高考数学试卷全国理科

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高考数学试卷全国理科

2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 第Ⅰ卷 一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分. (1)设集合 2{ | 4 3 0}A x x x    , { | 2 3 0}B x x   ,则 A B  (A) 3( 3, )2   (B) 3( 3, )2  (C) 3(1, )2 (D) 3( ,3)2 (2)设 (1 i) 1 ix y   ,其中 x,y 是实数,则 i =x y (A)1(B) 2 (C) 3 (D)2 (3)已知等差数列{ }na 前 9 项的和为 27, 10 =8a ,则 100 =a (A)100(B)99(C)98(D)97 (4)某公司的班车在 7:00,8:00,8:30 发车,学.科网小明在 7:50 至 8:30 之间 到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分 钟的概率是 (A) 3 1 (B) 2 1 (C) 3 2 (D) 4 3 (5)已知方程 1 3 2 2 2 2     nm y nm x 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离 为 4,则 n 的取值范围是 (A)(–1,3) (B)(–1, 3) (C)(0,3) (D)(0, 3) (6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的 半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是 (A)17π(B)18π(C)20π(D)28π (7)函数 y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为 (A) (B) (C) (D) (8)若 10 1a b c   , ,则 (A) c ca b (B) c cab ba (C) log logb aa c b c (D) log loga bc c (9)执行右面的程序图,如果输入的 0 1 1x y n  , , ,则输出 x,y 的值满 足(A) 2y x (B) 3y x (C) 4y x (D) 5y x (10)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点,交 C 的标准线于 D、E 两 点.已知|AB|= 4 2 ,|DE|= 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 (11)平面 a 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A,a//平面 CB1D1, a  平面 ABCD=m, a  平面 ABA1B1=n,则 m、n 所成角的正弦值为 (A) 3 2 (B) 2 2 (C) 3 3 (D) 1 3 (12).已知函数 ( ) sin( )( 0 ),2 4f x x+ x        , 为 ( )f x 的零点, 4x  为 ( )y f x 图像的对称轴,且 ( )f x 在 5 18 36       , 单调,则 的最大值为 (A)11 (B)9 (C)7 (D)5 第 II 卷 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分 (13)设向量 a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则 m=__________. (14) 5(2 )x x 的展开式中,x3 的系数是_________.(用数字填写答案) (15)设等比数列 满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2…an 的最大值为____________。 (16)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg, 乙材料 0.3kg,用 3 个工时,生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的 利润为 900 元。该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600 个工时的 条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为__________元。 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本题满分为 12 分) △ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别别为 a,b,c,已知 2cos ( cos cos ) .C a B+b A c (I)求 C; (II)若 7,c ABC  的面积为 3 3 2 ,求 ABC 的周长. (18)(本题满分为 12 分) 如图,在已 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF=2FD, 90AFD   ,且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60 . (I)证明平面 ABEF  EFDC; (II)求二面角 E-BC-A 的余弦值. (19)(本小题满分 12 分) 某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购 进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备 件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为 此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图: 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概 率,记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数, n 表示购买 2 台机器的同时 购买的易损零件数. (I)求 X 的分布列; (II)若要求 ( ) 0.5P X n  ,确定 n 的最小值; (III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 19n  与 20n  之中选其 一,应选用哪个? 