高考数学复习——参数方程选讲三

高考数学复习——参数方程选讲三

‎2020年高考数学复习——参数方程选讲（三）‎ ‎46.已知在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），在极坐标系（以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为ρsin2θ=2ρcosθ（ρ＞0），曲线C1、C2交于A、B两点．‎ ‎（Ⅰ）若ρ=2且定点P（0，﹣4），求|PA|+|PB|的值；‎ ‎（Ⅱ）若|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，求ρ的值．‎ ‎47.已知圆C的参数方程为（θ为参数），若P是圆C与x轴的交点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为l.‎ ‎（Ⅰ）求直线l的极坐标方程 ‎（Ⅱ）求圆C上到直线ρ（cosθ+sinθ）+6=0的距离最大的点的直角坐标．‎ ‎48.极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ．‎ ‎（I）求C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|．‎ ‎49.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 （t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣）．‎ ‎（1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；‎ ‎（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．‎ ‎50.已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线的极坐标方程为，求直线被曲线C截得的弦长．‎ ‎51.在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|．‎ ‎52.极坐标系中，已知圆.‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程．‎ ‎（2）设P是圆上任一点，求点P到直线距离的最大值．‎ ‎53.在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．‎ ‎（Ⅰ）求a；‎ ‎（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．‎ ‎54.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C分别交于M、N两点．‎ ‎（1）写出曲线C和直线l的普通方程；‎ ‎（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．‎ ‎55.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；‎ ‎（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．‎ ‎56.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=．‎ ‎（Ⅰ）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．‎ ‎57.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：（t为参数），它与曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A，B两点．‎ ‎（1）求|AB|的长；‎ ‎（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．‎ ‎58.已知直线l：x﹣y﹣1=0，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ=5．‎ ‎（Ⅰ）将直线l写成参数方程（t为参数，α∈[0，π））的形式，并求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l与曲线C交于点A，B（点A在第一象限）两点，若点M的直角坐标为（1，0），求△OMA的面积．‎ ‎59.已知平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1方程为ρ=2sinθ；C2的参数方程为（t为参数）．‎ ‎（Ⅰ）写出曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）设点P为曲线C1上的任意一点，求点P 到曲线C2距离的取值范围．‎ ‎60.已知曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10，以极点为直角坐标系原点，极轴所在直线为x轴建立直角坐标系，曲线C1的参数方程为（α为参数），．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程和曲线C1的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若点M在曲线C1上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值及该点坐标．