2007-2012文科新课标高考数学试题分类汇总精华版
2007-2012高考考题分类汇总
一 高考集合与简易逻辑
二 复数
三 程序框图
四 平面向量
五 数列
六 三角函数及解三角形
七 统计与概率
八 立体几何
九 不等式
十 圆锥曲线
十一 函数
十二 几何证明选讲
十三 坐标系与参数方程
十四 不等式选讲
2007-2012高考集合与简易逻辑考题汇总
一．集合
（2007）1．设集合，则（ A ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
（2008）1、已知集合M ={ x|(x + 2)(x－1) < 0 }，N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（ C ）
A. (－1，1) B. (－2，1)
C. (－2，－1) D. (1，2)
（2009）1． 已知集合，则（D）
A．{3，5} B．{3，6} C．{3，7} D．{3，9}
（2010）1．已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|≤4，x∈Z}，则A∩B＝( D )
A。(0,2) B。[0,2] C。{0,2} D。{0,1,2}
（2011）．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M，则P的子集共有（ B ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
（2012.1）已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1
x
输出x
结束
x=b
x=c
否
是
2007-2011高考程序框图考题汇总
2007
5．如果执行右面的程序框图，那么输出的（ Ｃ ）
Ａ．2450 Ｂ．2500
Ｃ．2550 Ｄ．2652
开始
是
否
输出
结束
2008
6、右面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断
框中，应该填入下面四个选项中的（A ）
A. c > x B. x > c C. c > b D. b > c
2009
（10）如果执行右边的程序框图，输入，那么输出的各个数的和等于(B)
（A）3 （B） 3.5 （C） 4 （D）4.5
2010
（8）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于(D)
（A）（B）（C）（D）
2011
（5）执行右面得程序框图，如果输入的是6，那么输出的是(B)
（A）120 （B）720（C）1440 （D）5040
（2012.6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(≥2)和
实数，，…，，输出，，则
.+为，，…，的和
.为，，…，的算术平均数
.和分别为，，…，中的最大数和最小数
.和分别为，，…，中的最小数和最大数
2007-2011高考平面向量考题汇总
2007
4．已知平面向量，则向量（ Ｄ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2008
5、已知平面向量=（1，－3），=（4，－2），与垂直，则是（A ）
A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
2009
（7）已知，向量与垂直，则实数的值为(A)
（A） （B） （C） （D）
2010
2.a，b为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a，b夹角的余弦值等于( C )
（A） （B） （C） （D）
2011
（13）已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k= 1 。
(2012.15) 已知向量，夹角为，且||=1，||=，则||=
2007-2011高考数列考题汇总
2007
6．已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（Ｂ ）
Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．
16．已知是等差数列，，其前5项和，则其公差 ．
2008
8、设等比数列的公比，前n项和为，则（C ）
A. 2 B. 4 C. D.
13、已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 = ____15 ________
2009
（8）等比数列的前n项和为，已知，,则( C)
（A）38 （B）20 （C）10 （D）9
（15）等比数列{}的公比, 已知=1，，则{}的前4项和= 。
2010
（17）（本小题满分12分）
设等差数列满足，。
（Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求的前项和及使得最大的序号的值。
（17）解：
（1）由am = a1 +（n-1）d及a1=5，aw=-9得
解得
数列{am}的通项公式为an=11-2n。 ……..6分
(2)由(1) 知Sm=na1+d=10n-n2。
因为Sm=-(n-5)2+25.
