上海市十二校联考高考数学模拟试卷3月份含解析

上海市十二校联考高考数学模拟试卷3月份含解析

‎2017年上海市十二校联考高考数学模拟试卷（3月份）‎ ‎　‎ 一、填空题：（本大题共12小题，每小题5分，共70分）‎ ‎1．已知集合A={x|y=lg（2﹣x）}，集合B=[y|y=}，则A∩B=　　．‎ ‎2．若不等式＜6的解集为（﹣1，+∞），则实数a等于　　．‎ ‎3．函数f（x）=x2，（x＜﹣2）的反函数是　　．‎ ‎4．若（1+ai）i=2﹣bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=　　．‎ ‎5．如图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的体积为　　．‎ ‎6．若圆x2+y2=1与直线（参数t∈R）相切，则实数a=　　．‎ ‎7．设变量x、y满足约束条件：，则z=x2+y2的最大值是　　．‎ ‎8．{an}是无穷数列，若{an}是二项式（1+2x）n（n∈N+）展开式各项系数和，则（++…+）=　　．‎ ‎9．如图，圆O与x轴正半轴交点为A，点B，C在圆O上，圆C在第一象限，且B（，﹣），∠AOC=α，BC=1，则cos（﹣α）=　　．‎ ‎10．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为　　．（用数字作答）‎ ‎11．如图，已知点P（2，0），且正方形ABCD内接于⊙O：x2+y2=1，M、N分别为边AB、BC的中点．当正方形ABCD绕圆心O旋转时，的取值范围为　　．‎ ‎12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为　　．‎ ‎　‎ 二、选择题：‎ ‎13．已知二元一次方程组的增广矩阵为，若此方程组无实数解，则实数m的值为（　　）‎ A．m=±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠±2‎ ‎14．一个几何体的主视图和左视图如图所示，则这个几何体的俯视图不可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎15．已知动点P（x，y）满足5=|3x+4y﹣1|‎ ‎，则点P的轨迹是（　　）‎ A．直线 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆 ‎16．已知两个不相等的非零向量，，两组向量均由，，，和，，，均由2个和2个排列而成，记S=•+•+•+•，Smin表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题中正确的个数为（　　）‎ ‎①S有3个不同的值；‎ ‎②若⊥，则Smin与||无关；‎ ‎③若∥，则Smin与||无关；‎ ‎④若||=2|，Smin=4，则与的夹角为．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17．（14分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2，AB=1，E是DD1上的一点．‎ ‎（1）求异面直线AC与B1D所成的角；‎ ‎（2）若B1D⊥平面ACE，求三棱锥A﹣CDE的体积．‎ ‎18．（14分）已知函数．若f（x）的最小正周期为4π．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）在△‎ ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．‎ ‎19．（14分）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），点P（2，）在椭圆上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点F的直线，交椭圆C于A、B两点，点M在椭圆C上，坐标原点O恰为△ABM的重心，求直线l的方程．‎ ‎20．（14分）已知函数f（x）=4x﹣2x，实数s，t满足f（s）+f（t）=0，a=2s+2t，b=2s+t．‎ ‎（1）当函数f（x）的定义域为[﹣1，1]时，求f（x）的值域；‎ ‎（2）求函数关系式b=g（a），并求函数g（a）的定义域D；‎ ‎（3）在（2）的结论中，对任意x1∈D，都存在x2∈[﹣1，1]，使得g（x1）=f（x2）+m成立，求实数m的取值范围．‎ ‎21．（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2（n∈N*）．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{bn}满足=﹣﹣…+（﹣1）n+1，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设cn=2n+λbn，问是否存在实数λ使得数列{cn}（n∈N*）是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明你的理由．‎ ‎　‎ ‎2017年上海市十二校联考高考数学模拟试卷（3月份）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题：（本大题共12小题，每小题5分，共70分）‎ ‎1．已知集合A={x|y=lg（2﹣x）}，集合B=[y|y=}，则A∩B=　[0，2）　．‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】通过求两个函数的定义域和值域化简两个集合、利用交集的定义求出两个集合的交集．‎ ‎【解答】解：A={x|y=lg（2﹣x）}=（﹣∞，2），B={y|y=}=[0，+∞），‎ 则A∩B=[0，2），‎ 故答案为：[0，2）．‎ ‎【点评】本题考查函数定义域的求法：注意求定义域时开偶次方根被开方数大于等于0，对数的真数大于0．利用交集的定义求交集．‎ ‎　‎ ‎2．若不等式＜6的解集为（﹣1，+∞），则实数a等于　﹣4　．‎ ‎【考点】二阶行列式的定义；其他不等式的解法．‎ ‎【分析】利用行列式的定义，求出行列式的值，得到不等式，然后求解即可．