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文档介绍
2015年天津市高考数学试卷(理科)
2015年天津市高考数学试卷(理科) 一.选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(5分)(2015•天津)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩∁UB=( ) A.{2,5} B.{3,6} C.{2,5,6} D.{2,3,5,6,8} 2.(5分)(2015•天津)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+6y的最大值为( ) A.3 B.4 C.18 D.40 3.(5分)(2015•天津)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为( ) A.﹣10 B.6 C.14 D.18 4.(5分)(2015•天津)设x∈R,则“|x﹣2|<1”是“x2+x﹣2>0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(5分)(2015•天津)如图,在圆O中,M、N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N,若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为( ) A. B.3 C. D. 6.(5分)(2015•天津)已知双曲线﹣=1 (a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为( ) A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1 7.(5分)(2015•天津)已知定义在R上的函数f(x)=2|x﹣m|﹣1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为( ) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 8.(5分)(2015•天津)已知函数f(x)=,函数g(x)=b﹣f(2﹣x),其中b∈R,若函数y=f(x)﹣g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是( ) A.(,+∞) B.(﹣∞,) C.(0,) D.(,2) 二.填空题(每小题5分,共30分) 9.(5分)(2015•天津)i是虚数单位,若复数(1﹣2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为 . 10.(5分)(2015•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3. 11.(5分)(2015•天津)曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为 . 12.(5分)(2015•天津)在(x﹣)6的展开式中,x2的系数为 . 13.(5分)(2015•天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b﹣c=2,cosA=﹣,则a的值为 . 14.(5分)(2015•天津)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分别在线段BC和DC上,且=λ,=,则•的最小值为 . 三.解答题(本大题共6小题,共80分) 15.(13分)(2015•天津)已知函数f(x)=sin2x﹣sin2(x﹣),x∈R. (Ⅰ)求f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求f(x)在区间[﹣,]内的最大值和最小值. 16.(13分)(2015•天津)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加,现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名,乙协会的运动员5名,其中种子选手3名,从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. (Ⅰ)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率; (Ⅱ)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望. 17.(13分)(2015•天津)如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,侧棱AA1⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,且点M和N分别为B1C和D1D的中点. (Ⅰ)求证:MN∥平面ABCD (Ⅱ)求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值; (Ⅲ)设E为棱A1B1上的点,若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为,求线段A1E的长. 18.(13分)(2015•天津)已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列 (1)求q的值和{an}的通项公式; (2)设bn=,n∈N*,求数列{bn}的前n项和. 19.(14分)(2015•天津)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(﹣c,0),离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c,|FM|=. (Ⅰ)求直线FM的斜率; (Ⅱ)求椭圆的方程; (Ⅲ)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围. 20.(14分)(2015•天津)已知函数f(x)=nx﹣xn,x∈R,其中n∈N•,且n≥2. (Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x); (Ⅲ)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x1,x2,求证:|x2﹣x1|<+2. 2015年天津市高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一.