所以n=5时，Sm取得最大值。 ……12分
2011
（17）（本小题满分12分）
已知等比数列中，，公比。
（I）为的前项和，证明：
（II）设，求数列的通项公式。
解;（Ⅰ）因为
所以
（Ⅱ）
所以的通项公式为
（2012.12）数列{}满足，则{}的前60项和为（D）
（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830
(2012.14)等比数列{}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比=_______
答案：－2
2007-2011高考三角函数及解三角形考题汇总
2007
3．函数在区间的简图是（Ａ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
9．若，则的值为（ Ｃ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
17．（本小题满分12分）
如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个侧点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．
解：在中，．由正弦定理得．
所以．在中，．
2008
11、函数的最小值和最大值分别为（ C ）
A. －3，1 B. －2，2 C. －3， D. －2，
17、（本小题满分12分）
如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2。
（1）求cos∠CBE的值；(2)求AE。
【试题解析】：.(1)因为所以，
(2)在中，，故由正弦定理得,故【高考考点】正弦定理及平面几何知识的应用
2009
（16）已知函数的图像如图所示，则 0 。
（17）（本小题满分12分）
如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知，，于A处测得水深，于B处测得水深，于C处测得水深，求∠DEF的余弦值。
．解：作DM∥AC交BE于N，交CF于M．
，
，
．
在△EDF中，由余弦定理，
2010
（6）如图，质点在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为（，），角速度为1，那么点到轴距离关于时间的函数图像大致为(C)
（10）若= -，a是第一象限的角，则=（A ）
（A）- （B） （C） （D）
(16)在△ABC中，D为BC边上一点，,,.若,则BD=__2+___
2011
（7）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则=（B）
（A） （B） (C) (D)
（11）设函数，则（D ）
（A）y=（0，）在单调递增，其图像关于直线x = 对称
（B）y=在（0，）单调递增，其图像关于直线x = 对称
（C）y= 在（0，）单调递减，其图像关于直线x = 对称
（D）y= f (x) 在（0，）单调递减，其图像关于直线x = 对称
（15）△ABC中B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为 。
（2012.5）已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则的取值范围是（A）
（A）(1－，2) （B）(0，2)
（C）(－1，2) （D）(0，1+)
（2012.9）已知>0，，直线=和=是函数图像的两条相邻的对称轴，则=（A）
（A） （B） （C） （D）
（2012.17）（本小题满分12分）已知，，分别为三个内角,,的对边，
.
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若=2，的面积为，求，.
答案：(Ⅰ)由及正弦定理得
由于，所以，
又，故.
(Ⅱ) 的面积==,故=4，
而 故=8，解得=2.
2007-2011高考统计与概率考题汇总
2007年
12．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
甲的成绩
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5
乙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6
丙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
4
6
6
4
分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ Ｂ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
20．（本小题满分12分）
设有关于的一元二次方程．
（Ⅰ）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（Ⅱ）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解：设事件为“方程有实根”．
当，时，方程有实根的充要条件为．
（Ⅰ）基本事件共12个：．其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为．
（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为．
构成事件的区域为．
所以所求的概率为．
2008年
16、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：
甲品种：271 273 280 285 287 292 294 295 301 303 303 307
308 310 314 319 323 325 328 331 334 337 352
乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318
320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356
由以上数据设计了如下茎叶图
根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：
①
；
②
.
【试题解析】：参考答案（１）乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度；
（２）甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散（或乙品种棉花的纤维长度较
甲品种棉花的纤维长度更集中）。
（３）甲品种棉花的纤维长度的中位数为３０７mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为
３１８mm；
（４）乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近），甲品种
棉花的纤维长度除一个特殊值（３５２）外，也大致对称，其分布较均匀；【高考考点】统计的有关知识
19、（本小题满分12分）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10。把这6名学生的得分看成一个总体。
（1）求该总体的平均数；
（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本。求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。
2009年
3对变量 有观测数据（，）（），得散点图1；对变量有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。（C）
（A）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关
（C）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关
（19）（本小题满分12分）
某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）.现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）.
（Ⅰ）A类工人中和B类工人各抽查多少工人？
（Ⅱ）从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2
表1：
生产能力分组
人数
4
8
5
3
表2：
生产能力分组
人数
6
y
36
18
（1） 先确定，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）
(ii)分别估计类工人和类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）。
19．解：（Ⅰ）A类工人中和类工人中分别抽查25名和75名．
（Ⅱ）（ⅰ）由，得；，得；
频率分布直方图如下
从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小．
（ii），
， ．
A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1.
