2015天津高考文科数学

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2015天津高考文科数学

‎2015年天津卷高考数学试卷(文科)‎ 一、选择题 ‎1.已知全集,集,集合,则集合 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2.设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为 ‎(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14‎ ‎3.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为 ‎(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)5‎ ‎4.设,则“”是“”的 ‎(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎ ‎ (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎5.已知双曲线的一个焦点为,‎ 且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎6.如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N,若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为 ‎(A) (B) 3 (C) (D) ‎ ‎7.已知定义在R上的函数为偶函数,记,则,的大小关系为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎8.已知函数,函数,则函数的零点的个数为 ‎(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5‎ 二:填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。‎ ‎9.i是虚数单位,计算 的结果为 .‎ ‎10.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 .‎ ‎11.已知函数 ,其中a为实数,为的导函数,若 ,则a的值为 .‎ ‎12.已知 则当a的值为 时取得最大值。‎ ‎13.在等腰梯形ABCD中,已知, 点E和点F分别在线段BC和DC上,且 则的值为 .‎ ‎14.已知函数 若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为 .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分。‎ ‎15.(13分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛。‎ ‎(I)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数;‎ ‎(II)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为,现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛。‎ ‎(i)用所给编号列出所有可能的结果;‎ ‎(ii)设A为事件“编号为的两名运动员至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率。‎ ‎16.(13分)△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为, ‎ ‎(I)求a和sinC的值;‎ ‎(II)求 的值。‎ ‎17.(13分)‎ 如图,已知平面ABC, AB=AC=3,,, 点E,F分别是BC和 的中点,‎ ‎(I)求证:EF 平面 ;‎ ‎(II)求证:平面平面。‎ ‎(III)求直线 与平面所成角的大小。‎ ‎18.已知是各项均为正数的等比数列,是等差数列,且,‎ ‎.‎ ‎(1)求和的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前n项和.‎ ‎19. 已知椭圆的上顶点为B,左焦点为,离心率为. ‎ ‎(1)求直线BF的斜率;‎ ‎(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),故点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B)直线PQ与x轴交于点M,.‎ ‎ (i)求的值;‎ ‎(ii)若,求椭圆的方程.‎ ‎20. 已知函数 ‎(1)求的单调性;‎ ‎(2)设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;‎ ‎(3)若方程有两个正实数根且,求证:.‎ 答案 一.选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题5分,满分40分。‎ ‎1.B 2.C 3.C 4.A 5.D 6. A 7.B 8. A 二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分39分。‎ ‎(9.)-i (10). (11) . 3 (12)4 (13) (14) ‎ 三.解答题 ‎(15)本小题主要考查分层抽样,用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及 其概率计算公式等基础知识,考查运用概率、统计知识解决简单实际问题的能力。满分13分 ‎(I)解:从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2‎ ‎(II)(i)从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为,,,,,,,,,,,,,,,共15种.‎ ‎(ii)解:编号为的两名运动员至少有一人被抽到的所有结果为,, ,, ,,,,,共9种,‎ 因此,事件A发生的概率 ‎ ‎(16)本小题主要考查同角三角函数的基本系数、二倍角的正弦、余弦公式、两角和的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识。考查基本运算求解能力.满分13分.‎ ‎(I)解:在中,由,可得.由,‎ 得bc=24,又由,解得b=6,c=4.‎ 由,可得=8.‎ 由,得.‎ ‎(II)解: ‎ ‎= ‎ ‎(17)本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.‎ 考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.‎ ‎(I)证明:如图,连接.在中,因为E和F分别是BC和的中点,所以 ‎.又因为平面,所以平面。‎ ‎(II)证明:‎ 因为AB=AC,E为BC中点,所以,因为平面ABC,所以平面ABC,从而,又 ,所以平面 ,又因为平面,所以平面平面.‎ ‎(III)解:取的中点M和的中点N,连接, ,.因为N和E分别为和的中点,所以, ,故,所以,且。又因为平面 ‎,所以,从而 为直线与平面所成的角。‎ 在中,可得AE=2,所以.‎ 因为,,,又由,有.‎ 在中,可得。‎ 在中,,因此 所以,直线与平面所成的角为.‎ ‎(18)本小题主要考查等差数列、等比数列及其前n项和公式等基础知识。考查数列求和的基本方法和运算求解能力,满分13分。‎ ‎(I)解:设数列的公比为q,数列的公差为d,由题意 ,由已知,有 消去d,整数得 又因为>0,解得 ,所以的通项公式为, 数列的通项公式为.‎ ‎(II)解:由(I)有 ,设的前n项和为 ,则 ‎ ‎ 两式相减得 所以 .‎ ‎19.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两条直线垂至等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质。考查运算求解能力,以及用方程思想和化归思想解决问题的能力。满分14分。‎ ‎(I)解:设,由已知离心率及又因为 ,故直线BF的斜率 ‎ ‎(II)设点 ,(i)由(I)可得椭圆方程为 直线BF的方程为 ,将直线方程与椭圆方程联立,消去y,得 解得 .因为,所以直线BQ方程为 ,与椭圆方程联立,消去y,整得 ,解得 .‎ 又因为 ,及 ,可得 ‎ ‎(ii)解:由(i)有,所以,即 ,又因为,所以=.‎ 又因为, 所以,因此 所以椭圆方程为 ‎(20)本小题主要考查导数的运算、‎ 导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识。考查函数思想、化归思想,考查综合分析问题和解决问题的能力。满分14分。‎ ‎(I)由,可得,当 ,即 时,函数 单调递增;当 ,即 时,函数 单调递减.所以函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是.‎ ‎(II)证明:设点P的坐标为,则 , 曲线 在点P处的切线方程为 ,即,令函数 即 则.‎ 由于在上单调递减,故在上单调递减,又因为,所以当时,,当时,,所以 在单调递增,在单调递减,所以对于任意的实数x,, 即对于任意的正实数,都有.‎ ‎(III)证明:由(II)知。设方程的根为,可得。‎ 因为在上单调递减,又由(II)知,因此>。‎ 类似地,设曲线在原点处的切线方程为,可得,对于任意的,有,即.‎ 设方程的根为,可得=.因为,对于任意的,有,即.‎ 设方程的根为,可得.因为在上单调递增,且,因此.‎ 由此可得 ‎ ‎
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