选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(5分)(2015•天津)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩∁UB=( ) A.{2,5} B.{3,6} C.{2,5,6} D.{2,3,5,6,8} 【分析】由全集U及B,求出B的补集,找出A与B补集的交集即可; 【解答】解:∵全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7}, ∴∁UB={2,5,8}, 则A∩∁UB={2,5}. 故选:A. 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 2.(5分)(2015•天津)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+6y的最大值为( ) A.3 B.4 C.18 D.40 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的最大值. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分). 由z=x+6y得y=﹣x+z, 平移直线y=﹣x+z, 由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时,直线y=﹣x+z的截距最大, 此时z最大. 由,解得,即A(0,3) 将A(0,3)的坐标代入目标函数z=x+6y, 得z=3×6=18.即z=x+6y的最大值为18. 故选:C. 【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法. 3.(5分)(2015•天津)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为( ) A.﹣10 B.6 C.14 D.18 【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的i,S的值,当i=8时满足条件i>5,退出循环,输出S的值为6. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 S=20,i=1 i=2,S=18 不满足条件i>5,i=4,S=14 不满足条件i>5,i=8,S=6 满足条件i>5,退出循环,输出S的值为6. 故选:B. 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确写出每次循环得到的i,S的值是解题的关键,属于基础题. 4.(5分)(2015•天津)设x∈R,则“|x﹣2|<1”是“x2+x﹣2>0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【解答】解:由“|x﹣2|<1”得1<x<3, 由x2+x﹣2>0得x>1或x<﹣2, 即“|x﹣2|<1”是“x2+x﹣2>0”的充分不必要条件, 故选:A. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础. 5.(5分)(2015•天津)如图,在圆O中,M、N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N,若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为( ) A. B.3 C. D. 【分析】由相交弦定理求出AM,再利用相交弦定理求NE即可. 【解答】解:由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB, ∴2×4=AM•2AM, ∴AM=2, ∴MN=NB=2, 又CN•NE=AN•NB, ∴3×NE=4×2, ∴NE=. 故选:A. 【点评】本题考查相交弦定理,考查学生的计算能力,比较基础. 6.(5分)(2015•天津)已知双曲线﹣=1 (a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为( ) A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1 【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程,从而可得双曲线的左焦点,再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程,得a、b的另一个方程,求出a、b,即可得到双曲线的标准方程. 【解答】解:由题意,=, ∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣,双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上, ∴c=, ∴a2+b2=c2=7, ∴a=2,b=, ∴双曲线的方程为. 故选:D. 【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题. 7.(5分)(2015•天津)已知定义在R上的函数f(x)=2|x﹣m|﹣1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为( ) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 【分析】根据f(x)为偶函数便可求出m=0,从而f(x)=2|x|﹣1,这样便知道f(x)在[0,+∞)上单调递增,根据f(x)为偶函数,便可将自变量的值变到区间[0,+∞)上:a=f(|log0.53|),b=f(log25),c=f(0),然后再比较自变量的值,根据f(x)在[0,+∞)上的单调性即可比较出a,b,c的大小. 【解答】解:∵f(x)为偶函数; ∴f(﹣x)=f(x); ∴2|﹣x﹣m|﹣1=2|x﹣m|﹣1; ∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|; (﹣x﹣m)2=(x﹣m)2; ∴mx=0; ∴m=0; ∴f(x)=2|x|﹣1; ∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,并且a=f(|log0.53|)=f(log23),b=f(log25),c=f(0); ∵0<log23<log25; ∴c<a<b. 故选:C. 【点评】考查偶函数的定义,指数函数的单调性,对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0,+∞)上,根据单调性去比较函数值大小.对数的换底公式的应用,对数函数的单调性,函数单调性定义的运用. 8.