北京理科数学高考试题及答案

北京理科数学高考试题及答案

‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷）‎ 本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 第一部分（选择题共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎（1）已知集合A=xx‎<2‎‎，‎B=‎-1，0，1，2，3‎，则AB=‎ ‎（A）‎0, 1‎ （B）‎0, 1, 2‎ （C）‎-1, 0, 1‎ （D）‎-1, 0, 1, 2‎ ‎ ‎（2）若x, y满足‎2x-y≤0,‎x+y≤3,‎x≥0, ‎则2x+y的最大值为 ‎（A）0 （B）3 （C）4 （D）5‎ ‎（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为 ‎（A）1 ‎ ‎（B）2‎ ‎（C）3 ‎ ‎（D）4‎ ‎（4）设a,b是向量，则“|a|=|b|”是“|a‎+‎b|=|a‎-‎b|”的 ‎（A） 充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C） 充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（5）已知x, y‎∈‎R,且x‎>‎y‎>‎0，则 ‎（A）‎1‎x‎-‎1‎y>0‎ （B）‎sinx‎-siny‎>0‎ ‎（C）‎(‎1‎‎2‎‎)‎x-(‎1‎‎2‎‎)‎y<‎0 （D）‎lnx+lny>0‎ 9‎ ‎（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ 正（主）视图 侧（左）视图 俯视图 ‎（A）‎1‎‎6‎ ‎ ‎（B）‎‎1‎‎3‎ ‎（C）‎‎1‎‎2‎ ‎（D）1‎ ‎（7）将函数y=sin‎(2x﹣‎π‎3‎‎)‎图象上的点P(π‎4‎, t )向左平移s（s﹥0） 个单位长度得到点P′.‎ 若P′位于函数y=sin‎2x的图象上，则 ‎（A）t=‎‎1‎‎2‎ ，s的最小值为π‎6‎ （B）t=‎‎3‎‎2‎ ，s的最小值为π‎6‎ ‎ ‎（C）t=‎‎1‎‎2‎ ，s的最小值为π‎3‎ （D）t=‎‎3‎‎2‎ ，s的最小值为π‎3‎ ‎ ‎（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，‎ 将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过 程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 ‎（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 ‎ ‎（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 第二部分（非选择题　共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎（9）设a‎∈‎R，若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________.‎ ‎（10）在‎(1-2x)‎‎6‎的展开式中，x‎2‎的系数为__________________.（用数字作答）‎ ‎（11）在极坐标系中，直线ρcosθ-‎3‎ρsinθ-1=0‎与圆ρ=2‎cosθ交于A, B两点，‎ ‎ 则 AB=____________________.‎ ‎（12）已知an为等差数列，Sn为其前n项和，若a‎1‎‎=6‎ ，a‎3‎‎+a‎5‎=0‎，则S‎6‎‎=______________‎.‎ ‎（13）双曲线 x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1 (a>0,b>0)‎的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B 为该双曲线的焦点. 若正方形OABC的边长为2，则a=_______________.‎ ‎（14）设函数fx=‎x‎3‎‎-3x， x≤a,‎‎-2x， x>a.‎ ‎ ①若a=0，则f(x)‎的最大值为____________________；‎ ‎ ②若f(x)‎无最大值，则实数a的取值范围是_________________.‎ 9‎ 三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）‎ ‎（15）（本小题13分）‎ 在△ABC中，a‎3‎‎+c‎3‎=b‎3‎+‎2‎ac.‎ ‎（Ⅰ）求‎∠B的大小;‎ ‎（Ⅱ）求‎2‎cosA‎+‎cosC的最大值.‎ ‎（16）（本小题13分）‎ A, B, C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；‎ A班 ‎6‎ ‎6.5‎ ‎7‎ ‎7.5‎ ‎8‎ B班 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C班 ‎3‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎7.5‎ ‎9‎ ‎10.5‎ ‎12‎ ‎13.5‎ ‎（Ⅰ）试估计C班的学生人数；‎ ‎（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设 所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；‎ ‎（Ⅲ）再从A, B, C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），‎ 这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记μ‎1‎ ，表格中数据的平均数记为 μ‎0‎ ，试判断 ‎ μ‎0‎和μ‎1‎的大小.