高考数学上海试题及解析

高考数学上海试题及解析

‎2017年上海市高考数学试卷 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）‎ ‎1.已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=　　．‎ ‎{3,4} 【解析】∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．‎ ‎2．（2017年上海）若排列数A=6×5×4，则m=　　．‎ ‎2.3 【解析】∵排列数A=6×5×…×(6-m+1)，∴6-m+1=4，即m=3.‎ ‎3．（2017年上海）不等式＞1的解集为　　．‎ ‎3.(-∞，0) 【解析】由＞1，得1->1，则<0，解得x<0，即原不等式的解集为(-∞，0).‎ ‎4.（2017年上海）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于　　．‎ ‎4.9π 【解析】设球的半径为R，则由球的体积为36π，可得πR3=36π，解得R=3.该球的主视图是半径为3的圆，其面积为πR2=9π．‎ ‎　‎ ‎5．（2017年上海）已知复数z满足z+=0，则|z|=　　．‎ ‎5. 【解析】由z+=0，可得z2+3=0，即z2=-3，则z=±i，|z|=.‎ ‎6．（2017年上海）设双曲线-=1（b＞0）的焦点为F1，F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=　 　．‎ ‎6.11 【解析】双曲线-=1中，a==3，由双曲线的定义，可得||PF1|-|PF2||=6，又|PF1|=5，解得|PF2|=11或﹣1（舍去），故|PF2|=11.‎ ‎7．（2017年上海）如图，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若向量的坐标为（4，3，2），则向量的坐标是　　．‎ ‎7.(-4,3,2) 【解析】由的坐标为（4，3，2），可得A（4，0，0），C(0,3,2)，D1(0,0,2)，则C1（0，3，2），∴=（﹣4，3，2）．‎ ‎8.（2017年上海）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f-1（x）=2的解为　 　．‎ ‎8. 【解析】g（x）=为奇函数，可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g(x)=-g（﹣x）=-(3-x-1)=1-3-x，则f(x)=1-3-x.由f-1（x）=2，可得x=f(2)=1-3-2=，即f-1（x）=2的解为.‎ ‎9．（2017年上海）已知四个函数：①y=-x，②y=-，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为　　．‎ ‎9. 【解析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n=C=6，“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有①③，①④，共2个，∴事件“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为p==.‎ ‎10．（2017年上海）已知数列{an}和{bn}，其中an=n2，n∈N*，{bn}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{bn}的第an项等于{an}的第bn项，则=‎ ‎10.2 【解析】∵an=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{bn}中的第an项恒等于{an}中的第bn项，∴ba=ab=b.∴b1=b12，b4=b22，b9=b32，b16=b42.∴b1b4b9b16=(b1b2b3b4)2，=2.‎ ‎11．（2017年上海）设α1，α2∈R且+=2，则|10π-α1-α2|‎ 的最小值等于　 　．‎ ‎11. 【解析】由-1≤sin α1≤1，可得1≤2+sin α1≤3，则≤≤1.同理可得≤≤1.要使+=2，则==1，即sin α1=sin 2α2=-1.所以α1=2k1π-，2α2=2k2π-，k1,k2∈Z.所以|10π-α1-α2|=|10π-(2k1π-)-(k2π-)|=|10π+-(2k1+k2)π|，当2k1+k2=11时，|10π-α1-α2|取得最小值.‎ ‎12．（2017年上海）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1，P2，P3，P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线lP，使得不在lP上的“▲”的点分布在lP的两侧．用D1（lP）和D2（lP）分别表示lP一侧和另一侧的“▲”的点到lP的距离之和．若过P的直线lP中有且只有一条满足D1（lP）=D2（lP），则Ω中所有这样的P为　 　．‎ ‎12.P1,P3,P4 【解析】设记为“▲”的四个点为A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示，四边形ABCD两组对边中点的连线交于点P2，则经过点P2的所有直线都是符合条件的直线lP.因此经过点P2的符合条件的直线lP有无数条；经过点P1,P3,P4的符合条件的直线lP各有1条，即直线P2P1,P2P3,P2P4.故Ω中所有这样的P为P1,P3.P4.‎ 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）‎ ‎13．（2017年上海）关于x，y的二元一次方程组的系数行列式D为( )‎ A. B. C. D. ‎13.C 【解析】关于x，y的二元一次方程组的系数行列式D=．故选C．‎ ‎14．（2017年上海）在数列{an}中，an=（-）n，n∈N*，则 an（　　）‎ A.等于- B.等于0 C.等于 D.不存在 ‎14.B 【解析】数列{an}中，an=（-）n，n∈N*，则an=(-)n=0．故选B．‎ ‎15.