上海市奉贤区高考数学一模试卷含答案解析

上海市奉贤区高考数学一模试卷含答案解析

‎2017年上海市奉贤区高考数学一模试卷 ‎　‎ 一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）‎ ‎1．已知集合A={﹣2，﹣1}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=　　．‎ ‎2．已知复数z满足z•（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z=　　．‎ ‎3．方程lg（x﹣3）+lgx=1的解x=　　．‎ ‎4．已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），且f﹣1（﹣1）=2，则f﹣1（x）=　　．‎ ‎5．若对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，则实数x的最小值为　　．‎ ‎6．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p=　　．‎ ‎7．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为　　．‎ ‎8．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成为1，那么这个几何体的表面积是　　．‎ ‎9．已知互异复数mn≠0，集合{m，n}={m2，n2}，则m+n=　　．‎ ‎10．已知等比数列{an}的公比q，前n项的和Sn，对任意的n∈N*，Sn＞0恒成立，则公比q的取值范围是　　．‎ ‎11．参数方程，θ∈[0，2π）表示的曲线的普通方程是　　．‎ ‎12．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈‎ R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为　　．‎ ‎　‎ 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）‎ ‎13．“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的（　　）‎ A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎14．若方程f（x）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，则y=f（x）的图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎15．已知函数（α∈[0，2π））是奇函数，则α=（　　）‎ A．0 B． C．π D．‎ ‎16．若正方体A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱长为1，则集合{x|x=•，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎　‎ 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）‎ ‎17．已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点；‎ ‎（1）求三棱锥P﹣ACO的体积；‎ ‎（2）求异面直线MC与PO所成的角．‎ ‎18．已知函数（a＞0），且f（1）=2；‎ ‎（1）求a和f（x）的单调区间；‎ ‎（2）f（x+1）﹣f（x）＞2．‎ ‎19．一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P观测到灯塔A、B在一直线上，并与航线成角α（0°＜α＜90°），轮船沿航线前进b米到达C处，此时观测到灯塔A在北偏西45°方向，灯塔B在北偏东β（0°＜β＜90°）方向，0°＜α+β＜90°，求CB；（结果用α，β，b表示）‎ ‎20．过双曲线的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中P是AB的中点；‎ ‎（1）求双曲线的渐近线方程；‎ ‎（2）当P坐标为（x0，2）时，求直线l的方程；‎ ‎（3）求证：|OA|•|OB|是一个定值．‎ ‎21．设数列{an}的前n项和为Sn，若（n∈N*），则称{an}是“紧密数列”；‎ ‎（1）若a1=1，，a3=x，a4=4，求x的取值范围；‎ ‎（2）若{an}为等差数列，首项a1，公差d，且0＜d≤a1，判断{an}是否为“紧密数列”；‎ ‎（3）设数列{an}是公比为q的等比数列，若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”，求q的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2017年上海市奉贤区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）‎ ‎1．已知集合A={﹣2，﹣1}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=　{﹣1}　．‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】利用交集的定义求解．‎ ‎【解答】解：∵集合A={﹣2，﹣1}，B={﹣1，2，3}，‎ ‎∴A∩B={﹣1}．‎ 故答案为：{﹣1}．‎ ‎　‎ ‎2．已知复数z满足z•（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z=　1+i　．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】复数方程两边同乘1﹣i的共轭复数，然后化简即可．‎ ‎【解答】解：由z•（1﹣i）=2，可得z•（1﹣i）（1+i）=2（1+i），‎ 所以2z=2（1+i），‎ z=1+i．‎ 故答案为：1+i．‎ ‎　‎ ‎3．方程lg（x﹣3）+lgx=1的解x=　5　．