2010年
（14）设函数为区间上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有，可以用随机模拟方法计算由曲线及直线，，所围成部分的面积，先产生两组每组个，区间上的均匀随机数和，由此得到V个点。再数出其中满足的点数，那么由随机模拟方法可得S的近似值为___________
（19）（本小题满分12分）
为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：
性别
是否需要
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；
（Ⅱ）能否有99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。附：
解：
（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为. ……4分
(2)
由于所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. ……8分
（3）由于（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男,女的比例，再把老年人分成男,女两层并采用分层抽样方法比采用简单反随即抽样方法更好. ……12分
2011
（6）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A）
（A） (B) (C) (D)
（19）（本小题12分）
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质产品，现用两种新配方（分别称为A分配方和B分配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
8
20
42
22
8
B配方的频数分布表
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
4
12
42
32
10
（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为
估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润。解
（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42
（Ⅱ）由条件知用
B配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96，所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.
用B配方生产的产品平均一件的利润为
（元）
（2012.3）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（ D ）
（A）－1 （B）0 （C） （D）1
（2012.18）.（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。
（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式。
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；
(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.
答案：（Ⅰ）当日需求量时，利润=85；
当日需求量时，利润，
∴关于的解析式为；
（Ⅱ）(i)这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的平均利润为
=76.4；
(ii)利润不低于75元当且仅当日需求不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为
2007-2011高考立体几何考题汇总
20
20
正视图
20
侧视图
10
10
20
俯视图
2007
8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（B ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
11．已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，底面，，则球的体积与三棱锥体积之比是（ D ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
18．（本小题满分12分）
如图，为空间四点．在中，．等边三角形以为轴运动．
（Ⅰ）当平面平面时，求；
（Ⅱ）当转动时，是否总有？证明你的结论．
解：
（Ⅰ）取的中点，连结，因为是等边三角形，所以．当平面平面时，因为平面平面，所以平面，可知
由已知可得，在中，．
（Ⅱ）当以为轴转动时，总有．
证明：
（ⅰ）当在平面内时，因为，所以都在线段的垂直平分线上，即．
（ⅱ）当不在平面内时，由（Ⅰ）知．又因，所以．
又为相交直线，所以平面，由平面，得．
综上所述，总有．
2008
12、已知平面α⊥平面β，α∩β= l，点A∈α，Al，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ D ）
A. AB∥m B. AC⊥m C. AB∥β D. AC⊥β
14、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为 _________
18、（本小题满分12分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）。
（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（3）在所给直观图中连结，证明：∥面EFG。
【试题解析】(1)如图
（２）所求多面体的体积
（３）证明：如图，在长方体中，连接，则∥因为Ｅ，Ｇ分别为中点，所以∥，从而∥，又, 所以∥平面ＥＦＧ；
【高考考点】长方体的有关知识、体积计算及三视图的相关知识
2009
（9） 如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是( D )
（A） （B）
（C）三棱锥的体积为定值（D）
（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：）为( A )
（A） （B）
（C） （D）
（18）（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，∠PAC=∠PBC=900
（Ⅰ）证明：AB⊥PC
（Ⅱ）若，且平面⊥平面，求三棱锥体积。
解：（Ⅰ）因为△PAB是等边三角形，，
所以，可得AC=BC．
如图，取AB中点D，连结PD，CD，则PD⊥AB，CD⊥AB，
所以AB⊥平面PDC，所以AB⊥PC．
（Ⅱ）作BE⊥PC，垂足为E，连结AE．因为，
所以AE⊥PC，AE=BE．由已知，平面PAC平面PBC，故．
因为，所以都是等腰直角三角形．由已知PC=4，得AE=BE=2，的面积．
因为PC⊥平面AEB，所以三角锥的体积．
2010
(7) 设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( B )
（A）3a2 （B）6a2 （C）12a2 （D） 24a2
(15)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的__①②③⑤_____(填入所有可能的几何体前的编号)
①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱
（18）（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，∥,,垂足为，是四棱锥的高。
（Ⅰ）证明：平面 平面;
（Ⅱ）若,60°,求四棱锥的体积。
解：
(1)因为PH是四棱锥P-ABCD的高。
所以ACPH,又ACBD,PH,BD都在平PHD内,且PHBD=H.
所以AC平面PBD.