(5分)(2015•天津)已知函数f(x)=,函数g(x)=b﹣f(2﹣x),其中b∈R,若函数y=f(x)﹣g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是( ) A.(,+∞) B.(﹣∞,) C.(0,) D.(,2) 【分析】求出函数y=f(x)﹣g(x)的表达式,构造函数h(x)=f(x)+f(2﹣x),作出函数h(x)的图象,利用数形结合进行求解即可. 【解答】解:∵g(x)=b﹣f(2﹣x), ∴y=f(x)﹣g(x)=f(x)﹣b+f(2﹣x), 由f(x)﹣b+f(2﹣x)=0,得f(x)+f(2﹣x)=b, 设h(x)=f(x)+f(2﹣x), 若x≤0,则﹣x≥0,2﹣x≥2, 则h(x)=f(x)+f(2﹣x)=2+x+x2, 若0≤x≤2,则﹣2≤﹣x≤0,0≤2﹣x≤2, 则h(x)=f(x)+f(2﹣x)=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2, 若x>2,﹣x<﹣2,2﹣x<0, 则h(x)=f(x)+f(2﹣x)=(x﹣2)2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8. 即h(x)=, 作出函数h(x)的图象如图: 当x≤0时,h(x)=2+x+x2=(x+)2+≥, 当x>2时,h(x)=x2﹣5x+8=(x﹣)2+≥, 故当b=时,h(x)=b,有两个交点, 当b=2时,h(x)=b,有无数个交点, 由图象知要使函数y=f(x)﹣g(x)恰有4个零点, 即h(x)=b恰有4个根, 则满足<b<2, 故选:D. 【点评】本题主要考查函数零点个数的判断,根据条件求出函数的解析式,利用数形结合是解决本题的关键. 二.填空题(每小题5分,共30分) 9.(5分)(2015•天津)i是虚数单位,若复数(1﹣2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为 ﹣2 . 【分析】由复数代数形式的乘除运算化简,再由实部等于0且虚部不等于0求得a的值. 【解答】解:由(1﹣2i)(a+i)=(a+2)+(1﹣2a)i为纯虚数, 得,解得:a=﹣2. 故答案为:﹣2. 【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算,考查了复数为纯虚数的条件,是基础题. 10.(5分)(2015•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3. 【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体,结合图中数据求出它的体积. 【解答】解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体, 且圆柱底面圆的半径为1,高为2,圆锥底面圆的半径为1,高为1; ∴该几何体的体积为 V几何体=2×π•12×1+π•12•2 =π. 故答案为:π. 【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题,是基础题目. 11.(5分)(2015•天津)曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为 . 【分析】先根据题意画出区域,然后依据图形得到积分下限为0,积分上限为1,从而利用定积分表示出曲边梯形的面积,最后用定积分的定义求出所求即可. 【解答】解:先根据题意画出图形,得到积分上限为1,积分下限为0 直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01(x﹣x2)dx 而∫01(x﹣x2)dx=()|01=﹣= ∴曲边梯形的面积是. 故答案为:. 【点评】本题主要考查了学生会求出原函数的能力,以及考查了数形结合的思想,同时会利用定积分求图形面积的能力,解题的关键就是求原函数. 12.(5分)(2015•天津)在(x﹣)6的展开式中,x2的系数为 . 【分析】在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于2,求出r的值,即可求得x2的系数. 【解答】解:(x﹣)6的展开式的通项公式为Tr+1=•(x)6﹣r•(﹣)r=(﹣)r••x6﹣2r, 令6﹣2r=2,解得r=2,∴展开式中x2的系数为×=, 故答案为:. 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题. 13.(5分)(2015•天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b﹣c=2,cosA=﹣,则a的值为 8 . 【分析】由cosA=﹣,A∈(0,π),可得sinA=.利用S△ABC==,化为bc=24,又b﹣c=2,解得b,c.由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA即可得出. 【解答】解:∵A∈(0,π),∴sinA==. ∵S△ABC==bc=,化为bc=24, 又b﹣c=2,解得b=6,c=4. 由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×=64. 解得a=8. 故答案为:8. 【点评】本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 14.(5分)(2015•天津)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分别在线段BC和DC上,且=λ,=,则•的最小值为 . 【分析】利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式,根据具体的形式求最值. 【解答】解:由题意,得到AD=BC=CD=1,所以•=()•()=()•() ==2×1×cos60°+λ1×1×cos60°+×2×1+×1×1×cos120° =1++﹣≥+=(当且仅当时等号成立); 故答案为:. 【点评】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值;关键是正确表示所求,利用基本不等式求最小值. 三.解答题(本大题共6小题,共80分) 15.(13分)(2015•天津)已知函数f(x)=sin2x﹣sin2(x﹣),x∈R. (Ⅰ)求f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求f(x)在区间[﹣,]内的最大值和最小值. 【分析】(Ⅰ)由三角函数公式化简可得f(x)=﹣sin(2x﹣),由周期公式可得; (Ⅱ)由x∈[﹣,]结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值. 