‎ ‎【考点】对数的运算性质．‎ ‎【分析】在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的和等于乘积的对数去掉对数符号，求解一元二次方程得答案．‎ ‎【解答】解：由lg（x﹣3）+lgx=1，得：‎ ‎，即，解得：x=5．‎ 故答案为：5．‎ ‎　‎ ‎4．已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），且f﹣1（﹣1）=2，则f﹣1（x）=　　．‎ ‎【考点】对数函数图象与性质的综合应用．‎ ‎【分析】由题意可得f（2）=loga2=﹣1；从而得到a=；再写反函数即可．‎ ‎【解答】解：由题意，∵f﹣1（﹣1）=2，‎ ‎∴f（2）=loga2=﹣1；‎ 故a=；‎ 故f﹣1（x）=；‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎5．若对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，则实数x的最小值为　﹣1　．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】由恒成立转化为最值问题，由此得到二次函数不等式，结合图象得到x的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，‎ ‎∴等价于a≥x2﹣1，‎ ‎∴a≥（x2﹣1）max ‎0≥（x2﹣1）max ‎﹣1≤x≤1‎ ‎∴实数x的最小值为﹣1．‎ ‎　‎ ‎6．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p=　4　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】求出椭圆的右焦点，得到抛物线的焦点坐标，然后求解p即可．‎ ‎【解答】解：椭圆的右焦点（2，0），抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，‎ 可得：，‎ 解得p=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎7．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为　5　．‎ ‎【考点】等差数列．‎ ‎【分析】由题意可得首项的方程，解方程可得．‎ ‎【解答】解：设该等差数列的首项为a，‎ 由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2‎ 解得a=5‎ 故答案为：5‎ ‎　‎ ‎8．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成为1，那么这个几何体的表面积是　　．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，根据三视图的数据，求出三棱锥的表面积即可．‎ ‎【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，‎ 所以几何体的表面积为：3个等腰直角三角形与一个等边三角形的面积的和，‎ 即：3×=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎9．已知互异复数mn≠0，集合{m，n}={m2，n2}，则m+n=　﹣1　．‎ ‎【考点】复数相等的充要条件．‎ ‎【分析】互异复数mn≠0，集合{m，n}={m2，n2}，可得：m=m2，n=n2；n=m2，m=n2，mn≠0，m≠n．解出即可得出．‎ ‎【解答】解：互异复数mn≠0，集合{m，n}={m2，n2}，‎ ‎∴m=m2，n=n2，或n=m2，m=n2，mn≠0，m≠n．‎ 由m=m2，n=n2，mn≠0，m≠n，无解．‎ 由n=m2，m=n2，mn≠0，m≠n．可得n﹣m=m2﹣n2，解得m+n=﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎　‎ ‎10．已知等比数列{an}的公比q，前n项的和Sn，对任意的n∈N*，Sn＞0恒成立，则公比q的取值范围是　（﹣1，0）∪（0，+∞）　．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】q≠1时，由Sn＞0，知a1＞0，从而＞0恒成立，由此利用分类讨论思想能求出公比q的取值范围．‎ ‎【解答】解：q≠1时，有Sn=，‎ ‎∵Sn＞0，∴a1＞0，‎ 则＞0恒成立，‎ ‎①当q＞1时，1﹣qn＜0恒成立，即qn＞1恒成立，由q＞1，知qn＞1成立；‎ ‎②当q=1时，只要a1＞0，Sn＞0就一定成立；‎ ‎③当q＜1时，需1﹣qn＞0恒成立，‎ 当0＜q＜1时，1﹣qn＞0恒成立，‎ 当﹣1＜q＜0时，1﹣qn＞0也恒成立，‎ 当q＜﹣1时，当n为偶数时，1﹣qn＞0不成立，‎ 当q=﹣1时，1﹣qn＞0也不可能恒成立，‎ 所以q的取值范围为（﹣1，0）∪（0，+∞）．‎ 故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）．‎ ‎　‎ ‎11．参数方程，θ∈[0，2π）表示的曲线的普通方程是　x2=y（0≤x≤，0≤y≤2）　．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】把上面一个式子平方，得到x2=1+sinθ，代入第二个参数方程得到x2=y，根据所给的角的范围，写出两个变量的取值范围，得到普通方程．‎ ‎【解答】解：∵‎ ‎∵θ∈[0，2π），‎ ‎∴|cos+sin|=|sin（+）|∈[0，]‎ ‎1+sinθ=（cos+sin）2∈[0，2]‎ 故答案为：x2=y（0≤x≤，0≤y≤2）‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为　　．‎ ‎【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．