故平面PAC平面PBD. ……..6分
(2)因为ABCD为等腰梯形，ABCD,ACBD,AB=.
所以HA=HB=.
因为APB=ADR=600
所以PA=PB=,HD=HC=1.
可得PH=.
等腰梯形ABCD的面积为S=AC x BD = 2+. ……..9分
所以四棱锥的体积为V=x（2+）x= ……..12分
2011
（8）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为( D )
（16）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的 ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 。
（18）（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为平行四边形。 底面 。
（I）证明：
（II）设，求棱锥的高。
（Ⅰ）因为， 由余弦定理得
从而BD2+AD2= AB2，故BDAD
又PD底面ABCD，可得BDPD
所以BD平面PAD. 故 PABD
（Ⅱ）如图，作DEPB，垂足为E。已知PD底面ABCD，则PDBC。由（Ⅰ）知BDAD，又BC//AD，所以BCBD。
故BC平面PBD，BCDE。
则DE平面PBC。
由题设知，PD=1，则BD=，PB=2，
根据BE·PB=PD·BD，得DE=，
即棱锥D—PBC的高为
（2012.7）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为 （）
.6 .9 .12 .18
(2012.8)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（B）
（A）π （B）4π （C）4π （D）6π
（2012.19）（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点。
(Ｉ) 证明：平面⊥平面
（Ⅱ）平面分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
答案：（Ⅰ）由题设知BC⊥,BC⊥AC，,∴面, 又∵面，∴,
由题设知,∴=,即,
又∵, ∴⊥面, ∵面，
∴面⊥面；
（Ⅱ）设棱锥的体积为，=1，由题意得，==，
由三棱柱的体积=1，
∴=1:1， ∴平面分此棱柱为两部分体积之比为1:1.
2007-2011高考不等式考题汇总
2008
7、已知，则使得都成立的取值范围是（ B ）
A.（0，） B. （0，） C. （0，） D. （0，）
10、点P（x，y）在直线4x + 3y = 0上，且x, y满足－14≤x－y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围是（ B ）
A. [0，5] B. [0，10] C. [5，10] D. [5，15]
2009
（6）设满足则（ B ）
（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值
（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值
2010
（11）已知平行四边形ABCD的三个顶点为A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），点（x，y）在平行四边形ABCD的内部，则z=2x-5y的取值范围是（ B ）
（A）（-14，16） （B）（-14，20） （C）（-12，18） （D）（-12，20）
2011
（14）若变量x，y满足约束条件 ，则z=x+2y的最小值为 -6 。
(2012.11)当0<≤时，，则a的取值范围是（A）
（A）(0，) （B）(，1) （C）(1，) （D）(，2)
2007-2011高考圆锥曲线考题汇总
2007
7．已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且，则有（Ｃ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ３ ．
21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知圆的圆心为，过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）圆的方程可写成，所以圆心为，过且斜率为的直线方程为．代入圆方程得，整理得．①
直线与圆交于两个不同的点等价于，
解得，即的取值范围为．
（Ⅱ）设，则，由方程①， ②
又．③ 而．
所以与共线等价于， 将②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数．
2008
2、双曲线的焦距为（ Ｄ ）
A. 3 B. 4 C. 3 D. 4
15、过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为______________
20、（本小题满分12分）
已知m∈R，直线l：和圆C：。
（1）求直线l斜率的取值范围；
2直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？
【试题解析】 （１）直线的方程可化为，此时斜率因为，所以，当且仅当时等号成立所以，斜率k的取值范围是；
（２）不能. 由（１知的方程为，其中；圆Ｃ的圆心为，半径；
圆心Ｃ到直线的距离 由，得，即，从而，若与圆Ｃ相交，则圆Ｃ截直线所得的弦所对的圆心角小于，所以不能将圆Ｃ分割成弧长的比值为的两端弧；
【高考考点】直线与圆及不等式知识的综合应用
2009
（5）已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（Ｂ）
（A）+=1 （B）+=1
（C）+=1 （D）+=1
（14）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若为的中点，则抛物线C的方程为 。
（20）(本小题满分12分)
已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是7和1
（Ⅰ）求椭圆的方程
（Ⅱ）若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，（e为椭圆C的离心率），求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
．解：（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为a，c，由已知得 解得a=4，c=3，
所以椭圆C的方程为
（Ⅱ）设M（x，y），P(x，)，其中由已知得而，故
① 由点P在椭圆C上得 代入①式并化简得
所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段．
2010
（4）曲线在点（1,0）处的切线方程为（ Ａ ）
（A） （B） （C） （D）
（5）中心在远点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为（ D ）
（A） （B） （C） （D）
（13）圆心在原点上与直线相切的圆的方程为---- x2+y2=2-------。
（20）（本小题满分12分）
设,分别是椭圆E：+=1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过的直线与E相交于A、B两点，且，，成等差数列。
（Ⅰ）求
（Ⅱ）若直线的斜率为1，求b的值。
解：
（1）由椭圆定义知
又
（2）L的方程式为y=x+c,其中
设,则A，B 两点坐标满足方程组
化简得
则
因为直线AB的斜率为1，所以
即 .
