北大附中高考数学专题复习导数与微分经点答疑四

北大附中高考数学专题复习导数与微分经点答疑四

学科：数学 教学内容：导数与微分经点答疑（四）‎ ‎11．什么是高阶导数？‎ 我们知道函数的导数是．而导数仍是可导的，它的导数是．这种导数的导数就称为对y对x的二阶导数．一般地我们有：‎ 函数y＝f（x）的导数仍是x的函数，若函数的导数存在，则称的导数为y＝f（x）的二阶导数．记作 相应地，把y＝f（x）的导数叫作函数y＝f（x）的一阶导数．‎ 同样，若二阶导数的导数存在，则称其导数为y＝f（x）的三阶导数．记作 ‎……‎ 一般地，若n－1阶导数的导数存在，则称其导数为y＝f（x）的n阶导数．记作 这里的n称为导数的阶数．二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．‎ 若y＝f（x）具有n阶导数，也常说成函数f（x）为n阶可导．‎ 由以上高阶导数的定义可以看出，要求n阶导数，需要求出n－1阶导数，要求n－1‎ 阶导数，需要求出n－2阶导数，…，要求二阶导数，需要求出一阶导数，因此要求高阶导数，只需要进行一连串通常求导数的运算即可．‎ 例1 求n次多项式的各阶导数．．‎ 思路启迪 首先求出f（x）的一阶、二阶、三阶等阶数较低的n阶导数，从中找出导数与导数阶数的关系．‎ 可见，每经一次求导运算，多项式的次数就降低一次．继续求导下去，易知：是一个常数，由此有 即n次多项式的一切阶数高于n的导数都等于零．‎ 思路启迪 要证明这个等式成立，而在此等式的左边含有，只要能正确求y对x的两阶导数，将y及代入等式左边并验证其为零即可．‎ 规范证法 例4 求y＝sinx的n阶导数．‎ 思路启迪 求sinx的n阶导数的关键是找出n 阶导数与导数的阶数的关系，为此我们可以先求出较低n阶导数，从中归纳出导数与导数的阶数的关系即可．‎ ‎12．怎样求隐函数的导数？‎ 前面所讨论的函数求导方法，函数都是因变量y已经写成自变量x的明显表达式y＝f（x）的形式，这样的函数称为显函数．但有时我们所遇到的函数关系不是明显地用显函数形式表示的情形．如方程2x＋5y＋1＝0及它们都表示x、y之间的函数关系．一般地我们把由方程F（x，y）＝0表示的因变量y自变量x的函数关系式y＝f（x）称为隐函数．对于隐函数，有时可以根据确定隐函数关系的方程找出显函数形式y＝f（x），从而可利用前面的求导方法把它的导数找出来，但有时要把这个隐函数表示成显函数的形式是比较复杂的，有时甚至是不可能的，这时要利用前面的方法求导数就比较困难，甚至不可能，因此，我们有必要寻求隐函数的求导方法．实际上，对于隐函数我们不需要把它表示成显函数的形式，就可以把它的导数求出来．方法是：‎ 将确定隐函数的方程的两端同时对x求导（注意到y表示x的函数），求导过程中，遇到变量y，把y看中间变量，先对y求导，再乘以y对x的导数（即遇到变量y要利用复合函数的求导法则）．这样，我们可以得到一个关于的一元一次方程，解出即可．‎ 思路启迪 由于y是x的函数，可将y写成x的函数的形式y（x），则可写成 思路启迪 由于方程所确定的是y为x的函数，可将y写成x的形式y ‎（x），则该方程可写成于是由隐函数的求导法则得．‎ 规范解法 将方程两端对x求导，并利用函数的求导法则得 ‎13．什么是对数求导法？它主要适用于哪些类型函数的求导？‎ 对数求导法是将函数y＝f（x）两端取绝对值（由于求导之后绝对值同时去掉，因此常把取绝对值这一步省略，认为f（x）为正值，即lnf（x）有意义）．然后再两端取对数（取自然对数，它的导数形式比较简单）．这时我们就把它化成隐函数，然后再求出它的导数．这种把显函数取对数化成隐函数再求导的方法称为对数求导法．