20. (本小题满分 12 分) 设圆 2 2 2 15 0x y x    的圆心为 A,直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合,l 交圆 A 于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (I)证明 EA EB 为定值,并写出点 E 的轨迹方程; (II)设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1 于 M,N 两点,学科&网过 B 且与 l 垂直 的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围. (21)(本小题满分 12 分) 已知函数 2)1()2()(  xaexxf x 有两个零点. (I)求 a 的取值范围; (II)设 x1,x2 是 的两个零点,证明: +x2<2. 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请 写清题号 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以⊙O 为圆心, 2 1 OA 为半径作圆. (I)证明:直线 AB 与⊙O 相切; (II)点 C,D 在⊙O 上,且 A,B,C,D 四点共圆,证明:AB∥CD. (23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直线坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数,a>0)。 在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ=4cosθ。 (I)说明 C1 是哪种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (II)直线 C3 的极坐标方程为θ=α0,其中α0 满足 tanα0=2,若曲线 C1 与 C2 的公共点 都在 C3 上,求 a。 (24)(本小题满分 10 分),选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)= ∣x+1∣-∣2x-3∣. (I)在答题卡第(24)题图中画出 y= f(x)的图像; (II)求不等式∣f(x)∣﹥1 的解集。 2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. (1)D(2)B(3)C (4)B(5)A (6)A (7)D(8)C(9)C(10)B(11)A(12)B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 (13) 2 (14)10 (15)64 (16) 216000 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分为 12 分) 解:(I)由已知及正弦定理得,  2cosC sin cos sin cos sin C      , 即  2cosCsin sin C    .故 2sin CcosC sin C . 可得 1cosC 2  ,所以 C 3  . (II)由已知, 1 3 3sin C2 2ab  .又 C 3  ,所以 6ab  . 由已知及余弦定理得, 2 2 2 cosC 7a b ab   .故 2 2 13a b  ,从而  2 25a b  . 所以 C 的周长为5 7 . (18)(本小题满分为 12 分) 解:(I)由已知可得 F DF  , F F   ,所以 F  平面 FDC . 又 F  平面 F ,故平面 F  平面 FDC . (II)过 D 作 DG F  ,垂足为 G ,由(I)知 DG  平面 F . 以 G 为坐标原点, GF  的方向为 x 轴正方向, GF  为单位长度,建立如图所示的空 间直角坐标系 G xyz . 由(I)知 DF  为二面角 D F    的平面角,故 DF 60    ,则 DF 2 , DG 3 ,可得  1,4,0 ,  3,4,0  ,  3,0,0  ,  D 0,0, 3 . 由已知, // F  ,所以 // 平面 FDC . 又平面 CD  平面 FDC DC  ,故 //CD , CD// F . 由 // F  ,可得   平面 FDC ,所以 C F  为二面角 C F   的平面角, C F 60    .从而可得  C 2,0, 3 . 所以  C 1,0, 3  ,  0,4,0  ,  C 3, 4, 3    ,  4,0,0   . 设  , ,n x y z 是平面 C  的法向量,则 C 0 0 n n        ,即 3 0 4 0 x z y     , 所以可取  3,0, 3n   . 设 m 是平面 CD 的法向量,则 C 0 0 m m        , 同 理 可 取  0, 3,4m  . 则 2 19cos , 19 n mn m n m         . 故二面角 C     的余弦值为 2 19 19  . (19)(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数 为 8,9,10,11 的概率分别为 0.2,0.4,0.2,0.2,从而 04.02.02.0)16( XP ; 16.04.02.02)17( XP ; 24.04.04.02.02.02)18( XP ; 24.02.04.022.02.02)19( XP ; 2.02.02.04.02.02)20( XP ; 08.02.02.02)21( XP ; 04.02.02.0)22( XP . 所以 X 的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22 P 04.0 16.0 24.0 24.0 2.0 08.0 04.0 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 44.0)18( XP , 68.0)19( XP ,故 n 的最小值为 19. (Ⅲ)记Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元). 当 19n 时, 08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019 EY 404004.0)500320019(  .学科&网 当 20n 时, 04.0)500220020(08.0)50020020(88.020020 EY 4080 . 可知当 19n 时所需费用的期望值小于 20n 时所需费用的期望值,故应选 19n . 20.