‎ ‎【解答】解：不等式＜6化为：ax+2＜6，即ax＜4，因为不等式的解集为（﹣1，+∞），‎ 所以a=﹣4．‎ 故答案为：﹣4．‎ ‎【点评】本题考查行列式的解法，不等式的解法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎3．函数f（x）=x2，（x＜﹣2）的反函数是　　．‎ ‎【考点】反函数．‎ ‎【分析】直接利用反函数的定义求解即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=x2，（x＜﹣2），则y＞4．‎ 可得x=，‎ 所以函数的反函数为：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查反函数的定义的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎4．若（1+ai）i=2﹣bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=　　．‎ ‎【考点】复数求模．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵（1+ai）i=2﹣bi，其中a、b∈R，‎ ‎∴﹣a+i=2﹣bi，‎ ‎∴﹣a=2，1=﹣b，‎ 解得a=﹣2，b=﹣1．‎ 则|a+bi|=|﹣2﹣i|=|2+i|==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．如图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的体积为　（2+）π　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】分别计算圆锥和圆柱的体积，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，圆锥的高为，体积为=‎ π，‎ 圆柱的体积为π•12•2=2π，‎ ‎∴该组合体的体积为（2+）π．‎ 故答案为：（2+）π．‎ ‎【点评】本题考查圆锥和圆柱的体积，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎6．若圆x2+y2=1与直线（参数t∈R）相切，则实数a=　±　．‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】求出直线的普通方程，利用圆心到直线的距离d==1，即可求出实数a．‎ ‎【解答】解：直线（参数t∈R），普通方程为2x﹣y﹣2a=0，‎ ‎∵圆x2+y2=1与直线（参数t∈R）相切，‎ ‎∴圆心到直线的距离d==1，∴a=±．‎ 故答案为：±．‎ ‎【点评】本题考查直线的参数方程转化为普通方程，考查直线与圆的位置关系的运用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．设变量x、y满足约束条件：，则z=x2+y2的最大值是　8　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出可行域，z=x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方，数形结合可得．‎ ‎【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图△ABC），‎ 而z=x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方，‎ 数形结合可得最大距离为OC或OA=2，‎ 故答案为：8‎ ‎【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．‎ ‎　‎ ‎8．{an}是无穷数列，若{an}是二项式（1+2x）n（n∈N+）展开式各项系数和，则（++…+）=　　．‎ ‎【考点】二项式定理的应用；数列的极限．‎ ‎【分析】先利用二项式定理求得an=3n，再利用无穷递缩等比数列的各项和，求得结果．‎ ‎【解答】解：若{an}是二项式（1+2x）n（n∈N+）展开式各项系数和，则an=3n，‎ ‎∴（++…+）=（++…+）==，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求无穷递缩等比数列的各项和，数列的极限，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．如图，圆O与x轴正半轴交点为A，点B，C在圆O上，圆C在第一象限，且B（，﹣），∠AOC=α，BC=1，则cos（﹣α）=　﹣　．‎ ‎【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．‎ ‎【分析】由题意求得∠AOB=﹣α，由直角三角形中的三角函数的定义可得sin（﹣α）=sin∠AOB=，利用诱导公式化简可求cos（﹣α）的值．‎ ‎【解答】解：如图，由B（，﹣），得OB=OC=1，又BC=1，‎ ‎∴∠BOC=，∠AOB=﹣α，由直角三角形中的三角函数的定义可得sin（﹣α）=sin∠AOB=，‎ ‎∴cos（﹣α）=cos[（﹣α）+]=﹣sin（﹣α）=﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数的定义，考查诱导公式在三角函数化简求值中的应用，是基础题．‎ ‎　‎ ‎10．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为　472　．（用数字作答）‎ ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】利用间接法，先选取没有条件限制的，再排除有条件限制的，问题得以解决．‎ ‎【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有 种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，‎ 两张红色卡片，共有种取法，‎ 故所求的取法共有﹣4﹣=560﹣16﹣72=472种．