‎ ‎【分析】由两角和的正弦函数公式化简解析式可得f（x）=sin（ωx+），由2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间，结合已知可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，从而解得k=0，又由ωx+=kπ+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，结合已知可得：ω2=，从而可求ω的值．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），‎ ‎∵函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ω＞0‎ ‎∴2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[，]，k∈Z，‎ ‎∴可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，‎ ‎∴解得：0＜ω2≤且0＜ω2≤2k，k∈Z，‎ 解得：﹣，k∈Z，‎ ‎∴可解得：k=0，‎ 又∵由ωx+=kπ+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，‎ ‎∴由函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，可得：ω2=，可解得：ω=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）‎ ‎13．“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的（　　）‎ A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【考点】双曲线的简单性质；充要条件．‎ ‎【分析】先证明充分性，把方程化为+=1，由“mn＜0”，可得、异号，可得方程表示双曲线，由此可得“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件；再证必要性，先把方程化为+=1，由双曲线方程的形式可得、异号，进而可得mn＜0，由此可得“mn＜0”是方程“mx2+ny2‎ ‎=1表示双曲线”的必要条件；综合可得答案．‎ ‎【解答】解：若“mn＜0”，则m、n均不为0，方程mx2+ny2=1，可化为+=1，‎ 若“mn＜0”，、异号，方程+=1中，两个分母异号，则其表示双曲线，‎ 故“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件；‎ 反之，若mx2+ny2=1表示双曲线，则其方程可化为+=1，‎ 此时有、异号，则必有mn＜0，‎ 故“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件；‎ 综合可得：“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充要条件；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎14．若方程f（x）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，则y=f（x）的图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象与图象变化．‎ ‎【分析】根据方程f（x）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，转化为函数f（x）的图象和直线y=2在（﹣∞，0）上有交点．‎ ‎【解答】解：A：与直线y=2的交点是（0，2），不符合题意，故不正确；‎ B：与直线y=2的无交点，不符合题意，故不正确；‎ C：与直线y=2的在区间（0，+∞）上有交点，不符合题意，故不正确；‎ D：与直线y=2在（﹣∞，0）上有交点，故正确．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎15．已知函数（α∈[0，2π））是奇函数，则α=（　　）‎ A．0 B． C．π D．‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】根据奇函数的性质建立关系式求解．‎ ‎【解答】解：由题意可知，函数f（x）是奇函数，即f（﹣x）+f（x）=0，‎ 不妨设x＜0，则﹣x＞0．‎ 则有：f（x）=﹣x2+cos（x+α），‎ f（﹣x）=x2﹣sinx 那么：﹣x2+cos（x+α）+x2﹣sinx=0‎ 解得：（k∈Z）‎ ‎∵α∈[0，2π）‎ ‎∴α=‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎16．若正方体A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱长为1，则集合{x|x=•，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】子集与真子集．‎ ‎【分析】⊥，⊥，i，j∈{1，2，3，4}，由此能求出集合{x|x=•，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数．‎ ‎【解答】解：∵正方体A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱长为1，‎ ‎⊥，⊥，i，j∈{1，2，3，4}，‎ ‎∴•=•（++）‎ ‎=•++=1．‎ ‎∴集合{x|x=•，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数为1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）‎ ‎17．已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点；‎ ‎（1）求三棱锥P﹣ACO的体积；‎ ‎（2）求异面直线MC与PO所成的角．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】（1）由已知得AB=8，OC=4，OC⊥AB，PO=3，由此能出三棱锥P﹣ACO的体积．