
乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和
和倒着写和，两式两式相加除以 2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和.
11.【2017江苏，19】对于给定的正整数,若数列{ }na 满足 1 1 1 1n k n k n n n k n ka a a a a a
2 nka 对任意正整数 ( )n n k 总成立，则称数列{ }na 是“ ( )P k 数列”.
（1）证明：等差数列{ }na 是“ (3)P 数列”;
（2）若数列{ }na 既是“ (2)P 数列”，又是“ (3)P 数列”，证明：{ }na 是等差数列.
【答案】（1）见解+析（2）见解+析
（2）数列 na 既是“ P 2 数列”，又是“ 3P 数列”，因此，
当 3n 时， n n n n na a a a a 2 1 1 2 4 ，①
当 4n 时， n n n n n n na a a a a a a 3 2 1 1 2 3 6 .②
由①知， n n na a a 3 2 14 1( )n na a ，③
n n na a a 2 3 14 1( )n na a ，④
将③④代入②，得 n n na a a 1 1 2 ，其中 4n ，
所以 3 4 5, , ,a a a 是等差数列，设其公差为d' .
在①中，取 4n ，则 2 3 5 6 44a a a a a ，所以 2 3a a d' ，
在①中，取 3n ，则 1 2 4 5 34a a a a a ，所以 1 2 2a a d' ，
所以数列
{ }na 是等差数列.
【考点】等差数列定义及通项公式
【名师点睛】证明{ }na 为等差数列的方法：
(1)用定义证明： 1 (n na a d d 为常数）；
(2)用等差中项证明： 1 22 n n na a a ；
(3)通项法： na 为的一次函数；
(4)前项和法：
2
nS An Bn
12【2016高考新课标 1文数】（本题满分 12分）已知 na 是公差为 3的等差数列,数列 nb 满
足 1 2 1 1
1= =
3 n n n nb b a b b nb 1， ， ,.
（I）求 na 的通项公式；
（II）求 nb 的前 n项和.
【答案】（I） 3 1na n （II） 1
3 1 .
2 2 3n
试题详细分析：（I）由已知, 1 2 2 1 1 2
1, 1, ,
3
a b b b b b 得 1 2 2 1 1 2
1, 1, ,
3
a b b b b b 得 1 2a ,所以
数列 na 是首项为 2,公差为 3的等差数列,通项公式为 3 1na n .
（II）由（I）和 1 1n n n na b b nb ,得 1 3
n
n
bb ,因此 nb 是首项为 1,公比为
1
3
的等比数列.记 nb
的前项和为 nS ,则
1
11 ( ) 3 13 .1 2 2 31
3
n
n nS
考点：等差数列与等比数列
【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,
利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说
数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效
的方法.
13.【2014 高考广东卷.文.19】(本小题满分 14分)设各项均为正数的数列 na 的前项和为 nS ,
且 nS 满足 2 2 3n nS n n S 23 0n n , n N .
(1)求 1a 的值；
(2)求数列 na 的通项公式；
(3)证明：对一切正整数,有
1 1 2 2
1 1 1 1
1 1 1 3n na a a a a a
.
【答案】(1) 1 2a ；(2) 2na n ；(3)详见解+析.
0na n N , 0nS ,从而 3 0nS , 2
nS n n ,
所以当 2n 时, 22
1 1 1 2n n na S S n n n n n
,
又 1 2 2 1a , 2na n n N ；
(3)当 k N 时, 2 2 3 1 3
2 2 16 4 4
k kk k k k
,
1 1 1 1 1 1
1 1 31 2 2 1 4 4
2 4 4
k ka a k k k k k k
1 1 1 1 1
1 11 14 4 11
4 44 4
k kk k
1 1 2 2
1 1 1
1 1 1n na a a a a a
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 14 1 2 2 3 1
4 4 4 4 4 4
n n
1 1 1 1 1 1
1 14 3 4 3 31 1
4 4
nn
.
证法二：当 1n 时,
1 1
1 1 1 1
1 2 3 6 3a a
成立,
当 2n 时,
1 1 1 1 1 1
1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1n na a n n n n n n
,
则
1 1 2 2 3 3
1 1 1 1
1 1 1 1n na a a a a a a a
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
6 2 3 5 2 5 7 2 2 1 2 1n n
1 1 1 1 1 1 1
6 2 3 2 1 3 6 3 3n n
.
【考点定位】本题以二次方程的形式以及 nS 与 na 的关系考查数列通项的求解,以及利用放缩
法证明数列不等式的综合问题,考查学生的计算能力与逻辑推理能力,属于中等偏难题.
【名师点晴】本题主要考查的是数列的通项公式和利用放缩法证明数列不等式，属于难题．本
题通过将 nS 的递推关系式进行因式分解，得到 nS 与的关系式，利用
1
1
1
2n
n n
S n
a
S S n
可得
数列 na 通项公式，再根据式子的特点进行裂项相消法，即可证明．解题时一定要注意公式
的条件“ 2n ”，否则很容易出现错误．
14. 2016 高 考 新 课 标 Ⅲ 文 数 ] 已 知 各 项 都 为 正 数 的 数 列 na 满 足 1 1a ，
2
1 1(2 1) 2 0n n n na a a a .
（I）求 2 3,a a ；
（II）求 na 的通项公式.
【答案】（Ⅰ）
4
1,
2
1
32 aa ；（Ⅱ） 12
1
nna ．
（Ⅱ）由 02)12( 11
2 nnnn aaaa 得 )1()1(2 1 nnnn aaaa .
因为 na 的各项都为正数，所以
2
11
n
n
a
a
，
故 na 是首项为，公比为
2
1
的等比数列，因此 12
1
nna . ......12 分
考点：1、数列的递推公式；2、等比数列的通项公式．
【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明 1n
n
a q
a
（常数）；（2）
中项法，即证明 2
1 2n n na a a ．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等
比数列或等差数列来求解．
15.【2015高考湖南，文 19】（本小题满分 13分）设数列{ }na 的前项和为 nS ，已知 1 21, 2a a ，
且 1 3n na S *
1 3, ( )nS n N ，
（I）证明： 2 3n na a ；
（II）求 nS 。
【答案】（I）略；(II)
2
*2
*2
3 (5 3 1), ( 2 1, )
2
3 (3 1), ( 2 , )
2
n
n n
n k k N
S
n k k N
试题详细分析：（I）由条件，对任意 *n N ，有 2 3n na S *
1 3, ( )nS n N ，
因而对任意 *, 2n N n ，有 1 13n na S *3, ( )nS n N ，
两式相减，得 2 1 13n n n na a a a ，即 2 3 , ( 2)n na a n ，
又 1 21, 2a a ，所以 3 1 2 1 1 2 13 3 3 ( ) 3 3a S S a a a a ，
故对一切 *n N ， 2 3n na a 。
（II）由（I）知， 0na ，所以 2 3n
n
a
a
，于是数列 2 1{ }na 是首项 1 1a ，公比为 3的等比数列，
数列 2{ }na 是首项 1 2a ，公比为 3的等比数列，所以 1 1
2 1 23 , 2 3n n
n na a
，
于是 2 1 2 2 1 3 2 1 2 4 2( ) ( )n n n nS a a a a a a a a a
1 1 1 3(3 1)(1 3 3 ) 2(1 3 3 ) 3(1 3 3 )
2
n
n n n
从而 1 2
2 1 2 2
3(3 1) 32 3 (5 3 1)
2 2
n
n n
n n nS S a
，
综上所述，
2
*2
*2
3 (5 3 1), ( 2 1, )
2
3 (3 1), ( 2 , )
2
n
n n
n k k N
S
n k k N
。
【考点定位】数列递推关系、数列求和
【名师点睛】已知数列{an}的前 n项和 Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：
(1)先利用 a1＝S1求出 a1；(2)用 n－1 替换 Sn中的 n得到一个新的关系，利用 an＝Sn－Sn－
1(n≥2)便可求出当 n≥2时 an的表达式；(3)对 n＝1 时的结果进行检验，看是否符合 n≥2时
an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 n＝1与 n≥2
两段来写．数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并
项求和法等，可根据通项特点进行选用.