【解答】解:(Ⅰ)化简可得f(x)=sin2x﹣sin2(x﹣) =(1﹣cos2x)﹣[1﹣cos(2x﹣)] =(1﹣cos2x﹣1+cos2x+sin2x) =(﹣cos2x+sin2x) =sin(2x﹣) ∴f(x)的最小正周期T==π; (Ⅱ)∵x∈[﹣,],∴2x﹣∈[﹣,], ∴sin(2x﹣)∈[﹣1,],∴sin(2x﹣)∈[﹣,], ∴f(x)在区间[﹣,]内的最大值和最小值分别为,﹣ 【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式,涉及三角函数的周期性和最值,属基础题. 16.(13分)(2015•天津)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加,现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名,乙协会的运动员5名,其中种子选手3名,从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. (Ⅰ)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率; (Ⅱ)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望. 【分析】(Ⅰ)利用组合知识求出基本事件总数及事件A发生的个数,然后利用古典概型概率计算公式得答案; (Ⅱ)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4,由古典概型概率计算公式求得概率,列出分布列,代入期望公式求期望. 【解答】解:(Ⅰ)由已知,有P(A)=, ∴事件A发生的概率为; (Ⅱ)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4. P(X=k)=(k=1,2,3,4). ∴随机变量X的分布列为: X 1 2 3 4 P 随机变量X的数学期望E(X)=. 【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识,考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,是中档题. 17.(13分)(2015•天津)如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,侧棱AA1⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,且点M和N分别为B1C和D1D的中点. (Ⅰ)求证:MN∥平面ABCD (Ⅱ)求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值; (Ⅲ)设E为棱A1B1上的点,若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为,求线段A1E的长. 【分析】(Ⅰ)以A为坐标原点,以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系,通过平面ABCD的一个法向量与的数量积为0,即得结论; (Ⅱ)通过计算平面ACD1的法向量与平面ACB1的法向量的夹角的余弦值及平方关系即得结论; (Ⅲ)通过设=λ,利用平面ABCD的一个法向量与的夹角的余弦值为,计算即可. 【解答】(Ⅰ)证明:如图,以A为坐标原点,以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系, 则A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,﹣2,0), A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,﹣2,2), 又∵M、N分别为B1C、D1D的中点,∴M(1,,1),N(1,﹣2,1). 由题可知:=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量,=(0,﹣,0), ∵•=0,MN⊄平面ABCD,∴MN∥平面ABCD; (Ⅱ)解:由(I)可知:=(1,﹣2,2),=(2,0,0),=(0,1,2), 设=(x,y,z)是平面ACD1的法向量, 由,得, 取z=1,得=(0,1,1), 设=(x,y,z)是平面ACB1的法向量, 由,得, 取z=1,得=(0,﹣2,1), ∵cos<,>==﹣,∴sin<,>==, ∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值为; (Ⅲ)解:由题意可设=λ,其中λ∈[0,1], ∴E=(0,λ,2),=(﹣1,λ+2,1), 又∵=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量, ∴cos<,>===, 整理,得λ2+4λ﹣3=0,解得λ=﹣2或﹣2﹣(舍), ∴线段A1E的长为﹣2. 【点评】本题考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理能力,注意解题方法的积累,属于中档题. 18.(13分)(2015•天津)已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列 (1)求q的值和{an}的通项公式; (2)设bn=,n∈N*,求数列{bn}的前n项和. 【分析】(1)通过an+2=qan、a1、a2,可得a3、a5、a4,利用a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列,计算即可; (2)通过(1)知bn=,n∈N*,写出数列{bn}的前n项和Tn、2Tn的表达式,利用错位相减法及等比数列的求和公式,计算即可. 【解答】解:(1)∵an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2, ∴a3=q,a5=q2,a4=2q, 又∵a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列, ∴2×3q=2+3q+q2, 即q2﹣3q+2=0, 解得q=2或q=1(舍), ∴an=; (2)由(1)知bn===,n∈N*, 记数列{bn}的前n项和为Tn, 则Tn=1+2•+3•+4•+…+(n﹣1)•+n•, ∴2Tn=2+2+3•+4•+5•+…+(n﹣1)•+n•, 两式相减,得Tn=3++++…+﹣n• =3+﹣n• =3+1﹣﹣n• =4﹣. 【点评】本题考查求数列的通项与前n项和,考查分类讨论的思想,利用错位相减法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题. 19.