高考真题与模拟题—理科数学5立体几何

高考真题与模拟题—理科数学5立体几何

‎2018高考真题与模拟题分类汇编：立体几何 ‎ 一．高考真题 ‎1.【2018全国III卷 3】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头。若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）‎ ‎2.【2018浙江 3】某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（ ）‎ ‎（A）2‎ ‎（B）4‎ ‎（C）6‎ ‎（D）8www.ks5u.com ‎3.【2018全国I卷 7】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ） （A） （B） （C）3 （D）2‎ ‎4.【2018浙江 8】已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ） （A） （B） （C） （D）‎ ‎5.【2018全国II卷 9】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） （A） （B） （C） （D）‎ ‎6.【2018全国III卷 10】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎7.【2018全国I卷 12】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎8.【2018江苏 10】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_________。‎ ‎9.【2018天津 11】已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点(如图)，则四棱锥的体积为__________。‎ ‎10.【2018全国II卷 16】已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________。‎ ‎11.【2018江苏 15】在平行六面体中，，。求证：⑴平面；⑵平面平面。‎ ‎12.【2018北京 16】如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点，，。⑴求证：平面；⑵求二面角的余弦值；⑶证明：直线与平面相交。‎ ‎13.【2018天津 17】如图，且，，且，且，平面，‎ ‎。⑴若为的中点，为的中点，求证：平面；⑵求二面角的正弦值；⑶若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长。‎ ‎14.【2018全国I卷 18】如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且。⑴证明：平面平面；⑵求与平面所成角的正弦值。‎ ‎15.【2018全国III卷 19】如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于的点。⑴证明：平面平面；⑵当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值。‎ ‎16. 【2018浙江 19】如图，已知多面体，均垂直于平面，，，，。‎ ⑴证明：平面；⑵求直线与平面所成的角的正弦值。‎ ‎17.【2018全国II卷 20】如图，在三棱锥中，，，为的中点。⑴证明：平面；‎ ⑵若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值。‎ ‎18.【2018江苏 22】如图，在正三棱柱中，，点分别为的中点。⑴求异面直线与所成角的余弦值；‎ ⑵求直线与平面所成角的正弦值。 ‎ 二．各地模拟题 ‎19．【安徽省宿州市2018届三模】如图所示，垂直于所在的平面，是的直径，，是上的一点，分别是点在上的投影，当三棱锥的体积最大时，与底面所成角的余弦值是（ ） （A） （B） （C） （D）‎ ‎20．【辽宁省葫芦岛市2018届二模】在长方体中，底面是边长为的正方形，侧棱。为矩形内部（含边界）一点，为中点，，为空间任一点，且，三棱锥的体积的最大值记为，则关于函数，下列结论确的是（ ）‎ ‎（A）为奇函数 （B）在上不单调 （C） （D）‎ ‎21．【河南省洛阳市2018届三模】在三棱锥中，平面，，，，是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） （A） （B） （C） （D）‎ ‎22．【四川省2018届冲刺演练一】某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎23．【山东省济南2018届二模】已知点均在表面积为的球面上，其中平面，，，则三棱锥的体积的最大值为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）81‎ ‎24．【安徽省示范高中（皖江八校）2018届第八联考】某棱锥的三视图如下图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎25．【福建省厦门市2018届二模】已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为，三视图如图所示，则其侧视图的面积为（ ）‎ ‎（A） （B）2 （C）4 （D）6‎ ‎26．【山东省威海市2018届二模】已知正三棱柱，侧面的面积为，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为________。‎ ‎27．【山东省烟台市2018届适应性练习二】如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为，为上的点，‎ 分别是以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使重合得到一个四棱锥，则该四棱锥的体积的最大值为_______。