16. 【2015高考湖南，文 21】 （本小题满分 13分）函数 2( ) cos ( [0, )f x ae x x ，记 nx 为
( )f x 的从小到大的第 *( )n n N 个极值点。
（I）证明：数列{ ( )}nf x 是等比数列；
（II）若对一切 *, ( )n nn N x f x 恒成立，求的取值范围。
【答案】（I）略；(II) 22[ , )
4
e
得到 2
min 1 2
5 4[ ( )] min[ ( ), ( )] min[ ( ), ( )] ( )
4 4 4ng x g x g x g g g e
，所以 22 4 e
a
，求得
22
4
a e
，得到的取值范围；
试题详细分析：（I） ( ) cos sin 2 cos( )
4
x x xf x ae x ae x ae x
令 ( ) 0f x ，由 0x ，得
4 2
x m ，即 *3 ,
4
x m m N ，
而对于 cos( )
4
x
，当 k Z 时，
若 2 2
2 4 2
k x k ，即
32 2
4 4
k x k ，则 cos( ) 0
4
x
；
若
32 2
2 4 2
k x k ，即
52 2
4 4
k x k ，则 cos( ) 0
4
x
；
因此，在区间
3(( 1) , )
4
m m 与
3( , )
4 4
m m 上， ( )f x 的符号总相反，于是当
*3 ,
4
x m m N 时， ( )f x 取得极值，所以 *3 ,
4nx n n N ，此时，
3 3
14 43 2( ) cos( ) ( 1)
4 2
n nn
nf x ae n ae
，易知 ( ) 0nf x ，而
3( 1)2 4
1
3
1 4
2( 1)( ) 2
( ) 2( 1)
2
nn
n
nnn
aef x e
f x
ae
是常数，
故数列{ ( )}nf x 是首项为 4
1
2( )
2
f x ae
，公比为 e 的等比数列。
（II）对一切 *, ( )n nn N x f x 恒成立，即
3
43 2
4 2
n
n ae
恒成立，亦即
3
42
3
4
n
e
a n
恒成立，
设 ( ) ( 0)
teg t t
t
，则 2
( 1)( )
te tg t
t
，令 ( ) 0g t 得 1t ，
当0 1t 时， ( ) 0g t ，所以 ( )g t 在区间 (0,1)上单调递减；
当 1t 时， ( ) 0g t ，所以 ( )g t 在区间 (1, ) 上单调递增；
因为 (0,1)nx ，且当 2n 时， 1(1, ), ,n n nx x x 所以
2
min 1 2
5 4[ ( )] min[ ( ), ( )] min[ ( ), ( )] ( )
4 4 4ng x g x g x g g g e
因此， *, ( )n nn N x f x 恒成立，当且仅当 22 4 e
a
，解得 22
4
a e
，
故实数的取值范围是 22[ , )
4
e
。
【考点定位】恒成立问题；等比数列的性质
【名师点睛】解决数列与函数的综合问题时，如果是证明题要根据等比数列的定义明确证明
的方向，如果是不等式恒成立问题，要使用不等式恒成立的各种不同解法，如变量分离法、
最值法、因式分解法等，总之解决这类问题把数列看做特殊函数，并把它和不等式的知识巧
妙结合起来综合处理就行了．
17. 【2015高考山东，文 19】已知数列 na 是首项为正数的等差数列，数列
1
1
n na a
的前
项和为
2 1
n
n
.
（I）求数列 na 的通项公式；
（II）设 1 2 na
n nb a ，求数列 nb 的前项和 nT .
【答案】（I） 2 1.na n (II)
14 (3 1) 4 .
9
n
n
nT
令 2,n 得
1 2 2 3
1 1 2
5a a a a
，所以 2 3 15a a .
解得 1 1, 2a d ，所以 2 1.na n
（II）由（I）知 2 42 2 4 ,n n
nb n n 所以 1 21 4 2 4 ...... 4 ,nnT n
所以 2 3 14 1 4 2 4 ...... ( 1) 4 4 ,n n
nT n n
两式相减，得 1 2 13 4 4 ...... 4 4n n
nT n
1 14(1 4 ) 1 3 44 4 ,
1 4 3 3
n
n nnn
所以
1
13 1 4 4 (3 1) 44 .
9 9 9
n
n
n
n nT
【考点定位】1.等差数列的通项公式；2.数列的求和、“错位相减法”.
【名师点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等比数列的求和、“错位相减法”等，解答本
题的关键，首先是注意运用从一般到特殊的处理方法，准确确定等差数列的通项公式；其次
就是能对所得数学式子准确地变形，本题易错点在于错位相减后求和时，弄错数列的项数，
或忘记从 3 nT 化简到 nT .
本题是一道能力题，属于中等题.在考查等差数列、等比数列等基础知识的同时，考查考生的
计算能力.本题是教科书及教辅材料常见题型，能使考生心理更稳定，利于正常发挥.
18. 【2016高考山东文数】（本小题满分 12分）
已知数列 na 的前 n项和 23 8nS n n ， nb 是等差数列，且 1n n na b b .
（I）求数列 nb 的通项公式；
（II）令
1( 1)
( 2)
n
n
n n
n
ac
b
.求数列 nc 的前 n项和 nT .
【答案】（Ⅰ） 13 nbn ;（Ⅱ） 223 n
n nT
试题详细分析：（Ⅰ）由题意当 2n 时， 561 nSSa nnn ，当 1n 时， 1111 Sa ；所
以 56 nan ；设数列的公差为 d，由
322
211
bba
bba
，即
db
db
3217
211
1
1
，解之得 3,41 db ，
所以 13 nbn 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 1
1
2)1(3
)33(
)66(
n
n
n
n n
n
nc ，又 nn ccccT 321 ，即
]2)1(242322[3 1432 n
n nT
，所以 ]2)1(242322[32 2543 n
n nT ，以上两式两边相减得
2221432 23]2)1(
12
)12(44[3]2)1(22222[3
nn
n
nn
n nnnT 。
所以 223 n
n nT
考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列、等比数列的求和；3.“错位相减法”.
【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、等比数列的求和、数列求和的
“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较
高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”
之后求和时，弄错等比数列的项数.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.
19. 【2015 高考陕西，文 21】设 2( ) 1, , 2.n
nf x x x x n N n
(I)求 (2)nf ；
(II)证明： ( )nf x 在
20,
3
内有且仅有一个零点（记为 na ），且
1 1 20
2 3 3
n
na
.
【答案】(I) (2) ( 1)2 1n
nf n ；(II)证明略，详见解+析.
(II)因为 (0) 1 0f ，
22 2 2( ) 1 2 1 2 0
3 3 3
n
nf
，所以 ( )nf x 在
2(0, )
3
内至少存
在一个零点，又 1( ) 1 2 0n
nf x x nx ，所以 ( )nf x 在
2(0, )
3
内单调递增，因此， ( )nf x
在
2(0, )
3
内有且只有一个零点 na ，由于
1( ) 1
1
n
n
xf x
x
，所以
10 ( ) 1
1
n
n
n n
n
af a
a
，由
此可得 11 1 1
2 2 2
n
n na a ，故
1 2
2 3na ，继而得
1
11 1 1 2 1 20
2 2 2 3 3 3
n n
n
n na a
.
试题详细分析：(I)由题设 1( ) 1 2 n
nf x x nx ，
所以 1(2) 1 2 2 2nnf n ①
由 22 (2) 1 2 2 2 2nnf n ②
①②得 2 1(2) 1 2 2 2 2n n
nf n
21 2 2 (1 )2 1
1 2
n nn n
，
所以 (2) ( 1)2 1n
nf n
(II)因为 (0) 1 0f
2
2 21
3 32 2 2( ) 1 1 2 1 2 023 3 31
3
n
n
nf
，
所以 ( )nf x 在
2(0, )
3
内至少存在一个零点，
又 1( ) 1 2 0n
nf x x nx
所以 ( )nf x 在
2(0, )
3
内单调递增，
因此， ( )nf x 在
2(0, )
3
内有且只有一个零点 na ，
由于
1( ) 1
1
n
n
xf x
x
，
所以
10 ( ) 1
1
n
n
n n
n
af a
a
由此可得 11 1 1
2 2 2
n
n na a
故
1 2
2 3na
所以
1
11 1 1 2 1 20
2 2 2 3 3 3
n n
n
n na a
【考点定位】1.错位相减法；2.零点存在性定理；3.函数与数列.
【名师点睛】（1）在函数出现多项求和形式，可以类比数列求和的方法进行求和；（2）证明
零点的唯一可以从两点出发：先使用零点存在性定理证明零点的存在性，再利用函数的
单调性证明零点的唯一性；（2）有关函数中的不等式证明，一般是先构造函数，再求出
函数在定义域范围内的值域即可；（4）本题属于中档题，要求有较高逻辑思维能力和计
算能力.
20. 【2016 高考天津文数】(本小题满分 13分)
已知 na 是等比数列，前 n项和为 nS n N ，且 6
1 2 3
1 1 2 , 63S
a a a
.
(Ⅰ)求 na 的通项公式；
(Ⅱ)若对任意的 , bnn N 是 2log na 和 2 1log na 的等差中项，求数列 21 n
nb 的前 2n项
和.