则
解得 .
2011
(4).椭圆的离心率为( D )
A. B. C. D.
（9）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直。l与C交于A,B两点，=12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为( C )
（A）18 （B）24 （C）36 （D）48
（20）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线交与A，B两点，且，求a的值。
解：
（Ⅰ）曲线与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（
故可设C的圆心为（3，t），则有解得t=1.
则圆C的半径为
所以圆C的方程为
（Ⅱ）设A（），B（），其坐标满足方程组：
消去y，得到方程
由已知可得，判别式
因此，从而
①
由于OA⊥OB，可得
又所以
②
由①，②得，满足故
（2012.4）设,是椭圆：=1（＞＞0）的左、右焦点，为直线上一点，△是底角为的等腰三角形，则的离心率为（C）
. . . .
（2012.10）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于、两点，=，则的实轴长为（C）
. . .4 .8
(2012.13)曲线在点（1,1）处的切线方程为________
答案：
（2012.20）（本小题满分12分）设抛物线：（＞0）的焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于,两点.
(Ⅰ)若,的面积为，求的值及圆的方程；
(Ⅱ)若，，三点在同一条直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到，距离的比值.
答案：设准线于轴的焦点为E，圆F的半径为，
则|FE|=，=，E是BD的中点，
(Ⅰ) ∵，∴=，|BD|=，
设A(，)，根据抛物线定义得，|FA|=，
∵的面积为，∴===，解得=2，
∴F(0,1), FA|=， ∴圆F的方程为：；
(Ⅱ) 解法一：∵，，三点在同一条直线上, ∴是圆的直径，,
由抛物线定义知，∴，∴的斜率为或－，
∴直线的方程为：，∴原点到直线的距离=，
设直线的方程为：，代入得，，
∵与只有一个公共点， ∴=，∴，
∴直线的方程为：，∴原点到直线的距离=，
∴坐标原点到，距离的比值为3.
解法二：由对称性设，则
点关于点对称得：
得：，直线
切点
直线
坐标原点到距离的比值为。
2007-2011高考函数考题汇总
2007
10．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ Ｄ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
14．设函数为偶函数，则 1 ．
19．（本小题满分12分）
设函数
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值．
解：的定义域为．（Ⅰ）．
当时，；当时，；当时，．
从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为．
又．
所以在区间的最大值为．
2008
4、设，若，则（ ）
A. B. C. D.
21、（本小题满分12分）
设函数，曲线在点处的切线方程为。
（1）求的解析式；
2证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值。
【试题解析】１）方程可化为，当时，；
又，于是，解得，故
（２）设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为
，即
令，得，从而得切线与直线的交点坐标为；
令，得，从而得切线与直线的交点坐标为；
所以点处的切线与直线所围成的三角形面积为；
故曲线上任一点处的切线与直线所围成的三角形面积为定值，此定值为６；
【高考考点】导数及直线方程的相关知识
2009
（12）用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值。设 (x0),则的最大值为( C )
（A） 4 （B） 5 （C） 6 （D） 7
（13）曲线在点（0,1）处的切线方程为 。
（21）（本小题满分12分）
已知函数.
