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文档介绍
高中高考数学解析几何单元易错题练习及答案解析
高中高考数学解析几何单元易错题练习及答案解析 一．考试内容： 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 二．考试要求： (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用. 【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题. 三．基础知识: (一)椭圆及其标准方程 1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于||这个条件不可忽视.若这个距离之和小于||，则这样的点不存在；若距离之和等于||，则动点的轨迹是线段. 2.椭圆的标准方程：（＞＞0），（＞＞0）. 3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上. 4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. (二)椭圆的简单几何性质 1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为（＞＞0）. ⑴ 范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. ⑶ 顶点：有四个（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）. 线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点. ⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义 ⑴ 定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数（e＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆. ⑵ 准线：根据椭圆的对称性，（＞＞0）的准线有两条，它们的方程为.对于椭圆（＞ ＞0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即. 3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径. 设（-c，0），（c，0）分别为椭圆（＞＞0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为，. 椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便. 椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有=+、两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件. 4.椭圆的参数方程 椭圆（＞＞0）的参数方程为（θ为参数）. 说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：； ⑵ 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. 92.椭圆的参数方程是. 5.椭圆的的内外部 （1）点在椭圆的内部. （2）点在椭圆的外部. 6. 椭圆的切线方程 (1)椭圆上一点处的切线方程是. （2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是. （3）椭圆与直线相切的条件是 (三)双曲线及其标准方程 1. 双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a（小于||）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜||，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=||，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞||，则无轨迹. 若＜时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若＞ 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”. 1. 双曲线的标准方程：和（a＞0，b＞0）.这里，其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. (四)双曲线的简单几何性质 1.双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率＞1，离心率e越大，双曲线的开口越大. 2. 双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：，其中k是一个不为零的常数. 3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是和.双曲线的焦半径公式 ，. 4.双曲线的内外部 (1)点在双曲线的内部. (2)点在双曲线的外部. 5.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为渐近线方程：. (2)若渐近线方程为双曲线可设为. (3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）. 6. 