【答案】（Ⅰ） 12 n
na （Ⅱ） 22n
试题分析：（Ⅰ）求等比数列通项，一般利用待定系数法：先由 2
111
211
qaqaa
解得 1,2 qq ，
分别代入 63
1
)1( 6
1
q
qa
Sn 得 1q ， 11 a （Ⅱ）先根据等差中项得
2
1)2log2(log
2
1)log(log
2
1
2
1
2122
naab nn
nnn ，再利用分组求和法求和：
221
221
2
2
2
12
2
4
2
3
2
2
2
12 2
2
)(2
)()()( n
bbn
bbbbbbbbbT n
nnnn
（Ⅱ）解：由题意得
2
1)2log2(log
2
1)log(log
2
1
2
1
2122
naab nn
nnn ，即数列 }{ nb 是
首项为
2
1
，公差为的等差数列.
设数列 })1{( 2
n
nb 的前项和为 nT ，则
221
221
2
2
2
12
2
4
2
3
2
2
2
12 2
2
)(2
)()()( n
bbn
bbbbbbbbbT n
nnnn
考点：等差数列、等比数列及其前项和
【名师点睛】分组转化法求和的常见类型
(1)若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前 n项和．
(2)通项公式为 an＝
bn，n为奇数，
cn，n为偶数
的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，
可采用分组求和法求和．
21. 【2016 高考浙江文数】（本题满分 15 分）设数列{ na }的前项和为 nS .已知 2S =4，
1na =2 nS +1， *Nn .
（I）求通项公式 na ；
（II）求数列{ 2na n }的前项和.
【答案】（I） 1 *3 ,n
na n N ；（II） 2
*
2, 1
3 5 11, 2,
2
n
n
n
T n n n n N
.
又当 2n 时，由 1 1(2 1) (2 1) 2n n n n na a S S a ，
得 1 3n na a ，
所以，数列{ }na 的通项公式为 1 *3 ,n
na n N .
（II）设 1| 3 2 |n
nb n ， *n N ， 1 22, 1b b .
当 3n 时，由于 13 2n n ，故 13 2, 3n
nb n n .
设数列{ }nb 的前项和为 nT ，则 1 22, 3T T .
当 3n 时，
2 29(1 3 ) ( 7)( 2) 3 5 113
1 3 2 2
n n
n
n n n nT
，
所以， 2
*
2, 1
3 5 11, 2,
2
n
n
n
T n n n n N
.
考点：等差、等比数列的基础知识.
【方法点睛】数列求和的常用方法：（1）错位相减法：形如数列 n na b 的求和，其中 na 是
等差数列， nb 是等比数列；（2）裂项法：形如数列
1
f n g n
或
1
f n g n
的求
和，其中 f n ， g n 是关于的一次函数；（3）分组法：数列的通项公式可分解为几个容易
求和的部分．
22. 【2014 四川，文 19】设等差数列{ }na 的公差为d，点 ( , )n na b 在函数 ( ) 2xf x 的图象上
（ *n N ）.
（1）证明：数列{ }nb 是等比数列；
（2）若 1 1a ，函数 ( )f x 的图象在点 2 2( , )a b 处的切线在轴上的截距为
12
ln 2
，求数列 2{ }n na b
的前项和 nS .
【答案】（1）详见解+析；（2）
1(3 1)4 4
9
n
n
nT
.
试题详细分析：（1）由已知， 2 na
nb 0 ..
当 1n 时， 11 2 2n na a dn
n
b
b
.
所以，数列是首项为 12a ，公比为 2d的等比数列.
（ 2 ） ( ) 2xf x 求 导 得 ( ) 2 ln 2xf x ， 所 以 ( ) 2xf x 在 2 2( , )a b 处 的 切 线 为
2
2 22 ln 2( )ay b x a ，令 0y 得 2
2 2 2 2
1(2 ln 2) ( ), , 2
ln 2
ab x a x a a ，
所以 2 1 1, nd a n ， 2nnb .所以 2 4nn na b n ，
其前项和： 2 3 11 4 2 4 3 4 ( 1) 4 4n n
nT n n …………………………①
两边乘以 4得： 2 3 4 14 1 4 2 4 3 4 ( 1) 4 4n n
nT n n …………………………②
①－②得：
1
2 3 1 14 44 4 4 4 4 4 4
3
n
n n n
n nT T n n
，所以
1(3 1)4 4
9
n
n
nT
.
【考点定位】等差数列与等比数列及其前前项和，导数的几何意义.
【名师点睛】证明一数列是等比数列，有定义法和等比中项法；考生在解决此题时，都知道
利用错位相减法求解，也都能写出此题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项
或添项以及符号出错等．两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，应将相同幂指数的项
对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两项相减，除第一
项和最后一项外，剩下的 1n 项是一个等比数列
23. 【2014 全国 1，文 17】已知 na 是递增的等差数列， 2a ， 4a 是方程 2 5 6 0x x 的根。
（I）求 na 的通项公式；
（II）求数列
2
n
n
a
的前项和.
（1）方程 2 5 6 0x x 的两根为 2,3，由题意得 2 42, 3a a .
设数列{ }na 的公差为 d，则 4 2 2a a d ，故
1
2
d ，从而 1
3
2
a .
所以{ }na 的通项公式为
1 1
2na n .
（2）设{ }
2
n
n
a
的前 n项和为 nS ，由（1）知 1
2
2 2
n
n n
a n
，则
2 3 1
3 4 1 2
2 2 2 2n n n
n nS
，
3 4 1 2
1 3 4 1 2
2 2 2 2 2n n n
n nS
.
两式相减得 2 3 4 1 2
1 3 1 1 1 2( )
2 2 2 2 2 2n n n
nS
1 2
3 1 1 2(1 )
4 4 2 2n n
n
所以 1
42
2n n
nS
.
考点：1.一元二次方程的解法;2.等差数列的基本量计算;3.数列的求和
【名师点睛】本题考查等的性质及错位相减法求和,是近几年高考对数列解答题考查的主要方
式，在使用错位相减时一定要注意在和的两边乘以等比数列的公比，这是解决这类问题的关
键所在，本题同时考查了学生的计算能力.
24. 【 2015 高考浙江，文 17】（本题满分 15 分）已知数列 { }na 和 { }nb 满足，
*
1 1 12, 1, 2 (n N ),n na b a a
*
1 2 3 1
1 1 1 1(n N )
2 3 n nb b b b b
n .
（1）求 na 与 nb ；
（2）记数列{ }n na b 的前 n项和为 nT ，求 nT .
【答案】(1) 2 ;nn na b n ；(2) 1 *( 1)2 2( )n
nT n n N
试题详细分析：(1)由 1 12, 2n na a a ，得 2nna .
当 1n 时， 1 2 1b b ，故 2 2b .
当 2n 时， 1
1
n n nb b b
n ，整理得 1 1n
n
b n
b n
，
所以 nb n .
(2)由(1)知， 2nn na b n
所以 2 32 2 2 3 2 2nnT n
2 3 4 12 2 2 2 3 2 ( 1) 2 2n n
nT n n
所以 2 3 1 12 2 2 2 2 2 (1 )2 2n n n
n n nT T T n n
所以 1( 1)2 2n
nT n .
【考点定位】1.等差等比数列的通项公式；2.数列的递推关系式；3.错位相减法求和.
【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式以及数列的求和.根据数列递推关
系式推理得到数列的性质和特点，以此得到数列的通项公式，利用错位相减法计算新组合的
数列的求和问题.本题属于中等题，主要考查学生基本的运算能力.
25. 【2015高考安徽，文 18】已知数列 na 是递增的等比数列，且 1 4 2 39, 8.a a a a
（Ⅰ）求数列 na 的通项公式；
（Ⅱ）设 nS 为数列 na 的前 n项和， 1
1
n
n
n n
ab
S S
，求数列 nb 的前 n项和 nT .
【答案】（Ⅰ） 12nna
（Ⅱ）
1
1
2 2
2 1
n
n
由 3
14 qaa 得公比 2q ，故 11
1 2 nn
n qaa .
（Ⅱ） 12
21
21
1
)1(1
n
nn
n q
qaS
又 1 1
1 1 1
1 1n n n
n
n n n n n n
a S Sb
S S S S S S
所以
1113221
21
1111...1111...
nnn
nn SSSSSSSS
bbbT
12
11 1
n .
【考点定位】本题主要考查等比数列的通项公式、性质，等比数列的前 n项和，以及利用裂
项相消法求和.