（1）设，求函数的极值；
（2）若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围.
解：（Ⅰ）当a=1时，对函数求导数，得令
列表讨论的变化情况：
-1
（-1，3）
3
+
0
-
0
+
极大值6
极小值-26
所以，的极大值是，极小值是
（Ⅱ）的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称．
若，则在上是增函数，从而在上的最小值是最大值是由于是有
，且
由，由
所以
若a>1，则．故当时，不恒成立．
所以使恒成立的a的取值范围是．
2010
(9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4 (x0），则= ( B )
（A） （B）（C） （D）
（12）已知函数f(x)= 若a，b，c均不相等，且f(a)= f(b)= f(c)，则abc的取值范围是（C）
（A）（1，10） （B）(5，6) （C）(10，12) （D）(20，24)
（21）本小题满分12分）
设函数
（Ⅰ）若a=，求的单调区间；（Ⅱ）若当≥0时≥0，求a的取值范围
解：（Ⅰ）时，，。当时;当时，;当时，。故在，单调增加，在（-1，0）单调减少。
（Ⅱ）。令，则。若，则当时，，为减函数，而，从而当x≥0时≥0，即≥0.
若，则当时，，为减函数，而，从而当时＜0，即＜0.
综合得的取值范围为
2011
3．下列函数中，即是偶数又在单调递增的函数是（ B ）
A. B. C. D.
（10）在下列区间中，函数的零点所在的区间为( C )
(12) 已知函数y= f (x) 的周期为2，当x时 f (x) =x2,那么函数y = f (x) 的图像与函数y =的图像的交点共有( A )
（A）10个 （B）9个 （C）8个 （D）1个
（21）（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线方程为。
（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）证明：当，且时，。
解：
（Ⅰ）
由于直线的斜率为，且过点，故即
解得，。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
考虑函数，则
所以当时，故
当时，
当时，
从而当
(2012.16)设函数=的最大值为M，最小值为m，则M+m=____
答案：2
（2012.21）（本小题满分12分）设函数f(x)= ex－ax－2
(Ⅰ)求f(x)的单调区间
(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f´(x)+x+1>0，求k的最大值
解：（I）函数f（x）=ex-ax-2的定义域是R，f′（x）=ex-a，
若a≤0，则f′（x）=ex-a≥0，所以函数f（x）=ex-ax-2在（-∞，+∞）上单调递增．
若a＞0，则当x∈（-∞，lna）时，f′（x）=ex-a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=ex-a＞0；所以，f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．
（II）由于a=1，所以，（x-k） f´（x）+x+1=（x-k） （ex-1）+x+1
故当x＞0时，（x-k） f´（x）+x+1＞0等价于k＜x+1 ex-1 +x（x＞0）①
令g（x）=x+1 ex-1 +x，则g′（x）=-xex-1 (ex-1)2 +1=ex(ex-x-2) (ex-1)2
由（I）知，函数h（x）=ex-x-2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）=ex-x-2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）
当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）
由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2
十四．几何证明选讲
（2007）22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，已知是的切线，为切点，是
的割线，与交于两点，圆心在
的内部，点是的中点．
（Ⅰ）证明四点共圆；
（Ⅱ）求的大小．
【解析】（Ⅰ）证明：连结．
因为与相切于点，所以．
因为是的弦的中点，所以．
于是．
由圆心在的内部，可知四边形的对角互补，所以四点共圆．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得四点共圆，所以．
由（Ⅰ）得．
由圆心在的内部，可知．
所以．
（2008）22、（10）几何证明选讲：如图，过圆O外一点M作它的
一条切线，切点为A，过A作直线AP垂直直线OM，垂足为P。
（1）证明：OM·OP = OA2；
（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点。过B点的
切线交直线ON于K。证明：∠OKM = 90°。
解：（Ⅰ）证明：因为是圆的切线，所以．
又因为．在中，由射影定理知，．
（Ⅱ）证明：因为是圆的切线，．同（Ⅰ），有，又，
所以，即．又，
所以，故．
（2009） 22.（10）几何证明选讲：
如图，已知的两条角平分线AD和CE相交于H，，F在AC上，且AE=AF。
（Ⅰ）证明：B,D,H,E四点共圆： （Ⅱ）证明：CE平分。
分析:此题考查平面几何知识,如四点共圆的充要条件,角平分线的性质等.