‎ ‎28．【湖南省益阳市5月统考】如图，在三棱锥中，两两垂直，，平面平面，且与棱分别交于三点。⑴过作直线，使得，，请写出作法并加以证明；⑵若将三棱锥分成体积之比为的两部分，求直线与平面所成角的正弦值。‎ ‎29．【江西省南昌市2018届三模】如图，多面体中，‎ 为正方形，，，，二面角的余弦值为，且。⑴证明：平面平面；⑵求平面与平面所成锐二面角的余弦值。‎ ‎30．【河南省郑州市2018届三模】如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点。⑴证明：；⑵若点为棱上一点，且，求二面角的余弦值。‎ ‎31．【河北省唐山市2018届三模】如图，四棱锥的底面是平行四边形，。‎ ⑴求证：平面平面；（2）若，为的中点，为棱上的点，平面，求二面角的余弦值。‎ 附答案：ACBDC BA 8．；9．；10．。‎ ‎11．证明：⑴在平行六面体中，。因为平面，平面，所以平面； ‎ ⑵在平行六面体中，四边形为平行四边形。又因为，所以四边形为菱形，因此。又因为，，所以。又，平面，平面，故平面。因为平面，所以平面平面。‎ ‎12．解：⑴在三棱柱中，因平面，故四边形为矩形。又分别为的中点，故。因，故，所以平面；‎ ⑵由⑴知，，。又平面，故平面。因平面，故。如图建立空间直角坐称系，由题得，，，，。故，。设为平面的法向量，则，即，取得 ‎。又是平面的法向量，故 ‎。由图可知二面角为钝角，故其余弦值为；‎ ⑶因，，故。因，且，故平面的法向量与不垂直，从而与平面不平行且不在平面内，所以与平面相交。‎ ‎13．解：依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得，，，，，，，，。‎ ⑴由题，。设是平面的法向量，则，即，取得。又，故。又因为直线平面，所以平面； ‎ ⑵由题，，。设是平面的法向量，则，即，取得。设是平面的法向量，则，即，取得。故，从而，所以二面角的正弦值为；‎ ⑶设线段的长为，则，故。易知，为平面的一个法向量，故。由题意得，解得。所以线段的长为。‎ ‎14．证明：⑴由题，，又，故平面。又平面，所以平面平面；‎ ⑵作，垂足为。由⑴得，平面。以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图空间直角坐标系。由⑴知，又，，故。又，，故。可得，。则，，，，且为平面的法向量。设与平面所成角为，则为所求。‎ ‎15．解：⑴由题知，平面平面，交线为。因，平面，故平面，因此。因为上异于的点，且为直径，故。又，所以平面。而平面，故平面平面；‎ ⑵以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。当三棱锥体积最大时，为的中点。由题，，，，，，，。设是平面的法向量，则，即，可取。是平面的法向量，因此，，所以面与面所成二面角的正弦值为。‎ ‎16．解：⑴由题知，。又，，故，所以，因此。由，，及，得。由，得。由，得，所以，故。因此平面；‎ ⑵如图，过点作，交直线于点，连结。因平面，故平面平面。因，故平面。所以是与平面所成的角。由，，得，，故，所以 。因此，直线与平面所成的角的正弦值是。‎ ‎17．解：⑴因，为的中点，故，且。连，因，故为等腰直角三角形，且，。故，因此。又，故平面；‎ ⑵如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系。由题知，，，‎ ‎，，。取平面的法向量，设，则。设平面的法向量为，则，即，可取，所以。由题得，解得（舍）或，故。又，故，所以与平面所成角的正弦值为。‎ ‎18．解：如图，在正三棱柱中，设的中点分别为，则，，。以为基底，建立空间直角坐标系。因，故，，，，，。‎ ⑴因为的中点，故，从而，，所以 ‎，即异面直线与所成角的余弦值为；‎ ⑵因为的中点，故，因此，，。设为平面的法向量，则，即，取得。，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为。‎ ‎19～27：DD BBAAD 26．；27．。‎ ‎28．解：⑴作法：取的中点，连接，则直线即为要求作的直线。证明如下：因，，且，故平面。又平面平面，且平面，平面平面，故，所以平面，因此。又 ‎，为的中点，故，从而直线即为要求作的直线；‎ ⑵因将三棱锥分成体积之比为的两部分，故四面体的体积与三棱锥的体积之比为。又平面平面，故。以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，，，。设是平面的法向量，则，即，取得。故，所以直线与平面所成角的正弦值为。‎ ‎29．解：⑴因，，，故，因此。又正方形中，且，故平面。又平面，所以平面平面；‎ ⑵由⑴知是二面角的平面角，作于，则，，且由平面平面，平面平面，平面，所以，平面。取中点，连结，则。如图建立空间直角坐标系，则，，，，故，。因，故是的一个方向向量。设是平面的法向量，则，即，取得。又是平面的一个法向量，且。设平面与平面所成锐二面角为，则，因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为。‎ ‎30．解：⑴因底面，故，。又，故两两垂直。以为原点，为正交基底，建立空间直角坐标系。则由题意得，，，，，，，故，所以；‎ ⑵由⑴知，，，。因点为棱上，故可设，则。因，故，解得，故。设是平面的法向量，则，即，取得。由题知是平面的法向量，故。由图知二面角是锐角，故二面角的余弦值为。‎ ‎31．解：⑴因，，故。又 ‎，，故平面，因此 ‎。又，，故平面 ‎。因平面，所以平面平面；‎ ⑵连接交于点，连接，因为的中点，，故。因平面，平面，平面平面，故，因此，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，故，，，。设是平面的法向量，则，即，取得。设是平面的法向量，则，即，取得。因，且二面角为钝角，故二面角的余弦值为。‎