步步高高考数学二轮复习 专题五 直线与圆锥曲线
第3讲 直线与圆锥曲线
(推荐时间：60分钟)
一、填空题
1．若抛物线y2＝2x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若AB＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为________．
2．若直线y＝x＋t与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，当t变化时，AB的最大值是________．
3．(2011·天津改编)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为________．
4．过双曲线－＝1右焦点的直线交双曲线所得的弦长为2a，若这样的直线有且仅有两条，则离心率为______．
5．(2011·山东改编)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是________．
6．设O为坐标原点，F1、F2是－＝1(a>0，b>0)的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2＝60°，OP＝a，则该双曲线的渐近线方程为____________．
7．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若
0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．
9．椭圆C：＋＝1及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4 (m∈R)的位置关系是________．
10．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AB⊥l，垂足为B，则四边形ABEF的面积为________．
11．如图，过抛物线y＝x2的焦点的直线交抛物线与圆x2＋(y－1)2＝1于A、B、C、D四点，则AB·CD＝______.
12．连结双曲线－＝1和－＝1(其中a>b>0)的四个顶点的四边形面积为S1，连结四个焦点的四边形的面积为S2，则当的值为最大时，双曲线－＝1的离心率为________．
二、解答题
13．已知实数m>1，定点A(－m,0)，B(m，0)，S为一动点，点S与A，B两点连线斜率之积为－.
(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；
(2)当m＝时，问t取何值时，直线l：2x－y＋t＝0(t>0)与曲线C有且只有一个交点？
14.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y＝x2的焦点，离心率等于.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若＝λ1，＝λ2，求证λ1＋λ2为定值．
15．已知椭圆C：＋＝1 (a>b>0)的离心率为，椭圆C上任意一点到椭圆两焦点的距离之和为6.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l：y＝kx－2与椭圆C交于A，B两点，点P(0,1)，且PA＝PB，求直线l的方程．
答 案
1. 2. 3.2 4.
5．(2，＋∞) 6.x±y＝0
7．(，) 8.－＝1
9．相交 10．6 11．1 12.
13．解 (1)设S(x，y)，
则kSA＝，kSB＝.
由题意得＝－，
即＋y2＝1(x≠±m)．
∵m>1，∴轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴长为2m，短轴长为2.
(2)当m＝时，曲线C的方程为＋y2＝1(x≠±)．
由消去y得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.
①令Δ＝64t2－36×2(t2－1)＝0，得t＝±3，∵t>0，∴t＝3.
此时直线l与曲线C有且只有一个公共点．
②令Δ>0且直线2x－y＋t＝0恰好过点(－，0)时，t＝2.
此时直线与曲线C有且只有一个公共点．
综上所述，当t＝3或2时，直线l与曲线C有且只有一个公共点．
14．(1)解 设椭圆C的方程为＋＝1 (a>b>0)，
则由题意知b＝1，∴＝.
即＝.∴a2＝5.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)方法一 设A、B、M点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)．
易知F点的坐标为(2,0)．
∵＝λ1，
∴(x1，y1－y0)＝λ1(2－x1，－y1)，
∴x1＝，y1＝.
将A点坐标代入到椭圆方程中，得
2＋2＝1.
去分母整理得λ＋10λ1＋5－5y＝0.
同理，由＝λ2可得λ＋10λ2＋5－5y＝0，
∴λ1，λ2是方程x2＋10x＋5－5y＝0的两个根，∴λ1＋λ2＝－10.
故λ1＋λ2为定值．
方法二 设A、B、M点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)．
又易知F点的坐标为(2,0)．
显然直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y＝k(x－2)．
将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
又∵＝λ1，＝λ2，
将各点坐标代入得λ1＝，λ2＝.
∴λ1＋λ2＝＋
＝＝…＝－10.
故λ1＋λ2为定值．
15．解 (1)由已知2a＝6，＝，
解得a＝3，c＝，所以b2＝a2－c2＝3，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则AB的中点为E.
由得(1＋3k2)x2－12kx＋3＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∵直线与椭圆有两个不同的交点，
∴Δ＝144k2－12(1＋3k2)>0，
解得k2>.
而y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝k·－4＝－，
∴E点坐标为.
∵PA＝PB，∴PE⊥AB，kPE·kAB＝－1.
∴·k＝－1.解得k＝±1，满足k2>，
∴直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y＋2＝0.
