高考全国卷文数试题解析

高考全国卷文数试题解析

绝密★启封并使用完毕前 试题类型： 德江一中：杨正稳 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. （1）设集合 , ,则 （A）{1,3} （B）{3,5} （C）{5,7} （D）{1,7} 【答案】B 考点：集合的交集运算 【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一 般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关 数集之间的运算,常借助数轴进行运算. (2) 设 的实部与虚部相等,其中 a 为实数,则 a= （A）－3 （B）－2 （C）2 （D）3 【答案】A 【解析】 试题分析： ,由已知,得 ,解得 ,故选 A. 考点：复数的概念及复数的乘法运算 【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考 查频率较高的内容有：复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类 问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是 中的负号易忽略,所以做复数题要注意 { }1,3,5,7A = { }2 5B x x=   A B = ( )( )1 2i ia+ + iaaiai )21(2))(21( ++−=++ aa 212 +=− 3−=a 2i 1= − 运算的准确性. （3）为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种 花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 （A） （B） （C） （D） 【答案】A 考点：古典概型 【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答常见错误是在用列举法 计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举. （4）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 , , ,则 b= （A） （B） （C）2 （D）3 【答案】D 【解析】 试题分析：由余弦定理得 ,解得 （ 舍去）,故选 D. 考点：余弦定理 【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于 b 的一元二次方程,再 通过解方程求 b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！ （5）直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的1 4,则该椭圆 的离心率为 （A）1 3 （B）1 2 （C）2 3 （D）3 4 【答案】B 【解析】 试题分析：如图,由题意得在椭圆中, 1 3 1 2 2 3 5 6 5a = 2c = 2cos 3A = 2 3 3 22245 2 ×××−+= bb 3=b 3 1−=b 1 1OF c,OB b,OD 2b b4 2 = = = × = 在 中, ,且 ,代入解得 ,所以椭圆得离心率得 ,故选 B. 考点：椭圆的几何性质 【名师点睛】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等式, 再转化为关于 a,c 的齐次方程,方程两边同时除以 a 的最高次幂,转化为关于 e 的方程,解方程求 e . （6）若将函数 y=2sin (2x+π 6)的图像向右平移1 4 个周期后,所得图像对应的函数为 （A）y=2sin(2x+π 4) （B）y=2sin(2x+π 3) （C）y=2sin(2x–π 4) （D）y=2sin(2x–π 3) 【答案】D 考点：三角函数图像的平移 【名师点睛】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减“,二是平移多少 个单位是对 x 而言的,不用忘记乘以系数. （7）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何 体的体积是28π 3 ,则它的表面积是 Rt OFB∆ | OF| | OB| | BF| | OD |× = × 2 2 2a b c= + 2 2a 4c= 1e 2 = y xO B F D （A）17π （B）18π （C）20π （D）28π 【答案】A 【解析】 考点：三视图及球的表面积与体积 【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何 题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三 视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键. （8）若 , ,则 （A）logaccb 【答案】B 【解析】 试题分析：由 可知 是减函数,又 ,所以 ．故选 B.本 题也可以用特殊值代入验证. 考点：指数函数与对数函数的性质 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或 对数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 0a b> > 0 1c< < 0 1c< < logcy x= 0a b> > log logc ca b< （9）函数 在 的图像大致为 （A） （B） （C） （D） 【答案】D 考点：函数图像与性质 【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一 般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接 法,即由函数性质排除不符合条件的选项. （10）执行右面的程序框图,如果输入的 n=1,则输出 的值满足 （A） （B） （C） （D） 22 xy x e= − [ ]2,2− 0, 1,x y= = ,x y 2y x= 3y x= 4y x= 5y x= 【答案】C 【解析】 试题分析：第一次循环： , 第二次循环： , 第三次循环： ,此时满足条件 ,循环结束, ,满足 ．故选 C 考点：程序框图与算法案例 【名师点睛】程序框图基本是高考每年必考知识点,一般以客观题形式出现,难度不大,求解此 类问题一般是把人看作计算机,按照程序逐步列出运行结果. （11）平面 过正文体 ABCD—A1B1C1D1 的顶点 A , , ,则 m,n 所成角的正弦值为 （A） （B） （C） （D） 【答案】A n=n+1 结束 输出x,y x2+y2≥36？ x=x+ n-1 2 ，y=ny 输入x,y,n 开始 0, 1, 2x y n= = = 1 , 2, 32x y n= = = 3 , 6, 32x y n= = = 2 2 36x y+ ≥ 3 , 62x y= = 4y x= α 1 1// CB Dα 平面 ABCD mα = 平面 1 1ABB A nα = 平面 3 2 2 2 3 3 1 3 考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角. 【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、 连线成形,解形求角、得钝求补. （12）若函数 在 单调递增,则 a 的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 1( ) sin 2 sin3f x x - x a x= + ( ),−∞ +∞ [ ]1,1− 11, 3  −   1 1,3 3  −   11, 3  − −   考点：三角变换及导数的应用 【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解关键是把函数单调性 转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域 或最值有关的问题,要注意弦函数的有界性. 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22) 题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 3 小题,每小题 5 分 （13）设向量 a=(x,x+1),b=(1,2),且 a b,则 x= . 【答案】 【解析】 试题分析：由题意, 考点：向量的数量积及坐标运算 【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公 式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若 ,则 . （14）已知 θ 是第四象限角,且 sin(θ+ )= ,则 tan(θ– )=. ⊥ 2 3 − 20, 2( 1) 0, .3x x x⋅ = + + = ∴ = −a b ( ) ( )1 1 2 2, , ,x y x y= =a b 1 1 2 2x y x y⋅ = +a b π 4 3 5 π 4 【答案】 【解析】 试题分析：由题意 , 因为 ,所以 , 从而 ,因此 ．故填 ． 考点：三角变换 【名师点睛】三角函数求值,若涉及到开方运算,要注意根式前正负号的取舍,同时要注意角的 灵活变换. （15）设直线 y=x+2a 与圆 C：x2+y2-2ay-2=0 相交于 A,B 两点,若 ,则圆 C 的面积为 【答案】 考点：直线与圆 【名师点睛】注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆的半径 r、弦长 l、圆 心到弦的距离 d 之间的关系： 在求圆的方程时常常用到. （16）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材 料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时, 生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150kg, 乙材料 90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为元. 【答案】 4 3 − sin sin4 4 2 θ θπ π π    + = − +         3cos 4 5 θ π = − =   2 2 22k kθ3ππ + < < π + π ( )k ∈Z 72 24 4 4k kθ5π π ππ + < − < π + ( )k ∈Z 4sin 4 5 θ π − = −   4tan 4 3 θ π − = −   4 3 − 4π 2 2 2 2 lr d  = +    216000 【解析】 试题分析：设生产产品 、产品 分别为 、 件,利润之和为 元,那么 ① 目标函数 . 取得最大值.解方程组 ,得 的坐标 . 所以当 , 时, . 故生产产品 、产品 的利润之和的最大值为 元. 考点：线性规划的应用 【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束 条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离, 解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误. A B x y z 1.5 0.5 150, 0.3 90, 5 3 600, 0, 0. x y x y x y x y +  + +         2100 900z x y= + 10 3 900 5 3 600 x y x y + =  + = M (60,100) 60x = 100y = max 2100 60 900 100 216000z = × + × = A B 216000 三.解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. （17）.（本题满分 12 分）已知 是公差为 3 的等差数列,数列 满足 ,. （I）求 的通项公式； （II）求 的前 n 项和. 【答案】（I） （II） （II）由（I）和 ,得 ,因此 是首项为 1,公比为 的等比数列.记 的前 项和为 ,则 考点：等差数列与等比数列 【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利 用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数 列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方 法. （18）.（本题满分 12 分）如图,在已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形,PA=6,顶点 P 在平 面 ABC 内的正投影为点 E,连接 PE 并延长交 AB 于点 G. （I）证明 G 是 AB 的中点； { }na { }nb 1 2 1 1 1= = 3 n n n nb b a b b nb+ ++ =1， ， { }na { }nb 3 1na n= − 1 3 1 .2 2 3n−− × 1 1n n n na b b nb+ ++ = 1 3 n n bb + = { }nb 1 3 { }nb n nS 1 11 ( ) 3 13 .1 2 2 31 3 n n nS − − = = − ×− （II）在答题卡第（18）题图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F（说明作法及理由）,并求四 面体 PDEF 的体积． 