‎ 故答案为：472．‎ ‎【点评】本题考查了组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．如图，已知点P（2，0），且正方形ABCD内接于⊙O：x2+y2=1，M、N分别为边AB、BC的中点．当正方形ABCD绕圆心O旋转时，的取值范围为　[﹣，]　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】首先，根据⊥，设M（cosα， sinα），可得N（﹣sinα， cosα），然后写出向量=（cosα﹣2， sinα）和=（﹣sinα， cosα），从而得到•=sinα，进而确定其范围．‎ ‎【解答】解：设M（cosα， sinα），‎ ‎∵⊥，‎ ‎∴•=0，‎ ‎∴N（﹣sinα， cosα），‎ ‎∴=（﹣sinα， cosα），=（cosα，‎ ‎ sinα），‎ ‎∴=（cosα﹣2， sinα），‎ ‎∴•=﹣sinα（cosα﹣2）+sinαcosα ‎=sinα，‎ ‎∵sinα∈[﹣1，1]，‎ ‎∴sinα∈[﹣，]，‎ ‎∴•的取值范围是[﹣，]．‎ 故答案为：[﹣，]．‎ ‎【点评】本题重点考查了平面向量的实际运用，重点掌握平面向量的坐标运算等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为　9　．‎ ‎【考点】正弦函数的图象．‎ ‎【分析】先跟据正弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断ω为奇数，由f（x）在（，）单调，分f（x）在（，）单调递增、单调递减两种情况，分别求得ω的最大值，综合可得它的最大值．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，‎ ‎∴ω（﹣）+φ=nπ，n∈Z，且ω•+φ=n′π+，n′∈Z，‎ ‎∴相减可得ω•=（n′﹣n）π+=kπ+，k∈Z，即ω=2k+1，即ω为奇数．‎ ‎∵f（x）在（，）单调，‎ ‎（1）若f（x）在（，）单调递增，‎ 则ω•+φ≥2kπ﹣，且ω•+φ≤2kπ+，k∈Z，‎ 即﹣ω•﹣φ≤﹣2kπ+①，且ω•+φ≤2kπ+，k∈Z ②，‎ 把①②可得ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇数ω的最大值为11．‎ 当ω=11时，﹣ +φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣．‎ 此时f（x）=sin（11x﹣）在（，）上不单调，不满足题意．‎ 当ω=9时，﹣ +φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，‎ 此时f（x）=sin（9x+）在（，）上单调递减，不满足题意；‎ 故此时ω无解．‎ ‎（2）若f（x）在（，）单调递减，‎ 则ω•+φ≥2kπ+，且ω•+φ≤2kπ+，k∈Z，‎ 即﹣ω•﹣φ≤﹣2kπ﹣③，且ω•+φ≤2kπ+，k∈Z ④，‎ 把③④可得ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇数ω的最大值为11．‎ 当ω=11时，﹣ +φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣．‎ 此时f（x）=sin（11x﹣）在（，）上不单调，不满足题意．‎ 当ω=9时，﹣ +φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，‎ 此时f（x）=sin（9x+）在（，）上单调递减，满足题意；‎ 故ω的最大值为9．‎ 故答案为：9．‎ ‎【点评】本题主要考查正弦函数的零点以及它的图象的对称性，正弦函数的单调性的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、选择题：‎ ‎13．已知二元一次方程组的增广矩阵为，若此方程组无实数解，则实数m的值为（　　）‎ A．m=±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠±2‎ ‎【考点】几种特殊的矩阵变换．‎ ‎【分析】由题意，，即可求出实数m的值．‎ ‎【解答】解：由题意，，∴m=2．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查二元一次方程组的增广矩阵，考查方程思想，比较基础．‎ ‎　‎ ‎14．一个几何体的主视图和左视图如图所示，则这个几何体的俯视图不可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】本题给出了正视图与左视图，由所给的数据知凭据三视图的作法规则，来判断左视图的形状，由于正视图中的长与左视图中的长不一致，此特征即是判断俯视图开关的关键，由此标准对四个可选项依次判断即可．‎ ‎【解答】解：如果该几何体是一个圆柱，则其俯视图必为圆，故B可能；‎ 如果该几何体是一个正方体，则其俯视图必为正方形，故C可能；‎ 如果该几何体是一个长方体，则其俯视图必为长方形，故D错误；‎ 根据排除法可知，故D正确．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考点是简单空间图形的三视图，考查根据作三视图的规则来作出三个视图的能力，三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 ‎ 宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．‎ ‎　‎ ‎15．已知动点P（x，y）满足5=|3x+4y﹣1|，则点P的轨迹是（　　）‎ A．直线 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆 ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】利用方程转化动点的几何意义，然后求解判断轨迹即可．