(14分)(2015•天津)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(﹣c,0),离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c,|FM|=. (Ⅰ)求直线FM的斜率; (Ⅱ)求椭圆的方程; (Ⅲ)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围. 【分析】(Ⅰ)通过离心率为,计算可得a2=3c2、b2=2c2,设直线FM的方程为y=k(x+c),利用勾股定理及弦心距公式,计算可得结论; (Ⅱ)通过联立椭圆与直线FM的方程,可得M(c,c),利用|FM|=计算即可; (Ⅲ)设动点P的坐标为(x,y),分别联立直线FP、直线OP与椭圆方程,分x∈(﹣,﹣1)与x∈(﹣1,0)两种情况讨论即可结论. 【解答】解:(Ⅰ)∵离心率为,∴==, ∴2a2=3b2,∴a2=3c2,b2=2c2, 设直线FM的斜率为k(k>0),则直线FM的方程为y=k(x+c), ∵直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c, ∴圆心(0,0)到直线FM的距离d=, ∴d2+=,即()2+=, 解得k=,即直线FM的斜率为; (Ⅱ)由(I)得椭圆方程为:+=1,直线FM的方程为y=(x+c), 联立两个方程,消去y,整理得3x2+2cx﹣5c2=0,解得x=﹣c,或x=c, ∵点M在第一象限,∴M(c,c), ∵|FM|=,∴=, 解得c=1,∴a2=3c2=3,b2=2c2=2, 即椭圆的方程为+=1; (Ⅲ)设动点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t, ∵F(﹣1,0),∴t=,即y=t(x+1)(x≠﹣1), 联立方程组,消去y并整理,得2x2+3t2(x+1)2=6, 又∵直线FP的斜率大于, ∴>,6﹣2x2>6(x+1)2, 整理得:x(2x+3)<0且x≠﹣1, 解得﹣<x<﹣1,或﹣1<x<0, 设直线OP的斜率为m,得m=,即y=mx(x≠0), 联立方程组,消去y并整理,得m2=﹣. ①当x∈(﹣,﹣1)时,有y=t(x+1)<0,因此m>0, ∴m=,∴m∈(,); ②当x∈(﹣1,0)时,有y=t(x+1)>0,因此m<0, ∴m=﹣,∴m∈(﹣∞,﹣); 综上所述,直线OP的斜率的取值范围是:(﹣∞,﹣)∪(,). 【点评】本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力,属于中档题. 20.(14分)(2015•天津)已知函数f(x)=nx﹣xn,x∈R,其中n∈N•,且n≥2. (Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x); (Ⅲ)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x1,x2,求证:|x2﹣x1|<+2. 【分析】(Ⅰ)由f(x)=nx﹣xn,可得f′(x),分n为奇数和偶数两种情况利用导数即可得函数的单调性. (Ⅱ)设点P的坐标为(x0,0),则可求x0=n,f′(x0)=n﹣n2,可求g(x)=f′(x0)(x﹣x0),F′(x)=f′(x)﹣f′(x0).由f′(x)=﹣nxn﹣1+n在(0,+∞)上单调递减,可求F(x)在∈(0,x0)内单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,即可得证. (Ⅲ)设x1≤x2,设方程g(x)=a的根为,由(Ⅱ)可得x2≤.设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=h(x),可得h(x)=nx,设方程h(x)=a的根为,可得<x1,从而可得:x2﹣x1<﹣=,由n≥2,即2n﹣1=(1+1)n﹣1≥1+=1+n﹣1=n,推得:2=x0,即可得证. 【解答】(本题满分为14分) 解:(Ⅰ)由f(x)=nx﹣xn,可得f′(x)=n﹣nxn﹣1=n(1﹣xn﹣1),其中n∈N•,且n≥2. 下面分两种情况讨论: (1)当n为奇数时,令f′(x)=0,解得x=1,或x=﹣1,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (﹣∞,﹣1) (﹣1,1) (1,+∞) f′(x) ﹣ + ﹣ f(x) 所以,f(x)在 (﹣∞,﹣1),(1,+∞)上单调递减,在(﹣1,1)单调递增. (2)当n为偶数时, 当 f′(x)>0,即x<1时,函数 f(x)单调递增; 当 f′(x)<0,即x>1时,函数 f(x)单调递减; 所以,f(x)在(﹣∞,1)单调递增,在(1,+∞)上单调递减; (Ⅱ)证明:设点P的坐标为(x0,0),则x0=n,f′(x0)=n﹣n2, 曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f′(x0)(x﹣x0),即g(x)=f′(x0)(x﹣x0), 令F(x)=f(x)﹣g(x),即F(x)=f(x)﹣f′(x0)(x﹣x0),则F′(x)=f′(x)﹣f′(x0). 由于f′(x)=﹣nxn﹣1+n在(0,+∞)上单调递减,故F′(x)在(0,+∞)上单调递减, 又因为F′(x0)=0,所以当x∈(0,x0)时,F′(x)>0,当x∈(x0,+∞)时,F′(x)<0, 所以F(x)在∈(0,x0)内单调递增,在(x0,+∞)上单调递减, 所以对应任意的正实数x,都有F(x)≤F(x0)=0, 即对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x). (Ⅲ)证明:不妨设x1≤x2, 由(Ⅱ)知g(x)=(n﹣n2)(x﹣x0), 设方程g(x)=a的根为,可得=, 由(Ⅱ)知g(x2)≥f(x2)=a=g(),可得x2≤. 类似地,设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=h(x), 可得h(x)=nx,当x∈(0,+∞),f(x)﹣h(x)=﹣xn<0, 即对于任意的x∈(0,+∞),f(x)<h(x), 设方程h(x)=a的根为,可得=, 因为h(x)=nx在(﹣∞,+∞)上单调递增,且h()=a=f(x1)<h(x1), 因此<x1, 由此可得:x2﹣x1<﹣=, 因为n≥2,所以2n﹣1=(1+1)n﹣1≥1+=1+n﹣1=n, 故:2=x0. 所以:|x2﹣x1|<+2. 【点评】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法,考查分类讨论思想、函数思想和化归思想,考查综合分析问题和解决问题的能力. 参与本试卷答题和审题的老师有:sllwyn;maths;w3239003;刘长柏;wkl197822;sxs123;742048;沂蒙松;changq;lincy;cst(排名不分先后) 菁优网 2016年8月29日查看更多