高考数学复习集合与函数测试题

高考数学复习集合与函数测试题

高考数学复习集合与函数测试题 命题人：广东广雅中学 吴新华 付院花 ‎1．（人教版第14页B组第1题）‎ 已知集合，集合满足，则集合有 个.‎ 变式1：已知集合，集合满足，集合与集合之间满足的关系是 ‎ 解：‎ 变式2：已知集合有个元素，则集合的子集个数有 个，真子集个数有 个 解：子集个数有个，真子集个数有个 变式3：满足条件的所有集合的个数是 个 解：3必须在集合里面，的个数相当于2元素集合的子集个数，所以有4个.‎ 设计意图：考察集合的运算与集合之间的关系 ‎2．（人教版第14页A组第10题）‎ 已知集合，，求，，，‎ 变式1：已知全集且则等于 A.　　　　B　　　　C　　　　D 解：答案为C，集合，‎ 所以，集合，‎ 所以为 变式2：设集合，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：，，所以，故选B。‎ 变式3．已知集合集合则等于 ‎ ‎（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）‎ 解：集合，所以答案为D. ‎ 设计意图：结合不等式考察集合的运算 ‎3．（北师大版第21页B组第2题）已知集合，，是否存在实数，使得，若存在，求集合和，若不存在，请说明理由.‎ 变式1：已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若，则实数＝ ．‎ 解：由已知 变式2：，，且，则的取值范围是______ .‎ 解：，当时，，当时，，所以或，所以或，所以 变式3：设，且，求实数的值.‎ 解：，因为，所以，所以或或或，当时，，当或时， ，符合题意，当时，‎ 所以或 设计意图：结合参数讨论考察集合运算 ‎4．（北师大版第38页B组第1题）设函数，，求函数的定义域.‎ 变式1： 函数的定义域是 ‎ A. B. C. D. ‎ 解：由，故选B.‎ 变式2：设，则的定义域为 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 解：选C.由得，的定义域为。故，解得。故的定义域为 设计意图：考察函数的定义域 ‎5．（人教版第84页B组第4题）‎ 已知函数，，且 （1） 求函数定义域 （2） 判断函数的奇偶性，并说明理由.‎ 变式1：已知是偶函数，定义域为.则 ，‎ ‎ ‎ 解：函数是偶函数，所以定义域关于原点对称.∴，‎ 变式2：函数的图象关于 （ ） ‎ A．轴对称 B．轴对称 C．原点对称 D．直线对称 解：函数定义域为，所以，所以函数为偶函数，图像关于轴对称.‎ 变式3：若函数是奇函数，则 ‎ ‎ 解：由于是奇函数，∴，‎ 即，‎ ‎∴，又，∴‎ 设计意图：考察定义域与奇偶性 ‎6．（人教版83页B组第2题）‎ 若，且，求实数的取值范围.‎ 变式1：若，则的取值范围是 （ ） A． B． C． D．‎ 解：当时，若，则，∴‎ 当时，若，则，此时无解！‎ 所以选C 变式2：设，函数，则使的的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解：要使，且，所以 ‎，又，∴，故选C.‎ 设计意图:考察对数函数的单调性 ‎7．（人教A版126页B组第1题）‎ 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量），下列供求曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求曲线？为什么？（图略）‎ 变式1：某地一年的气温Q（t）（单位：℃）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为‎10℃‎，令G（t）表示时间段〔0，t〕的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是 （ ）‎ ‎10ºc G(t)‎ ‎10ºc G(t)‎ G(t)‎ ‎10ºc t t t ‎12‎ ‎6‎ ‎6‎ O ‎12‎ ‎6‎ ‎12‎ O O 图（1）‎ ‎ ‎ B A D ‎10ºc G(t)‎ O ‎6‎ ‎12‎ t C G(t)‎ ‎10ºc ‎6‎ ‎12‎ t O ‎ ‎ 答案：A 变式2：为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格与其前三个月的市场收购价格有关，且使与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格：‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 价格（元/担）‎ ‎68‎ ‎78‎ ‎67‎ ‎71‎ ‎72‎ ‎70‎ ‎ 则7月份该产品的市场收购价格应为 （ ）‎ ‎ A．69元 B．70元 C．71元 D．72元 答案：C 设计意图：考察学生读图、读表的能力 ‎8．（人教版43页B组第3题）‎ 已知函数是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数，并证明你的判断.