双曲线的切线方程 (1)双曲线上一点处的切线方程是. （2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是. （3）双曲线与直线相切的条件是. (五)抛物线的标准方程和几何性质 1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。 需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。 2．抛物线的方程有四种类型： 、、、. 对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。 3．抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例 （1）范围：x≥0； （2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出； （3）顶点：O（0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）； （4）离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的； （5）准线方程； （6）焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1），F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）： （7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的倾斜角为α，则有①|AB|=x+x+p 以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。 （8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x+bx+c=0，当a≠0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。 4.抛物线上的动点可设为P或 P，其中 . 5.二次函数的图象是抛物线： （1）顶点坐标为；（2）焦点的坐标为；（3）准线方程是. 6.抛物线的内外部 (1)点在抛物线的内部. 点在抛物线的外部. (2)点在抛物线的内部. 点在抛物线的外部. (3)点在抛物线的内部. 点在抛物线的外部. (4) 点在抛物线的内部. 点在抛物线的外部. 7. 抛物线的切线方程 (1)抛物线上一点处的切线方程是. （2）过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）抛物线与直线相切的条件是. (六).两个常见的曲线系方程 (1)过曲线,的交点的曲线系方程是 (为参数). (2)共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中.当时,表示椭圆; 当时,表示双曲线. (七)直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或 （弦端点A，由方程 消去y得到，,为直线的倾斜角，为直线的斜率）. (八).圆锥曲线的两类对称问题 （1）曲线关于点成中心对称的曲线是. （2）曲线关于直线成轴对称的曲线是 . 四．基本方法和数学思想 1.椭圆焦半径公式：设P（x0,y0）为椭圆（a>b>0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则（e为离心率）； 2.双曲线焦半径公式：设P（x0,y0）为双曲线 （a>0,b>0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则: （1）当P点在右支上时，； （2）当P点在左支上时，；（e为离心率）； 另：双曲线（a>0,b>0）的渐进线方程为； 3.抛物线焦半径公式：设P（x0,y0）为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，F为焦点，则；y2=2px(p＜0)上任意一点，F为焦点，； 4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题； 5.共渐进线的双曲线标准方程为为参数，≠0）； 6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式， 一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则弦长 ,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想； 7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为，焦准距为p=，抛物线的通径为2p，焦准距为p; 双曲线（a>0，b>0）的焦点到渐进线的距离为b; 8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax2+Bx2＝1； 9.抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（x1,y1）、B(x2,y2),则有如下结论：（1）＝x1+x2+p;（2）y1y2=－p2，x1x2=; 10.过椭圆（a>b>0）左焦点的焦点弦为AB，则，过右焦点的弦； 11.对于y2=2px(p≠0)抛物线上的点的坐标可设为（，y0）,以简化计算; 12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1，y1)、B(x2,y2)为椭圆（a>b>0）上不同的两点，M(x0,y0)是AB的中点，则KABKOM=；对于双曲线（a>0，b>0），类似可得：KAB.KOM=；对于y2=2px(p≠0)抛物线有KAB＝ 13.