广东高考理科数学试题及答案完整版

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广东高考理科数学试题及答案完整版

绝密★启用前 试卷类型:B ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)‎ 数学(理科)‎ 本试卷共4页,21小题,满分150分。考试用时120分钟。‎ 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。‎ ‎2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。‎ ‎3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂的,答案无效。‎ ‎ 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。‎ 参考公式:锥体的体积公式,其中是锥体的底面积,是锥体的高 一、 选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.巳知全集,集合和的关系的韦恩(Venn)图如图1所示,则阴影部分所示的集合的元素共有 A.3个 B.2个 C.1个 D.无穷个 ‎2.设是复数,表示满足的最小正整数,则对虚数单位,‎ A.8 B.6 C.4 D.2‎ ‎3.若函数是函数的反函数,其图像经过点,则 A. B. C. D.‎ ‎3。‎ ‎4.巳知等比数列满足,且,则当时,‎ A. B. C. D.‎ ‎4‎ ‎5.给定下列四个命题:‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行;‎ ‎④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是 A.①和② B.②和③ C..③和④ D.②和④‎ ‎6.一质点受到平面上的三个力(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知成角,且的大小分别为2和4,则的大小为 A.6 B.2 C. D.‎ F1‎ F2‎ F3‎ O A B C D ‎7.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 A.36种 B.12种 C.18种 D.48种 ‎8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为(如图2所示).那么对于图中给定的,下列判断中一定正确的是 A.在时刻,甲车在乙车前面 B.时刻后,甲车在乙车后面 C.在时刻,两车的位置相同 D.时刻后,乙车在甲车前面 二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.‎ ‎(一)必做题(9~12题)‎ ‎9.随机抽取某产品件,测得其长度分别为,则图3所示的程序框图输出的 ,表示的样本的数字特征是 .(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“:=”)‎ ‎10.若平面向量满足,平行于轴,,则 .‎ ‎11.巳知椭圆的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,且上一点到的两个焦点的距离之和为12,则椭圆的方程为 _________________ .‎ ‎12.已知离散型随机变量的分布列如右表.若,,则 , .‎ ‎(二)选做题(13 ~ 15题,考生只能从中选做两题)‎ ‎13.(坐标系与参数方程选做题)若直线与直线(为参数)垂直,则 .‎ ‎14.(不等式选讲选做题)不等式的实数解为 .‎ ‎15.(几何证明选讲选做题)如图4,点是圆上的点, 且,则圆的面积等于 .‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤,‎ ‎16.(本小题满分12分)‎ 已知向量互相垂直,其中.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若,求的值.