‎ 变式1：下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ 解：B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A.‎ 变式2：函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若,则实数的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D.或 解：当时，∵函数是R上的偶函数，且在上是增函数，∴在上是减函数，所以若，则，当时，函数是R上的偶函数，且在上是增函数，且，∴，故选D 设计意图：考察函数奇偶性与单调性的关系 ‎9．（人教版第49页B组第4题）‎ 已知函数，求，，的值 变式1：设则__________‎ 解：.‎ 变式2：已知是上的减函数，那么的取值范围是 ‎ A. B. ‎ C. D.‎ 解：分段函数的单调性需分段处理.答案选C 变式3：设函数f（x）= 则使得f（x）≥1的自变量x的取值范围为 A.（－∞，－2］∪［0，10］ B.（－∞，－2］∪［0，1］‎ C.（－∞，－2］∪［1，10］ D.［－2，0］∪［1，10］‎ 解：当x＜1时，f（x）≥1（x+1）2≥1x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x＜1.‎ 当x≥1时，f（x）≥14－≥1≤31≤x≤10.‎ 综上，知x≤－2或0≤x≤10.‎ 答案：A 设计意图：考察分段函数的概念和性质 ‎10．（北师大版54页A组第5题）‎ 对于下列函数，试求它们在指定区间上的最大值或最小值，并指出这时的值 ‎（2），‎ 变式1：函数在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则的值为（ ）‎ A． B‎.2 ‎‎ C.4 D.‎ 解：当或时，函数都是定义域上的单调函数，‎ ‎∴，故选C.‎ 变式2：若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：∵，∴是定义域上的减函数，所以，，∴，故选A 设计意图：考察函数的最值 ‎11.（人教版65页第8题）‎ 已知下列等式，比较，的大小 ‎（1） (2)‎ 变式1：设，那么 （ ）‎ A.a＜a＜b B.a＜ b＜a C.a＜a＜b D.a＜b＜a 解：由，在A和B中，在定义域内是单调递减的，∴，所以结论不成立.在C中，在内是单调递增的，又，所以答案为C.‎ 变式2：已知，则 （ ）‎ A． B. ‎ B. D.‎ 解：由已知，因为在定义域内是单调递增的，所以 答案为A.‎ 变式3：已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记．若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（　）‎ ‎ A． 　 B． 　　 　C． D． ‎ 分析：本题根据反函数的定义求出的解析式，再用换元法判断的单调性，结合条件在区间上是增函数，求出实数的取值范围是，答案为D　‎ 设计意图：考察指、对数函数的单调性 ‎12．（人教版48页A组第8题）‎ 设，求证：（1） （2）‎ 变式1：函数对于任意实数满足条件，若则__________.‎ 解：，，又 ‎，∴，‎ ‎∴‎ 变式2：若奇函数满足，则 ‎ 解：由已知，令，则，又∵是奇函数，所以，‎ ‎∴，∴‎ 变式3：函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于 A. B. C. D.‎ 解析：由题知 ①‎ 以代，①式得，即 ②‎ ‎①+②得 答案：A 设计意图：考察函数的抽象运算与综合性质 ‎13．（人教版第49页B组第5题）‎ 证明：‎ ‎(1)若，则 ‎(2)若，则 变式1：如图所示，是定义在［0，1］上的四个函数，其中满足性质：“对［0，1］中任意的和，任意恒成立”的只有 （ ）‎ ‎ ‎ ‎ A．和 B． C．和 D．‎ 解：当时，符合条件的函数是凹函数，从图像可看出有和，选择A.‎ 变式2：.设函数=的图象如下图所示，则a、b、c的大小关系是 ‎ A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞a＞c D.c＞a＞b 解析：f（0）==0，∴b=0.f（1）=1，∴=1.‎ ‎∴a=c+1.由图象看出x＞0时，f（x）＞0，即x＞0时，有＞0，‎ ‎∴a＞0.又f（x）= ，‎ 当x＞0时，要使f（x）在x=1时取最大值1，需x+≥2，‎ 当且仅当x==1时.∴c=1，此时应有f（x）==1.∴a=2.‎ 答案：B 变式3：如图所示，单位圆中弧AB的长为表示弧AB与弦AB 所围成的弓形面积的２倍，则函数的图象是 　　　‎ ‎　　　　　 ‎ 答案：( D )‎ 设计意图：考察图象与式子运算的能力 ‎14：（北师大版136页B组第1题）‎ 判断下列方程在（0，10）内是否存在实数解，并说明理由.‎ ‎(1) （2）‎ 变式1：设二次函数，方程的两个根满足. 当时，证明.