【名师点睛】本题利用“若 qpnm ，则 qpnm aaaa ”，是解决本题的关键，同时考生发
现 1 1
1 1 1
1 1n n n
n
n n n n n n
a S Sb
S S S S S S
是解决本题求和的关键,本题考查了考生的基础运算能力.
26. 【2015高考天津，文 18】（本小题满分 13分）已知{ }na 是各项均为正数的等比数列,{ }nb
是等差数列,且 1 1 2 3 31, 2a b b b a= = + = , 5 23 7a b- = .
（I）求{ }na 和{ }nb 的通项公式;
（II）设 *,n n nc a b n N= Î ,求数列{ }nc 的前 n 项和.
【答案】（I） 12 ,n
na n N , 2 1,nb n n N ;（II） 2 3 2 3n
nS n
4 22 8 0,q q 解得 2, 2q d ,所以{ }na 的通项公式为 12 ,n
na n N , { }nb 的通项公式为
2 1,nb n n N .
（II）由（I）有 12 1 2nnc n ,设{ }nc 的前 n 项和为 nS ,则
0 1 2 11 2 3 2 5 2 2 1 2 ,n
nS n
1 2 32 1 2 3 2 5 2 2 1 2 ,nnS n
两式相减得 2 31 2 2 2 2 1 2 2 3 2 3,n n n
nS n n
所以 2 3 2 3n
nS n .
【考点定位】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及错位相减法求和,考查基本运算能力.
【名师点睛】近几年高考试题中求数列通项的题目频频出现,尤其对等差、等比数列的通项考
查较多,解决此类 问题要重视方程思想的应用.错位相减法求和也是高考考查频率较高的一类
方法,从历年考试情况来看,这类问题,运算失误较多,应引起考生重视.
27. 【2015高考湖北，文 19】设等差数列{ }na 的公差为 d，前 n项和为 nS ，等比数列{ }nb 的
公比为 q．已知 1 1b a ， 2 2b ， q d ， 10 100S ．
（Ⅰ）求数列{ }na ，{ }nb 的通项公式；
（Ⅱ）当 1d 时，记 n
n
n
ac
b
，求数列{ }nc 的前 n项和 nT ．
【答案】（Ⅰ） 1
2 1,
2 .
n
n
n
a n
b
或
1
1 (2 79),
9
29 ( ) .
9
n
n
n
a n
b
；（Ⅱ） 1
2 36
2n n
nT
.
（Ⅱ）由 1d ，知 2 1na n ， 12nnb
，故 1
2 1
2n n
nc
，于是
2 3 4 1
3 5 7 9 2 11
2 2 2 2 2n n
nT
， ①
2 3 4 5
1 1 3 5 7 9 2 1
2 2 2 2 2 2 2n n
nT
. ②
①-②可得
2 2
1 1 1 1 2 1 2 32 3
2 2 2 2 2 2n n n n
n nT
，
故 nT 1
2 36
2n
n
.
【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题.
【名师点睛】这是一道简单综合试题，其解题思路：第一问直接借助等差、等比数列的通项
公式列出方程进行求解，第二问运用错位相减法直接对其进行求和.体现高考坚持以基础为
主，以教材为蓝本，注重计算能力培养的基本方向.
28. 【2015高考福建，文 17】等差数列 na 中， 2 4a ， 4 7 15a a ．
（Ⅰ）求数列 na 的通项公式；
（Ⅱ）设 22 na
nb n ，求 1 2 3 10b b b b 的值．
【答案】（Ⅰ） 2na n ；（Ⅱ）2101．
所以 1 1 2na a n d n ．
（II）由（I）可得 2nnb n ．
所以 2 3 10
1 2 3 10 2 1 2 2 2 3 2 10b b b b
2 3 102 2 2 2 1 2 3 10
102 1 2 1 10 10
1 2 2
112 2 55
112 53 2101 ．
【考点定位】1、等差数列通项公式；2、分组求和法．
【名师点睛】确定等差数列的基本量是 1,a d．所以确定等差数列需要两个独立条件，求数列
前 n项和常用的方法有四种：（1）裂项相消法（通过将通项公式裂成两项的差或和，在前 n
项相加的过程中相互抵消）；
（2）错位相减法（适合于等差数列乘以等比数列型）；（3）分组求和法(根据数列通项公式的
特点，将其分解为等差数列求和以及等比数列求和)；（4）奇偶项分析法（适合于整个数列特
征不明显，但是奇数项之间以及偶数项之间有明显的等差数列特征或等比数列特征）．
29. (2014课标全国Ⅰ，文 17)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程 x2－5x＋6＝0的根．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列
2
n
n
a
的前 n项和．
分析：在第(1)问中，通过解出方程的根并结合{an}是递增数列可确定出 a2与 a4的值，然
后设出{an}的公差，通过解方程得出 a1与 d的值，从而求得{an}的通项公式；在第(2)问中，
由第(1)问的结果写出
2
n
n
a
的通项公式，考虑到该数列是由一个等差数列和一个等比数列对应
的项相乘得到．因此应采用乘公比错位相减法求其前 n项和．
解：(1)方程 x2－5x＋6＝0的两根为 2,3，由题意得 a2＝2，a4＝3.
设数列{an}的公差为 d，则 a4－a2＝2d，故
1
2
d ，从而 1
3
2
a .
所以{an}的通项公式为
1 1
2na n .
(2)设
2
n
n
a
的前 n项和为 Sn，由(1)知 1
2
2 2
n
n n
a n
，则
2 3 1
3 4 1 2
2 2 2 2n n n
n nS
，
3 4 1 2
1 3 4 1 2
2 2 2 2 2n n n
n nS
.
两式相减，得 3 1 2 1 2
1 3 1 1 2 3 1 1 21
2 4 2 2 2 4 4 2 2n n n n n
n nS
.
所以 1
42
2n n
nS
.
名师点睛：本题考查等差数列的性质，错位相减法求数列的前项和，考查转化能力，计
算能力，中等题.用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比
为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准
确写出“Sn－qSn”的表达式．
【2017 高考题】
1.【2017 课标 1，文 7】设 x，y满足约束条件
3 3,
1,
0,
x y
x y
y
则 z=x+y的最大值为
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【考点】简单线性规划
【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可
将不等式 0 CByAx 转化为 bkxy （或 bkxy ），“”取下方，“”取上方，并明确可行
域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，
是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图
形确定目标函数最值取法、值域范围．
2.【2017 课标 II，文 7】设 ,x y满足约束条件
2 +3 3 0
2 3 3 0
3 0
x y
x y
y
,则 2z x y 的最小值是
A. 15 B. 9 C. D
【答案】A
绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点 6, 3B 处取得最小
值 12 3 15z .故选 A.
【考点】线性规划
【名师点睛】点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：
一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线
的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点
或边界上取得.！网
3.【2017 课标 3，文 5】设 x，y满足约束条件
3 2 6 0
0
0
x y
x
y
，则 z x y 的取值范围是（ ）
A．–3,0] B．–3,2] C．0,2] D．0,3]
【答案】B
【考点】线性规划
【名师点睛】点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：
一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线
的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点
或边界上取得.
4.【2017 北京，文 4】若 ,x y满足
3,
2,
,
x
x y
y x
则 2x y 的最大值为
（A）1 （B）3
（C）5 （D）9
【答案】D
试题分析：如图，画出可行域，
【考点】线性规划
【名师点睛】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的
可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关
键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如 z ax by .
求这类目标函数的最值常将函数 z ax by 转化为直线的斜截式：
a zy x
b b
，通过求直线
的截距
z
b的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如
2 2z x a y b
；（3）斜率型：形
如
y bz
x a
，而本题属于截距形式.
5.【2017 山东，文 3】已知 x,y满足约束条件
2 5 0
3 0
2
x y
x
y
,则 z=x+2y的最大值是
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【答案】D
当其经过直线 2 5 0x y 与 2y 的交点 ( 1,2) 时, 2z x y 最大为 1 2 2 3z ,故选 D.
【考点】线性规划
【名师点睛】(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界,特殊点定域”,
即先作直线,再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组,则不等式(组)表示的平面区域为直
线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；当不等式中带等号时,
边界为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.
(2)利用线性规划求目标函数最值的步骤：①画出约束条件对应的可行域；②将目标函数视为
动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解对应的点；③将最优解代入目标函数,求出最大值
或最小值．
6.【2017 浙江，4】若， y满足约束条件
0
3 0
2 0
x
x y
x y
，则 yxz 2 的取值范围是
A．0，6] B．0，4] C．6， ) D．4， )
【答案】D
试题分析：如图，可行域为一开放区域，所以直线过点 (2,1)时取最小值 4，无最大值，选 D．
xo
y
2
xy
02 yx
03 yx
【考点】 简单线性规划
【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可
将不等式 0 CByAx 转化为 bkxy （或 bkxy ），“”取下方，“”取上方，并明确可行
域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，
是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图
形确定目标函数最值取法、值域范围．
7.【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物 600吨，每次购买吨，运费为 6万元/次，一年
的总存储费
用为 4x万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 ▲ .