【答案】（I）见解析（II）作图见解析,体积为 试题解析：（I）因为 在平面 内的正投影为 ,所以 因为 在平面 内的正投影为 ,所以 所以 平面 ,故 又由已知可得, ,从而 是 的中点. （II）在平面 内,过点 作 的平行线交 于点 , 即为 在平面 内的正投 影. 理由如下：由已知可得 , ,又 ,所以 ,因此 平面 ,即点 为 在平面 内的正投影. 连接 ,因为 在平面 内的正投影为 ,所以 是正三角形 的中心. P A B D C G E 4 3 P ABC D .AB PD⊥ D PAB E .AB DE⊥ AB ⊥ PED .AB PG⊥ PA PB= G AB PAB E PB PA F F E PAC PB PA⊥ ⊥PB PC / /EF PB EF PC⊥ EF ⊥ PAC F E PAC CG P ABC D D ABC 由（I）知, 是 的中点,所以 在 上,故 由题设可得 平面 , 平面 ,所以 ,因此 由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且 ,可得 在等腰直角三角形 中,可得 所以四面体 的体积 考点：线面位置关系及几何体体积的计算 【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中 线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键 是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大, 以中档题为主. （19）（本小题满分 12 分）某公司计划购买 1 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一 易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备 件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整 理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图： 记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示 1 台机器在购买易损零件上所 需的费用（单位：元）, 表示购机的同时购买的易损零件数. （I）若 =19,求 y 与 x 的函数解析式； （II）若要求“需更换的易损零件数不大于 ”的频率不小于 0.5,求 的最小值； （III）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件,或每台都购买 20 个易损零 件,分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买 1 台 16 17 18 19 20 21 频数 更换的易损零件数0 6 10 16 20 24 G AB D CG 2 .3 =CD CG ⊥PC PAB ⊥DE PAB / /DE PC 2 1, .3 3 = =PE PG DE PC 6=PA 2, 2 2.= =DE PE EFP 2.= =EF PF PDEF 1 1 42 2 2 .3 2 3 = × × × × =V n n n n 机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？ 【答案】（I） （II）19（III）19 （Ⅱ）由柱状图知,需更换的零件数不大于 18 的概率为 0.46,不大于 19 的概率为 0.7,故 的最 小值为 19. （Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件,则这 100 台机器中有 70 台在购买易损零 件上的费用为 3800,20 台的费用为 4300,10 台的费用为 4800,因此这 100 台机器在购买易损零 件上所需费用的平均数为 . 比较两个平均数可知,购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件. 考点：函数解析式、概率与统计 【名师点睛】本题把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大,求解关键是读懂题 意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题. （20）（本小题满分 12 分）在直角坐标系 中,直线 l:y=t(t≠0)交 y 轴于点 M,交抛物线 C： 于点 P,M 关于点 P 的对称点为 N,连结 ON 并延长交 C 于点 H. （I）求 ； （II）除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由. 【答案】（I）2（II）没有 【解答】 )(,19,5700500 ,19,3800 Nxxx xy ∈    >− ≤= n 4050)104500904000(100 1 =×+× xOy 2 2 ( 0)y px p= > OH ON 试题分析：先确定 , 的方程为 ,代入 整理得 ,解得 , ,得 ,由此可得 为 的中点,即 .（II） 把直线 的方程 ,与 联立得 ,解得 ,即 直线 与 只有一个公共点,所以除 以外直线 与 没有其它公共点. （Ⅱ）直线 与 除 以外没有其它公共点.理由如下： 直线 的方程为 ,即 .代入 得 ,解得 ,即直线 与 只有一个公共点,所以除 以外直线 与 没有其它公共点. 考点：直线与抛物线 【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位 置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几 部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直； 证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数 思想及化归思想的应用. （21）（本小题满分 12 分）已知函数 ． (I)讨论 的单调性； (II)若 有两个零点,求 的取值范围. ),( 2 tp tN ON xt py = pxy 22 = 02 22 =− xtpx 01 =x p tx 2 2 2= )2,2( 2 tp tH N OH 2|| || = ON OH MH xt pty 2 =− pxy 22 = 044 22 =+− ttyy tyy 221 == MH C H MH C MH C H MH xt pty 2 =− )(2 typ tx −= pxy 22 = 044 22 =+− ttyy tyy 221 == MH C H MH C ( ) ( ) ( )22 e 1xf x x a x= − + − ( )f x ( )f x a 【答案】见解析(II) 【解析】 试题分析：(I)先求得 再根据 1,0,2a 的大小进行分类确定 的单 调性；(II)借助第一问的结论,通过分类讨论函数单调性,确定零点个数,从而可得 a 的取值范围为 . 