2003年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]

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2003年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]

‎2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)‎ 数 学(理工农医类)‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至10页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷(选择题共60分)‎ 一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的 ‎1.已知,0),,则 ( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎2.圆锥曲线的准线方程是 ( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎3.设函数 ,若,则的取值范围是 ( )‎ ‎ (A)(,1) (B)(,) ‎ ‎(C)(,)(0,) (D)(,)(1,)‎ ‎4.函数的最大值为 ( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)2‎ ‎5.已知圆C:()及直线:,当直线被C截得的弦长为时,则 ( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎6.已知圆锥的底面半径为R,高为3R,在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎7.已知方程的四个根组成一个首项为的的等差数列,则 ( )‎ ‎ (A)1 (B) (C) (D)‎ ‎8.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(,0),直线 与其相交于M、N两点,MN中点的横坐标为,则此双曲线的方程是 ( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎9.函数,的反函数 ( )‎ ‎ (A) ,1] (B) ,1]‎ ‎ (C) ,1] (D) ,1]‎ ‎10.已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1),一质点从AB的中点沿与AB的夹角的方向射到BC上的点后,依次反射到CD、DA和AB上的点、和(入射角等于反射角),设的坐标为(,0),若,则tg的取值范围是 ( )‎ ‎ (A)(,1) (B)(,) (C)(,) (D)(,)‎ ‎11. ( )‎ ‎ (A)3 (B) (C) (D)6‎ ‎12.一个四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一球面上,则些球的表面积为( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ 二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。把答案填在题中横线上。‎ ‎13.的展开式中系数是 ‎ ‎14.使成立的的取值范围是 ‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎15.如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻地区不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种。(以数字作答)‎ P M N l P N M l N l P M l M N P N l P M ‎16.下列5个正方体图形中,是正方体的一条对角线,点M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出面MNP的图形的序号是 (写出所有符合要求的图形序号)‎ ‎ ① ② ③ ④ ⑤‎ 三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或或演算步骤 ‎17.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知复数的辐角为,且是和的等比中项,求 ‎18.(本小题满分12分)‎ ‎ 如图,在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,,侧棱,D、E分别是与的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G (I) 求与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示)‎ D E K B C1‎ A1‎ B1‎ A F C G (II) 求点到平面AED的距离 ‎19.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知,设 ‎ P:函数在R上单调递减 ‎ Q:不等式的解集为R 如果P和Q有且仅有一个正确,求的取值范围 ‎20.(本小题满分12分)‎ O 北 东O y 线 岸 O x O r(t)‎ P 海 ‎ 在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南)方向‎300km的海面P处,并以‎20km/h的速度向西偏北 方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为‎60km,并以‎10km/h的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?‎ ‎21.(本小题满分14分)‎ O P A G D F E C B x y ‎ 已知常数,在矩形ABCD中,,,O为AB的中点,点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动,且,P为GE与OF的交点(如图),问是否存在两个定点,使P到这两点的距离的和为定值?若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由。‎ ‎22.(本小题满分12分,附加题4 分)‎ ‎ (I)设是集合 且}中所有的数从小到大排列成的数列,即,,,,,,…‎ ‎ 将数列各项按照上小下大,左小右大的原则写成如下的三角形数表:‎ ‎3‎ 5 ‎6‎ ‎9 10 12‎ ‎— — — —‎ ‎…………‎ ‎ ⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数;‎ ‎⑵求 ‎(II)(本小题为附加题,如果解答正确,加4 分,但全卷总分不超过150分)‎ ‎ 设是集合,且中所有的数从小到大排列成的数列,已知,求.‎ ‎2003年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理工农医类)答案 一、选择题 ‎1.D 2.C 3.D 4.A 5.C 6.B 7.C 8.D 9.D 10.C 11.B 12.A 二、填空题 ‎13. 14.(-1,0) 15.72 16.①④⑤‎ 三、解答题:‎ ‎17. 解:设,则复数由题设 ‎18.(Ⅰ)解:连结BG,则BG是BE在ABD的射影,即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.‎ 设F为AB中点,连结EF、FC,‎ ‎(Ⅱ)解:‎ ‎19.‎ 解:函数在R上单调递减 不等式 ‎20.解:如图建立坐标系以O为原点,正东方向为x轴正向.‎ ‎ 在时刻:(1)台风中心P()的坐标为 ‎ 此时台风侵袭的区域是 ‎ 其中若在t时刻城市O受到台风的侵袭,则有 ‎ 即 ‎ ‎ ‎ 答:12小时后该城市开始受到台风的侵袭.‎ ‎21.根据题设条件,首先求出点P坐标满足的方程,据此再判断是否存在的两定点,使得点P到两点距离的和为定值.‎ 按题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,‎4a),D(-2,‎4a)设 由此有E(2,4ak),F(2-4k,‎4a),G(-2,‎4a-4ak)直线OF的方程为:①‎ 直线GE的方程为:②‎ 从①,②消去参数k,得点P(x,y)坐标满足方程 整理得 当时,点P的轨迹为圆弧,所以不存在符合题意的两点.‎ ‎ 当时,点P轨迹为椭圆的一部分,点P到该椭圆焦点的距离的和为定长。‎ 当时,点P到椭圆两个焦点(的距离之和为定值。‎ 当时,点P 到椭圆两个焦点(0, 的距离之和为定值2.‎ ‎22.(本小题满分12分,附加题4分)‎ ‎ (Ⅰ)解:(i)第四行17 18 20 24 第五行 33 34 36 40 48‎ ‎ (i i)解:设,只须确定正整数 ‎ 数列中小于的项构成的子集为 ‎ 其元素个数为满足等式的最大整数为14,所以取 因为100-‎ ‎(Ⅱ)解:令 ‎ 因 ‎ 现在求M的元素个数:‎ 其元素个数为: ‎ 某元素个数为 某元素个数为
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