‎ 分析：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数的表达式，从而得到函数的表达式. ‎ 证明：由题意可知.‎ ‎,‎ ‎∴ ,‎ ‎∴ 当时，.‎ 又,‎ ‎ ‎ ‎∴ ,‎ 综上可知，所给问题获证. ‎ 变式2：已知二次函数．‎ ‎ （1）若a>b>c，　且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；‎ ‎ （2）在（1）的条件下，是否存在m∈R，使得f（m）=－ a成立时，f（m+3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由；‎ ‎ （3）若对，方程有2个不等实根，‎ 解:　（1）‎ ‎ ‎ 的图象与x轴有两个交点.‎ ‎ （2），∴1是的一个根，由韦达定理知另一根为，‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ 在（1，+∞）单调递增，，即存在这样的m使 ‎ ‎ ‎ （3）令，则是二次函数.‎ ‎ ‎ ‎ 有两个不等实根，且方程的根必有一个属于.‎ 设计意图：考察函数的零点 ‎15．（北师大版第66页B组第3题）‎ 求二次函数在区间【0，1】上的最小值的表达式.‎ 变式1：设a为实数，记函数的最大值为g(a).‎ ‎　　（Ⅰ）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)‎ ‎（Ⅱ）求g(a)‎ ‎（Ⅲ）试求满足的所有实数a 解：（I）∵，‎ ‎∴要使有意义，必须且，即 ‎∵，且……① ∴的取值范围是。‎ 由①得：，∴，。‎ ‎（II）由题意知即为函数，的最大值，‎ ‎∵直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：‎ ‎（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，‎ 由知在上单调递增，故；‎ ‎（2）当时，，，有=2；‎ ‎（3）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，‎ 若即时，，‎ 若即时，，‎ 若即时，。‎ 综上所述，有=。‎ ‎（III）当时，；‎ ‎ 当时，，，∴，‎ ‎，故当时，；‎ 当时，，由知：，故；‎ 当时，，故或，从而有或，‎ 要使，必须有，，即，‎ 此时，。‎ 综上所述，满足的所有实数a为：或。‎ 设计意图：考察二次函数的最值与分类讨论的思想 ‎16．（人教版84页B组第5题）‎ 试着举几个满足“对定义域内任意实数，，都有”的函数例子.‎ 变式1：设函数f（x）的定义域是N*，且，，则f（25）= ___________________.‎ 解析：由 ‎∴‎ 同理，f（3）－f（2）=3.‎ ‎……‎ f（25）－f（24）=25.‎ ‎∴f（25）=1+2+3+…+25=325.‎ 答案：325‎ 变式2：设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有 ‎（1）设，求 ‎ ‎（2）证明是周期函数.‎ ‎（1）解：由知， x∈［0，1］.‎ 因为f（1）=f（）·f（）=［f（）］2，及f（1）=2，所以f（）=2.‎ 因为f（）=f（）·f（）=［f（）］2，及f（）=2，所以f（）=2.‎ ‎（2）证明：依题设关于直线x=1对称，故f（x）=f（1+1－x）f（x）=f（2－x），x∈R.‎ 又由f（x）是偶函数知f（－x）=f（x），x∈R，所以f（－x）=f（2－x），x∈R.将上式中－x以x代换，得f（x）=f（x+2），x∈R.‎ 这表明是R上的周期函数，且2是它的一个周期.‎ 变式3：设函数定义在R上，对任意实数m、n，恒有且当 ‎（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，f（x）＞1；‎ ‎（2）求证：f（x）在R上递减；‎ ‎（3）设集合A={（x，y）|f（x2）·f（y2）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax－y+2）=1，‎ a∈R}，若A∩B=，求a的取值范围.‎ ‎（1）证明：在f（m+n）=f（m）f（n）中，‎ 令m=1，n=0，得f（1）=f（1）f（0）.‎ ‎∵0＜f（1）＜1，∴f（0）=1.‎ 设x＜0，则－x＞0.令m=x，n=－x，代入条件式有f（0）=f（x）·f（－x），而f（0）=1，‎ ‎∴f（x）=＞1.‎ ‎（2）证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0，∴0＜f（x2－x1）＜1.‎ 令m=x1，m+n=x2，则n=x2－x1，代入条件式，得f（x2）=f（x1）·f（x2－x1），‎ 即0＜＜1.∴f（x2）＜f（x1）.‎ ‎∴f（x）在R上单调递减.‎ （1） 解：由 又由（2）知f（x）为R上的减函数，∴点集A表示圆的内部.由f（ax－y+2）=1得ax－y+2=0点集B表示直线ax－y+2=0.‎ ‎∵A∩B=，∴直线ax－y+2=0与圆相离或相切。‎ 于是 设计意图：考察抽象函数的性质及抽象运算的能力和数形结合的思想。‎