（结论不要求证明）‎ ‎（17）（本小题14分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD, AB⊥AD, AB=1, AD=2, AC=CD=‎‎5‎.‎ ‎（Ⅰ）求证：PD⊥‎平面PAB; ‎ ‎（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD?若存在，‎ 求AMAP的值；若不存在，说明理由.‎ ‎（18）（本小题13分）‎ 设函数fx=xea-x+bx，曲线y=f(x)‎在点‎(2,f(2))‎处的切线方程为y=(e-1)x+4‎.‎ ‎（Ⅰ）求a,b的值；‎ ‎（Ⅱ）求f(x)‎的单调区间.‎ ‎（19）（本小题14分）‎ 9‎ 已知椭圆C：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的离心率为‎3‎‎2‎，Aa,0‎,B‎0,b,O(0,0)‎，△OAB的面积为1.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.‎ 求证：‎|AN|∙|BM|‎为定值.‎ ‎（20）（本小题13分）‎ ‎ 设数列A：a‎1‎‎,a‎2‎,⋯,aN(N≥2)‎.如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有ak‎<‎an，则称n是数列A的一个“G时刻”.记“G(A)是数列A的所有“G时刻”组成的集合.‎ ‎（Ⅰ）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G(A)的所有元素；‎ ‎（Ⅱ）证明：若数列A中存在an使得an‎>‎a‎1‎，则G(A)≠∅‎;‎ ‎（Ⅲ）证明：若数列A满足an‎-an-1‎≤1‎（n=2,3, …,N）,则G(A)的元素个数不小于aN‎-‎a‎1‎.‎ ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷）参考答案 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎（1）C （2）C （3）B （4）D ‎（5）C （6）A （7）A （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎（9） （10）‎ ‎（11) （12）‎ ‎（13） （14） ‎ 三、解答题（共6小题，共80分）‎ ‎（15）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）由余弦定理及题设得.‎ 又因为，所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知.‎ 9‎ ‎,‎ 因为，所以当时，取得最大值.‎ ‎（16）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）由题意知，抽出的名学生中，来自班的学生有名.根据分层抽样方法，班的学生人数估计为.‎ ‎（Ⅱ）设事件为“甲是现有样本中班的第个人”，，‎ 事件为“乙是现有样本中班的第个人”，，‎ 由题意可知，，；，.‎ ‎,,.‎ 设事件为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知，‎ 因此 ‎（Ⅲ）.‎ ‎（17）（共14分）‎ 解：（Ⅰ）因为平面平面，，‎ 所以平面.‎ 所以.‎ 又因为，‎ 所以平面.‎ ‎（Ⅱ）取的中点，连结.‎ 因为，所以.‎ 又因为平面，平面平面，‎ 所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ 因为，所以.‎ 如图建立空间直角坐标系.由题意得，‎ 9‎ ‎.‎ 设平面的法向量为，则 即 令，则.‎ 所以.‎ 又，所以.‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎（Ⅲ）设是棱上一点，则存在使得.‎ 因此点.‎ 因为平面，所以平面当且仅当，‎ 即，解得.‎ 所以在棱上存在点使得平面，此时.‎ ‎（18）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）因为，所以.‎ 依题设，即 解得.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知.‎ 9‎ 由即知，与同号.‎ 令，则.‎ 所以，当时，，在区间上单调递减；‎ 当时，，在区间上单调递增.‎ 故是在区间上的最小值，‎ 从而.‎ 综上可知，，，故的单调递增区间为.‎ ‎（19）（共14分）‎ 解：（Ⅰ）由题意得解得.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ 设，则.‎ 当时，直线的方程为.‎ 令，得.从而.‎ 直线的方程为.‎ 令，得.从而.‎ 所以 9‎ ‎.‎ 当时，，‎ 所以.‎ 综上，为定值.‎ ‎（20）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）的元素为和.‎ ‎（Ⅱ）因为存在使得，所以.‎ 记，‎ 则，且对任意正整数.‎ 因此，从而.‎ ‎（Ⅲ）当时，结论成立.‎ 以下设.‎ 由（Ⅱ）知.‎ 设，记.‎ 则.‎ 对，记.‎ 如果，取，则对任何.‎ 从而且.‎ 又因为是中的最大元素，所以.‎ 从而对任意，，特别地，.‎ 对.‎ 因此.‎ 9‎ 所以.‎ 因此的元素个数不小于.‎ 9‎