高考数学模拟试卷衡中

高考数学模拟试卷衡中

‎2018年衡中高考数学全真模拟试卷（理科）‎ 第1卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．（5分）（2018•衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（　　）‎ A．∅ B．（0，1） C．[0，1） D．[0，1]‎ ‎2．（5分）（2018•衡中模拟）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=0.2，则P（3＜ξ≤4）=（　　）‎ A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.2‎ ‎3．（5分）（2018•衡中模拟）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（　　）‎ A．1 B．﹣1 C． D．‎ ‎4．（5分）（2018•衡中模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x ‎5．（5分）（2018•衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（　　）‎ A． B．2 C． D．1‎ ‎6．（5分）（2018•衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎7．（5分）（2018•衡中模拟）等差数列{an}中，a3=7，a5=11，若bn=，则数列{bn}的前8项和为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（5分）（2018•衡中模拟）已知（x﹣3）10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a8=（　　）‎ A．45 B．180 C．﹣180 D．720‎ ‎9．（5分）（2018•衡中模拟）如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为（　　）‎ A．16 B．8+6 C．16 D．16+6‎ ‎10．（5分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P为椭圆上一动点，椭圆内部点M（﹣1，3）满足PF+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）（2018•衡中模拟）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx恒有一个零点，则k的取值范围为（　　）‎ A．k≤0 B．k≤0或k≥1 C．k≤0或k≥e D．k≤0或k≥‎ ‎12．（5分）（2018•衡中模拟）已知数列{an}的通项公式为an=﹣2n+p，数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣4，设cn=，若在数列{cn}中c6＜cn（n∈N*，n≠6），则p的取值范围（　　）‎ A．（11，25） B．（12，22） C．（12，17） D．（14，20）‎ 第2卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）‎ ‎13．（5分）（2018•衡中模拟）若平面向量、满足||=2||=2，|﹣|=，则在上的投影为　　　　．‎ ‎14．（5分）（2018•衡中模拟）若数列{an}满足a1=a2=1，an+2=，则数列{an}前2n项和S2n=　　　　．‎ ‎15．（5分）（2018•衡中模拟）若直线ax+（a﹣2）y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为　　　　．‎ ‎16．（5分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2（a＜﹣1）对任意的x1、x2＞0，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，则a的取值范围为　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）（2018•衡中模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0‎ ‎（1）求C的大小；‎ ‎（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．‎ ‎18．（12分）（2018•衡中模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；‎ ‎（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．‎ ‎19．（12分）（2018•衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（A）指针所对的区域为x，转盘（B）指针所对的区域为y，x、y∈{1，2，3}，设x+y的值为ξ．‎ ‎（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；‎ ‎（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．‎ ‎20．（12分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点为（﹣1，）．过椭圆E内一点P（1，）的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）当λ变化时，kAB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．‎ ‎21．（12分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．‎ ‎（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围．‎ ‎　‎ ‎[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．（10分）（2018•衡中模拟）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：DE∥AB；‎ ‎（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．（2018•衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=|x﹣l|+|x﹣3|．‎ ‎（I）解不等式f（x）≤6；‎ ‎（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．（5分）（2018•衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（　　）‎ A．∅ B．（0，1） C．[0，1） D．