高考试题与答案全国卷2数学理1

高考试题与答案全国卷2数学理1

绝密★启用前 【考试时间：6月7日 15:00—17:00】‎ ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷分第Ⅰ（选择题）卷和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。满分150分，考试用时120分钟。‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码的准考证号码、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。‎ ‎2．每小题选出答案后，用2B铅笔吧答题卡上对应题目的答案涂黑。如需改动用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试卷上的答案无效。‎ 球的表面积公式 S=4‎ 其中R表示球的半径，‎ 球的体积公式 V=，‎ 其中R表示球的半径 参考公式：‎ 如果事件A、B互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B）‎ 如果事件A、B相互独立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B）‎ 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 Pn(k)=CPk(1－P)n－k 本卷12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 一．选择题 ‎（1）设集合,,则 A． B. C. D ‎(2)设a，b∈R且b≠0，若复数是实数，则 A． B. C. D.‎ ‎(3)函数的图像关于 A． y轴对称 B.直线y=-x C.坐标原点对称 D.直线y=x ‎(4)若，,,,则 A． B. C. D. ‎ ‎（5）设变量x,y满足约束条件：则的最小值为：‎ A．-2 B.‎-4 C. -6 D.-8‎ ‎（6）从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为 A． B. C. D. ‎ ‎（7）的展开式中x的系数是 A．-4 B.‎-3 C.3 D.4‎ ‎（8）若动直线与函数和的图像分别交于M、N两点，则的最大值为 A．1 B. C. D.2‎ ‎（9）设，则双曲线的离心率e的取值范围是 A． B. C. D. ‎ ‎（10）已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为 A． B. C. D. ‎ ‎（11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为和，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 A． B. C. D. ‎ ‎（12）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于 A． B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二．填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。）把答案填在答题卡上。‎ ‎（13）设向量a=（1，2），b=（2，3）.若向量λa+b与向量c=（4，-7）共线，则λ= ‎ ‎ .‎ ‎(14)设曲线在点（0，1）处的切线与直线垂直，则a= .‎ ‎(15)已知F为抛物线C：的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点.设.则与的比值等于 .‎ ‎(16)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行.类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：‎ 充要条件① ;‎ 充要条件② .‎ ‎(写出你认为正确的两个充要条件)‎ 三．解答题：本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎(17)（本小题满分10分）‎ 在△ABC中，，.‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎(Ⅱ)求△ABC的面积,求BC的长.‎ ‎18）（本大题满分12分）‎ 购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金.假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为.‎ ‎(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率p； ‎ ‎(Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）.‎ ‎(19)( 本大题满分12分)‎ 如图，正四棱柱中，,点E在上且.‎ ‎(Ⅰ)证明：平面;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的大小.‎ ‎(20) （本大题满分12分）‎ 设数列的前n项和为.已知，，.‎ ‎(Ⅰ)设，求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ) 若，，求a的取值范围.‎ ‎(21) （本大题满分12分）‎ 设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)、B(0,1)是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相较于E、F两点.‎ ‎(Ⅰ)若 ,求k的值；‎ 求四边形AEBF面积的最大值. ‎ ‎(22) （本大题满分12分）‎ 设函数.‎ ‎(Ⅰ)求的单调期间；‎ ‎(Ⅱ)如果对任何，都有，求a的取值范围.‎ ‎2008年高考试题答案（理）‎ 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B A C C D D B B B C A C 提示：‎ ‎1、‎ ‎2、‎ ‎3、为奇函数 ‎4、‎ ‎5、当时，‎ ‎6、‎ ‎7、的系数为 ‎8、‎ ‎9、=‎ ‎ 在为单增函数，‎ ‎10、连结AC、BD相交于O点，连结OE，则OE//SO，所以为所求角，设AB=2，则OE=1，AE=，AO=，‎ ‎11、设底边斜率为Ｋ，直线与的斜率分别为 ‎　　，又原点在底边上，所以Ｋ＝３‎ ‎12、与的公共弦为AB，球心为Ｏ，AB中点为C，则四边形为矩形，所以 Ｏ Ｏ２‎ Ｃ Ｏ１‎ 二、填空题 ‎13、 ； ‎ ‎14、，当时；‎ ‎15、设AB所在直线方程为，‎ ‎； ‎ ‎16.两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形。‎ ‎ 注：上面给出了四个充要条件。如果考生写出其他正确答案，同样给分。‎ 三、解答题 ‎17．解：（Ⅰ）由，得，‎ 由，得．‎ 所以． 5分 ‎（Ⅱ）由得，‎ 由（Ⅰ）知，‎ 故， 8分 又，‎ 故，．‎ 所以． 10分 ‎18．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人中出险的人数为，则．‎ ‎（Ⅰ）记表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当， 2分 ‎，‎ 又，‎ 故． 5分 ‎（Ⅱ）该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和．‎ 支出 ，‎ 盈利 ，‎ 盈利的期望为 ， 9分 由知，，‎ ‎．‎ ‎（元）．‎ 故每位投保人应交纳的最低保费为15元． 12分 ‎19．解法一：‎ 依题设知，．‎ ‎（Ⅰ）连结交于点，则．‎ 由三垂线定理知，． 3分 A B C D E A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ F H G 在平面内，连结交于点，‎ 由于，‎ 故，，‎ 与互余．‎ 于是．‎ 与平面内两条相交直线都垂直，‎ 所以平面． 6分 ‎（Ⅱ）作，垂足为，连结．由三垂线定理知，‎ 故是二面角的平面角． 8分 ‎，‎ ‎，．‎ ‎，．‎ 又，．‎ ‎．‎ A B C D E A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ y x z 所以二面角的大小为． 12分 ‎ 解法二：‎ 以为坐标原点，射线为轴的正半轴，‎ 建立如图所示直角坐标系．‎ 依题设，．‎ ‎，‎ ‎． 3分 ‎（Ⅰ）因为，，‎ 故，．‎ 又，‎ 所以平面． 6分 ‎（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则 ‎，．‎ 故，．‎ 令，则，，． 9分 等于二面角的平面角，‎ ‎．‎ 所以二面角的大小为． 12分 ‎20．解：‎ ‎（Ⅰ）依题意，，即，‎ 由此得． 4分 因此，所求通项公式为 ‎，．① 6分 ‎（Ⅱ）由①知，，‎ 于是，当时，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，‎ ‎．‎ 又．‎ 综上，所求的的取值范围是． 12分 ‎21．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为，‎ 直线的方程分别为，． 2分 如图，设，其中，‎ D F B y x A O E 且满足方程，‎ 故．①‎ 由知，得；‎ 由在上知，得．‎ 所以，‎ 化简得，‎ 解得或． 6分 ‎（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，‎ ‎． 9分 又，所以四边形的面积为 ‎，‎ 当，即当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分 解法二：由题设，，．‎ 设，，由①得，，‎ 故四边形的面积为 ‎ 9分 ‎，‎ 当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分 ‎22．解：‎ ‎（Ⅰ）． 2分 当（）时，，即；‎ 当（）时，，即．‎ 因此在每一个区间（）是增函数，‎ 在每一个区间（）是减函数． 6分 ‎（Ⅱ）令，则 ‎．‎ 故当时，．‎ 又，所以当时，，即． 9分 当时，令，则．‎ 故当时，．‎ 因此在上单调增加．‎ 故当时，，‎ 即．‎ 于是，当时，．‎ 当时，有．‎ 因此，的取值范围是． 12分