‎ ‎61.已知在直角坐标系xoy中，直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，半径为4的圆C的圆心的极坐标为．‎ ‎（Ⅰ）写出直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．‎ ‎62.已知C1在直角坐标系下的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，有曲线C2：ρ=2cosθ﹣4sinθ．‎ ‎（Ⅰ）将C1的方程化为普通方程，并求出C2的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求曲线C1和C2两交点之间的距离．‎ ‎63.在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．‎ ‎（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；‎ ‎（Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．‎ ‎64.以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C1的参数方程为，（α为参数，且α∈[0，π）），曲线C2的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ．‎ ‎（1）求C1的极坐标方程与C2的直角坐标方程；‎ ‎（2））若P是C1上任意一点，过点P的直线l交C2于点M，N，求|PM|•|PN|的取值范围．‎ ‎65.在直角坐标系中，设倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点、．‎ ‎（I）若，求线段的中点的直角坐标；‎ ‎（II）若直线的斜率为，且过已知点，求的值．‎ ‎66.在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．‎ ‎（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎（II）直线l的参数方程为（t为参数），α为直线l的倾斜角，l与C交于A，B两点，且|AB|=，求l的斜率．‎ ‎67.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sin（θ﹣），直线l的参数方程为，直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点 ‎（1）求圆C的直角坐标方程；‎ ‎（2）求△PAB面积的最大值．‎ 参考答案 ‎46.解：（Ⅰ）∵曲线C2的方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），即为ρ2sin2θ=2pρcosθ（p＞0），‎ ‎∴曲线C2的直角坐标方程为y2=2px，p＞2．‎ 又已知p=2，∴曲线C2的直角坐标方程为y2=4x．‎ 将曲线C1的参数方程（t为参数）与y2=4x联立得： t+32=0，‎ 由于△=﹣4×32＞0，‎ 设方程两根为t1，t2，‎ ‎∴t1+t2=12，t1•t2=32，‎ ‎∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=12．‎ ‎（Ⅱ）将曲线C1的参数方程（t为参数）与y2=2px联立得：t2﹣2（4+p）t+32=0，‎ 由于△=﹣4×32=8（p2+8p）＞0，‎ ‎∴t1+t2=2（4+p），t1•t2=32，‎ 又|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，‎ ‎∴|AB|2=|PA||PB，‎ ‎∴=|t1||t2|，‎ ‎∴=5t1t2，‎ ‎∴=5×32，‎ ‎∴p2+8p﹣4=0，解得：p=﹣4，‎ 又p＞0，‎ ‎∴p=﹣4+2，‎ ‎∴当|PA|，|AB|，|PB|成等比数列时，p的值为﹣4+2．‎ ‎　‎ ‎47.解：（Ⅰ）∵圆C的参数方程为（θ为参数），‎ ‎∴圆C的参数方程消去参数θ，得圆C的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=4，‎ ‎∵P是圆C与x轴的交点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为l 由题设知，圆心C（1，），P（2，0），‎ ‎∠CPO=60°，故过P点的切线的倾斜角为30°，‎ 设M（ρ，θ）是过P点的圆C的切线上的任一点，‎ 则在△PMO中，∠MOP=θ，∠OMP=30°﹣θ，∠OPM=150°，‎ 由正弦定理得，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线l的极坐标方程为ρcos（θ+60°）=1．‎ ‎（Ⅱ）∵直线ρ（cosθ+sinθ）+6=0，‎ ‎∴直线的直角坐标方程为x+y+6=0，‎ 设圆上的点M（1+2cosθ，），‎ 点M到直线的距离：‎ d==，‎ ‎∴当θ=时，点M到直线的距离取最大值．此时M（2，2），‎ ‎∴圆C上到直线ρ（cosθ+sinθ）+6=0的距离最大的点的直角坐标为（2，2）．‎ ‎48.解：（I）由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ，即ρ2sin2θ=8ρcosθ，化为y2=8x．‎ ‎（II）把直线l的参数方程为（t为参数）代入y2=8x化为3t2﹣16t﹣64=0．‎ 解得t1=8，t2=．