[0，1]‎ ‎【解答】解：A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，B={y|y=|x|≥0}，‎ 则A∩B=[0，1），‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2018•衡中模拟）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=0.2，则P（3＜ξ≤4）=（　　）‎ A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.2‎ ‎【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（3，σ2），‎ ‎∴μ=3，得对称轴是x=3．‎ ‎∵P（ξ＞4）=0.2‎ ‎∴P（3＜ξ≤4）=0.5﹣0.2=0.3．‎ 故选：C ‎　‎ ‎3．（5分）（2018•衡中模拟）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（　　）‎ A．1 B．﹣1 C． D．‎ ‎【解答】解：复数z=，‎ 可得=﹣=cos+isin．‎ 则3=cos4π+isin4π=1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2018•衡中模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x ‎【解答】解：如图若∠PFQ=π，‎ 则由对称性得∠QFO=，‎ 则∠QOx=，‎ 即OQ的斜率k==tan=，‎ 则双曲线渐近线的方程为y=±x，‎ 故选：B ‎　‎ ‎5．（5分）（2018•衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（　　）‎ A． B．2 C． D．1‎ ‎【解答】解：∵2πr1=，∴r1=，同理，‎ ‎∴r1+r2+r3=1，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2018•衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【解答】解：第一次循环，sin＞sin0，即1＞0成立，a=1，T=1，k=2，k＜6成立，‎ 第二次循环，sinπ＞sin，即0＞1不成立，a=0，T=1，k=3，k＜6成立，‎ 第三次循环，sin＞sinπ，即﹣1＞0不成立，a=0，T=1，k=4，k＜6成立，‎ 第四次循环，sin2π＞sin，即0＞﹣1成立，a=1，T=1+1=2，k=5，k＜6成立，‎ 第五次循环，sin＞sin2π，即1＞0成立，a=1，T=2+1=3，k=6，k＜6不成立，输出T=3，‎ 故选：B ‎　‎ ‎7．（5分）（2018•衡中模拟）等差数列{an}中，a3=7，a5=11，若bn=，则数列{bn}的前8项和为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，a3=7，a5=11，‎ ‎∴，‎ 解得a1=3，d=2，‎ ‎∴an=3+2（n﹣1）=2n+1，‎ ‎∴，‎ ‎∴b8=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2018•衡中模拟）已知（x﹣3）10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a8=（　　）‎ A．45 B．180 C．﹣180 D．720‎ ‎【解答】解：（x﹣3）10=[（x+1）﹣4]10，‎ ‎∴，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2018•衡中模拟）如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为（　　）‎ A．16 B．8+6 C．16 D．16+6‎ ‎【解答】解：由三视图可知该三棱锥为边长为2，4，4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体．‎ 三棱锥的三条边长分别为，‎ ‎∴表面积为4×=16．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P为椭圆上一动点，椭圆内部点M（﹣1，3）满足PF+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：设右焦点为Q，‎ 由F（﹣3，0），可得Q（3，0），‎ 由椭圆的定义可得|PF|+|PQ|=2a，‎ 即|PF|=2a﹣|PQ|，‎ 则|PM|+|PF|=2a+（|PM|﹣|PQ|）≤2a+|MQ|，‎ 当P，M，Q共线时，取得等号，即最大值2a+|MQ|，‎ 由|MQ|==5，可得2a+5=17，‎ 所以a=6，‎ 则e===，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2018•衡中模拟）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx恒有一个零点，则k的取值范围为（　　）‎ A．k≤0 B．k≤0或k≥1 C．k≤0或k≥e D．k≤0或k≥‎ ‎【解答】解：由y=f（x）﹣kx=0得f（x）=kx，‎ 作出函数f（x）和y=kx的图象如图，‎ 由图象知当k≤0时，函数f（x）和y=kx恒有一个交点，‎ 当x≥0时，函数f（x）=ln（x+1）的导数f′（x）=，则f′（0）=1，‎ 当x＜0时，函数f（x）=ex﹣1的导数f′（x）=ex，则f′（0）=e0=1，‎ 即当k=1时，y=x是函数f（x）的切线，‎ 则当0＜k＜1时，函数f（x）和y=kx有3个交点，不满足条件．‎ 当k≥1时，函数f（x）和y=kx有1个交点，满足条件．‎ 综上k的取值范围为k≤0或k≥1，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2018•衡中模拟）已知数列{an}的通项公式为an=﹣2n+p，数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣4，设cn=，若在数列{cn}中c6＜cn（n∈N*，n≠6），则p的取值范围（　　）‎ A．（11，25） B．（12，22） C．（12，17） D．（14，20）‎ ‎【解答】解：∵an﹣bn=﹣2n+p﹣2n﹣4，‎ ‎∴an﹣bn随着n变大而变小，‎ 又∵an=﹣2n+p随着n变大而变小，‎ bn=2n﹣4随着n变大而变大，‎ ‎∴，‎ ‎（1）当 ‎（2）当，‎ 综上p∈（14，20），‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）‎ ‎13．（5分）（2018•衡中模拟）若平面向量、满足||=2||=2，|﹣|=，则在上的投影为　﹣1　．‎ ‎【解答】解：根据条件，‎ ‎=‎ ‎=7；‎ ‎∴；‎ ‎∴在上的投影为．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2018•衡中模拟）若数列{an}满足a1=a2=1，an+2=，则数列{an}前2n项和S2n=　2n+n2﹣1　．