它常用于由若干因式的积、商或根式组成的函数和幂指函数的求导运算．对数求导法的优点是：它把积变成和，把商变成差，把幂指变成积．易知，和差的求导运算要比乘、商的求导运算简单．具体步骤如下：‎ ‎（1）两端取绝对值（常略去）之后，再取自然对数．‎ ‎（2）等式两端分别对自变量求导．‎ 举例如下 思路启迪 在前面我们利用恒等式求出了该函数的导数，在此我们将利用隐函数求导法求它的导数．这里可将等式两端取对数首先把它变成隐函数，再利用隐函数求导法．‎ 规范解法 两端取对数lny＝g（x）lnf（x），两端对x求导 思路启迪 该函数是由两个函数的商构成，而商的分子和分母都是由三个函数的积所构成，若直接利用商与积的求导法则就比较麻烦，但若借助于两端取对数，再利用隐函数的求导方法就比较简单．‎ 规范解法 两端取对数 lny＝ln（x－1）＋ln（x－2）＋ln（x－3）－ln（x－4）－ln（x－5）－ln（x－6）,‎ 两端对x求导 ‎14．怎样利用导数判别函数的单调性？‎ 我们知道，如果函数f（x）在区间（a，b）内是增函数或是减函数，那么我们就说函数f（x）在区间（a，b）具有单调性，区间（a，b）称为f（x）的单调区间．那么怎样利用导数判别函数的单调性呢？‎ 设函数f（x）在（a，b）可导，则曲线y＝f（x）处处有切线．如图3-4，曲线上每点的切线与x轴正向的夹角是锐角，即这时函数在（a，b）是增函数．如图3-5曲线上每点的切线与x轴正向的夹角为钝角，即此时函数f（x）在（a，b）是减函数．‎ 一般地，设函数y＝f（x）在区间I内可导，如果对任意的点x∈I，有则f（x）在I内是增函数，若对于任意的点x∈I，有则f（x）在I内为减函数．‎ 思路启迪 利用导数判别函数单调性，首先要求函数的导数，然后确定导数在哪些范围内是正值，哪些范围内是负值，从而确定出函数的增减区间．‎ 即当x∈（－∞，1）∪（3，＋∞）时，f（x）是增函数．‎ 即当x∈（1，3）时，f（x）是减函数．（图3-6）．‎ ‎ ‎ 即当x∈（－∞，0）时，f（x）是增函数．‎ 即当x∈（0，＋∞）时f（x）是减函数．（如图3-7）．‎ 分析上面的例题，当x<1或x>3时，单调增加，当10时，f（x）单调减少，而当x＝0时，．这说明使点x可能是f（x）单调增加与单调减少的分界点．因此讨论可导函数的单调性，我们也可以按照以下步骤去作：即求出f（x）的导数，解出使的点，用这些点将f（x）的定义域分成若干个区间，然后在各个区间上判别的符号，从而可得f（x）在各个区间上的单调性．后两步可用一个表格来完成．‎ 列表 由上表可知：f（x）在（－∞－1）与（1，＋∞）上是单调增加的；在（－1，1）上是单调减少的．‎ ‎15．怎样利用导数求可导函数的极值？‎ 已知函数在点O附近的任意点x，都有即函数在点O的值要比它附近的任意点的函数值都要小（如图3-8），这时，我们称函数在点O取极小值．而函数在点O附近的任意点x，都有，即函数在点O的值要比它附近的每一点的函数值都要大（如图3-9），这时，我们就说在点O取极大值．‎ 一般地，设函数f（x）在点附近内有定义，若对点附近的每一点x，都有，我们就称它为f（x）在点取极大值，是f（x）在点处的极大值，记作称为函数f（x）的极大值点．如果对点附近的所有点x，都有，我们就称函数f（x）在点取极小值，是f（x）在点 处的极小值，记作称为函数f（x）的极小值点．‎ 极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．‎ 已知函数的导数是，在点O的值是0，即在点O的左侧，即当x<0时，有导数；在点O的右侧，即当x>0时，导数函数在点O取极小值．