【答案】30
【考点】基本不等式求最值
【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基
本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、
“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
8.【2017 天津，文 13】若 a， bR ， 0ab ，则
4 44 1a b
ab
的最小值为 .
【答案】
试题分析：
4 4 2 24 1 4 1 1 14 2 4 4a b a b ab ab
ab ab ab ab
，两次等号成立的条件是
2 22
14
a b
ab
ab
解得：
4
4
8
2
2
2
a
b
，或
4
4
8
2
2
2
a
b
当且仅当 2 1a b 时取等号.
【考点】基本不等式求最值
【名师点睛】本题使用了两次基本不等式，要注意两次使用的条件是不是能同时成立，基本
不等式的常用形式包含 2 2 2 ,a b ab a b R ， 2 ,a b ab a b R ，
2
2
a bab
，
2 2 2
2 2
a b a b
等，基本不等式可以证明不等式，也可以求最值，再求最值时，注意“一
正，二定，三相等”的条件，是不是能取得，否则就不能用其求最值，若是使用 2次，更要
注意两次使用的条件是不是能同时成立.￥网
9.【2017 山东，文】若直线 1( 0 0)x y a b
a b
＞ ， ＞ 过点（1,2）,则 2a+b的最小值为 .
【答案】
【考点】基本不等式
10.【2017 天津，文 16】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.
已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万）
甲 70 5 60
乙 60 5 25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600分钟，广告的总播放时间不少
于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2倍.分别用， y表示每周计
划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
（I）用， y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？
【答案】(Ⅰ)见解+析（Ⅱ）电视台每周播出甲连续剧 6次、乙连续剧 3次时才能使总收视人
次最多.
试题详细分析：（Ⅰ）解：由已知， ,x y满足的数学关系式为
70 60 600,
5 5 30,
2 ,
0,
0,
x y
x y
x y
x
y
即
7 6 60,
6,
2 0,
0,
0,
x y
x y
x y
x
y
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1中的阴影部分：
（Ⅱ）解：设总收视人次为万，则目标函数为 60 25z x y .
考虑 60 25z x y ，将它变形为
12
5 25
zy x ，这是斜率为
12
5
，随变化的一族平行直线.
25
z
为直线在 y轴上的截距，当
25
z
取得最大值时，的值最大.又因为 ,x y满足约束条件，所以由图
2可知，当直线 60 25z x y 经过可行域上的点 M时，截距
25
z
最大，即最大.
解方程组
7 6 60,
2 0,
x y
x y
得点 M的坐标为 (6,3) .
所以，电视台每周播出甲连续剧 6次、乙连续剧 3次时才能使总收视人次最多.
【考点】1.不等式组表示的平面区域；2.线性规划的实际问题.
【名师点睛】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的
可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关
键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如 z ax by .
求这类目标函数的最值常将函数 z ax by 转化为直线的斜截式：
a zy x
b b
，通过求直线
的截距
z
b
的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如 2 2z x a y b ；（3）斜率型：形
如
y bz
x a
，而本题属于截距形式，但要注意实际问题中的最优解是整数.
【2016，2015，2014 高考题】
1. 【2016高考山东文数】若变量 x，y满足
2,
2 3 9,
0,
x y
x y
x
则 x2+y2的最大值是（ ）
（A）4（B）9（C）10（D）12
【答案】C
考点：简单线性规划
【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单
线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、
两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.
2.【2015 高考广东，文 4】若变量，y满足约束条件
2 2
0
4
x y
x y
x
，则 2 3z x y 的最大值为（ ）
A．10 B． C． D．
【答案】C
作出可行域如图所示：
【考点定位】线性规划．
【名师点晴】本题主要考查的是线性规划，属于容易题．线性规划类问题的解题关键是先正
确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标
函数何时取得最值．解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误；
画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．
3. 【2014 高考广东卷.文.4】若变量. y满足约束条件
2 8
0 4
0 3
x y
x
y
,则 2z x y 的最大值等于
( )
A. B. C. 10
D.11
【答案】C
作出不等式组
2 8
0 4
0 3
x y
x
y
所表示的可行域如下图所示,
直线 4x 交直线 2 8x y 于点 4,2A ,作直线 : 2l z x y ,则为直线在 y轴上的截距,当直
线经过可行域上的点 A时,直线在 y轴上的截距最大,此时取最大值,即 max 2 4 2 10z ,故
选 C.
【考点定位】本题考查线性规划中线性目标函数的最值,属于中等题.
【名师点晴】本题主要考查的是线性规划，属于中等题．线性规划类问题的解题关键是先正
确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标
函数何时取得最值．解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误；
画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．
4. 【2015高考湖南，文 7】若实数 ,a b满足
1 2 ab
a b
，则ab的最小值为( )
A、 2 B、2 C、2 2 D、4
【答案】C
【考点定位】基本不等式
【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放
缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果
条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的
和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．
5. 【2015高考湖南，文 4】若变量 x y， 满足约束条件
1
1
1
x y
y x
x
，则 2z x y 的最小值为
( )
A、 1 B、0 C、1 D、2
【答案】A
由约束条
1
1
1
x y
y x
x
作出可行域如图，由图可知，最优解为 A，联立
1 0
0,1
1 1
x y x
A
y x y
＝
＝
,
∴ 2z x y 在点 A处取得最小值为 1 ．故选：A．
【考点定位】简单的线性规划
【名师点睛】求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，
理解目标函数的意义．常见的目标函数有： (1)截距型：形如 z ax by ，求这类目标函数的
最值常将函数 z ax by 转化为直线的斜截式：
1 , ( 0)ay x z b
b b
，通过求直线的截距
z
b
的
最值间接求出的最值． (2)距离型：形如 2 2( ) ( )z x a y b . (3)斜率型：形如
y bz
x a
.
注意：转化的等价性及几何意义．，网
6. 【2014 山东.文 10】 已知 ,x y满足约束条件
1 0
2 3 0
x y
x y
，当目标函数
( 0, 0)z ax by a b 在该约束条件下取到最小值 2 5时， 2 2a b 的最小值为（ ）
A.5 B.4 C. 5 D.2
【答案】 B
考点：简单线性规划的应用，二次函数的图象和性质.
【名师点睛】本题考查简单线性规划、二次函数的图象和性质.此类问题的基本解法是“图表
法”，即通过画可行域及直线 ax＋by=0，平移直线 ax＋by=0，观察其在 y轴的纵截距变化情
况，得出最优解，得到 a,b的关系.要注意 y的系数正负不同时，结论恰好相反.
本题属于小综合题，由以往单纯考查线性规划问题，转变成此类题，增大了解题的难度，也
给人耳目一新的感觉.
7. 【2016高考浙江文数】若平面区域
3 0,
2 3 0,
2 3 0
x y
x y
x y
夹在两条斜率为 1的平行直线之间，则
这两条平行直线间的距离的最
小值是（ ）
A. 3 5
5
B. 2 C. 3 2
2
D. 5
【答案】B
考点：线性规划.
【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据可行域的特点确定取得最值的最优解，代
入计算．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．
8. 【2015 高考陕西，文 11】某企业生产甲乙两种产品均需用 A，B两种原料，已知生产 1
吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产 1吨甲乙产品可获利润分别为 3
万元.4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元
【答案】D
当直线3 4 0x y z 过点 (2,3)A 时，取得最大值 3 2 4 3 18z ，
故答案选D。
【考点定位】线性规划.
【名师点睛】1.本题考查线性规划在实际问题中的应用，在解决线性规划的应用题时，可依
据以下几个步骤：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件和目标函数；
②由约束条件画出可行域；③分析目标函数与直线截距之间的关系；④使用平移直线法
求出最优解；⑤还原到现实问题中.2.本题属于中档题，注意运算的准确性.
9.【2014 全国 2，文 9】设，y满足约束条件
1 0,
1 0,
3 3 0,
x y
x y
x y
则 2z x y 的最大值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
画出可行域，如图所示，将目标函数 2z x y 变形为
1
2 2
zy x ，当取到最大值时，直线
1
2 2
zy x 的纵截距最大，故只需将直线
1
2
y x 经过可行域，尽可能平移到过 A点时，取
到最大值．
1 0
3 3 0
x y
x y
，得 (3, 2)A ，所以 maxz 3 2 2 7 ．
【考点定位】线性规划.