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}满足a1=a2=1，an+2=，‎ ‎∴n=2k﹣1时，a2k+1﹣a2k﹣1=2，为等差数列；‎ n=2k时，a2k+2=2a2k，为等比数列．‎ ‎∴．‎ 故答案为：2n+n2﹣1．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2018•衡中模拟）若直线ax+（a﹣2）y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为　2　．‎ ‎【解答】解：由ax+（a﹣2）y+4﹣a=0得a（x+y﹣1）+4﹣2y=0，‎ 则得，即直线恒过C（﹣1，2），‎ 若将区域分成面积相等的两部分，则直线过AB的中点D，‎ 由得，即A（1，6），‎ ‎∵B（3，0），∴中点D（2，3），代入a（x+y﹣1）+4﹣2y=0，‎ 得4a﹣2=0，‎ 则，则的几何意义是区域内的点到点（﹣2，0）的斜率，‎ 由图象过AC的斜率最大，此时最大值为2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2（a＜﹣1）对任意的x1、x2＞0，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，则a的取值范围为　（﹣∞，﹣2]　．‎ ‎【解答】解：由f′（x）=+x，‎ 得f′（1）=3a+1，‎ 所以f（x）=（a+1）lnx+ax2，（a＜﹣1）在（0，+∞）单调递减，不妨设0＜x1＜x2，‎ 则f（x1）﹣f（x2）≥4x2﹣4x1，即f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，‎ 令F（x）=f（x）+4x，F′（x）=f′（x）+4=+2ax+4，‎ 等价于F（x）在（0，+∞）上单调递减，‎ 故F'（x）≤0恒成立，即+2ax+4≤0，‎ 所以恒成立，‎ 得a≤﹣2．‎ 故答案为：（﹣∞，﹣2]．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）（2018•衡中模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0‎ ‎（1）求C的大小；‎ ‎（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．‎ ‎【解答】解：（1）cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0‎ 可得：cosBsinC﹣（a﹣sinB）cosC=0‎ 即：sinA﹣acosC=0．‎ 由正弦定理可知：，‎ ‎∴，c=1，‎ ‎∴asinC﹣acosC=0，‎ sinC﹣cosC=0，可得sin（C﹣）=0，C是三角形内角，‎ ‎∴C=．‎ ‎（2）由余弦定理可知：c2=a2+b2﹣2abcosC，‎ 得1=a2+b2﹣ab 又，‎ ‎∴，‎ 即：．‎ 当时，a2+b2取到最大值为2+．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2018•衡中模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；‎ ‎（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．‎ ‎【解答】证明：（1）取PC的中点E，则连接DE，‎ ‎∵ME是△PBC的中位线，‎ ‎∴ME，又AD，‎ ‎∴MEAD，‎ ‎∴四边形AMED是平行四边形，∴AM∥DE．‎ ‎∵PA=AB，M是PB的中点，‎ ‎∴AM⊥PB，‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，‎ ‎∴BC⊥平面PAB，∵AM⊂平面PAB，‎ ‎∴BC⊥AM，‎ 又PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，PB∩BC=B，‎ ‎∴AM⊥平面PBC，∵AM∥DE，‎ ‎∴DE⊥平面PBC，又DE⊂平面PCD，‎ ‎∴平面PBC⊥平面PCD．‎ ‎（2）以A为原点，以AD，AB，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：‎ 则A（0，0，0），B（0，2，0），M（0，1，1），P（0，0，2），C（2，2，0），D（1，0，0）．‎ ‎∴=（1，2，0），=（0，1，1），=（1，0，0），‎ ‎∴=λ=（λ，2λ，0），=（λ+1，2λ，0），‎ ‎==（λ+1，2λ﹣1，﹣1）．‎ ‎∵AD⊥平面PAB，∴为平面PAB的一个法向量，‎ ‎∴cos＜＞====‎ ‎=‎ 设MN与平面PAB所成的角为θ，则sinθ=．‎ ‎∴当 即时，sinθ取得最大值，‎ ‎∴MN与平面PAB所成的角最大时．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2018•衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（A）指针所对的区域为x，转盘（B）指针所对的区域为y，x、y∈{1，2，3}，设x+y的值为ξ．‎ ‎（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；‎ ‎（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．‎ ‎【解答】解：（1）记转盘A指针指向1，2，3区域的事件为A1，A2，A3，‎ 同理转盘B指针指向1，2，3区域的事件为B1，B2，B3，‎ ‎∴P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，‎ P（B1）=，P（B2）=，P（B3）=，‎ P=P（A1）P（1﹣P（B1））‎ ‎=×（1﹣）==．…（5分）‎ ‎（2）由已知得ξ的可能取值为2，3，4，5，6，‎ P（ ξ=2）=P（A1）P（B1）===，‎ P（ξ=3）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1）==，‎ P（ξ=4）=P（A1）P（B3）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B1）==，‎ P（ ξ=5）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2）=+=，‎ P（ξ=6）=P（A3）P（B3）==，‎ ‎∴ξ的分布列为：‎ ξ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P Eξ==．…（12分）‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点为（﹣1，）．