‎ ‎（2）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线MC与PO所成的角．‎ ‎【解答】解：（1）∵圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，‎ AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点，‎ ‎∴AB=8，OC=4，OC⊥AB，‎ ‎∴PO===3，‎ ‎∴三棱锥P﹣ACO的体积VP﹣ACO=‎ ‎==8．‎ ‎（2）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，‎ A（0，﹣4，0），P（0，0，3），M（0，﹣2，），C（4，0，0），O（0，0，0），‎ ‎=（4，2，﹣），=（0，0，﹣3），‎ 设异面直线MC与PO所成的角为θ，‎ cosθ===，‎ 故异面直线MC与PO所成的角为arccos．‎ ‎　‎ ‎18．已知函数（a＞0），且f（1）=2；‎ ‎（1）求a和f（x）的单调区间；‎ ‎（2）f（x+1）﹣f（x）＞2．‎ ‎【考点】指数式与对数式的互化．‎ ‎【分析】（1）代值计算并根据复合函数的单调性求出单调区间，注意函数的定义域，‎ ‎（2）根据函数的单调性得到关于x 的不等式，解得即可．‎ ‎【解答】解：（1）函数（a＞0），且f（1）=2，‎ ‎∴log2（a2+a﹣2）=2=log24，‎ ‎∴，‎ 解得a=2，‎ ‎∴f（x）=log2（22x+2x﹣2），‎ 设t=22x+2x﹣2＞0，解得x＞0，‎ ‎∴f（x）的递增区间（0，+∞）；‎ ‎（2）f（x+1）﹣f（x）＞2，‎ ‎∴log2（22x+2+2x+1﹣2）﹣log2（22x+2x﹣2）＞2=log24，‎ ‎∴22x+2+2x+1﹣2＞4（22x+2x﹣2），‎ ‎∴2x＜3，‎ ‎∴x＜log23，‎ ‎∵x＞0‎ ‎∴0＜x＜log23‎ ‎∴不等式的解集为（0，＜log23）‎ ‎　‎ ‎19．一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P观测到灯塔A、B在一直线上，并与航线成角α（0°＜α＜90°），轮船沿航线前进b米到达C处，此时观测到灯塔A在北偏西45°方向，灯塔B在北偏东β（0°＜β＜90°）方向，0°＜α+β＜90°，求CB；（结果用α，β，b表示）‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】由题意，∠B=90°﹣（α+β），△PBC中，运用正弦定理可得结论．‎ ‎【解答】解：由题意，∠B=90°﹣（α+β），‎ ‎△PBC中，PC=b，由正弦定理可得．‎ ‎　‎ ‎20．过双曲线的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中P是AB的中点；‎ ‎（1）求双曲线的渐近线方程；‎ ‎（2）当P坐标为（x0，2）时，求直线l的方程；‎ ‎（3）求证：|OA|•|OB|是一个定值．‎ ‎【考点】直线与双曲线的位置关系；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）求出双曲线的a，b，由双曲线的渐近线方程为y=±x，即可得到所求；‎ ‎（2）令y=2代入双曲线的方程可得P的坐标，再由中点坐标公式，设A（m，2m），B（n，﹣2n），可得A，B的坐标，运用点斜式方程，即可得到所求直线方程；‎ ‎（3）设P（x0，y0），A（m，2m），B（n，﹣2n），代入双曲线的方程，运用中点坐标公式，求得m，n，运用两点的距离公式，即可得到定值．‎ ‎【解答】解：（1）双曲线的a=1，b=2，‎ 可得双曲线的渐近线方程为y=±x，‎ 即为y=±2x；‎ ‎（2）令y=2可得x02=1+=2，‎ 解得x0=，（负的舍去），‎ 设A（m，2m），B（n，﹣2n），‎ 由P为AB的中点，可得m+n=2，2m﹣2n=4，‎ 解得m=+1，n=﹣1，‎ 即有A（+1，2+2），‎ 可得PA的斜率为k==2，‎ 则直线l的方程为y﹣2=2（x﹣），‎ 即为y=2x﹣2；‎ ‎（3）证明：设P（x0，y0），即有x02﹣=1，‎ 设A（m，2m），B（n，﹣2n），‎ 由P为AB的中点，可得m+n=2x0，2m﹣2n=2y0，‎ 解得m=x0+y0，n=x0﹣y0，‎ 则|OA|•|OB|=|m|•|n|=5|mn|=5|（x0+y0）（x0﹣y0）|‎ ‎=5|x02﹣|=5为定值．‎ ‎　‎ ‎21．设数列{an}的前n项和为Sn，若（n∈N*），则称{an}是“紧密数列”；‎ ‎（1）若a1=1，，a3=x，a4=4，求x的取值范围；‎ ‎（2）若{an}为等差数列，首项a1，公差d，且0＜d≤a1，判断{an}是否为“紧密数列”；‎ ‎（3）设数列{an}是公比为q的等比数列，若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”，求q的取值范围．‎ ‎【考点】数列的应用．‎ ‎【分析】（1）由题意，且，即可求出x的取值范围；‎ ‎（2）由题意，an=a1+（n﹣1）d， ==1+，根据“紧密数列”的定义即可证明结论；‎ ‎（3）先设公比是q并判断出q≠1，由等比数列的通项公式、前n项和公式化简，，根据“紧密数列”的定义列出不等式组，再求出公比q的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，且，∴2≤x≤3，‎ ‎∴x的取值范围是[2，3]；‎ ‎（2）由题意，an=a1+（n﹣1）d，∴==1+，‎ 随着n的增大而减小，所以当n=1时，取得最大值，∴≤2，‎ ‎∴{an}是“紧密数列”；‎ ‎（3）由题意得，等比数列{an}的公比q 当q≠1时，所以an=a1qn﹣1，Sn=， =，‎ 因为数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”，所以， ≤2，解得，‎ 当q=1时，an=a1，Sn=na1，则 =1， =1+∈（1，]，符合题意，‎ ‎∴q的取值范围是．‎ ‎　‎ ‎2017年4月3日