【名师点睛】本题考查了线性规划问题的解法，本题属于基础题，要求学生根据所给二元一
次不等式组画所表示平面区域，然后根据目标函数的几何意义，由图形直观地观察得到目标
函数的最优解，从而求出目标函数的最大值，本题有两个关键点：一是平面区域必须作正确，
且要有一定的精度；二是目标函数的几何意义必须理解正确才能正确作出答案.
10.【2014 四川，文 5】若 0a b ， 0c d ，则一定有（ ）
A． a b
d c
B． a b
d c
C． a b
c d
D． a b
c d
【答案】B
【考点定位】不等式的基本性质.
【 名 师 点 睛 】 不 等 式 的 基 本 性 质 : 同 向 同 正 可 乘 性
0
0
a b
ac bd
c d
,可 推 ：
0
0
a b a b
c d d c
.
11. 【2015高考四川，文 9】设实数 x，y满足
2 10
2 14
6
x y
x y
x y
，则 xy的最大值为( )
(A) 25
2
(B) 49
2
(C)12 (D)14
【答案】A
画出可行域如图
在△ABC区域中结合图象可知
当动点在线段 AC上时 xy取得最大
此时 2x＋y＝10
xy＝ 1
2
(2x·y)≤ 21 2 25( )
2 2 2
x y
当且仅当 x＝ 5
2
，y＝5时取等号，对应点( 5
2
，5)落在线段 AC上，
故最大值为
25
2
选 A
【考点定位】本题主要考查线性规划与基本不等式的基础知识，考查知识的整合与运用，考
查学生综合运用知识解决问题的能力.
A
B
C
y
x0 6 14
10
【名师点睛】本题中，对可行域的处理并不是大问题，关键是“求 xy最大值”中，xy已经不
是“线性”问题了，如果直接设 xy＝k，，则转化为反比例函数 y＝ k
x
的曲线与可行域有公共
点问题，难度较大，且有超出“线性”的嫌疑.而上面解法中，用基本不等式的思想，通过系
数的配凑，即可得到结论，当然，对于等号成立的条件也应该给以足够的重视.属于较难题.
12.【2014 四川，文 6】执行如图 1所示的程序框图，如果输入的 ,x y R ，则输出的 S的最
大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点定位】程序框图与线性规划.
【名师点睛】在解决简单的线性规划问题时，考生作图和确定可行区域一定要细心，本题考
查了考生的数形结合能力和基本运算能力.
13.【2014 全国 1，文 11】设， y满足约束条件
,
1,
x y a
x y
且 z x ay 的最小值为 7，则a
（A）-5 （B）3
（C）-5 或 3 （D）5 或-3
【答案】B
考点：线性规划的应用
【名师点睛】在解决简单的线性规划问题时，考生作图和确定可行区域一定要细心，本题考
查了考生的数形结合能力和基本运算能力.
14.【2015高考浙江，文 6】有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，
且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位： 2m ）分别为 x，y，z，且 x y z ，
三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/ 2m ）分别为 a，b，，且 a b c ．在不同的方案中，最
低的总费用（单位：元）是（ ）
A． ax by cz B． az by cx C． ay bz cx D． ay bx cz
【答案】B
考点：1.不等式性质；2.不等式比较大小.
【名师点睛】本题主要考查不等式的性质以及不等式比较大小.解答本题时要能够对四个选项
利用作差的方式进行比较，确认最小值.本题属于容易题，重点考查学生作差比较的能力.
15. 【2014 高考重庆文第 9题】若 baabba 则）（ ,log43log 24 的最小值是( )
A. 326 B. 327 C. 346
D. 347
【答案】D
试题分析：由题意， 0,ab 且3 4 0a b ，所以 0, 0a b .
又 4 2log 3 4 loga b ab ，所以，3 4a b ab ，所以
4 3 1
a b
.
所以 4 3 4 3 4 37 7 2 7 4 3b a b aa b a b
a b a b a b
,
当且仅当
4 3b a
a b
，即 2 2 3a ， 3 2 3b 时，等号成立.故选 D.
考点：1、对数的运算；2、基本不等式.
【名师点睛】本题考查了对数运算，基本不等式求最值，本题属于中档题，注意使用基本不
等式时的条件，特别是等号成立的条件.
16. 【2015高考重庆，文 10】若不等式组
2 0
2 2 0
2 0
x y
x y
x y m
,表示的平面区域为三角形，且其面
积等于
4
3
，则 m的值为（ ）
(A)-3 (B) 1 (C) 4
3
(D)3
【答案】B
如图， ，
1 1 2 22 2 1 2 2
2 2 3ABC
mS m m m
= 4
3
，
化简得： 2( 1) 4m ，解得 3m ,或 1m ，检验知当 3m 时，已知不等式组不能表示一个
三角形区域，故舍去，所以 1m ;故选 B.
【考点定位】线性规划与三角形的面积.
【名师点睛】本题考查线性规划问题中的二元一次不等式组表示平面区域，利用已知条件将
三角形的面积用含m的代数式表示出来，从而得到关于m的方程来求解.本题属于中档题，注
意运算的准确性及对结果的检验.
17. 【2015高考安徽，文 5】已知 x，y满足约束条件
0
4 0
1
x y
x y
y
，则 yxz 2 的最大值
是（ ）
（A）-1 （B）-2 （C）-5 （D）1
【答案】A
根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图：
令 yxz 2 zxy 2 ，可知在图中 )1,1(A 处， yxz 2 取到最大值-1,故选 A.
【考点定位】本题主要考查了简单的线性规划.
【名师点睛】在解决简单的线性规划问题时，考生作图和确定可行区域一定要细心，本题考
查了考生的数形结合能力和基本运算能力.
18.【2014 天津，文 2】设变量 yx, 满足约束条件
.1
,02
,02
y
yx
yx
则目标函数 yxz 2 的最小
值为（ ）
A.2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
考点：线性规划
【名师点睛】本题考查线性规划解题的基本方法，本题属于基础题,要求依据二元一次不等式
组准确画出可行域，利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义，令 0z ，画出直线
2y x ，在可行域内平移该直线，确定何时取得最大值，找出此时相应的最优解，依据线性
目标函数求出最值，这是最基础的线性规划问题. 线性规划考试题型有两种，一种是求目标
函数的最值或范围，但目标函数变化多样，有截距型、距离型、斜率型等；另一种是线性规
划逆向思维型，提供目标函数的最值，反求参数的范围，本题属于第二类，对可行域提出相
应的要求，求参数的取值范围.
19. 【2015高考天津，文 2】设变量 , yx 满足约束条件
2 0
2 0
2 8 0
x
x y
x y
ì - £
ïï
- £í
ï
+ - £ïî
,则目标函数 3 yz x= + 的
最大值为（ ）
(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14
【答案】C
【考点定位】本题主要考查线性规划知识.
【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束
条件求目标函数的最值,常见的结合方式有:纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,
解决此类问题常利用数形结合,准确作出图形是解决问题的关键.
20.【2014 湖北卷 4】若变量、 y满足约束条件
0,0
2
4
yx
yx
yx
，则 yx 2 的最大值是（ ）
A.2 B.4 C.7 D.8
【答案】C
试题分析：不等式组表示的平面区域如图的四变形OABC（包括边界），解方程组
4
2
yx
yx
得
点 )1,3(B ，令 yxz 2 ，平移直线 yxz 2 经过点B使得取得最大值，即 7132 Maxz .
选 C.
考点：不等式组表示的平面区域，求目标函数的最大值，容易题.学~
【名师点睛】本题考查简单的线性规划，其解题的关键是正确的画出一元二次不等式组所表
示的平面区域，能较好的考查学生准确作图能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力，
体现了高考重视对学生的作图能力和动手能力的培养.
21. 【2014 福建,文 11】已知圆 2 2: 1C x a y b ，设平面区域
7 0,
3 0,
0
x y
x y
y
，若
圆心C ,且圆C与轴相切，则 2 2a b 的最大值为 （ ）
.5 .29 .37 .49A B C D
【答案】C
考点：简单线性规划的应用，直线与圆的位置关系.
【名师点睛】本题主要考查圆的基础知识及线性规划问题，线性规划也是高考中常考的知识
点,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的
距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合思想.