‎ ‎∴弦长|AB|=|t1﹣t2|==．‎ ‎49.解：（1）对于曲线C2有，即，‎ 因此曲线C2的直角坐标方程为，其表示一个圆．‎ ‎（2）联立曲线C1与曲线C2的方程可得：，‎ ‎∴t1+t2=2sinα，t1t2=﹣13‎ ‎，‎ 因此sinα=0，|AB|的最小值为，sinα=±1，最大值为8．‎ ‎　‎ ‎50.解：（1）∵曲线C的参数方程为（α为参数），‎ ‎∴曲线C的普通方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=5，‎ 曲线C表示以（3，1）为圆心，为半径的圆，‎ 将代入并化简：ρ2﹣6ρcosθ﹣2ρsinθ+5=0．‎ ‎（2）直角坐标方程为y﹣x=1，‎ ‎∴圆心C到直线的距离为，∴弦长为．‎ ‎51.解：（Ⅰ）∵圆C的方程为．‎ ‎∴，‎ 即圆C的直角坐标方程：．‎ ‎（Ⅱ），即，‎ 由于，故可设t1，t2是上述方程的两实根，‎ 所以，‎ 故|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=‎ ‎52.解（1）圆ρ=10cos 化简可得：ρ=10coscosθ+10sinsinθ ρ2=5ρcosθ+5ρsinθ ‎∴．‎ 故得圆的直角坐标方程为：．‎ ‎（2）由（1）可知圆的圆心为（，），半径r=5，‎ 题意：点P到直线距离的最大值为：圆心到直线的距离+半径，即d+r．‎ d=‎ ‎∴最大距离为：1+5=6．‎ ‎53.解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．‎ ‎∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；‎ 由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，‎ ‎∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．‎ 由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．‎ ‎（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，‎ 则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）‎ ‎=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），‎ 当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．‎ ‎54.解：（1）曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），‎ 转化成直角坐标方程为：y2=2ax 线l的参数方程为（t为参数），‎ 转化成直角坐标方程为：x﹣y﹣2=0．‎ ‎（2）将直线的参数方程（t为参数），代入y2=2ax得到：‎ ‎，‎ 所以：，t1t2=32+8a，①‎ 则：|PM|=t1，|PN|=t2，|MN|=|t1﹣t2|‎ ‎|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，‎ 所以：，②‎ 由①②得：a=1．‎ ‎55.解法一：（Ⅰ）由消去参数α，得，‎ 即C的普通方程为．‎ 由，得ρsinθ﹣ρcosθ=2，…（*）‎ 将代入（*），化简得y=x+2，‎ 所以直线l的倾斜角为． ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数），‎ 即（t为参数），‎ 代入并化简，得．‎ ‎．‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则，所以t1＜0，t2＜0，‎ 所以．‎ 解法二：（Ⅰ）同解法一．‎ ‎（Ⅱ）直线l的普通方程为y=x+2．‎ 由消去y得10x2+36x+27=0，‎ 于是△=362﹣4×10×27=216＞0．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，所以x1＜0，x2＜0，‎ 故．‎ ‎56.（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，‎ 曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=，‎ 根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，‎ 则C1的直角坐标方程为x2+2y2=2，直线l的直角坐标方程为．‎ ‎（Ⅱ）设Q，则点Q到直线l的距离为 ‎=，‎ 当且仅当，即（k∈Z）时取等号．‎ ‎∴Q点到直线l距离的最小值为．‎ ‎57.解：（1）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得7t2+60t﹣125=0‎ 设A，B对应的参数分别为t1，t2，则．‎ ‎∴．‎ ‎（2）由P的极坐标为，可得xp==﹣2， =2．‎ ‎∴点P在平面直角坐标系下的坐标为（﹣2，2），‎ 根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为．‎ ‎∴由t的几何意义可得点P到M的距离为．‎ ‎58.解：（Ⅰ）∵直线l：x﹣y﹣1=0的倾斜角为，‎ ‎∴将直线l写成参数方程为，‎ ‎∵曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ=5，‎ ‎∴x2+y2﹣4y=5，即x2+（y﹣2）2=9．‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2=9．‎ ‎（Ⅱ）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，‎ 得t2﹣﹣4=0，‎ 设t1，t2是方程的两根，‎ 解得，，‎ 又点A在第一象限，故点A对应，‎ 代入到y=tsin，得到点A纵坐标yA=2，‎ 因此△OMA的面积S△OMA=|OM|•|yA|==1．‎ ‎59.解：（I）曲线C1方程为ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，可得x2+y2=2y，‎ ‎∴C1的直角坐标方程：x2+（y﹣1）2=1，‎ C2的参数方程为，消去参数t可得：‎ C2的普通方程：．…‎ ‎（II）由（I）知，C1为以（0，1）为圆心，r=1为半径的圆，C1的圆心（0，1）到C2的距离为，则C1与C2相交，P到曲线C2距离最小值为0，最大值为，‎ 则点P到曲线C2距离的取值范围为．…‎ ‎60.解：（1）由2ρsinθ+ρcosθ=10，得x+2y﹣10=0，‎ ‎∴曲线C的普通方程是：x+2y﹣10=0．‎ 由，得，代入cos2α+sin2α=1，得，‎ ‎∴曲线C1的普通方程为；‎ ‎（2）曲线C的普通方程是：x+2y﹣10=0，‎ 设点M（3cosα，2sinα），由点到直线的距离公式得：‎ ‎，其中，‎ ‎∴α﹣φ=0时，，此时．‎ ‎61.解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为，‎ ‎∴直线l的参数方程为（t为参数）‎ ‎∵半径为4的圆C的圆心的极坐标为，‎ ‎∴圆心坐标为（0，4），圆的直角坐标方程为x2+（y﹣4）2=16‎ ‎∵，‎ ‎∴圆的极坐标方程为ρ=8sinθ；‎ ‎（Ⅱ）直线l的普通方程为，‎ ‎∴圆心到直线的距离为 ‎∴直线l和圆C相离．‎ ‎62.解：（Ⅰ）C1在直角坐标系下的参数方程为，消参后得C1为y﹣2x+1=0．‎ 由ρ=2cosθ﹣4sinθ得ρ2=2ρcosθ﹣4ρsinθ．∴x2+y2=2x﹣4y，‎ ‎∴C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y+2）2=5..…‎ ‎（Ⅱ）∵圆心（1，﹣2）到直线的距离．‎ ‎∴．…‎ ‎63.解：（I）由，x2+y2=ρ2，‎ 可知圆，的极坐标方程为ρ=2，‎ 圆，即的极坐标方程为ρ=4cosθ，‎ 解得：ρ=2，，‎ 故圆C1，C2的交点坐标（2，），（2，）．‎ ‎（II）解法一：由得圆C1，C2的交点的直角坐标（1，），（1，）．‎ 故圆C1，C2的公共弦的参数方程为 ‎（或圆C1，C2的公共弦的参数方程为）‎ ‎（解法二）将x=1代入得ρcosθ=1‎ 从而于 是圆C1，C2的公共弦的参数方程为．‎ ‎64.解：（1）消去参数可得x2+y2=1，因为α∈[0，π），所以﹣1≤x≤1，0≤y≤1，‎ 所以曲线C1是x2+y2=1在x轴上方的部分，‎ 所以曲线C1的极坐标方程为ρ=1（0≤θ≤π）．…‎ 曲线C2的直角坐标方程为x2+（y+1）2=1…‎ ‎（2）设P（x0，y0），则0≤y0≤1，直线l的倾斜角为α，‎ 则直线l的参数方程为：（t为参数）．…‎ 代入C2的直角坐标方程得（x0+tcosα）2+（y0+tsinα+1）2=1，‎ 由直线参数方程中t的几何意义可知|PM|•|PN|=|1+2y0|，‎ 因为0≤y0≤1，所以|PM|•|PN|=∈[1，3]…‎ ‎65.解：（I）由曲线（为参数），‎ 可得的普通方程是． …………………………2分 当时，直线的参数方程为（为参数），‎ 代入曲线的普通方程，得， ……………………………3分 得，则线段的中点对应的，‎ 故线段的中点的直角坐标为． ……………………………5分 ‎（II）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，化简得 ‎， …………………………………7分 则，…………………9分 由已知得，故． ……………………………10分 ‎66.解：（Ⅰ）∵在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25，‎ ‎∴x2+y2+12x+11=0，‎ 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，‎ x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，‎ ‎∴C的极坐标方程为ρ2+ρcosθ+11=0．‎ ‎（Ⅱ）∵直线l的参数方程为（t为参数），α为直线l的倾斜角，‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为=0，‎ ‎∵l与C交于A，B两点，且|AB|=，‎ ‎∴圆心（﹣6，0）到直线l的距离d==，‎ 解得cosα=，‎ 当cosα=时，l的斜率k=tanα=2；当cosα=﹣时，l的斜率k=tanα=﹣2．‎ ‎67.解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=2sin（θ﹣），即ρ2=ρ×（sinθ﹣cosθ），‎ 利用互化公式可得直角坐标方程：x2+y2+2x﹣2y=0，即（x+1）2+（y﹣1）2=2．‎ ‎（2）圆C的圆心C（﹣1，1），半径r=．‎ 直线l的参数方程为，可得普通方程：3x+4y+4=0．‎ ‎∴圆心C到直线AB的距离d==1．‎ ‎∴圆C上的点到直线AB的最大距离=1+，|AB|=2=2．‎ ‎∴△PAB面积的最大值=×（d+r）==1+．‎