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 根据空气质量指数API(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:‎ 对某城市一年(365天)的空气质量进行监测,获得API数据按照区间进行分组,得到频率分布直方图如图5‎ ‎(1)求直方图中的值; ‎ ‎(2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数;‎ ‎(3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.‎ ‎(结果用分数表示.已知,‎ ‎,‎ ‎)‎ ‎18.(本小题满分14分)‎ 如图6,已知正方体的棱长为2,点E是正方形的中心,点F、G分别是棱的中点.设点分别是点E、G在平面内的正投影.‎ ‎(1)求以E为顶点,以四边形在平面内 的正投影为底面边界的棱锥的体积;‎ ‎(2)证明:直线;‎ ‎(3)求异面直线所成角的正弦值 ‎19.(本小题满分14分)‎ 已知曲线与直线交于两点和,且.记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域(含边界)为 ‎.设点是上的任一点,且点与点和点均不重合.‎ ‎(1)若点是线段的中点,试求线段的中点的轨迹方程;‎ ‎(2)若曲线与有公共点,试求的最小值.‎ ‎20.(本小题满分14分)‎ 已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在处取得极小值.设.‎ ‎(1)若曲线上的点到点的距离的最小值为,求的值;‎ ‎(2)如何取值时,函数存在零点,并求出零点.‎ ‎21.(本小题满分14分)‎ 已知曲线.从点向曲线引斜率为的切线,切点为.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)证明:‎ ‎ ‎ 答 案 ‎1.解:,,所以 ‎ ‎ 故,选B ‎2. 解:因为 ,, ,所以满足的最小正整数的值是4。故,选C ‎.解:由函数是函数的反函数,可知,‎ 又其图像经过点,即,所以a=, 。故答B ‎。解:在中,令n=5,得,令n=3,得,‎ ‎ ‎ 又,所以,,从而解得,公比,,‎ ‎,,‎ 所以1+3+…+(2n-1)=‎ ‎5.解: 显然 ①和③是假命题,故否定A,B,C, 答 D.‎ ‎6.解:依题意,可知,所以,‎ ‎ ==28.‎ 所以,力的大小为, 答D。‎ ‎7。解:若小张和小赵两人都被选中,则不同的选派方案有种,‎ 若小张和小赵两人只有一人都被选中,则不同的选派方案有种,‎ 故, 总的不同的选派方案共有12+24=36种。 答A。‎ ‎8. 解:因为速度函数是路程函数的导函数,即,所以,‎ ‎ 根据定积分的定义,比较图中速度曲线分别与x轴及直线,‎ 围成的图形的面积,即可看出,应选A。‎ ‎9.解:记时求得的S值为,记初始值为,‎ ‎ 则,,‎ ‎,……,‎ 故,答案为(1) ;(2)这n件产品的平均长度。‎ ‎10。解:设,则,依题意,得 ‎ ,解得或,所以或。‎ ‎ 答: 或。‎ ‎11.解:设椭圆G的方程为,焦半径为c,‎ ‎ 依题意,得‎2a=12,且, 解得a=6,c=, 所以 所以, 椭圆G的方程为。‎ ‎12。解:依题意,得 ‎,解得 答: ; ‎ ‎13.解:直线化为普通方程是,‎ 该直线的斜率为,‎ ‎ 直线(为参数)化为普通方程是,‎ 该直线的斜率为,‎ 则由两直线垂直的充要条件,得, 。‎ ‎14。解:‎ ‎ 解得且。所以原不等式的解集为{x|且}‎ ‎15.解法一:连结OA,OB,则∠AOB=2∠ACB=90O,‎ 所以△AOB为等腰直角三角形,又,‎ 所以,圆O的半径R=,圆的面积等于 解法二:设圆O的半径为R,在△ABC中,由正弦定理,‎ 得,解得R=,‎ 所以,圆的面积等于 ‎16.解:(1)∵ 向量与互相垂直,‎ ‎∴ ,即①,‎ 又 ②‎ ‎① 代入②,整理,得,‎ 由,可知,‎ ‎∴,代入①得 故 , 。‎ ‎(2)∵,‎ ‎∴‎ ‎ 将(1)的结果代入其中,得 ‎ 整理,得③, 又④‎ ‎③代入④,整理,得 由,可知,‎ 所以,解得。‎ ‎17.解:(1)因为,在频率分布直方图中,各个小矩形的面积之和等于1,‎ 依题意,得 又 ‎ ‎ 所以 。‎ ‎(2)一年中空气质量为良和的天数为 (天);‎ 一年中空气质量为轻微污染的天数为 (天);‎ ‎(3)由(2)可知,在一年之中空气质量为良或轻微污染的天数共有119+100=219(天)‎ ‎ 所以,在一年之中的任何一天空气质量为良或轻微污染的概率是,‎ ‎ 设一周中的空气质量为良或轻微污染的天数为ξ,则ξ~B(7,)‎ ‎ ,(k=0,1,2,…,7)‎ 设“该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染”为事件A,则 ‎=‎ ‎ ==.