求轨迹的常用方法： （1）直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)＝0，是求轨迹的最基本的方法； （2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可； （3）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1)的变化而变化，并且Q(x1,y1)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示x1、y1，再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程； （4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程； （5）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。 例题1 求过点（2，1）且与两坐标所围成的三角形面积为4的直线方程。 错解：设所求直线方程为。 ∵（2，1）在直线上，∴， ① 又，即ab = 8 ， ② 由①、②得a = 4，b = 2。故所求直线方程为x + 2 y = 4 。 剖析：本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示。上述解法中，由于对截距概念模糊不清，误将直线在x轴和y轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”。 事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为，而不是ab。 故所求直线方程应为： x + 2 y = 4，或（+1）x - 2（-1）y – 4 = 0，或（- 1）x - 2（+1）y +4 = 0。 例题2 已知三角形的三个顶点为A（6，3），B（9，3），C（3，6），求A。 错解：∵ kAB = 0 ，k AC = = -1，∴ tanA===1. 又0＜A＜1800，∴ A=450。 剖析：本题的“陷阱”是公式的选取，上述解法中把“到角”与“夹角”的概念混为一谈，错误地选用了夹角公式。 事实上，所求角应是直线AB到AC（注意：不是AC到AB）的角。 因此，∴ tanA== - 1，A=1350。 例题3 求过点A（-4，2）且与x轴的交点到（1，0）的距离是5的直线方程。 错解：设直线斜率为k，其方程为y – 2 = k（x + 4），则与x轴的交点为（-4-，0）， ∴，解得k = -。故所求直线的方程为x + 5y – 6 = 0 。 剖析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A且垂直于x轴的直线，落入“陷阱”。其实x = - 4也符合题意。 例题4 求过点（1，1）且横、纵截距相等的直线方程。 错解：设所求方程为，将（1，1）代入得a = 2， 从而得所求直线方程为x + y – 2 = 0。 剖析：上述错解所设方程为，其中不含横、纵截距为0的特殊情形，事实上，横、纵截距为0且过点（1，1）的直线y = x 也符合条件。 例题5 已知圆的方程为x2 + y2 + ax + 2y + a2 = 0 ，一定点为A（1，2），要使过A点作圆的切线有两条，求a的取值范围。 错解：将圆的方程配方得： ( x + )2 + ( y + 1 )2 = 。 ∵其圆心坐标为C（－，－1），半径r ＝。 当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，则 ＞ r 。 即 ＞。即a2 + a + 9 ＞ 0，解得a∈R。 剖析：本题的“陷阱”是方程x2 + y2 + ax + 2y + a 2= 0表示圆的充要条件，上述解法仅由条件得出 ＞ r ，即a2 + a + 9 ＞ 0，却忽视了a的另一制约条件4 – 3 a2 ＞ 0。 事实上，由a2 + a + 9 ＞ 0及4 – 3 a2 ＞ 0可得a的取值范围是（）。 例题6 已知直线L：y = x + b与曲线C：y =有两个公共点，求实线b的取值范围。 错解：由消去x得：2y2 - 2by + b2 – 1 = 0。 （ * ） ∵ L与曲线C有两个公共点， ∴ = 4b2 – 8 ( b2 －1 ) > 0，解得－＜b＜ 剖析：上述解法忽视了方程y =中y ≥ 0 ，－ 1 ≤ x ≤ 1这一限制条件，得出了错误的结论。 事实上，曲线C和直线L有两个公共点等价于方程（*）有两个不等的非负实根。 解得1≤ b ≤。 例题7 等腰三角形顶点是A（4，2），底边的一个端点是B（3，5），求另一个端点C的轨迹方程。 错解：设另一个端点的坐标为（ x ，y ），依题意有： =，即：= ∴ （x - 4）2 + (y - 2) 2 = 10即为C点的轨迹方程。 这是以A（4，2）为圆心、以为半径的圆。 剖析：因为A、B、C三点为三角形三个顶点，所以A、B、C三点不共线，即B、C不能重合，且不能为圆A一直径的两个端点，这正是解题后没有对轨迹进行检验，出现增解，造成的解题错误。 事实上，C点的坐标须满足，且， 故端点C的轨迹方程应为（x - 4）2 + ( y-2 )2 = 10 ( x3,y5；x5,y－1)。 它表示以（4，2）为圆心，以为半径的圆，除去（3，5）（5，-1）两点。 例题8 求z = 3 x + 5 y的最大值和最小值，使式中的x ，y满足约束条件： 错解：作出可行域如图1所示，过原点作直线L0：3 x + 5 y = 0 。 由于经过B点且与L0平行的直线与原点的距离最近， 故z = 3 x + 5 y在B点取得最小值。解方程组，得B点坐标为（3，0），∴ z最小＝33＋50=9。 由于经过A点且与L0平行的直线与原点的距离最大， 故z = 3x + 5y在A点取得最大值。 解方程组，得A点坐标为（，）。 ∴ z最大＝3＋5= 17 。 剖析：上述解法中，受课本例题的影响，误认为在对过原点的直线L0的平行移动中，与原点距离最大的直线所经过的可行域上的点，即为目标函数Z取得最大值的点。反之，即为Z取得最小值的点，并把这一认识移到不同情况中加以应用，由此造成了解题失误。 