解:(Ⅰ)因为 |||| ACAD  , ACEB // ,故 ADCACDEBD  , 所以 |||| EDEB  ,故 |||||||||| ADEDEAEBEA  . 又圆 A 的标准方程为 16)1( 22  yx ,从而 4|| AD ,所以 4||||  EBEA . 由题设得 )0,1(A , )0,1(B , 2|| AB ,由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为: 134 22  yx ( 0y ). (Ⅱ)当l 与 x 轴不垂直时,设l 的方程为 )0)(1(  kxky , ),( 11 yxM , ),( 22 yxN . 由      134 )1( 22 yx xky 得 01248)34( 2222  kxkxk . 则 34 8 2 2 21  k kxx , 34 124 2 2 21   k kxx .所以 34 )1(12||1|| 2 2 21 2   k kxxkMN . 过点 )0,1(B 且与 l 垂直的直线 m : )1(1  xky , A 到 m 的距离为 1 2 2 k ,所 以 1 344) 1 2(42|| 2 2 2 2 2     k k k PQ .故四边形 MPNQ 的面积 34 1112||||2 1 2  kPQMNS . 可得当l 与 x 轴不垂直时,四边形 MPNQ 面积的取值范围为 )38,12[ . 当l 与 x 轴垂直时,其方程为 1x , 3|| MN , 8|| PQ ,四边形 MPNQ 的面积 为 12.综上,四边形 MPNQ 面积的取值范围为 )38,12[ . (21)(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) '( ) ( 1) 2 ( 1) ( 1)( 2 )x xf x x e a x x e a       . (i)设 0a  ,则 ( ) ( 2) xf x x e  , ( )f x 只有一个零点. (ii)设 0a  ,则当 ( ,1)x  时, '( ) 0f x  ;当 (1, )x  时, '( ) 0f x  .所 以 ( )f x 在 ( ,1) 上单调递减,在 (1, ) 上单调递增. 又 (1)f e  , (2)f a ,取b 满足 0b  且 ln 2 ab  ,则 2 2 3( ) ( 2) ( 1) ( ) 02 2 af b b a b a b b       ,故 ( )f x 存在两个零点. (iii)设 0a  ,由 '( ) 0f x  得 1x  或 ln( 2 )x a  . 若 2 ea   ,则 ln( 2 ) 1a  ,故当 (1, )x  时, '( ) 0f x  ,因此 ( )f x 在 (1, ) 上 单调递增.又当 1x  时, ( ) 0f x  ,所以 ( )f x 不存在两个零点.学科&网 若 2 ea   , 则 ln( 2 ) 1a  , 故 当 (1,ln( 2 ))x a  时 , '( ) 0f x  ; 当 (ln( 2 ), )x a   时 , '( ) 0f x  . 因 此 ( )f x 在 (1,ln( 2 ))a 单 调 递 减 , 在 (ln( 2 ), )a  单调递增.又当 1x  时, ( ) 0f x  ,所以 ( )f x 不存在两个零点. 综上, a 的取值范围为 (0, ) . (Ⅱ)不妨设 1 2x x ,由(Ⅰ)知 1 2( ,1), (1, )x x    , 22 ( ,1)x   , ( )f x 在 ( ,1) 上单调递减,所以 1 2 2x x  等价于 1 2( ) (2 )f x f x  ,即 2(2 ) 0f x  . 由于 22 2 2 2 2(2 ) ( 1)xf x x e a x     ,而 2 2 2 2 2( ) ( 2) ( 1) 0xf x x e a x     ,所 以 2 22 2 2 2(2 ) ( 2)x xf x x e x e     . 设 2( ) ( 2)x xg x xe x e    ,则 2'( ) ( 1)( )x xg x x e e   . 所以当 1x  时, '( ) 0g x  ,而 (1) 0g  ,故当 1x  时, ( ) 0g x  . 从而 2 2( ) (2 ) 0g x f x   ,故 1 2 2x x  . 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请 写清题号 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解:(Ⅰ)设 E 是 AB 的中点,连结OE , 因为 , 120OA OB AOB    ,所以OE AB , 60AOE  . 在 Rt AOE 中, 1 2OE AO ,即 O 到直线 AB 的距离等于圆 O 的半径,所 以直线 AB 与⊙O 相切. (Ⅱ)因为 2OA OD ,所以O 不是 , , ,A B C D 四点所在圆的圆心,设 'O 是 , , ,A B C D 四点所在圆的圆心,作直线 'OO . 由已知得 O 在线段 AB 的垂直平分线上,又 'O 在线段 AB 的垂直平分线上,所以 'OO AB . 同理可证, 'OO CD .所以 //AB CD . (23)(本小题满分 10 分) 解:⑴ cos 1 sin x a t y a t     ( t 均为参数) ∴  22 21x y a   ① ∴ 1C 为以  0 1, 为圆心, a 为半径的圆.方程为 2 2 22 1 0x y y a     ∵ 2 2 2 sinx y y    , ∴ 2 22 sin 1 0a      即为 1C 的极坐标方程 ⑵ 2 4cosC  : 学科&网 两边同乘  得 2 2 2 24 cos cosx y x         , 2 2 4x y x   即  2 22 4x y   ② 3C :化为普通方程为 2y x 由题意: 1C 和 2C 的公共方程所在直线即为 3C ①—②得: 24 2 1 0x y a    ,即为 3C ∴ 21 0a  ∴ 1a  (24)(本小题满分 10 分) 解:⑴ 如图所示: ⑵   4 1 33 2 1 2 34 2 x x f x x x x x             , ≤ , , ≥   1f x  当 1x ≤ , 4 1x   ,解得 5x  或 3x  1x ∴ ≤ 当 31 2x   , 3 2 1x   ,解得 1x  或 1 3x  11 3x  ∴ 或 31 2x  当 3 2x≥ , 4 1x  ,解得 5x  或 3x  3 32 x ∴ ≤ 或 5x  综上, 1 3x  或1 3x  或 5x    1f x ∴ ,解集为    1 1 3 53        , , ,
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