‎ 函数的导数是在点O的左侧，即当x<0时，有导数；在点O的右侧，即当时，有导数．函数在点O取极大值．‎ 一般地，当函数f（x）在点的附近可导时，我们判别函数f（x）在点处取极大（小）值的方法是：‎ ‎（1）若在点的左侧，右侧则是极小值．‎ ‎（2）若在点的左侧，右侧则是极大值．‎ 从上面的讨论，我们可以看到，若f（x）在点可导，且在点取极值，则有，即可导的极值点满足．但是满足的点不一定是极值点，如，在O点处的值，但O不是f（x）的极值点．‎ 一般地，我们求函数极值的步骤是：‎ ‎（Ⅲ）判别函数f（x）的导数在每个根两侧的符号，并根据的符号确定f（x）在是否取极值．‎ 思路启迪 求出并令得其根等，用将函数的定义域分成若干个区间，在每个区间上用的符号列出y的增减性．‎ 所以，当x＝－1时，有极小值；当x＝1时，有极大值．‎ 列表 ‎16．怎样利用导数求函数在闭区间上的最大值与最小值？对于实际问题该怎样解决？‎ 在生产实践和工程技术中，常常遇到这样一类问题：在一定条件下，怎样使“产品最多”、“收益最大”、“用料最省”、“成本最低”和“效率最高”等问题，这类问题在数学上有时可归纳为求某函数的最大值或最小值问题．‎ 如图3－11，在闭区间[a，b]上，对于[a，b]，都有f（x）≥f（b），f（b）就称为f（x）在[a，b]上的最小值；对于[a，b]，有就称为f（x）在[a，b]上的最大值．‎ 一般地，设f（x）在区间I上有定义，若存在点，使对每一点x∈[a，b]都有，则称f（x）在I上有最大值，记为M，即；若存在点，使对每一点x∈[a，b]都有，则称函数f（x）在I上有最小值，记为m．即．‎ 一般地，若y＝f（x）在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．‎ 但函数y＝f（x）在开区间（a，b）内连续，则不一定有最大值与最小值．如在（0，＋∞）内连续，但f（x）在（0，＋∞）内没有最大值与最小值．‎ 从图3－11可以看出，若函数的最小值在区间[a，b]的内部间取得，则必在极小值点取得；若函数的最大值在区间[a，b]的内部取得，则必在极大值点取得．最大值与最小值也可能在端点取得，而在极值的讨论中，我们可以看出，对于可导函数来说，极值点可能在使的点x处取得．因此，对于可导函数来说，它的最大值与最小值若在区间的内部取得，只可能在使得的点取得．‎ 根据以上分析，若f（x）在[a，b]上连续且可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为：‎ ‎（2）将f（a）,f（b），进行比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．‎ 思路启迪 因为所给函数在[－3，4]上可导，所以，只需把的点与端点的值比较而可得出．‎ 比较可得，函数f（x）在x＝4取得它在[－3，4]上的最大值f（4）＝142；在x＝1取得它在[－3，4]上的最小值f（1）＝7．‎ 对于一个实际问题而言，如果在（a，b）内部的根只有一个，而从实际含义分析知在（a，b）内一定有最大值或最小值存在．那么一般来说，就是所要求的最大值或最小值．‎ 例2 已知一木材有直径为d的圆截面，如何把它加工成为最坚固的矩形截面的横梁．‎ 思路启迪 依题意，要使横梁最坚固，也即是使得横梁的抗弯强度最大，因此，首先应找出抗弯强度与矩形截面的关系，然后确定矩形截面的长宽为何值时抗弯强度为最大．‎ 规范解法 如图3—12所示，设横梁矩形截面的底边长为x，则其高为，由材料力学的知识得，强度同成正比，设强度为f(x)，于是有： 而从实际问题分析知，f（x）应有最大值，所以当时，f（x）为最大，这时相应的高