事实上，过原点作直线L0：3x + 5y = 0，由于使z = 3x + 5y ＞ 0的区域为直线L0的 右上方，而使z = 3x + 5y ＜ 0的区域为L0的 左下方。由图知：z = 3x + 5y应在A点取得最大值，在C点取得最小值。 解方程组，得C（－2，－1）。 ∴ z最小＝3（－2）＋5（－1）= －11。 例题9 已知正方形ABCD 对角线AC所在直线方程为 .抛物线过B，D两点 （1）若正方形中心M为（2，2）时，求点N(b,c)的轨迹方程。 （2）求证方程的两实根，满足 解答：（1）设 因为 B,D在抛物线上 所以两式相减得 则代入（1） 得 故点的方程是一条射线。 （2）设 同上 （1）-（2）得 （1）+（2）得 （3）代入（4）消去得 得 又即的两根满足 故。 易错原因：审题不清，忽略所求轨迹方程的范围。 例题10 已知双曲线两焦点，其中为的焦点，两点A (-3,2) B (1,2)都在双曲线上，（1）求点的坐标；（2）求点的轨迹方程，并画出轨迹的草图；（3）若直线与的轨迹方程有且只有一个公共点，求实数 t的取值范围。 解答：（1）由得：，故 （2）设点，则又双曲线的定义得 又 或 点的轨迹是以为焦点的椭圆 除去点或除去点 图略。 （3）联列：消去得 整理得： 当时 得 从图可知：， 又因为轨迹除去点 所以当直线过点时也只有一个交点，即或5 易错原因：（1）非标准方程求焦点坐标时计算易错；（2）求点的轨迹时易少一种情况；（3）对有且仅有一个交点误认为方程只有一解。 例题11 已知圆，圆都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程。 错解：圆O2：，即为 所以圆O2的圆心为,半径, 而圆的圆心为,半径, 设所求动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r 则且，所以 即，化简得 即为所求动圆圆心的轨迹方程。 剖析：上述解法将=3看成,误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这是双曲线的概念不清所致。 事实上，|表示动点M到定点及的距离差为一常数3。 且,点M的轨迹为双曲线右支，方程为 例题12 点P与定点F（2，0）的距离和它到直线x=8的距离比是1：3,求动点P与定点距离的最值。 错解：设动点P(x,y)到直线x=8的距离为d，则 即 两边平方、整理得=1 （1） 由此式可得： 因为 所以 剖析 由上述解题过程知,动点P(x,y) 在一椭圆上，由椭圆性质知，椭圆上点的横纵坐标都是有限制的，上述错解在于忽视了这一取值范围，由以上解题过程知，的最值可由二次函数在区间上的单调性给予解决 即：当时， 例题13 已知双曲线的离心率e=, 过点A（）和B(a,0)的直线与原点的距离为,直线y=kx+m与该双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m 的取值范围。 错解 由已知，有 解之得： 所以双曲线方程为 把直线 y=kx+m代入双曲线方程，并整理得： 所以(1) 设CD中点为，则APCD，且易知： 所以 (2) 将(2)式代入(1)式得 解得m>4或 故所求m的范围是 剖析 上述错解，在于在减元过程中，忽视了元素之间的制约关系， 将代入(1) 式时，m受k的制约。 因为 所以故所求m的范围应为m>4或 例题14 椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率,已知点P（ ）到椭圆上的点最远距离是，求这个椭圆的方程。 错解 设所求椭圆方程为 因为，所以a=2b 于是椭圆方程为 设椭圆上点M（x,y）到点P 的距离为d, 则： 所以当时，有 所以所求椭圆方程为 剖析 由椭圆方程得 由(1)式知是y的二次函数，其对称轴为 上述错解在于没有就对称轴在区间内或外进行分类， 其正解应对f(y)=的最值情况进行讨论： （1）当，即时 =7,方程为 （2）当, 即时， ，与矛盾。 综上所述，所求椭圆方程为 例题15 已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q 两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。 错解 设符合题意的直线存在，并设、 则 （1）得 因为A（1，1）为线段PQ的中点，所以 将(4)、(5)代入（3）得 若，则直线的斜率 所以符合题设条件的直线存在。其方程为 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。 应在上述解题的基础上，再由 得 根据,说明所求直线不存在。 例题16 已知椭圆，F为它的右焦点，直线过原点交椭圆C于A、B两点。求是否存在最大值或最小值？若不存在，说明理由。 错解 设A、B两点坐标分别为、 因为， 所以， 又椭圆中心为（1，0）,右准线方程为x=5， 所以 即，同理 所以 设直线的方程为y=kx，代入椭圆方程得 所以 代入(1)式得 所以，所以|有最小值3,无最大值。 剖析 上述错解过程忽视了过原点斜率不存在的直线，当的斜率不存在时， 有 所以有最小值为 3，最大值为25/4 课后练习题 1、圆x2 + 2x + y2 + 4y –3 = 0上到直线x + y + 1 = 0的距离等于的点共有（ ） A、1个 B、 2个 C、 3个 D、 4个 分析：这里直线和圆相交，很多同学受思维定势的影响，错误地认为圆在此直线的两侧各有两点到直线的距离为，导致错选（ D ）。 事实上，已知圆的方程为： （x +1）2 + (y+2) 2 = 8，这是一个 以（-1，-2）为圆心，以2为 半径的圆，圆的圆心到直线 x + y + 1 = 0的距离 为d==， 这样只需画出（x +1）2 + (y+2) 2 = 8 和直线x + y + 1 = 0以及和x + y + 1 = 0的距离为的平行直线即可。 如图2所示，图中三个点A、B、C为所求，故应选（C）。 2、过定点（1，2）作两直线与圆相切，则k的取值范围是 A k>2 B -3查看更多