‎ ‎18.(1)解:∵点D,分别是点A,E,G在平面内的正投影.‎ ‎∴四边形在平面内的正投影为四边形 ‎ 又⊥平面 ,且 ‎ 所以,所求锥体的体积为 ‎=‎ ‎(2)证明:∵⊥平面 ,平面 ,‎ ‎∴⊥‎ ‎∵在正方形中,分别是的中点,‎ ‎∴,‎ ‎∴ ‎ ‎∴⊥‎ ‎ 又∩=‎ ‎∴;‎ ‎(3)设的中点为H,连结EH,‎ ‎ 则EH∥∥CD,且EH==CD=2,‎ ‎ ∠AEH就是异面直线所成角 ‎ 又CD⊥平面,‎ ‎∴EH⊥平面 ‎ 在RT△AEH中,EH =2,AH=,所以EA=‎ 所以,异面直线所成角的正弦值为。‎ 解法2:(1)依题作点、在平面内的正投影、,则、分别为、的中点,连结、、、,则所求为四棱锥的体积,其底面面积为 ‎ ,‎ 又面,,∴.‎ ‎(2)以为坐标原点,、、所在直线分别作轴,轴,轴,得、,又,,,则,,,‎ ‎∴,,即,,‎ 又,∴平面.‎ ‎(3),,则,设异面直线所成角为,则.‎ ‎19.解:(1)解曲线C与直线的联立方程组,得,,‎ ‎ 又,所以点A,B的坐标分别为 ‎ ∵点是线段的中点 ‎∴点的坐标为 ‎∵点是上的任一点,且点与点和点均不重合.‎ ‎∴ , 即,且 设线段的中点为(x,y),‎ 则点M的轨迹的参数方程为(s为参数,且);‎ 消去s 整理,得,且 所以,线段的中点的轨迹方程是,;‎ ‎(2)曲线可化为,‎ 它是以G(a,2)为圆心,以为半径的圆,‎ 设直线与y轴相交于点E,则E点的坐标为E(0,2);‎ 自点A做直线的垂线,交直线y=2 于点F,‎ 在RT△EAF中,∠AEF= ,,所以,‎ ‎∵ ,‎ ‎ ∴当且圆G与直线相切时,圆心G必定在线段FE上,‎ 且切点必定在线段AE上,‎ 于是,此时的a的值就是所求的最小值。‎ 当圆G与直线相切时 ,‎ ‎ 解得,或者(舍去)‎ 所以,使曲线G与平面区域D有公共点的a的最小值是.‎ ‎(备注:讨论圆G与直线切点的位置的必要性。若圆G的半径大于|AF|,则圆G与直线的切点将落在线段EA的延长线上,此时,圆G与平面区域D没有公共点,这时令圆G过点A,求出的a 的两个值,其中的那个较小的数,才是所求。)‎ ‎20.解:设二次函数的解析式为 ‎ 则它的导函数为,‎ ‎∵ 函数的图像与直线平行,‎ ‎∴ ‎2a=2,解得a=1,‎ 所以 ,‎ ‎∵在处取得极小值 ‎∴,即,解得。‎ 所以 ,=()‎ ‎(1)设点点P(,)为曲线上的任意一点 则点P到点的距离为 由基本不等式定理可知,‎ 当且仅当时,等号“=”成立,此时=‎ 又已知点P到点的距离的最小值为,所以令 两边平方整理, 得 当时,,解得 当时,,解得 所以,的值为或者;‎ ‎(2)函数令=()‎ 令,即(),‎ 整理,得(),①‎ 函数存在零点,等价于方程①有非零实数根,‎ 由可知,方程①不可能有零根,‎ 当k=1 时,方程①变为,解得,方程①有唯一实数根,‎ ‎ 此时, 函数存在唯一的零点;‎ 当k≠1 时,方程①根的判别式为,‎ ‎ 令=0,解得,‎ 方程①有两个相等的实数根,‎ ‎ 此时, 函数存在唯一的零点;‎ 令>0,得m(1-k)<1 ,‎ 当m>0时,解得,‎ 当m<0时,解得,‎ 以上两种情况下,方程①都有两个不相等的实数根 ‎,‎ ‎ 此时, 函数存在两个零点 ‎,‎ 综上所述,函数存在零点的情况可概括为 当k=1 时,函数存在唯一的零点;‎ 当时,函数存在唯一的零点;‎ 当 m>0且,或者m<0且时,函数存在两个零点 ‎,。‎ ‎21.(1)解:曲线可化为,‎ ‎ 所以,它表示以为圆心,以n 为半径的圆,‎ ‎ 切线的方程为,‎ ‎ 联立,消去y 整理,得,①‎ ‎ ,‎ ‎ 令,解得, ‎ ‎ 此时,方程①化为 ‎ 整理,得,解得,‎ ‎ 所以 ‎ ‎∴数列的通项公式为 数列的通项公式为。‎ ‎(2)证明:∵,‎ ‎ ‎ ‎ ∴‎ ‎ ==‎ ‎ ∵=,又 ‎ 令,则,‎ 要证明,只需证明当时,恒成立即可。‎ ‎ 设函数,‎ ‎ 则,‎ ‎ ∵ 在区间上为增函数,‎ ‎∴当时,,‎ ‎ ∴在区间上为单调递减函数,‎ ‎∴ 对于一切很成立, ‎ ‎∴ ,即=‎ 综上,得
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