证明:(1)在△ABC中，因为∠B＝60°,
所以∠BAC+∠BCA＝120°.因为AD,CE是角平分线,所以∠HAC+∠HCA＝60°.故∠AHC＝120°.
于是∠EHD＝∠AHC＝120°,因为∠EBD+∠EHD＝180°,所以B,D,H,E四点共圆.
(2)连结BH,则BH为∠ABC的平分线,得∠HBD＝30°.由(1)知B,D,H,E四点共圆,
所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°,由已知可得EF⊥AD,
可得∠CEF＝30°.所以CE平分∠DEF.
（2010）22．(10)几何证明选讲:如图，已知圆上的弧⌒AC=⌒BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD(2)BC2＝BE×CD.
.证明：(1)因为＝，所以∠BCD＝∠ABC.
又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.
(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，
所以△BDC∽△ECB，故＝，即BC2＝BE×CD.
（2011）22．（10）几何证明选讲:
如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合。已知AE的长为n，AD，AB的长是关于的方程的两个根。
（Ⅰ）证明：C,B,D,E四点共圆；
（Ⅱ）若，且m=4,n=6，求C,B,D,E所在圆的半径。
解：
（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，
AD×AB=mn=AE×AC,
即.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB
因此∠ADE=∠ACB
所以C,B,D,E四点共圆。
（Ⅱ）m=4, n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.
故 AD=2，AB=12.
取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.
由于∠A=900，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= (12-2)=5.
故C,B,D,E四点所在圆的半径为5
（2012.22）. （本小题满分10分）选修4－1：几何选讲
如图，D，E分别是△ABC边AB,AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆与F,G两点，若CF∥AB，证明：
(Ⅰ) CD=BC;
(Ⅱ)△BCD∽△GBD.
答案：(Ⅰ) ∵D，E分别为AB,AC的中点，∴DE∥BC，
∵CF∥AB， ∴BCFD是平行四边形，
∴CF=BD=AD， 连结AF，∴ADCF是平行四边形，
∴CD=AF，
∵CF∥AB, ∴BC=AF, ∴CD=BC；
(Ⅱ) ∵FG∥BC，∴GB=CF，
由(Ⅰ)可知BD=CF，∴GB=BD,
∵∠DGB=∠EFC=∠DBC, ∴△BCD∽△GBD.
十五．坐标系与参数方程
（2007）23．（10）坐标系与参数方程：和的极坐标方程分别为．
（Ⅰ）把和的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求经过，交点的直线的直角坐标方程．
【解析】以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，
两坐标系中取相同的长度单位．
（Ⅰ），，由得．所以．
即为的直角坐标方程．同理为的直角坐标方程．
（Ⅱ）由解得．
即，交于点和．过交点的直线的直角坐标方程为．
（2008）23、（10）坐标系与参数方程：
已知曲线C1：，曲线C2： 。
（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；
（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线，。写出，的参数方程。与公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由。
23．解：（Ⅰ）是圆，是直线．的普通方程为，圆心，半径．
的普通方程为．因为圆心到直线的距离为，
所以与只有一个公共点．（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为
：（为参数）； ：（t为参数）．
化为普通方程为：：，：，
联立消元得，其判别式，
所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同．
（2009）
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。
已知曲线C： （t为参数）， C：（为参数）。
（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线 （t为参数）距离的最小值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
23.分析:参数方程的考查,即为三角函数中同角三角函数的基本关系sin2x+cos2x＝1的应用;
第(2)小问点到直线距离公式的应用.
解:(1)C1:(x+4)2+(y－3)2＝1,C2:.
C1为圆心是(－4,3),半径是1的圆.
C2为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.
(2)当时,P(－4,4),Q(8cosθ,3sinθ),故M(－2+4cosθ,).
