高考二项式定理十大典型问题及例题

高考二项式定理十大典型问题及例题

学科教师辅导讲义 ‎1．二项式定理：‎ ‎，‎ ‎2．基本概念：‎ ‎①二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。‎ ‎②二项式系数:展开式中各项的系数.‎ ‎③项数：共项，是关于与的齐次多项式 ‎④通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。‎ ‎3．注意关键点：‎ ‎①项数：展开式中总共有项。‎ ‎②顺序：注意正确选择,,其顺序不能更改。与是不同的。‎ ‎③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等于.‎ ‎④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）。‎ ‎4．常用的结论：‎ 令 ‎ 令 ‎ ‎5．性质：‎ ‎①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即，···‎ ‎②二项式系数和：令,则二项式系数的和为，‎ ‎ 变形式。‎ ‎③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：‎ 在二项式定理中，令，则，‎ 从而得到：‎ ‎④奇数项的系数和与偶数项的系数和：‎ ‎⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。‎ ‎ 如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。‎ ‎⑥系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别 为，设第项系数最大，应有，从而解出来。‎ 题型一：二项式定理的逆用；‎ 例：‎ 解：与已知的有一些差距，‎ ‎ ‎ 练：‎ 解：设，则 题型二：利用通项公式求的系数；‎ 例：在二项式的展开式中倒数第项的系数为，求含有的项的系数？‎ 解：由条件知，即，，解得，由 ‎，由题意，‎ 则含有的项是第项,系数为。‎ 练：求展开式中的系数？‎ 解：，令,则 故的系数为。‎ 题型三：利用通项公式求常数项；‎ 例：求二项式的展开式中的常数项？‎ 解：，令，得，所以 练：求二项式的展开式中的常数项？‎ 解：，令，得，所以 练：若的二项展开式中第项为常数项，则 解：，令，得.‎ 题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；‎ 例：求二项式展开式中的有理项？‎ 解：，令,()得，‎ 所以当时，，，‎ 当时，，。‎ 题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；‎ 例：若展开式中偶数项系数和为，求.‎ 解：设展开式中各项系数依次设为 ‎ ,则有①，,则有②‎ ‎ 将①-②得：‎ ‎ 有题意得，，。‎ 练：若的展开式中，所有的奇数项的系数和为，求它的中间项。‎ 解：，，解得 ‎ 所以中间两个项分别为，，‎ 题型六：最大系数，最大项；‎ 例：已知，若展开式中第项，第项与第项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？‎ 解：解出，当时，展开式中二项式系数最大的项是，当时，展开式中二项式系数最大的项是，。‎ 练：在的展开式中，二项式系数最大的项是多少？‎ 解：二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大，即，也就是第项。‎ 练：在的展开式中，只有第项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？‎ 解：只有第项的二项式最大，则，即,所以展开式中常数项为第七项等于 练：写出在的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？‎ 解：因为二项式的幂指数是奇数，所以中间两项()的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有的系数最小，系数最大。‎ 练：若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中系数最大的项？‎ 解：由解出,假设项最大，‎ ‎，化简得到，又，，展开式中系数最大的项为,有 练：在的展开式中系数最大的项是多少？‎ 解：假设项最大，‎ ‎，化简得到，又，，展开式中系数最大的项为 题型七：含有三项变两项；‎ 例：求当的展开式中的一次项的系数？‎ 解法①：，，当且仅当时，的展开式中才有x的一次项，此时，所以得一次项为 它的系数为。‎ 解法②：‎ ‎ 故展开式中含的项为，故展开式中的系数为240.‎ 练：求式子的常数项？‎ 解：，设第项为常数项，则，得,, .‎ 题型八：两个二项式相乘；‎ 例：‎ 解：‎ ‎ .‎ 练：‎ 解：‎ ‎.‎ 练：‎ 解：‎ 题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；‎ 例：‎ 解：‎ 题型十：赋值法；‎ 例：设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为,若 ‎,则等于多少？‎ 解：若，有，，‎ ‎ 令得，又,即解得，.‎ 练：若的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为多少？‎ 解：令，则的展开式中各项系数之和为，所以，则展开式的常数项为.‎ 练：‎ 解：‎ ‎ ‎ 练：‎ 解：‎ 题型十一：整除性；‎ 例：证明：能被64整除 证：‎ 由于各项均能被64整除 ‎1、(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是 ‎ ‎1、设f(x)=(x-1)11, 偶次项系数之和是 ‎2、 2、‎ ‎2、4n ‎3、的展开式中的有理项是展开式的第 项 ‎3、3,9,15,21 ‎ ‎4、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是 ‎ ‎4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为35‎ ‎5、求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数 ‎5、,要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项作积，第一个因式中的－x3与(1-x)9展开式中的项作积，故x4的系数是 ‎6、求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数 ‎6、=，原式中x3实为这分子中的x4，则所求系数为 ‎7、若展开式中，x的系数为21，问m、n为何值时，x2的系数最小？