2018高考数学第05周解三角形周末培优文新人教A版

2018高考数学第05周解三角形周末培优文新人教A版

第05周 解三角形 ‎（测试时间：60分钟，总分：90分）‎ 班级：____________ 姓名：____________ 座号：____________ 得分：____________‎ 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．在中，角的对边分别为，且，则 A．或 B． ‎ C． D．或 ‎【答案】A ‎【解析】∵，∴，∴，∵，∴或，故本题选A.‎ ‎2．在中，角的对边分别为，若，，则 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由余弦定理得，‎ ‎,故选B.‎ ‎3．若的内角所对的边分别为，已知，且，则等于 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，选B.‎ ‎【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.‎ 第三步：求结果.‎ ‎4．在中，，，分别为角，，的对边，若，，则角的最大值为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，又,时等号成立.所以时为最大值.选C．‎ ‎5．在中，角所对的边分别是，若，且，，则的面积为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎6．在中，角的对边分别为，，这个三角形的面积为，则外接圆的直径是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【名师点睛】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理、余弦定理的综合应用，属于基础题；由已知利用三角形面积公式可解得，由余弦定理即可求得的值，利用正弦定理即可得外接圆的直径.‎ ‎7．在中，若，,则一定是 A．钝角三角形 B．正三角形 ‎ C．等腰直角三角形 D．非等腰直角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】在中,∵,∴由正弦定理可得‎2a=b+c,且a2=bc.‎ 再由余弦定理可得：,.‎ 再根据，可得b=c，故一定是等边三角形，故本题选择B选项.‎ ‎【名师点睛】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．‎ ‎8．在锐角中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ 故选A.‎ ‎【名师点睛】解三角形问题的两重性：‎ ‎①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；‎ ‎②它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”(即“统一角、统一函数、统一结构”)是使问题获得解决的突破口．‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎9．在中，角的对边分别为，若，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，则由余弦定理得.‎ ‎10．已知的内角所对的边分别为，若，，则=____________.‎ ‎【答案】‎ ‎11．如果满足，，的恰有一个，则实数的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由正弦定理有：，则，，结合图象可得，当时满足题意，此时.‎ ‎12．的三个内角的对边长分别为，是的外接圆半径，则下列四个条件：‎ ‎（1）； （2）；‎ ‎（3）； （4）.‎ 有两个结论：‎ 甲：是等边三角形； 乙：是等腰直角三角形.‎ 请你选出给定的四个条件中的两个作为条件，两个结论中的一个作为结论，写出一个你认为正确的命题是__________．‎ ‎【答案】（1）（2）甲或（2）（4）乙或（3）（4）乙 ‎【解析】以（1）（2）作为条件，甲为结论，得到的命题为真命题，理由如下：‎ 由，变形得：,即，‎ 则，又C为三角形的内角，∴C=60°，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴B−C=0，即B=C，则A=B=C=60°，∴是等边三角形；‎ 以（2）（4）作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由如下：‎ 化简得：，‎ 即，‎ ‎∵，∴B−C=0，即B=C，∴b=c，‎ 由正弦定理得：，‎ 代入得：，‎ 整理得：,又b=c，∴，即，∴，∴a2=2b2,‎ 又，∴a2=b2+c2，∴，则三角形为等腰直角三角形；‎ 以（3）（4）作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由如下：‎ 由正弦定理得：，‎ 代入得：，‎ 整理得：,即，又，‎ ‎,‎ 由，根据正弦定理得，‎ ‎∴，即，∴，∴，则三角形为等腰直角三角形.‎ 故正确的命题是：（1）（2）甲或（2）（4）乙或（3）（4）乙.‎ 三、解答题（本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎13．在中，角的对边分别为，且满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，的面积为，求的周长.‎ ‎【答案】（1）;（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，‎ ‎∴，‎ 由正弦定理可得：，‎ ‎∴.‎ 又角为内角，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 又，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由，得，‎ 又，‎ ‎∴，‎ 所以的周长为．‎ ‎14．已知锐角中内角所对边的边长分别为，满足，且 ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）设函数，且图象上相邻两最高点间的距离为，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）;（2）‎ ‎【解析】（1）因为，由余弦定理知，‎ 所以，‎ 又因为,则由正弦定理得：，‎ 所以，‎ 所以 ‎（2）‎ ‎，‎ 由已知，则，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以 所以,‎ 所以即的取值范围是 ‎ ‎15．如图所示，是某海湾旅游区的一角，为营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定建立面积为平分千米的三角形主题游戏乐园，并在区域建立水上餐厅.‎ 已知，.‎ ‎（1）设，，用表示，并求的最小值；‎ ‎（2）设（为锐角），当最小时，用表示区域的面积，并求的最小值.‎ ‎【答案】（1）的最小值为;（2）,的最小值为.‎ ‎（2）由（1）可知，，‎ 所以，‎ 在中，由正弦定理，，‎ 在中，由正弦定理，，‎ 所以，．‎ 因为θ为锐角，‎ 所以当时，S有最小值． ‎