（2017年上海）已知a,b,c为实常数，数列{xn}的通项xn=an2+bn+c，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列”的一个必要条件是（　　）‎ A.a≥0 B.b≤0 C.c=0 D.a-2b+c=0‎ ‎15.A 【解析】存在k∈N*，使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列，可得2[a（200+k）2+b（200+k）+c]=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化简得a=0，∴使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a≥0．故选A．‎ ‎16．（2017年上海）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：+=1和C2：x2+=1．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是·的最大值．记Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上且·=w}，则Ω中的元素有（　　）‎ A.2个 B.4个 C.8个 D.无穷个 ‎16.D 【解析】P为椭圆C1：+=1上的动点，Q为C2：x2+=1上的动点，可设P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），α，β∈[0,2π],则·=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α-β），当α-β=2kπ，k∈Z时，·取得最大值w=6，即使得·=w的点对(P,Q)有无穷多对，Ω中的元素有无穷个.‎ 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）‎ ‎17．（2017年上海）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．‎ ‎（1）求三棱柱ABC-A1B1C1的体积；‎ ‎（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．‎ ‎17.【解析】（1）∵直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，‎ 两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．‎ ‎∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC·AA1=AB·AC·AA1=×4×2×5=20.（2）连接AM.‎ ‎∵直三棱柱ABC-A1B1C1，‎ ‎∴AA1⊥底面ABC.‎ ‎∴∠AMA1是直线A1M与平面ABC所成角.‎ ‎∵△ABC是直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，点M是BC的中点，‎ ‎∴AM=BC=×=.‎ 由AA1⊥底面ABC，可得AA1⊥AM,‎ ‎∴tan∠A1MA===.‎ ‎∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan．‎ ‎18．（2017年上海）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．‎ ‎（1）求f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．‎ ‎18.【解析】（1）函数f（x）=cos2x-sin2x+=cos 2x+，x∈（0，π）.‎ 由2kπ-π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z.‎ k=1时，≤x≤π，‎ 可得f（x）的增区间为[，π）.‎ ‎（2）f（A）=0，即有cos2A+=0，‎ 解得2A=2kπ±.‎ 又A为锐角,故A=.‎ 又a=,b=5，‎ 由正弦定理得sinB==,则cosB=.‎ 所以sinC=sin(A+B)=×+×=.‎ 所以S△ABC=absinC=××5×=.‎ ‎19．（2017年上海）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为an和bn（单位：辆），其中an=bn=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．‎ ‎（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；‎ ‎（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn=-4（n﹣46）2+8800（单位：辆），设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？‎ ‎19.【解析】（1）前4个月共享单车的累计投放量为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，‎ 前4个月共享单车的累计损失量为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，‎ ‎∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935．‎ ‎（2）令an≥bn，显然n≤3时恒成立，‎ 当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤，‎ ‎∴第42个月底，保有量达到最大．‎ 当n≥4，{an}为公差为﹣10等差数列，而{bn}为公差为1的等差数列，‎ ‎∴到第42个月底，共享单车保有量为×39+535-×42=×39+535-×42=8782．‎ 又S42=﹣4×(42-46)2+8800=8736，‎ ‎8782＞8736，‎ ‎∴第42个月底共享单车保有量超过了停放点的单车容纳量．‎ ‎20．（2017年上海）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：+y2=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．