试题解析： (I) (i)设 ,则当 时, ；当 时, . 所以在 单调递减,在 单调递增. (ii)设 ,由 得 x=1 或 x=ln(-2a). ①若 ,则 ,所以 在 单调递增. ②若 ,则 ln(-2a)<1,故当 时, ； 当 时, ,所以 在 单调递增,在 单调递减. ③若 ,则 ,故当 时, ,当 时, ,所以 在 单调递增,在 单调递减. ( )0,+∞ ( ) ( )( )' 1 2 .xf x x e a= − + ( )f x ( )0,+∞ ( ) ( ) ( ) ( )( )' 1 2 1 1 2 .x xf x x e a x x e a= − + − = − + 0a ≥ ( ),1x∈ −∞ ( )' 0f x < ( )1,x∈ +∞ ( )' 0f x > ( ),1−∞ ( )1,+∞ 0a < ( )' 0f x = 2 ea = − ( ) ( )( )' 1 xf x x e e= − − ( )f x ( ),−∞ +∞ 2 ea > − ( )( ) ( ),ln 2 1,x a∈ −∞ − +∞ ( )' 0f x > ( )( )ln 2 ,1x a∈ − ( )' 0f x < ( )f x ( )( ) ( ),ln 2 , 1,a−∞ − +∞ ( )( )ln 2 ,1a− 2 ea < − ( )2 1ln a− > ( ) ( )( ),1 ln 2 ,x a∈ −∞ − +∞ ( )' 0f x > ( )( )1,ln 2x a∈ − ( )' 0f x < ( )f x ( ) ( )( ),1 , ln 2 ,a−∞ − +∞ ( )( )1,ln 2a− 考点：函数单调性,导数应用 【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根 据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围, 由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问 题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解. 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 （22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以 O 为圆心, OA 为半径作圆. (I)证明：直线 AB 与 O 相切； (II)点 C,D 在⊙O 上,且 A,B,C,D 四点共圆,证明：AB∥CD. 【答案】(I)见解析(II)见解析 O D C BA 1 2  在 中, ,即 到直线 的距离等于圆 的半径,所以直线 与⊙ 相 切． （Ⅱ）因为 ,所以 不是 四点所在圆的圆心,设 是 四点所 在圆的圆心,作直线 ． 由已知得 在线段 的垂直平分线上,又 在线段 的垂直平分线上,所以 ． 同理可证, ．所以 ． 考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明 【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的 转化”,熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与 性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理. （23）（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 x y 中,曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数,a＞0）． 在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2：ρ= . （I）说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程； E O' D C O BA Rt AOE∆ 1 2OE AO= O AB O AB O 2OA OD= O , , ,A B C D 'O , , ,A B C D 'OO O AB 'O AB 'OO AB⊥ 'OO CD⊥ //AB CD Ο cos 1 sin x a t y a t =  = + 4 cosθ （II）直线 C3 的极坐标方程为 ,其中 满足 tan =2,若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上, 求 a． 【答案】（I）圆, （II）1 试题解析：⑴ （ 均为参数）,∴ ① ∴ 为以 为圆心, 为半径的圆．方程为 ∵ ,∴ 即为 的极坐标方程 ⑵ ,两边同乘 得 ,即 ② ：化为普通方程为 ,由题意： 和 的公共方程所在直线即为 ①—②得： ,即为 ∴ ,∴ 考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用 【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标 方程与参数方程的互化公式及应用. （24）（本小题满分 10 分）,选修 4—5：不等式选讲 已知函数 . （I）在答题卡第（24）题图中画出 的图像； （II）求不等式 的解集． 0 θ α= 0 α 0 α 2 22 sin 1 0aρ ρ θ− + − = cos 1 sin x a t y a t =  = + t ( )22 21x y a+ − = 1C ( )0 1， a 2 2 22 1 0x y y a+ − + − = 2 2 2 sinx y yρ ρ θ+ = =， 2 22 sin 1 0aρ ρ θ− + − = 1C 2 4cosC ρ θ=： ρ 2 2 2 24 cos cosx y xρ ρ θ ρ ρ θ= = + = ， 2 2 4x y x∴ + = ( )2 22 4x y− + = 3C 2y x= 1C 2C 3C 24 2 1 0x y a− + − = 3C 21 0a− = 1a = ( ) 1 2 3f x x x= + − − ( )y f x= ( ) 1f x > 【答案】（I）见解析（II） 试题解析：⑴如图所示： ( ) ( )1 1 3 53  −∞ + ∞    ， ， ， 考点：分段函数的图像,绝对值不等式的解法 【名师点睛】不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、 由不等式恒成立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一 定要写出集合形式.