22.【2015高考福建，文 5】若直线 1( 0, 0)x y a b
a b
过点 (1,1)，则a b 的最小值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
由 已 知 得
1 1 1
a b
， 则
1 1=( )( )a b a b
a b
2 +b a
a b
， 因 为 0, 0a b ， 所 以
+ 2 =2b a b a
a b a b
，故 4a b ，当 =b a
a b
，即 2a b 时取等号．
【考点定位】基本不等式．
【名师点睛】本题以直线方程为背景考查基本不等式，利用直线过点寻求变量 ,a b关系，进
而利用基本不等式求最小值，要注意使用基本不等式求最值的三个条件“正，等，定”，属
于中档题．+网
23.【2015高考福建，文 10】变量 ,x y满足约束条件
0
2 2 0
0
x y
x y
mx y
，若 2z x y 的最大值为
2，则实数m等于（ ）
A． 2 B． 1 C． D．
【答案】C
【考点定位】线性规划．
【名师点睛】本题考查含参数的线性规划问题，首先要对目标函数进行分析，什么时候目标
函数取到最大值，其次要对m的符号讨论，以确定可行域，解该类题目时候，往往还要将目
标直线的斜率和可行域边界的斜率比较，否则很容易出错．
24. (2014课标全国Ⅰ，文 11)设 x，y满足约束条件
,
1,
x y a
x y
且 z＝x＋ay的最小值为 7，则
a＝( )．
A．－5 B．3 C．－5或 3 D．5或－3
答案：B
详细分析：当 a＝0时显然不满足题意．
当 a＞0时，画出可行域(如图(1)所示的阴影部分)，
又 z＝x＋ay，所以
1 1y x z
a a
，因此当直线
1 1y x z
a a
经过可行域中的
1 1,
2 2
a aA
时，
z取最小值，于是
1 1 7
2 2
a aa
，解得 a＝3(a＝－5舍去)；
当 a＜0时，画出可行域(如图(2)所示的阴影部分)，
又 z＝x＋ay，所以
1 1y x z
a a
，显然直线
1 1y x z
a a
的截距没有最大值，即 z没有最小
值，不合题意．
综上，a的值为 3，故选 B.
图(1)
图(2)
名师点睛：本题考查不等式组表示的平面区域，简单的线性规划，考查分析转化能力，数形
结合思想，分类讨论思想，中等题.
利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域；
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．
二、填空题
1. 【2016高考新课标 2文数】若 x，y满足约束条件
1 0
3 0
3 0
x y
x y
x
，则 2z x y 的最小值为
__________
【答案】 5
考点： 简单的线性规划.
【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域；
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．
2. 2016 高考新课标Ⅲ文数]若 ,x y满足约束条件
2 1 0,
2 1 0,
1,
x y
x y
x
则 2 3 5z x y 的最大值为
_____________.
【答案】 10
考点：简单的线性规划问题．
【技巧点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域．将约束条件中的每
一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；
(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果．—网
3.【2014 高考北京文第 13 题】若、y满足
1
1 0
1 0
y
x y
x y
，则 3z x y 的最小值为 .
【答案】1
画出不等式组表示的平面区域，可知区域为三角形，平移直线 3z x y 可得：当直线经过
两直线 1y 与 1 0x y 的交点（0，1）时，取得最小值为 1.
考点：本小题主要考查在约束条件下的简单的目标函数的最值问题，正确画图与平移直线是
解答这类问题的关键。
4. 【2015 高考北京，文 13】如图， C 及其内部的点组成的集合记为D， ,x y 为D中
任意一点，则 2 3z x y 的最大值为 ．
【答案】
【考点定位】线性规划.
【名师点晴】本题主要考查的是线性规划，属于容易题．线性规划类问题的解题关键是先正
确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标
函数何时取得最值．解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误．
5. 【2016高考新课标 1文数】某高科技企业生产产品 A和产品 B需要甲、乙两种新型材料.
生产一件产品 A需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5个工时；生产一件产品 B需要甲材料 0.5kg,
乙材料 0.3kg,用 3个工时,生产一件产品 A的利润为 2100元,生产一件产品 B的利润为 900元.
该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600个工时的条件下,生产产品 A、产品 B
的利润之和的最大值为 元.
【答案】 216000
试题分析：设生产产品 A、产品 B分别为、 y件,利润之和为元,那么
1.5 0.5 150,
0.3 90,
5 3 600,
0,
0.
x y
x y
x y
x
y
①
目标函数 2100 900z x y .
二元一次不等式组①等价于
3 300,
10 3 900,
5 3 600,
0,
0.
x y
x y
x y
x
y
②
作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.
将 2100 900z x y 变形,得 7
3 900
zy x ,平行直线
7
3
y x ,当直线
7
3 900
zy x 经过点M
时, 取得最大值.解方程组
10 3 900
5 3 600
x y
x y
,得M 的坐标 (60,100) .
所以当 60x , 100y 时, max 2100 60 900 100 216000z .
故生产产品 A、产品 B的利润之和的最大值为 216000元.
考点：线性规划的应用
【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束
条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,
解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.
6. 【2015 高考广东，文 11】不等式 2 3 4 0x x 的解集为 ．（用区间表示）
【答案】 4,1
【考点定位】一元二次不等式．
【名师点晴】本题主要考查的是一元二次不等式，属于容易题．解题时要注意 2x 的系数是否
为正数，如果 2x 的系数是负数，一定要化为正数，否则很容易出现错误．
7. 【 2014 湖南文 13】若变量 yx， 满足约束条件
1
4
y
yx
xy
，则 yxz 2 的最大值为
_________.
【答案】
3,1 处取得最大值,故填.
【考点定位】线性规划
【名师点睛】有关线性规划的题目主要是根据所给不等式组得到对应的可行域，然后根据目
标函数满足的条件结合其对应的几何意义进行发现计算即可. 常见的目标函数有： (1)截距
型：形如 z ax by ，求这类目标函数的最值常将函数 z ax by 转化为直线的斜截式：
1 , ( 0)ay x z b
b b
，通过求直线的截距
z
b
的最值间接求出的最值． (2)距离型：形如
2 2( ) ( )z x a y b . (3)斜率型：形如
y bz
x a
.注意：转化的等价性及几何意义．
8. 【2016 高考上海文科】若 ,x y满足
0,
0,
1,
x
y
y x
则 2x y 的最大值为_______.
【答案】 2
试题分析：由不等式组画出可行域，如图，令 yxz 2 ，当直线 zxy
2
1
2
1
经过点 )1,0(P 时，
取得最大值，且为 2 .
O
x
y
P
考点：简单线性规划
【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单
线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、
两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.&网
9.【2015高考山东，文 12】 若 ,x y满足约束条件
1
3,
1
y x
x y
y
则 3z x y 的最大值为 .
【答案】
【考点定位】简单线性规划.
【名师点睛】本题考查了简单线性规划的应用，解答本题的关键，是掌握方法，准确画图，
细心计算.
本题属于基础题，是简单线性规划问题中最为简单的一种求最值问题，在考查相关基础知识
的同时，较好地考查了考生的作图能力及运算能力.
10. 【2016 高考上海文科】设 xR ，则不等式 3 1x 的解集为_______.
【答案】 (2,4)
试题分析：由题意得： 1 3 1x ，即 2 4x ，故解集为 (2,4)
考点：绝对值不等式的基本解法.
【名师点睛】解绝对值不等式，关键是去掉绝对值符号，进一步求解，本题也可利用两边平
方的方法
.本题较为容易.
11.【2014 全国 1，文 15】设函数
1
1
3
, 1,
, 1,
xe x
f x
x x
则使得 2f x 成立的的取值范围是
________.
【答案】 ( ,8]
考点：1.分段函数;2.解不等式
【名师点睛】本题考查不等式的解法,考查分段函数，以及分类讨论思想，在分类讨论过程中，
要注意每种情况的前提条件，本题同时考查学生的计算能力.
12. 【2015 高考新课标 1，文 15】若 x,y满足约束条件
2 0
2 1 0
2 2 0
x y
x y
x y
,则 z=3x+y的最大值
为 ．
【答案】4
作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线：3 0x y ，平移直线，当直线:z=3x+y过点 A
时，z取最大值，由
2=0
2 1=0
x y
x y
解得 A（1,1），∴z=3x+y的最大值为 4.
考点：简单线性规划解法
【名师点睛】对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用 z的几何意义，结合
可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，
要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直
线型和斜率型.
13. 【2014 年.浙江卷.文 12】若、 y满足和
2 4 0
1 0
1
x y
x y
x
，则 yx 的取值范围是________.
【答案】 ]3,1[
考点：不等式组表示的平面区域，求目标函数的最值，容易题.
【名师点睛】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的
可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关
键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：(1)截距型：形如 z＝ax＋
by.求这类目标函数的最值常将函数 z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－
a
b
x＋ z
b
，通过求
直线的截距
z
b
的最值间接求出 z的最值．(2)距离型：形如 z＝(x－a)2＋(y－b)2.(3)斜率型：形
如 z＝ y b
x a
.