过椭圆E内一点P（1，‎ ‎）的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）当λ变化时，kAB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设M（m1，n1）、N（m2，n2），则，‎ 两式相减，‎ 故a2=3b2…（2分）‎ 当直线AP平行于x轴时，设|AC|=2d，‎ ‎∵，，则，解得，‎ 故点A（或C）的坐标为．‎ 代入椭圆方程，得…4分 a2=3，b2=1，‎ 所以方程为…（6分）‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4）‎ 由于，可得A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），‎ ‎…①‎ 同理可得…②…（8分）‎ 由①②得：…③‎ 将点A、B的坐标代入椭圆方程得，‎ 两式相减得（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，‎ 于是3（y1+y2）kAB=﹣（x1+x2）…④‎ 同理可得：3（y3+y4）kCD=﹣（x3+x4），…（10分）‎ 于是3（y3+y4）kAB=﹣（x3+x4）（∵AB∥CD，∴kAB=kCD）‎ 所以3λ（y3+y4）kAB=﹣λ（x3+x4）…⑤‎ 由④⑤两式相加得到：3[y1+y2+λ（y3+y4）]kAB=﹣[（x1+x2）+λ（x3+x4）]‎ 把③代入上式得3（1+λ）kAB=﹣2（1+λ），‎ 解得：，‎ 当λ变化时，kAB为定值，．…（12分）‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．‎ ‎（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） 由，得，解得m=2，‎ 故，则，函数g（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），‎ 而，又函数g（x）在（1，+∞）上是减函数，‎ ‎∴在（1，+∞）上恒成立，‎ ‎∴当x∈（1，+∞）时，的最大值．‎ 而，即右边的最大值为，‎ ‎∴，故实数a的最小值；‎ ‎（Ⅱ） 由题可得，且定义域为（0，1）∪（1，+∞），‎ 要使函数F（x）无零点，即在（0，1）∪（1，+∞）内无解，‎ 亦即在（0，1）∪（1，+∞）内无解．‎ 构造函数，则，‎ ‎（1）当k≤0时，h'（x）＜0在（0，1）∪（1，+∞）内恒成立，‎ ‎∴函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内也单调递减．‎ 又h（1）=0，∴当x∈（0，1）时，h（x）＞0，即函数h（x）在（0，1）内无零点，‎ 同理，当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，即函数h（x）在（1，+∞）内无零点，‎ 故k≤0满足条件；‎ ‎（2）当k＞0时，．‎ ‎①若0＜k＜2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增．‎ 又h（1）=0，∴h（x）在（0，1）内无零点；‎ 又，而，故在内有一个零点，∴0＜k＜2不满足条件；‎ ‎②若k=2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增．‎ 又h（1）=0，∴当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h（x）＞0恒成立，故无零点．∴k=2满足条件；‎ ‎③若k＞2，则函数h（x）在内单调递减，在内单调递增，在（1，+∞）内也单调递增．‎ 又h（1）=0，∴在及（1，+∞）内均无零点．‎ 易知，又h（e﹣k）=k×（﹣k）﹣2+2ek=2ek﹣k2﹣2=ϕ（k），‎ 则ϕ'（k）=2（ek﹣k）＞0，则ϕ（k）在k＞2为增函数，∴ϕ（k）＞ϕ（2）=2e2﹣6＞0．‎ 故函数h（x）在内有一零点，k＞2不满足．‎ 综上：k≤0或k=2．‎ ‎　‎ ‎[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．（10分）（2018•衡中模拟）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：DE∥AB；‎ ‎（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．‎ 因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．‎ 因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，‎ 所以AB∥DE．…（5分）‎ ‎（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，‎ 又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．‎ 又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．‎ 所以=，AD•CD=AC•CE，2AD•CD=AC•2CE，‎ 因此2AD•CD=AC•BC．…（10分）‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．（2018•衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．‎ ‎【解答】解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρ=‎ 得ρ2sin2θ=2ρcosθ．‎ ‎∴由曲线C的直角坐标方程是：y2=2x．‎ 由直线l的参数方程为（t为参数），得t=3+y代入x=1+t中消去t得：x﹣y﹣4=0，‎ 所以直线l的普通方程为：x﹣y﹣4=0…（5分）‎ ‎（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程y2=2x，得t2﹣8t+7=0，‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 所以|AB|===，‎ 因为原点到直线x﹣y﹣4=0的距离d=，‎ 所以△AOB的面积是|AB|d==12．…（10分）‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=|x﹣l|+|x﹣3|．‎ ‎（I）解不等式f（x）≤6；‎ ‎（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=|x﹣l|+|x﹣3|= 的图象如图所示，‎ ‎（I）不等式f（x）≤6，即①或②，或③．‎ 解①求得x∈∅，解②求得3＜x≤5，解③求得﹣1≤x≤3．‎ 综上可得，原不等式的解集为[﹣1，5]．‎ ‎（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，则函数f（x）的图象 不能在y=ax﹣1的图象的下方．‎ 如图所示：‎ 由于图中两题射线的斜率分别为﹣2，2，点B（3，2），‎ ‎∴3a﹣1≤2，且 a≥﹣2，求得﹣2≤a≤1．‎ ‎　‎