‎ ‎【解答】解：动点P（x，y）满足5=|3x+4y﹣1|，‎ 可得： =，表示动点P（x，y）到（1，2）与到直线3x+4y﹣11=0距离相等，‎ 又（1，2）在直线3x+4y﹣11=0上，则点P的轨迹是经过（1，2）与直线3x+4y﹣11=0垂直的直线方程．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查轨迹方程的求法，轨迹的判断，注意抛物线的定义域本题直线方程的区别，是易错题．‎ ‎　‎ ‎16．已知两个不相等的非零向量，，两组向量均由，，，和，，，均由2个和2个排列而成，记S=•+•+•+•，Smin表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题中正确的个数为（　　）‎ ‎①S有3个不同的值；‎ ‎②若⊥，则Smin与||无关；‎ ‎③若∥，则Smin与||无关；‎ ‎④若||=2|，Smin=4，则与的夹角为．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】由题意得到所有的S值判断①，利用作差法求得S的最小值结合向量垂直、平行及数量积运算判断②③④，则答案可求．‎ ‎【解答】解：由题意可知，S=•+•+•+• 有三个值，分别为、、．‎ ‎∴①正确；‎ ‎∵﹣=，‎ ‎﹣=，‎ ‎∴．‎ 若⊥，则Smin=0与||无关，∴②正确；‎ 若∥，则Smin=，与||有关，∴③错误；‎ 若||=2|，Smin=4，则cos＜＞=，与的夹角为，故④正确．‎ ‎∴命题中正确的个数为3个．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查平面向量的数量积运算，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17．（14分）（2017•上海模拟）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2，AB=1，E是DD1上的一点．‎ ‎（1）求异面直线AC与B1D所成的角；‎ ‎（2）若B1D⊥平面ACE，求三棱锥A﹣CDE的体积．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可得到此两条异面直线所成的角；‎ ‎（2）利用线面垂直的性质定理即可得到点E的坐标，利用VA﹣CDE=VE﹣ADC即可得到体积．‎ ‎【解答】解：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． ‎ ‎（1）依题意，D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，1，2），‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴异面直线AC与B1D所成的角为．‎ ‎（2）设E（0，0，a），则，‎ ‎∵B1D⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴B1D⊥AE．‎ ‎∴，∴﹣1+2a=0，．‎ ‎∴VA﹣CDE=VE﹣ADC==．‎ ‎【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系的方法并利用异面直线的方向向量的夹角得到两条异面直线所成的角、及掌握线面垂直的性质定理、“等积变形”、三棱锥的体积计算公式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（14分）（2017•上海模拟）已知函数．若f（x）的最小正周期为4π．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．‎ ‎【考点】正弦定理；正弦函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）利用倍角公式、和差公式可得f（x），利用周期公式、单调性即可得出．‎ ‎（2）（2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理可得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，再利用和差公式可得：B，可得A∈，即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）=sin（2ωx）+cos（2ωx）‎ ‎=，‎ ‎∴4π=，解得ω=．‎ ‎∴f（x）=sin．‎ 由+2kπ≤+≤+2kπ，‎ 解得4kπ﹣≤x≤+4kπ，k∈Z．‎ ‎∴函数f（x）的单调递增区间是[4kπ﹣， +4kπ]，k∈Z．‎ ‎（2）（2a﹣c）cosB=bcosC，∴（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，‎ ‎∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，‎ sinA≠0，‎ ‎∴cosB=，B∈（0，π），‎ ‎∴B=．‎ 函数f（A）=sin，‎ ‎∵A∈，∈．‎ ‎∴f（A）=．‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）（2017•上海模拟）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），点P（2，）在椭圆上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点F的直线，交椭圆C于A、B两点，点M在椭圆C上，坐标原点O恰为△ABM的重心，求直线l的方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意可得c=2，|PF|=，运用勾股定理可得|PF1|，再由椭圆的定义可得2a，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）显然直线l与x轴不垂直，设l：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2‎ ‎），代入椭圆方程，运用韦达定理和三角形的重心坐标公式可得M的坐标，代入椭圆方程，解方程即可得到所求直线的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可得c=2，左焦点F1（﹣2，0），|PF|=，‎ 所以|PF1|==，即2a=|PF|+|PF1|=2，‎ 即a2=6，b2=a2﹣c2=2，‎ 故椭圆C的方程为+=1；‎ ‎（Ⅱ）显然直线l与x轴不垂直，‎ 设l：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 将l的方程代入C得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，‎ 可得x1+x2=，‎ 所以AB的中点N （，），‎ 由坐标原点O恰为△ABM的重心，可得M （，）．