14．【2015高考浙江，文 14】已知实数 x， y满足 2 2 1x y ，则 2 4 6 3x y x y 的最大
值是 ．
【答案】15
2 2 , 2 2
2 4 6 3
10 3 4 , 2 2
x y y x
z x y x y
x y y x
由图可知当 2 2y x 时，满足的是如图的 AB劣弧，则 2 2z x y 在点 (1,0)A 处取得最大值；
当 2 2y x 时，满足的是如图的 AB优弧，则 10 3 4z x y 与该优弧相切时取得最大值，故
10
1
5
z
d
，所以 15z ，故该目标函数的最大值为15 .
【考点定位】1.简单的线性规划；
【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划.根据条件，利用分类讨论，确定目标函数的情况，
画出可行域，根据线性规划的特点，确定取得最值的最优解，代入计算.本题属于中等题，主
要考查学生数形结合的能力以及分类讨论思想./网
15. 【2014 年.浙江卷.文 16】已知实数、、满足 0 cba ， 1222 cba ，则的最大值为
为_______.
【答案】
3
6
由 0)12(244 22 aa ，解得
3
6
3
6
a ，
故实数的最大值为
3
6
.
考点：一元二次方程的根的判别式，容易题.
【名师点睛】本题主要考查一元二次函数的性质，解决问题的关键是根据所给条件进行转化
为关于 b为自变量，a 为参数的一元二次方程，其有解的条件是判别式非负，然后求解不等
式得到 a的范围，从而求得 a的最大值.体现了转化思想的应用.
16.【2015 高考重庆，文 14】设 , 0, 5a b a b> + = ,则 1+ +3a b+ 的最大值为________.
【答案】 23
【考点定位】基本不等式.
【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式 2 22ab a b 转化为
2 22( )a b a b （a>0,b>0 且当且仅当 a=b 时取“=”）再利用此不等式来求解.本题属于中
档题，注意等号成立的条件.
17. 【2014，安徽文 13】不等式组
2 0
2 4 0
3 2 0
x y
x y
x y
表示的平面区域的面积为________．
【答案】
试 题 分 析 ： 不 等 式 组 所 表 示 的 平 面 区 域 如 下 图 阴 影 部 分 ， 则 其 表 示 的 面 积
1 12 2 2 2 4
2 2ABCD ABD BCDS S S ．
考点：1．线性规划表示的区域面积．
【名师点睛】线性规划问题中的可行域，实质上就是一个二元一次不等式组表示的平面区域，
因而解决简单线性规划问题是以二元一次不等式（组）表示平面区域的知识为基础的.求平面
区域的面积，要先根据条件画出所表达的区域，再根据区域的形状求其面积.
18.【2015高考天津，文 12】已知 0, 0, 8,a b ab 则当 a的值为 时 2 2log log 2a b
取得最大值.
【答案】4
【考点定位】本题主要考查对数运算法则及基本不等式应用.
【名师点睛】在利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件,注意
创造“定”这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理,使之可用基本不等式
来解决,若多次使用基本不等式,必须保持每次取等的一致性.
19.【2014 湖北卷 15】如图所示，函数 )(xfy 的图象由两条射线和三条线段组成.若 Rx ，
)1()( xfxf ，则正实数的取值范围是 .
【答案】 )
6
1,0(
试题分析：依题意，
1)3(3
0
aa
a
，解得
6
10 a ，即正实数的取值范围是 )
6
1,0( .
考点：函数的奇函数图象的的性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等.@网
【名师点睛】将含绝对值的函数、函数的奇偶性、分段函数和不等式等内容联系在一起，凸
显了知识之间的联系性、综合性，体现了函数思想、转化与化归的数学思想在函数问题中的
应用，能较好的考查学生的作图能力和综合能力.其解题的关键是正确地画出分段函数的图像
并通过函数图像建立不等关系.
20. 【2015 高考湖北，文 12】若变量 ,x y 满足约束条件
4,
2,
3 0,
x y
x y
x y
则 3x y 的最大值是
_________．
【答案】10 .
首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后根据图像可得: 目标
函数 3z x y 过点 (3,1)B 取得最大值，即 max 3 3 1 10z ，故应填10 .
【考点定位】本题考查线性规划的最值问题，属基础题.
【名师点睛】这是一道典型的线性规划问题，重点考查线性规划问题的基本解决方法，体现
了数形结合的思想在数学解题中重要性和实用性，能较好的考查学生准确作图能力和灵活运
用基础知识解决实际问题的能力.
21. 【2014上海,文 6】若实数 x,y满足 xy=1,则 2x + 22y 的最小值为______________.
【答案】 2 2
【考点】基本不等式.
【名师点睛】
1．活用几个重要的不等式
a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；b
a
＋
a
b
≥2(a，b同号)．
ab≤
a＋b
2 2(a，b∈R)；
a＋b
2 2≤
a2＋b2
2
(a，b∈R)．
2．巧用“拆”“拼”“凑”
在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中
“正”“定”“等”的条件．
22. 【2014 湖北卷 16】某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时
间内测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度（假设车辆以相同速度行驶，单位：米/
秒）平均车长（单位：米）的值有关，其公式为
lvv
vF
2018
76000
2
（1）如果不限定车型， 05.6l ，则最大车流量为_______辆/小时；
（2）如果限定车型， 5l ，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加 辆/小时.
【答案】（1）1900；（2）100
试题分析：（1）当 05.6l 时，则 1900
181212
76000
18121
76000
12118
76000
2
v
vv
vvv
vF ，
当且仅当
v
v 121
即 11v （米/秒）时取等号.
（2）当 5l 时，则 2000
181002
76000
18100
76000
10018
76000
2
v
vv
vvv
vF ，
当且仅当
v
v 100
即 10v （米/秒）时取等号，
此时最大车流量比（1）中的最大车流量增加 100 辆/小时.
考点：基本不等式的实际运用，难度中等.
【名师点睛】以实际问题为背景，以函数为依托，重点考查基本不等式的应用，充分体现了
数学知识间的内在联系，能较好的考查学生对基本知识的识记能力和灵活运用能力.其解题的
关键是对已知函数进行适当的变形，以满足基本不等式应用的条件.
23. 【2014辽宁文 14】已知 x，y满足条件
2 2 0
2 4 0
3 3 0
x y
x y
x y
，则目标函数 3 4z x y 的最大值
为 .
【答案】18
【考点定位】线性规划．
【名师点睛】本题考查简单线性规划.此类问题的基本解法是“图表法”，即通过画可行域及
直线3 4 0x y ，平移直线3 4 0x y ，观察其在 y轴的纵截距变化情况，做出结论.要注意
y 的系数正负不同时，结论恰好相反.
本题属于基础题，也是常见题目，故考生易于正确解答.
24. 【2015 新课标 2 文 14】若 x,y 满足约束条件
5 0
2 1 0
2 1 0
x y
x y
x y
,则 z=2x+y 的最大值
为 ．
【答案】8
【考点定位】本题主要考查线性规划知识及计算能力.
【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束
条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,
解决此类问题常利用数形结合.
三、解答题
1. 【2016 高考天津文数】(本小题满分 13分)
某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要 A,B,C三种主要原料.生产 1车皮甲种肥料和生产 1
车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
现有 A 种原料 200吨，B种原料 360 吨，C种原料 300吨，在此基础上生产甲乙两种
肥料.已知生产 1车皮甲种肥料，产生的利润为 2万元；生产 1车皮乙种肥料，产生的
利润为 3万元.分别用 x,y表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.
(Ⅰ)用 x,y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利
润.
【答案】（Ⅰ）详见解+析（Ⅱ）生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最
大利润为112万元
试题详细分析：（Ⅰ）解：由已知 yx, 满足的数学关系式为
0
0
300103
36058
20054
y
x
yx
yx
yx
，该二元一次不等
式组所表示的区域为图 1中的阴影部分.
（Ⅱ）解：设利润为万元，则目标函数 yxz 32 ，这是斜率为
3
2
，随变化的一族平行直线.
3
z
为直线在 y轴上的截距，当
3
z
取最大值时，的值最大.又因为 yx, 满足约束条件，所以由图 2
可知，当直线 yxz 32 经过可行域中的点M 时，截距
3
z
的值最大，即的值最大.解方程组
300103
20054
yx
yx
得点M 的坐标为 )24,20(M ，所以 112243202max z .
答：生产甲种肥料 20车皮，乙种肥料 24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.
考点：线性规划
【名师点睛】解线性规划应用问题的一般步骤是：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性
约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答．而求线性规划最值问
题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目
标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距
离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法.