‎ ‎7、由条件得m+n=21，x2的项为，则因n∈N，故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x2的系数最小 ‎8、自然数n为偶数时，求证：‎ ‎ ‎ ‎8、原式=‎ ‎9、求被9除的余数 ‎9、 ,‎ ‎∵k∈Z,∴9k-1∈Z，∴被9除余8‎ ‎10、在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数 ‎10、‎ 在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为 ‎ ‎ ∴展开式中含x的项为 ，此展开式中x的系数为240‎ ‎11、求(2x+1)12展开式中系数最大的项 ‎11、设Tr+1的系数最大，则Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数，即有 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴展开式中系数最大项为第5项，T5=‎ 二项式定理 ‎1．二项式定理：‎ ‎，‎ ‎2．基本概念：‎ ‎①二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。‎ ‎②二项式系数:展开式中各项的系数.‎ ‎③项数：共项，是关于与的齐次多项式 ‎④通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。‎ ‎3．注意关键点：‎ ‎①项数：展开式中总共有项。‎ ‎②顺序：注意正确选择,,其顺序不能更改。与是不同的。‎ ‎③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等于.‎ ‎④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）。‎ ‎4．常用的结论：‎ 令 ‎ 令 ‎ ‎5．性质：‎ ‎①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即，···‎ ‎②二项式系数和：令,则二项式系数的和为，‎ ‎ 变形式。‎ ‎③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：‎ 在二项式定理中，令，则，‎ 从而得到：‎ ‎④奇数项的系数和与偶数项的系数和：‎ ‎⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。‎ ‎ 如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。‎ ‎⑥系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别 为，设第项系数最大，应有，从而解出来。‎ 题型一：二项式定理的逆用；‎ 例：‎ 练：‎ 题型二：利用通项公式求的系数；‎ 例：在二项式的展开式中倒数第项的系数为，求含有的项的系数？‎ 练：求展开式中的系数？‎ 题型三：利用通项公式求常数项；‎ 例：求二项式的展开式中的常数项？‎ 练：求二项式的展开式中的常数项？‎ 练：若的二项展开式中第项为常数项，则 题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；‎ 例：求二项式展开式中的有理项？‎ 题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；‎ 例：若展开式中偶数项系数和为，求.‎ 练：若的展开式中，所有的奇数项的系数和为，求它的中间项。‎ 题型六：最大系数，最大项；‎ 例：已知，若展开式中第项，第项与第项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？‎ 练：在的展开式中，二项式系数最大的项是多少？‎ 练：在的展开式中，只有第项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？‎ 练：写出在的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？‎ 练：若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中系数最大的项？‎ 练：在的展开式中系数最大的项是多少？‎ 题型七：含有三项变两项；‎ 例：求当的展开式中的一次项的系数？‎ 练：求式子的常数项？‎ 题型八：两个二项式相乘；‎ 例：‎ 练：‎ 练：‎ 题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；‎ 例：‎ 题型十：赋值法；‎ 例：设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为,若,则等于多少？‎ 练：若的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为多少？‎ 练：‎ 练：‎ 题型十一：整除性；‎ 例：证明：能被64整除 ‎1、(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是 ‎ ‎2、 2、‎ ‎3、的展开式中的有理项是展开式的第 项 ‎4、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是 ‎ ‎5、求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数 ‎6、求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数 ‎7、若展开式中，x的系数为21，问m、n为何值时，x2的系数最小？‎ ‎8、自然数n为偶数时，求证：‎ ‎ ‎ ‎9、求被9除的余数 ‎10、在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数 ‎11、求(2x+1)12展开式中系数最大的项