‎ ‎（1）若P在第一象限且|OP|=，求P的坐标；‎ ‎（2）设P（,），若以A,P,M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；‎ ‎（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C且=2，=4，求直线AQ的方程．‎ ‎20.【解析】（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），‎ 由点P在椭圆Γ：+y2=1上且|OP|=,可得 解得x2=,y2=，则P（，）．‎ ‎（2）设M（x0，0），A（0，1），P（，）.‎ 若∠P=90°，则•=0，即（-，）•（x0﹣，﹣）=0，‎ ‎∴（﹣）x0+-=0，解得x0=．‎ 若∠M=90°，则•=0，即（﹣x0，1）•（﹣x0，）=0，‎ ‎∴x02-x0+=0，解得x0=1或x0=.‎ 若∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．‎ ‎∴点M的横坐标为或1或．‎ ‎（3）设C（2cosα，sinα），‎ ‎∵=2，A（0，1），‎ ‎∴Q（4cosα，2sinα﹣1）.‎ 又设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0），‎ ‎∵|MA|=|MP|，∴x02+1=（2cosβ﹣x0）2+（sinβ）2，‎ 整理得x0=cosβ.‎ ‎∵=（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），=（-cosβ，﹣sinβ），=4，‎ ‎∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ.‎ ‎∴cosβ=﹣cosα，sinβ=（1﹣2sinα）.‎ 以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，‎ ‎∴sinα=或sinα=﹣1（舍去）.‎ 此时，直线AC的斜率kAC==（负值已舍去），如图．‎ ‎∴直线AQ的方程为为y=x+1．‎ ‎21．（2017年上海）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．‎ ‎（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；‎ ‎（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；‎ ‎（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．‎ ‎21.【解析】（1）由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，‎ ‎∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．‎ 故a的取值范围是[0，+∞）.‎ ‎（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为Tk，任取x0∈R，则有 f（x0）=f（x0+Tk）.‎ 由题意，对任意x∈[x0，x0+Tk]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+Tk），‎ ‎∴f（x0）=f（x）=f（x0+Tk）．‎ 又∵f（x0）=f（x0+nTk），n∈Z，并且 ‎…∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…=R，‎ ‎∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数.‎ ‎（3）证明：(充分性)若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为Tg，则h（x）=c1•g（x），对任意x0∈R，h（x0+Tg）=c1•g（x0+Tg）=c1•g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数.‎ ‎(必要性)若h（x）是周期函数，记其一个周期为Th．‎ 若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，‎ x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1Tk＞x1，‎ ‎∴f（x2+N1Tk）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1Tk）=h（x2）．‎ 又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而 h（x2+N1Tk）=g（x2+N1Tk）f（x2+N1Tk）＞0≠h（x2），矛盾．‎ 综上，f（x）＞0恒成立．‎ 由f（x）＞0恒成立，‎ 任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2Th≤x0﹣Tg，‎ 即[x0﹣Tg，x0]⊆[x0﹣N2Th，x0]，‎ ‎∵…∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…=R，‎ ‎∴…∪[x0﹣2N2Th，x0﹣N2Th]∪[x0﹣N2Th，x0]∪[x0，x0+N2Th]∪[x0+N2Th，x0+2N2Th]∪…=R．‎ h（x0）=g（x0）•f（x0）=h（x0﹣N2Th）=g（x0﹣N2Th）•f（x0﹣N2Th），‎ ‎∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2Th）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2Th）＞0．‎ 因此若h（x0）=h（x0﹣N2Th），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2Th），且f（x0）=f（x0﹣N2Th）=c．‎ 而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数．‎ 必要性得证．‎ 综上所述，“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．‎