C3为直线x－2y－7＝0,M到C3的距离.
从而当,时,d取得最小值
（2010）23．(10)坐标系与参数方程：已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(θ为参数)．
(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；
(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
23.解：(1)当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.
联立方程组解得C1与C2的交点为(1,0)，(，－)．
(2)C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.
A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)，
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为
(α为参数)．
P点轨迹的普通方程为(x－)2＋y2＝ 故P点轨迹是圆心为(，0)，半径为的圆．
24.解：(1)由于f(x)＝则函数y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由函数y＝f(x)与函数y＝ax的图象可知，
当且仅当a≥或a<－2时，函数y＝f(x)与函数y＝ax的图象有交点．
故不等式f(x)≤ax的解集非空时，a的取值范围为(－∞，－2)∪[，＋∞)
（2011）23．(10)坐标系与参数方程：在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为（为参数），M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2
(Ⅰ)求C2的方程
(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.
解：
（I）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，所以
即
从而的参数方程为
（为参数）
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。
射线与的交点的极径为，射线与的交点的极径为。
所以.
（2012.23）. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程是（是参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线:的极坐标方程是=2，正方形ABCD的顶点都在上，且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）.
(Ⅰ)求点A,B,C,D的直角坐标；
(Ⅱ)设P为上任意一点，求的取值范围.
答案(Ⅰ)由已知可得，，
，，
即A(1，)，B（－，1），C（―1，―），D（，－1），
(Ⅱ)设，令=，
则==，
∵，∴的取值范围是[32,52].
十六、不等式选讲
（2007）24．Ｃ（本小题满分10分）选修；不等式选讲
设函数．
（I）解不等式； （II）求函数的最小值．
【解析】
（Ⅰ）令，则
．．．．．．．．．．．．．．．3分
作出函数的图象，它与直线的交点为和．
所以的解集为．
（Ⅱ）由函数的图像可知，
当时，取得最小值．．
（2008）24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）作出函数的图像；
（Ⅱ）解不等式．
解：（Ⅰ）
图像如下：
1
1
O
x
y
2
3
4
2
4
-1
-2
-2
8
-4
（Ⅱ）不等式，即，由得．
由函数图像可知，原不等式的解集为
（2009）24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
如图,O为数轴的原点,A,B,M为数轴上三点,C为线段OM上的动点.设x表示C与原点的距离,y表示C到A距离的4倍与C到B距离的6倍的和.
(1)将y表示为x的函数;(2)要使y的值不超过70,x应该在什么范围内取值?
分析:第(1)小问考查绝对值的几何意义——距离问题.第(2)小问考查含绝对值不等式的解法及分段思想.
解:(1)y＝4|x－10|+6|x－20|,0≤x≤30.(2)依题意,x满足
解不等式组,其解集为［9,23］.所以x∈［9,23］.
（2010）24.（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲
设函数f(x)=
（Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像；
（Ⅱ）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围.
.解：(1)由于f(x)＝则函数y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由函数y＝f(x)与函数y＝ax的图象可知，
当且仅当a≥或a<－2时，函数y＝f(x)与函数y＝ax的图象有交点．
故不等式f(x)≤ax的解集非空时，a的取值范围为(－∞，－2)∪[，＋∞)
(2011)(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
设函数,其中。
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式的解集为 ，求a的值。
（24）解：（Ⅰ）当时，可化为。由此可得 或。
故不等式的解集为或。
( Ⅱ) 由 得
此不等式化为不等式组 或即 或
因为，所以不等式组的解集为由题设可得= ，故
（2012.24）.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数=.
(Ⅰ)当时，求不等式 ≥3的解集；
(Ⅱ) 若≤的解集包含，求的取值范围.
答案：(Ⅰ)当时，=，
当≤2时，由≥3得，解得≤1；
当2＜＜3时，≥3，无解；
当≥3时，由≥3得≥3，解得≥8，
∴≥3的解集为{|≤1或≥8}；
(Ⅱ) ≤，
当∈[1,2]时，==2，
∴，有条件得且，即，
故满足条件的的取值范围为[－3,0].