‎ 由点M在C上，可得15k4+2k2﹣1=0，‎ 解得k2=或﹣（舍），即k=±．‎ 故直线l的方程为y=±（x﹣2）．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和a，b，c的关系及点满足椭圆方程，同时考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和三角形的重心坐标公式，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）（2017•上海模拟）已知函数f（x）=4x﹣2x，实数s，t满足f（s）+f（t）=0，a=2s+2t，b=2s+t．‎ ‎（1）当函数f（x）的定义域为[﹣1，1]时，求f（x）的值域；‎ ‎（2）求函数关系式b=g（a），并求函数g（a）的定义域D；‎ ‎（3）在（2）的结论中，对任意x1∈D，都存在x2∈[﹣1，1]，使得g（x1‎ ‎）=f（x2）+m成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义；二次函数的性质．‎ ‎【分析】（1）换元根据t=2x∈[，2]，g（t）=t2﹣t单调递增，即可求f（x）的值域；‎ ‎（2）配方得出：（2s+2t）2﹣2•2s+t﹣（2s+2t）=0，a2﹣2b﹣a=0，a≥2，a≥2，a＞0，求解即可得出b=，1＜a≤2；‎ ‎（3）g（x）=（x2﹣x）∈（0，1]，f（x）∈[﹣，2]，对任意x1∈D，都存在x2∈[﹣1，1]，使得g（x1）=f（x2）+m成立，即可求实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数f（x）=4x﹣2x，f（x）的定义域为[﹣1，1]时，‎ ‎∴t=2x∈[，2]，g（t）=t2﹣t单调递增，‎ ‎∵g（）=﹣，g（2）=2，‎ ‎∴f（x）的值域为：[﹣，2]．‎ ‎（2）∵f（s）+f（t）=0，‎ ‎∴4s﹣2s+4t﹣2t=0，‎ 化简得出：（2s+2t）2﹣2•2s+t﹣（2s+2t）=0，‎ ‎∵a=2s+2t，b=2s+t．2s+2t≥2．a≥2‎ ‎∴a2﹣2b﹣a=0，a≥2，a≥2，a＞0‎ 即b=，1＜a≤2，D=（1，2]；‎ ‎（3）g（x）=（x2﹣x）∈（0，1]，f（x）∈[﹣，2]．‎ ‎∵对任意x1∈D，都存在x2∈[﹣1，1]，使得g（x1）=f（x2）+m成立，‎ ‎∴（0，1]⊆[﹣+m，2+m]．‎ ‎∴﹣1≤m≤．‎ ‎【点评】‎ 本题综合考查了函数的性质，配方求解，考查换元法，考查学生分析解决问题的能力，属于综合题．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2017•上海模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2（n∈N*）．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{bn}满足=﹣﹣…+（﹣1）n+1，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设cn=2n+λbn，问是否存在实数λ使得数列{cn}（n∈N*）是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明你的理由．‎ ‎【考点】数列递推式；数列的求和；数列与函数的综合．‎ ‎【分析】（1）由Sn=2an﹣2（n∈N*），可得a1=2a1﹣2，解得a1=2；n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，化为：an=2an﹣1．即可得出．‎ ‎（2）==﹣﹣…+（﹣1）n+1，n≥2时， =﹣﹣…+，相减可得：bn=（﹣1）n．当n=1时， =，解得b1=．‎ ‎（3）cn=2n+λbn，n≥3时，cn=2n+λ，cn﹣cn﹣1=2n﹣1+＞0，即（﹣1）n•λ＞﹣．①当n为大于或等于4的偶数时，λ＞﹣．②‎ 当n为大于或等于3的奇数时，λ＜．当n=2时，c2﹣c1＞0，即λ＜8．即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由Sn=2an﹣2（n∈N*），可得a1=2a1﹣2，解得a1=2；‎ n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣（2an﹣1﹣2），化为：an=2an﹣1．‎ ‎∴数列{an}是等比数列，公比为2，首项为2．∴an=2n．‎ ‎（2）∵==﹣﹣…+（﹣1）n+1，‎ ‎∴=﹣﹣…+，‎ ‎∴=（﹣1）n+1，∴bn=（﹣1）n．‎ 当n=1时， =，解得b1=．∴bn=．‎ ‎（3）cn=2n+λbn，‎ ‎∴n≥3时，cn=2n+λ，cn﹣1=2n﹣1+（﹣1）n﹣1λ，‎ cn﹣cn﹣1=2n﹣1+＞0，即（﹣1）n•λ＞﹣．‎ ‎①当n为大于或等于4的偶数时，λ＞﹣，即λ＞﹣，当且仅当n=4时，λ＞﹣．‎ ‎②当n为大于或等于3的奇数时，λ＜，当且仅当n=3时，λ＜．‎ 当n=2时，c2﹣c1=﹣＞0，即λ＜8．‎ 综上可得：λ的取值范围是．‎ ‎【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、分类讨论方法、不等式的解法、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ 精品文档 强烈推荐